Статистическая обработка результатов измерений

Содержание

Контрольная работа № 1. Обработка многократных измерений

Контрольная работа № 2. Проверка гипотезы о виде распределения

Контрольная работа № 3. Объединение результатов измерений

Список используемой литературы

Контрольная работа № 1. Обработка многократных измерений

Цель работы - освоение основных приемов статистической обработки результатов многократных измерений.

Измерения - один из важнейших путей познания природы человеком. Они играют огромную роль в современном обществе. Наука и промышленность не могут существовать без измерений. Практически нет ни одной сферы деятельности человека, где бы интенсивно не использовались результаты измерений, испытаний и контроля.

Многократные измерения - измерения, при которых число измерений превышает число измеряемых величин в n/m раз, где n - число измерений каждой величины, m - число измеряемых величин. Обычно для многократных измерений принято n > или = 3. Многократные измерения проводят с целью уменьшения влияния случайных составляющих погрешностей измерения.

Диапазон измерительных величин и их количество постоянно растут и поэтому возрастает и сложность измерений. Они перестают быть одноактным действием и превращаются в сложную процедуру подготовки и проведения измерительного эксперимента и обработки полученной информации.

Другой причиной важности измерений является их значимость. Основа любой формы управления, анализа, прогнозирования, контроля или регулирования - достоверная исходная информация, которая может быть получена лишь путем измерения требуемых физических величин, параметров и показателей. Только высокая и гарантированная точность результатов измерений обеспечивает правильность принимаемых решений.

измерение статистическая обработка массив

Таблица 1

Протокол результатов измерений

Построим вариационный ряд значений результатов измерений (рис.1).

X_max = 8,37

X_min = 7,38

W_n = X_max - X_min = 0,99 - размах варьирования.

r = 5 - число интервалов.

h = 0,99/5 = 0, 198 - шаг интервала.

Результаты расчетов представлены в табл.2.

Таблица 2

Таблица данных для построения гистограммы

Построим гистограмму (рис.2). На ней проведем кривую, сглаживающую гистограмму. Далее рассчитаем теоретическую кривую вероятности попадания результата отдельного измерения в k-й интервал в виде табл.3 и сплошной линии на гистограмме по значениям Pk.

Рисунок 1

Рисунок 2

Рассчитаем необходимые точечные значения:

 =  = 255,94/32 = 7,998.

S_x² =  =  = 0,058.

S_x =  = = 0,241.

 = (7,94 + 7,38) / 2 = 7,935.

 = 7,87.

 =  = = 0,043.

Судя по графику нельзя утверждать, что результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения. Подтвердить или опровергнуть эту гипотезу помогут дальнейшие расчеты.

Таблица 3

Данные для построения кривой теоретических вероятностей

Проверим результаты измерений на промахи по формулам:

 и

 =  = 2,607

_кр = 2,792.

Поскольку рассчитанные значения  меньше критического значения, промахи в измерениях отсутствуют.

Нанесем на график значения фактической и теоретической вероятностей (рис.3).

Ф (Zk) =  - интегральная функция нормированного нормального распределения.

Р₂ = Ф₂ - Ф₁

Р₃ = Ф₃ - Ф₂

Р₄ = Ф₄ - Ф₃

Р₅ = Ф₅ - Ф₄

Р₆ = Ф₆ - Ф₅

Р₂ = 0,0406 - 0,0051 = 0,0354

Р₃ = 0,1783 - 0,0406 = 0,1377

Р₄ = 0,4601 - 0,1783 = 0,2819

Р₅ = 0,7648 - 0,4601 = 0,3047

Р₆ = 0,9387 - 0,7648 = 0,1739

Согласно графикам, предположение о нормальном законе распределения не подтверждается. Поскольку вид распределения установить не удается, определим погрешность результата измерения с помощью неравенства Чебышева:

_≥.

При  = 0,90,  = 3,2 * .

Т.е. интервал  с вероятностью, большей или равной 0,90, накрывает неизвестное истинной значение. Вместо  будем использовать выборочную оценку .

Доверительный интервал будет следующим:

Х_ист = 7,988 ± 3,2 * 0,043 = 7,998 ± 0,136.  = 0,90. n = 32.

Вид распределения не установлен.

Рисунок 3

Контрольная работа № 2. Проверка гипотезы о виде распределения

Цель работы - Освоить основные методы и приемы проверки гипотезы о виде закона распределения результатов отдельных измерений методом линеаризации интегральной эмпирической функции распределения (метод вероятностной бумаги) с помощью критерия Колмогорова и критерия согласия χ² на примере нормального распределения.

