Задачи на определение вероятностей

  • Вид работы:
    Контрольная работа
  • Предмет:
    Математика
  • Язык:
    Русский
    ,
    Формат файла:
    MS Word
    33,98 Кб
  • Опубликовано:
    2012-04-23
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!

Задачи на определение вероятностей

Теория вероятностей

вероятность прибор надежность

1. Достаточным условием сдачи коллоквиума является ответ на один из двух вопросов, предлагаемых преподавателем студенту. Студент не знает ответов на 8 вопросов из тех 40, которые могут быть предложены. Какова вероятность того, что студент сдаст коллоквиум?

Решение.

Обозначим события:

А - «студент сдаст коллоквиум» (студент ответит на один из двух вопросов, предлагаемых преподавателем)

 - «студент не сдаст коллоквиум» (студент не ответит ни на один из двух вопросов, предлагаемых преподавателем)

Так события А и  противоположные, то . Найдем вероятность .

Число исходов m, благоприятствующих наступлению события , равно числу комбинаций, каждая из которых состоит из 2 вопросов, выбираемых из 8 (число вопросов невыученных студентом), т.е. .

Общее число исходов n равно числу комбинаций по 2 вопроса, выбираемых из 40 предлагаемых преподавателем, т.е. .

Тогда

.

Ответ:

2. Рабочий обслуживает одновременно четыре станка, из которых на первом вероятность нарушения нормальной работы в течение часа после проверки составляет 0,1, на втором - 0,15, на третьем - 0,2, на четвертом - 0,25. Какова вероятность бесперебойной работы всех четырех станков на протяжении часа?

Решение.

Рассмотрим событие

А - «все четыре станка бесперебойно работают в течение часа после проверки».

Событие А можно представить в виде произведения четырех независимых событий А1, А2 , А3 , А4: ,

где  - «i-тый станок бесперебойно работает в течение часа после проверки»

По условию задачи известны вероятности событий :

.

Тогда вероятности событий :

.

Найдем вероятность :

( - независимы, )

Ответ:

3. Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Крейсерский режим осуществляется в 80% всего времени полета, условия перегрузки - 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0,1; в условиях перегрузки - 0,4. Вычислить надежность прибора за время полета.

Решение.

Рассмотрим событие А - «прибор работает правильно за время полета»

Возникают две гипотезы:

В1 - «условие нормального крейсерского полета»

В2 - «условия перегрузки»

Исходя из условия задачи, определим вероятности гипотез:

.

Определим условные вероятности:

,

где событие  - «показания прибора неправильные» является противоположным к событию А.

.

Ответ:

4. Имеется 3 урны: в первой - 3 белых и 5 черных шаров, во второй - 4 белых и 5 черных, в третьей - 7 белых (черных нет). Некто выбирает наугад одну урну и вынимает один шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что шар вынут из второй урны.

Решение.

Рассмотрим событие А = «вынут белый шар». Возникают три гипотезы:

В1 - «шар вынут из первой урны»

В2 - «шар вынут из второй урны»

В3 - «шар вынут из третьей урны».

Определим вероятности гипотез:

 .

Определим условные вероятности:

 .

По условию задачи необходимо найти условную вероятность . По формуле Байеса находим:

Ответ:

5. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при двух выстрелах равна 0,96. Найти вероятность двух попаданий при трех выстрелах.

Решение. Обозначим событие: А - «стрелок попал в цель».

По условию задачи известна вероятность события .

По схеме Бернулли имеем:

.

 - посторонний корень, т.к. .

Необходимо найти . По схеме Бернулли имеем:

.

Ответ:

6. Вероятность появления события А в одном испытании равна р. Найти вероятность того, что в п независимых испытаниях событие А произойдет: а) т раз; б) от  до  раз. а) ; б) .

Решение.

а) Применяя формулу Бернулли можем записать: ,

где  - вероятность противоположного события.

Вычисление точного значения по формуле Бернулли вызывает технические сложности, поэтому решим поставленную задачу приближенным способом с помощью локальной теоремы Лапласа:

, где .

Тогда ,  (приложение 1).

б) Решим поставленную задачу приближенным способом с помощью интегральной теоремы Лапласа:

,

где .

Находим:

.

Тогда .

Ответ: а) б)

Похожие работы на - Задачи на определение вероятностей

 

Не нашли материал для своей работы?
Поможем написать уникальную работу
Без плагиата!