Моделирование систем

Моделирование систем

Задание

.        Получить математическую модель в операторной форме.

.        Получить математическую модель в форме дифференциального уравнения.

.        Получить математическую модель в пространстве состояний.

.        Построить граф системы.

.        Оценить устойчивость, управляемость, наблюдаемость САУ.

.        Построить графики АЧХ, ФЧХ, АФЧХ замкнутой САУ.

.        Построить переходную характеристику САУ, оценить быстродействие системы.

1. Для заданной передаточной функции

W(p) =  получим математическую модель в операторной форме:

уравнение в операторной форме.

. Для заданной передаточной функции

W(p) =  получим математическую модель в форме диф-го уравнения.

Вход - выходное описание в форме дифференциального уравнения. pⁿ =

уравнение в операторной форме.

. Модель в пространстве состояния.

W(p) =  получим математическую модель в пространстве состояния:

Заданной передаточной функции соответствует дифференциальное уравнение:

Выразим U, Y через переменную z

Введём замену переменной

граф математический модель управление

Y= 200 х₁ + 40 х₂

Запишем уравнения состояний в матричной форме:

где

A= B=

C= D=

Полученные уравнения - математическая модель в пространстве состояний.

4. Построим граф системы по полученной модели в пространстве состояний.

Вершины графа - переменные х₁, х₁', х_2, х₂', х_3, х₃'_, входной сигнал U(t), выходной сигнал Y(t). Связи между переменными изображаются в виде дуг с проставленными коэффициентами при переменных.

                 U(t)

                                                                               Y(t)

5. Оценим устойчивость, управляемость, наблюдаемость САУ.

Введем коэффициенты характеристического уравнения по передаточной функции

Вычислим корни характеристического уравнения:

rt =- 41.3374

.3313 +14.9383i

.3313 -14.9383i

Вещественные части корней уравнения имеют отрицательный знак, следовательно, система устойчива.

Для оценки управляемости системы построим матрицу управляемости R:

Вводим матрицу A:

>> a=[0 1 0; 0 0 1; -100/0.01 -6/0.01 -0.5/0.01]

Вводим матрицу B:

>> b=[0; 0; 1/0.01]

Находим матрицу управляемости:

>> r=[b a*b a*a*b]

>> rg=rank(r)g = 3        

Ранг матрицы управляемости равен n, следовательно, система управляема.

Для оценки наблюдаемости системы построим матрицу наблюдаемости Q:

Транспонируем матрицу A:

>> at=a'

Вводим матрицу C:

>> c=[1 0 0]

Транспонируем матрицу C:

>> ct=c'

Определяем матрицу наблюдаемости:

>> q=[ct at*ct at*at*ct]

Определяем ранг матрицы наблюдаемости:

>> rg=rank(q)

rg = 3

Ранг матрицы наблюдаемости равен n, следовательно, система наблюдаема.

. Построить графики АЧХ, ФЧХ, АФЧХ, переходной характеристики

Для построения частотных характеристик используем MatLab.

Введем передаточную функцию

>> w=tf([40 100], [0.01 0.5 6 150])

40 s + 100-0.01 s^3 + 0.5 s^2 + 6 s + 150

Для построения АЧХ, ФЧХ используем команду bode:

>> bode(w)

Рис. 1. ЛАЧХ, ЛФЧХ

График АФЧХ строится по передаточной функции командой nyquist.

>> nyquist(w)

Рис. 2. Годограф АФЧХ

Переходную характеристику построим с помощью команды step:

>>step(w)

Рис. 3. График переходной характеристики.

По графику переходной характеристики определим время переходного процесса - 1.7 сек.