Математическое моделирование в энергетике
Курсовая работа
«Математическое
моделирование в энергетике»
1. Формирование узловых и контурных уравнений
установившихся режимов электрической сети
.1 Составление схемы замещения электрической
сети, определение ее параметров и нагрузок в узлах
Балансирующий узел по условию: Г
Нагрузки: Г+2=Е, Г+4=И, Г+5=А.
Генерирующий источник: Г+3=Ж.
X-число букв в фамилии (Нистюк)
Y-число букв в имени (Сергей);
Z-число букв в отчестве (Николаевич);
Базовая длина участка:
Базовая мощность:
Напряжение в балансирующем узле:
Пронумеруем схему в соответствии с принципом ярусности.
Получаем 8 узлов, 7 ветвей дерева, 3 хорды.
Длины первого и последнего участков соответственно:
Зная удельное сопротивление ветвей х0=0,4Ом/км и длины всех участков сети, найдем их
сопротивления по формуле:
Вычисляем мощности в заданных узлах по формуле:
где - номер узла.
1.2 Составление элементарных матриц параметров
режима сети и матриц соединений
Матрицу параметров режима составим по уже известным мощностям
в узлах сети:
По формуле найдем задающие токи. В первом приближении.
Составляем диагональную матрицу сопротивлений. Затем находим
обратную ей матрицу, которую будем называть матрицей проводимостей ветвей:
Составим матрицу соединения ветвей в независимые контуры N
или вторую матрицу инциденций, которая позволяет сформировать контурную модель
электрической сети. Матрица N будет составной. Её элементами будут матрицы Nα - матрица соединений для ветвей дерева и Nβ - матрица соединений для хорд схемы.
Выделим из матрицы N матрицы Nα и Nβ.
2. Расчет режима электрической сети по линейным
узловым и контурным уравнениям при задании нагрузок в токах, анализ результатов
расчета
.1 Расчет режима электрической сети по линейным
узловым уравнениям
Произведем расчет режима нашей электрической сети.
Узловое уравнение в матричной форме имеет вид . При помощи этого уравнения мы можем
найти напряжения в узлах схемы. Для этого из уравнения найдем матрицу-столбец
падений напряжения в узлах схемы относительно балансирующего
узла (элементы матрицы будут иметь отрицательное значения), а
затем для получения матрицы-столбца узловых напряжений Uу сложим матицы-столбцы
падений напряжения и напряжения в балансирующем узле.
Из полученных значений узловых напряжений видно, что
напряжение значительно падает в тех узлах, которые имеют большую нагрузку и
имеют малое число связей с соседними узлами. Генерирующий узел (узел 3) имеет
тенденцию к повышенному напряжению. Это можно объяснить тем, что в генерирующем
узле мощность не потребляется из сети, а наоборот, поступает в сеть.
При помощи матрицы падений напряжений в узлах схемы и матрицы
MT мы можем найти падения напряжений уже на ветвях схемы.
Зная падения напряжений на ветвях схемы легко можно найти
токи в ветвях. Для этого умножим обратную диагональную матрицу dZв на падения
напряжения в ветвях:
Как видно, значения полностью идентичные. Следовательно,
можно смело утверждать, что проведенные ранее расчеты верны.
2.2 Произведем расчет режима электрической сети
на основе контурных уравнений
Контурное уравнение в матричной форме имеет вид:
.
В нашей схеме нет ЭДС в контурах, поэтому .
.
Так как обратная матрица Mα (Mα-1) имеет размерность
(7*7), а произведение - N*dZв имеет размерность (10*3), то перемножить их не
можем. Однако мы можем дополнить матрицу Mα-1 нулевыми элементами (обозначим ее Mα1), которые не повлияют
на результат, но дадут нам возможность перемножить матрицы.
Выразим контурный ток из уравнения: .
Контурный ток находится как: .
Ток в хорде схемы равен контурному току, протекающем в
контуре, содержащем данную хорду. Обозначим токи в хордах как Iβ.