Проверка гипотезы о виде закона распределения заключается в том, чтобы установить, не противоречат ли данные выборочных наблюдений выдвинутой гипотезе. С этой целью производится количественная оценка степени достоверности предлагаемой гипотезы, которая осуществляется с помощью специальных построенных критериев.

. Использование вероятностной бумаги.

Расположим результаты измерений в неубывающем порядке (табл.4).

Построим график, нанеся по оси абсцисс точки с координатами, равными Х_i, а по оси ординат - Z_i. Расположение точек на графике вдоль прямой, подтверждает линейную зависимость между экспериментальными значениями измерений Х_i и теоретическими Z_i, что свидетельствует о возможности принятия гипотезы о виде закона распределения. Согласно графика, среднее значение Х - около 8. По расчетным результатам в работе № 1 Х_ср = 7,988. Поэтому можно сделать вывод о том, что экспериментальные значения не подвержены нормальному закону распределения. Вид распределения не установлен.

Таблица 4

Данные для проверки закона распределения по вероятностной бумаге

. Проверка нормальности по критерию Колмогорова.

Критическое значение наибольшего отклонения эмпирической функции распределения от теоретической для доверительной вероятности Р_д = 0,90 равно D_{n, кр} = 0,22.

Построим график эмпирической функции распределения F_n (X_i) (по данным табл.4) в виде ступенчатой ломаной линии полагая, что функция имеет постоянную величину от измерения до измерения, а в самой измеренной точке Х_i имеет рост до соответствующего расчетного значения F_n (X_i).

Рассчитаем данные для проверки закона распределения по критерию Колмогорова (табл.5).

Таблица 5

Данные для проверки закона распределения по критерию Колмогорова

Согласно графика во всем интервале значений X_i максимальное значение отклонение наблюдается во 2-м интервале. Оно выходит за пределы нижней границы доверительной полосы. Поэтому гипотеза о нормальности закона распределения отвергается. Вид распределения не установлен.

. Использование критерия согласия χ².

Таблица 6

Данные для проверки закона распределения по критерию согласия Пирсона

Вычислим χ² по формуле:

χ² =  = 1,2152.

Критическое значение χ²_{ν, кр} для одностороннего уровня значимости α = 0,10 и ν = r - 3 имеет значение 5,991. Поскольку χ² < χ²_{ν, кр}, поэтому гипотеза о нормальном распределении теоретически принимается.

Согласно различным критериям, рассматриваемые измерения не подчиняются нормальному закону распределения. Установить его невозможно.

Доверительный интервал будет следующим:

Х_ист = 7,988 ± 3,2 * 0,043 = 7,998 ± 0,136.  = 0,90. n = 32.

Контрольная работа № 3. Объединение результатов измерений

Цель работы - Изучить основные особенности объединения результатов разных серий измерений в общий массив.

Измерительную информацию о физической величине постоянного (одного и того же) размера часто получают в разное время, в разных условиях, разными методами, разные операторы. Если объединить все результаты измерений в общий массив, то можно получить более точный и надежный результат за счет увеличения объема выборки. Однако объединение возможно только при условии однородности и равноточности серий.

Таблица 7. Дополнительный протокол результатов измерений

Рассчитаем оценки параметров распределения:

 =  = 319,22/32 = 9,976.

S_x² =  =  = 0,0425.

Проверим равноточность измерений в сериях (для основного и дополнительного протоколов) по F-критерию на уровне значимости α = 0,05.

F =  =  = 1,365.

F_кр = 1,84.

Поскольку F < F_кр, гипотеза о равноточности дисперсий принимается.

Рассчитаем объединенную оценку дисперсий:

S²_{X, об} =  =  = 1,558.

Рассчитаем критерий однородности по формуле:

t =  =  = 1,978., t_кр = 2,04.

Поскольку t < t_кр серии являются однородными.

При равноточности и однородности серий объединим их и рассчитаем  и S.

=  =  ,

 = .

 =  = 8,987

==

,752

Доверительный интервал для объединенных серий будет следующим:

Х_ист = 8,987 ± 3,2 * 1,752 = 8,987 ± 9,918.  = 0,90. n = 64.

Рассчитанный доверительный интервал совпадает с результатами для основной серии.

Вывод: При объединении результатов измерений в общий массив получим более точные и надежные результаты за счет увеличения объема выборки.

Список используемой литературы

1.       Методические указания к контрольным работам/ Сост. Ю.Р. Чашкин, А.В. Щекин - Хабаровск: Издательство Тихоокеанского гос. ун-та, 2008. - 36с.