Тема: Иррациональное число

  • Вид работы:
    Контрольная работа
  • Предмет:
    Математика
  • Язык:
    Русский
  • Формат файла:
    MS Word
  • Размер файла:
    24,91 kb
Иррациональное число
Иррациональное число
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!

1. Иррациональное число́

Иррациона́льное число́ - это вещественное число <#"justify" height="30" src="doc_zip1.jpg" />, где m - целое число <#"justify" height="21" src="doc_zip3.jpg" />. Множество иррациональных чисел обычно обозначается заглавной латинской буквой «i» в полужирном начертании без заливки - . Таким образом: , т.е. множество иррациональных чисел есть разность множеств <#"justify">Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (ок. 750 г. до н. э. - ок. 690 г. до н. э.) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены.

Первое доказательство существования иррациональных чисел обычно приписывается Гиппасу <#"justify">Отношение длины гипотенузы к длине катета равнобедренного прямоугольного треугольника может быть выражено как a:b, где a и b выбраны наименьшими из возможных.

По теореме Пифагора: a² = 2b².

Так как a² четное, a должно быть четным (так как квадрат нечетного числа был бы нечетным).

Поскольку a:b несократима, b обязано быть нечетным.

Так как a четное, обозначим a = 2y.

Тогда a² = 4y² = 2b².² = 2y², следовательно b² четное, тогда и b четно.

Однако было доказано, что b нечетное. Противоречие.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Феодор Киренский <#"justify">Позже Евдокс Книдский <#"justify">Поскольку никакое количественное значение не сопоставлялось величине, Евдокс смог охватить и соизмеримые, и несоизмеримые величины при определении дроби как отношения двух величин, и пропорции как равенства двух дробей. Убрав из уравнений количественные значения (числа), он избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Теория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами. «Книга 10 Элементов» Евклида посвящена классификации иррациональных величин.

Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сперва индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.

Арабские математики соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин. В своих комментариях на Книгу 10 Элементов Евклида, персидский математик Аль Махани (ок 800 гг. н. э.) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа (числа вида) и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например:

Рациональной [величиной] является, например, 10, 12, 3%, 6% и так далее, поскольку эти величины произнесены и выражены количественно. Что не рационально, то иррационально, и невозможно произнести или представить соответствующую величину количественно. Например, квадратные корни чисел таких так 10, 15, 20 - не являющихся квадратами.

В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни - иррациональными. Он также ввел арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин: результат сложения иррациональной величины и рациональной, результат вычитания рациональной величины из иррациональной, результат вычитания иррациональной величины из рациональной.

Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. - ок. 930 г. н.э.) был первым, кто счел приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях - в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени. В X веке иракский математик Аль Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами. Ал Хазин (900 г. н.э. - 971 г. н.э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины:

Пусть единична величина содержится в данной величине один или несколько раз, тогда эта [данная] величина соответствует целому числу… Каждая величина, которая составляет половину, или треть, или четверть единичной величины, или, сравненная с единичной величиной составляет три пятых от нее, это рациональная величина. И в целом, всякая величина, которая относится к единичной как одно число к другому, является рациональной. Если же величина не может быть представлена как несколько или часть (l/n), или несколько частей (m/n) единичной длины, она иррациональная, то есть невыразимая иначе как с помощью корней.

Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. Аль Хассар, арабский математик из Магриба, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввел современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой. Та же нотация появилась затем в работах Фибоначчи в XIII веке. В течение XIV-XVI вв. Мадхава из Сангамаграмы и представители Керальской школы астрономии и математики исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к π, а также показали иррациональность некоторых тригонометрических функций. Джестадева привел эти результаты в книге Йуктибхаза.

В XVII веке в математике прочно укрепились комплексные числа, вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр <#"justify">Цепные дроби <#"justify">В 1761 году Ламберт показал, что π не может быть рационально, а также что en иррационально при любом ненулевом рациональном n. Хотя доказательство Ламберта можно назвать незавершённым, принято считать его достаточно строгим, особенно учитывая время его написания. Лежандр в 1794 году, после введения функции Бесселя-Клиффорда, показал, что π² иррационально, откуда иррациональность π следует тривиально (рациональное число в квадрате дало бы рациональное). Существование трансцендентных чисел было доказано Лиувиллем <#"justify">π. Доказательство Линдеманна было затем упрощено Вейерштрассом в 1885 году, ещё более упрощено Давидом Гильбертом <#"justify">Свойства

Всякое вещественное число <#"justify">Иррациональные числа определяют Дедекиндовы сечения <#"justify">Каждое трансцендентное число <#"justify">Каждое иррациональное число является либо алгебраическим <#"justify">Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя числами имеется иррациональное число.

Корень из 2 - иррациональное число

Допустим противное: рационален <#"justify" height="30" src="doc_zip7.jpg" />, где m и n - целые числа <#"justify">иррациональный трансцендентный число теорема

.