Зная токи в хордах схемы и задающие токи в узлах, найдем токи
в ветвях дерева схемы Iα:
Для вычисления напряжений в узлах схемы Uу, необходимо найти
падения напряжения в узлах схемы относительно балансирующего, а затем для
получения самих узловых напряжений взять сумму матриц напряжений в
балансирующем узле и падений напряжений в узлах схемы. Причем значения матрицы
падений напряжения в узлах имеют отрицательные значения.
Для нахождения падений напряжения в узлах относительно
балансирующего, возьмем пять первых значений падений напряжения (в ветвях
дерева) из матрицы UΔв. Для получения падений
напряжения в узлах UΔ, умножим матрицу MαT-1 на пять первых значений матрицы UΔв.
Так как для нахождения задающих токов в узлах мы брали
номинальное напряжение, а это напряжение в узлах не соответствует
действительным напряжениям, то необходимо проверить точность произведенных
расчетов. Для этого определим небаланс задающих мощностей.
Для этого найдем ток в узлах схемы, зная ток ветвях I в и
первую матрицу инциденций M.
Вычисляем небаланс в МВт и%.
Небаланс мощности во всех узлах превышает допустимое значение
в 1%. Для увеличения точности расчета режима уточним задающие токи в узлах
сети. Для этого вместо номинального напряжения в формуле для вычисления
задающих токов подставим значения напряжений в узлах, полученные при расчете
первого приближения.
Так как оба метода (метод контурных уравнений и метод узловых
уравнений) дают идентичные результаты, то рассчитаем режим сети во втором
приближении лишь методом узловых уравнений.
Небаланс мощности составляет менее 1%. В пределах данной
задачи нас это вполне удовлетворяет. Следовательно, расчет режима сети по
методам контурных и узловых уравнений окончен.
Как видно из расчетов, методы контурных уравнений и узловых
уравнений дают совершенно идентичные результаты. Однако метод узловых уравнений
оказался более быстрым и удобным в использовании, по сравнению с методом
контурных уравнений.
3. Расчет режима электрической сети по узловым
уравнениям в форме баланса токов при их решении методом ускоренной итерации
.1 Расчет режима по узловым уравнениям в форме
баланса токов при их решении методом простой итерации
электрический сеть уравнение
нагрузка
(3.1.1)
где - матрица узловых проводимостей без учета
балансирующего узла, - вектор-столбец падений напряжений,
относительно балансирующего, - вектор-столбец задающих токов (содержащих свой знак).
Правую часть уравнения (3.1.1) представим в виде:
(3.1.2)
где - задающая мощность в i-том узле, - напряжение в балансирующем узле, - падение напряжения в i-том узле при
k-том приближении.
Приравняем левую часть уравнения (3.1.1) и правую часть уравнения
(3.1.2):
(3.1.3)
На основе уравнения (3.1.3) составим систему уравнений,
применительно к нашей сети, представив левую часть в алгебраической форме, а
правую оставив без изменения:
Уравнения системы разрешим относительно диагональных неизвестных . Для этого необходимо перенести все
элементы каждого уравнения вправо, оставив слева лишь произведение, содержащее , где i - номер уравнения в системе. Затем
разделим обе части уравнения на (диагональные элементы в матрице узловых проводимостей не могут равняться нулю, следовательно,
такое деление возможно), стоящий при , где i - номер уравнения в системе.
Для итерационного процесса необходимо выбрать начальное
приближение падений напряжений и подставить в правую часть данной системы.
Получим , затем подставим его в
правую часть, получим и т.д. Процесс может вестись по методу простой
или ускоренной итерации.
Мы будем вести итерационный процесс по методу ускоренной
итерации, т.е. для нахождения k-ой переменной в i-ой итерации используются переменные , … , вычисленные на этой же i-ой итерации и переменные
k+1, k+2,…, n, вычисленные на
предыдущей (i-1)
- ой итерации.
