Решение систем уравнений

Задача 1.16

Доказать совместность системы линейных уравнений и решить ее двумя методами:

) методом Крамера,

) методом Гаусса,

Решение:

Система является совместной, если определитель матрицы, составленной из ее коэффициентов, не равен 0

. Метод Крамера.

Где Δ - определитель матрицы, составленный из коэффициентов системы; Δ1 ,Δ2 ,Δ3 - определители матриц, составленных из коэффициентов системы при замене соответственного столбца на столбец свободных коэффициентов.

Δ = - 10

Отсюда

. Метод Гаусса. Основан на преобразованиях, которые не изменяют множество решений системы:

перестановка уравнений;

умножения уравнения на число, отличное от нуля;

замена уравнения на сумму этого уравнения и другого из этой же системы.

Посредством этих преобразований приводим систему к треугольному виду.

Умножаем второе уравнение на 3 и складываем с первым. Умножаем первое уравнение на 2, третье - на (- 3) и складываем их

Умножаем третье уравнение на 4 и складываем со вторым.

Мы привели систему к треугольному виду. Отсюда получаем решение:

Задача 2.16

Найти общее и одно частное решение системы линейных уравнений

Решение:

Найдем ранг матрицы

вычтем из третьей строки первую, затем умножим вторую строку на 2 и вычтем из нее первую;

вычтем из третьей строки вторую.

Ранг матрицы равен r = 2 < 3, следовательно выполняется условие существования ненулевого решения однородной системы уравнений.

Выберем в качестве базисного минора

Запишем укороченную систему

В качестве базисных выберем неизвестные х1 и х2. Тогда х3, х4, х5- свободные неизвестные. Полагая х3 = с3, х4 = с4, х5 = с5, получим

Таким образом, общее решение будет

Частное решение найдем, придав сi любые значения, например 1. Тогда частное решение будет

Задача 3.16

Даны координаты вершин пирамиды АВСD.

1. Найти модуль вектора

. Найти площадь грани АВС

. Найти длину высоты, опущенной из вершины D.

. Найти косинус угла между векторами  и

. Записать уравнение плоскости АВС

. Записать уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.

, , ,

Решение

. Найти модуль вектора

. Найти площадь грани АВС. Площадь треугольника АВС численно равна половине модуля векторного произведения любых двух сторон треугольника АВС:

Найдем векторное произведение.

. Найти длину высоты, опущенной из вершины D

Найдем уравнение плоскости АВС. Для этого подставим координаты точек А, В, С в общее уравнение плоскости  и решим получившуюся систему уравнений

Решим систему методом Гаусса

В результате имеем уравнение плоскости АВС

Длину высоты находим как расстояние от точки D до плоскости АВС по формуле

. Найти косинус угла между векторами  и

Косинус угла между векторами находим как скалярное произведение этих векторов, деленное на произведение их длин

. Записать уравнение плоскости АВС

Уравнение плоскости АВС нашли в п.3

. Записать уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС.

Уравнение высоты находим из тех соображений, что ее направляющий вектор должен быть перпендикулярен плоскости, а, следовательно, совпадать с нормалью. Вектор нормали к плоскости запишем из уравнения плоскости: (- 1, 5, 4)

Тогда уравнение высоты, т.е. прямой, перпендикулярной плоскости с нормалью (- 1, 5, 4) и проходящей через точку  будет (исходя из общего уравнения прямой)

Задача 4.16

Даны две смежные вершины квадрата А(1, - 3), В(2, 1). Составить уравнения его сторон.

Решение:

Составим сначала уравнение стороны АВ, исходя из общего уравнения прямой

Прямые АD и BC перпендикулярны прямой АВ, следовательно, их угловой коэффициент будет равен

, а уравнения этих прямых будет

АD:                            BC:

Свободные члены уравнений найдем, подставив в уравнения координаты точек:

Уравнения, следовательно, будут

АD:                              BC:

Уравнение прямой СD будет иметь угловой коэффициент такой же как и уравнение прямой АВ и будет иметь вид

Чтобы найти свободный член, найдем длину стороны квадрата АВ

Найдем расстояние l от прямых АВ и CD до начала координат. Для этого найдем координаты точек пересечения этих прямых и перпендикуляра, опущенного из начала координат:

Тогда расстояние до начала координат будет

Так как для прямой АВ b = - 7 , то

Расстояние между прямыми АВ и CD равно стороне квадрата. Следовательно, расстояние от прямой CD до начала координат, можем найти:

Будем учитывать, что сторона СD может лежать как с одной стороны от стороны АВ, так и с другой, поэтому задача решается неоднозначно.

Но , откуда

В результате имеем уравнение прямой СD

Ответ: Уравнения сторон квадрата будут:АВ:; АD: ; BC: ; СD  или

Задача 5.16

Привести уравнение кривой второго порядка f(x, y) к каноническому виду. Определить вид кривой и построить ее график.

Решение:

Выделим полные квадраты

Т.е. мы получили параболу, ось которой параллельна оси у, а вершина лежит в точке

Задача 6.16

Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя

а)

Имеем неопределенность типа . Для устранения ее разделим числитель и знаменатель на х

б)

уравнение векторный тригонометрический функция

Для устранения неопределенности умножим числитель и знаменатель на сопряженные множители

в)

Разложим числитель и знаменатель на множители

г)

С помощью тождественных преобразований приведем предел к первому замечательному пределу

д)

С помощью тождественных преобразований приведем выражение ко второму замечательному пределу

Задача 7.16

Исследовать функцию y = f(x) на непрерывность, найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.

а)

Найдем пределы справа и слева от предполагаемых точек разрыва

б)

Функция имеет разрыв в точке х = - 5/2

Найдем пределы справа и слева от предполагаемых точек разрыва

Функция имеет разрыв второго рода

б)

Найдем корни знаменателя.

Следовательно, функция имеет разрыв в точках х = 3 и х = - 1. Найдем пределы функции справа и слева в этих точках

Т.е. функция имеет в этих точках разрывы второго рода

Задача 8.16

Дано комплексное число z. Найти:

а) модуль числа z, аргумент z;

б) записать z в тригонометрической и показательной формах;

в) найти все значения

г) изобразить точками плоскости числа z и

z =- 64i

Решение:

а) модуль числа z r = 64, аргумент числа z

б) Тригонометрическая форма числа z:

Показательная форма числа z

в) найдем все значения

Применим формулу Муавра

При k = 0

При k = 1

При k = 2

Изобразим корни уравнения на рисунке:

Список литературы

1.       Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1. М., 1997 г.

2.      Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. М., 1998 г.