Отсюда следует, что m2 чётно, значит, чётно и m. Пускай m = 2r, где r целое. Тогда


Следовательно, n2 чётно, значит, чётно и n. Мы получили, что m и n чётны, что противоречит несократимости дроби . Значит, исходное предположение было неверным, и - иррациональное число.23 - иррациональное число

Допустим противное: log 23 рационален <#"justify" height="30" src="doc_zip14.jpg" />, где m и n - целые числа <#"justify">

Но 2m чётно, а 3n нечётно. Получаем противоречие.- иррациональное число

Другие иррациональные числа

Иррациональные числа ж(3) <#"justify">Иррациональными являются:

для любого натурального n, не являющегося точным квадратомдля любого рационального x для любого положительного рационального

π, а также πn для любого натурального n

2. Трансценде́нтное число́

Трансценде́нтное число́ (от лат. Transcendere - переходить, превосходить) - это вещественное <#"justify">Свойства

Множество <#"justify">Каждое трансцендентное вещественное число <#"justify" height="21" src="doc_zip20.jpg" /> - иррациональное, но не трансцендентное: оно является корнем многочлена (и потому является алгебраическим).

Примеры

Основание натуральных логарифмов <#"justify">Число <#"justify">Десятичный логарифм <#"justify" height="16" src="doc_zip24.jpg" />.

, и , для любого ненулевого алгебраического числа <#"justify" height="9" src="doc_zip28.jpg" /> (по теореме Линдемана-Вейерштрасса <#"justify">История

Впервые понятие трансцендентного числа ввёл Ж. Лиувилль <#"justify">В 1873 году <#"justify">В 1882 году <#"justify" height="9" src="doc_zip29.jpg" /> <#"justify">В 1900 году <#"justify" height="20" src="doc_zip30.jpg" />, - алгебраическое число, и - алгебраическое, но иррациональное, верно ли, что - трансцендентное число?» В частности, является ли трансцендентным число . Эта проблема была решена в 1934 году <#"justify">3. Число π

Число пи - одна из фундаментальных математических констант, равная отношению длины окружности к ее диаметру в пространстве с евклидовой (плоской) метрикой. Название числа происходит от греческой буквы "пи" (π), которой оно традиционно обозначается.

Точное значение числа пи невозможно записать. На протяжении всей истории математики не прекращается работа по уточнению значения числа пи. О том, насколько далеко продвинулись математики, можно судить по количеству десятичных знаков числа пи, которое им удалось определить.

Четыре тысячи лет назад надежно были известны всего два первых знака числа пи. В начале XXI века с помощью многопроцессорных суперкомпьютеров определено более триллиона знаков десятичной записи сила пи. Во всей этой огромной последовательности цифр не выявлено никакой закономерности, позволяющей надежно или хотя бы вероятностно предсказывать дальнейшие знаки числа пи.

История уточнения числа пи(π)

25/8 = 3,125 - Вавилония, начало XIX в. до н. э.

/81 ≈ 3,160 - Египет, до 1850 г. до н. э. («Московский математический папирус»)

/108 ≈ 3,139 - Индия, IX в. до н. э. («Шатапатха-брахмана»)

223/71 (3,1408) < π < 22/7 (3,1428) - Архимед, Греция, 250 г. до н. э.

,1416 - Лю Хуэй, Китай (царство Вэй), 263 г.

3,1415926 < π < 3,1415927 - Цзу Чунчжи, Китай, ок. 480 г.

,14159265359 - Мадхава из Сангамаграма, Индия, около 1400 г.

знаков - Джемшид аль-Каши, Персия, 1424 г.

знаков - Людольф ван Цейлен, Голландия, около 1600 г. (потратил большую часть жизни)

знаков - Джон Мэчин, Англия, 1706 г.

знаков - Захариас Дазе, Германия, 1844 г. (2 месяца устного счета)

знаков - Уильям Шенкс, Англия, 1873 г. (15 лет вычислений)

знаков - Джон фон Нейман, США, 1949 г. (ENIAC, 70 часов счета)

167 знаков - Франсуа Женюи, Франция, 1959 г. (IBM 704, 4,3 часа счета)

001 250 знаков - Джин Гийу и Мартин Буйе, Франция, 1973 г. (CDC 7600)

011 196 691 знаков - братья Чудновские, США, 1989 г. (IBM 3090, на базе формулы С. Рамануджана)

158 430 000 знаков - Ясумаса Канада, Япония, 1999 г.

000 000 000 050 знаков <#"justify">×Intel Xeon X5680 @ 3,33 ГГц, 96 Гбайт RAM, 30 HDD общей емкостью 59 Тбайт, 191 день счета)

Волшебен не круг - волшебно ПИ число, Мир сводило с ума и сводит оно. Все материя - круг, шар, колесо, ПИ число-это в мир трансцендентный окно. Примечание: Значение числа "ПИ" известно с точностью до 500 миллиардов знаков, его первые цифры - 3.1415926535. В нем нет ни одной циклической последовательности и никогда не будет, сколько бы еще знаков ни вычислили.

Литература

1.Гельфонд А.О. Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952.

2.www.vokrugsveta.ru - <#"justify">.lenta.ru <#"justify">π вычислили с точностью до 10 триллионов знаков» от 20.10.2011.

.numberworld.org <#"justify">π.

5.В.Г. Спринджук, Иррациональность значений некоторых трансцендентных функций, Изв. АН СССР. Сер. матем., (1968).

Похожие работы

 

Не нашел материал для курсовой или диплома?
Поможем написать качественную работу
Без плагиата!