начальное значение падения напряжения в узлах схемы.
Матрица узловых проводимостей.
Принимая во внимание однотипность формул итерационного
процесса, сами вычисления последующих итераций отображать не будем, а только
некоторые рассчитанные значения.
Вторая итерация:
точность не удовлетворяет заданной
Произведем построение графика сходимости итераций U=f(I), где
I - номер итерации:
На основе проведенного итерационного процесса, производим
расчет режима сети.
Падение напряжения в узлах относительно балансирующего:
Определяем токи в ветвях схемы:
Определяем падения напряжения в ветвях схемы:
Рассчитаем небаланс мощности.
Как видно, небаланс мощности менее 1%. Это свидетельствует о
том, что заданная точность итерационного процесса нас полностью удовлетворяет.
3.2 Расчет режима электрической сети по
обращенным узловым уравнениям
Организуем итерационный процесс на базе матричного уравнения:
где - матрица узловых проводимостей без учета
балансирующего узла, - вектор-столбец падений напряжений в
узлах сети, относительно балансирующего узла, - вектор-столбец задающих токов (токи содержат свой знак).
Оставим в левой части уравнения (3.2.1) лишь вектор-столбец
падений напряжений.
Распишем как разность напряжений в узлах и напряжения в балансирующем узле :
Приравняем правые части уравнений (3.2.2) и (3.2.3):
Выразим вектор-столбец напряжений в узлах:
Выразим через задающую мощность в узлах и
напряжения в узлах схемы:
Подставим выражение (3.2.6) в выражение (3.2.5):
Обратную матрицу в выражении (3.2.7) обозначим через Z. Она носит название -
матрица собственных и взаимных сопротивлений. Элементы матрицы узловых
сопротивлений Zij представляют собой коэффициенты
частичного падения напряжения, или коэффициенты влияния тока нагрузки в j-том узле на напряжение в i-том узле.
С учетом нового обозначения (3.2.8), уравнение (3.2.7) примет
вид:
Итерационная процедура определения напряжения по обращенным
уравнениям может быть ускорена, если на k-той итерации для расчета
i-того неизвестного
принимать из этой же k-той итерации, а
остальные неизвестные Ui+1 брать из (k-1) итерации, то есть
вести процесс по методу ускоренной итерации. Так и поступим.
На основе уравнения (3.2.9) составим систему уравнений для
итерационного процесса:
Точность итерационного процесса будет равна: ε= Ui+1-Ui ≤0.01 кВ, где i -
номер итерации.
Вычислим обратную матрицу узловых проводимостей .
Определяем токи в ветвях схемы:
Определяем падения напряжения в ветвях схемы:
Определяем потоки мощности в ветвях схемы:
Определим потери мощности в ветвях сети:
Определяем суммарные потери мощности в ветвях:
Определим токи в узлах схемы:
Определим мощности в узлах сети:
Рассчитаем небаланс мощности. Как уже говорилось ранее, он не
должен превышать 1%.
Как видно, небаланс мощности менее 1%. Это свидетельствует о
том, что заданная точность итерационного процесса нас полностью удовлетворяет
как по напряжению, так и по мощности.
Литература
1) Электрические
системы, т. 1. Математические задачи энергетики. Под ред. В.А. Веникова.
Учебное пособие для электроэнергетических вузов. М., «Высшая школа», 1981, 336
с.
) Идельчик
В.И. Электрические системы и сети. М., Энергоатомиздат, 1989
) Веников
В.А. Математические задачи электроэнергетики. М., «Высшая школа «, 1981
) Расчет
и анализ режимов работы сетей. Под ред. В.А. Веникова, Москва, Энергия, 1974
) Передача
и распределение электрической энергии: учеб. пособие / А.А. Герасименко, В.Т.
Федин. - Красноярск: ИПЦ КГТУ; Минск: БНТУ, 2006. - 808 с.