Моделирование макроэкономических процессов и систем
Оглавление
Введение
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5. Динамическая экономико-математическая модель
Кейнса
Экономика в форме динамической модели Кейнса как инерционное
звено
Нелинейная динамическая модель Кейнса
Заключение
Литература
Введение
В настоящее время математическое
моделирование все настойчивее вторгается в область социально-экономических
наук. И дело здесь совсем не в том, что математизация является идеалом
строгости для всякой науки.
Возможность использования
математического моделирования связана с существованием устойчивых тенденций,
которые характеризуют многие социально-экономические процессы. В наибольшей
степени сказанное относится к экономике, где математические методы активно
применяются с прошлого века.
Значение моделирования
как метода исследований определяется тем, что модель представляет собой
концептуальный инструмент, ориентированный на анализ изучаемых процессов и их
прогнозирование. Именно поэтому, например, в современных курсах по
экономической теории наряду с содержательным анализом широко применяется метод
математического моделирования.
Следует, однако, иметь в
виду, что возможности метода математического моделирования при анализе
конкретных социально-экономических процессов достаточно ограничены.
В данной курсовой работе
будут рассмотрены основные математические модели макроэкономических процессов,
такие как мультипликативная производственная функция, кривая Лоренца, различные
модели банковских операций, модели межотраслевого баланса Леонтьева,
динамическая экономико-математическая модель Кейнса.
Задание 1
Национальная экономика
страны может быть описана мультипликативной производственной функцией вида:
,
где [P]=у.д.е. – объём ВВП страны, [K]=у.д.е – объём национальных
производственных фондов (капитал), [L]=чел. – численность населения страны, занятого в производственной сфере
(труд). В развитие национальной экономики инвестируется S у.д.е. Считается, что все средства
идут на развитие производства, решить задачу об оптимальном распределении
инвестиций по привлечению дополнительных единиц труда и капитала с целью
максимального прироста ВВП. Задачу решить методом Лагранжа и графоаналитическим
методом, считая, что стоимость одной дополнительной единицы капитала составляет
S1, единицы труда – S2, а связь между ними носит линейный характер и может быть
описана уравнением S=S1·K+S2·L.
Исходные данные:
α1 = 0.4; α2 = 0.6; S = 50000; S1 = 5; S2 = 15.
Решение:
P = α0 · K0.4
· L0.6
5 · K + 15 · L = 50000
Наиболее рациональным
способом решения такой задачи является способ множителей Лагранжа.
P (K, L,
λ):
Т.к. K ≠ 0 и L ≠ 0,
следовательно:
Графическая
иллюстрация решения задачи:
Если в экономику
страны, развитие которой описывается функцией P = α0 K0.4 ·L0.6 инвестировать S = 50000 у.д.е, то для получения
максимального прироста ВВП эти средства нужно распределить так чтобы создать
дополнительных L = 2000 рабочих мест и привлечь дополнительно K = 4000 у.д.е. производственных
фондов, при условии что известны стоимости единицы труда S2 = 15 и единицы капитала S1 = 5.
Задание 2
Распределение доходов
населения страны может быть описано функцией распределения доходов:
где C – минимально возможный уровень
дохода; F(x) – доля населения страны с уровнем дохода, меньшим, чем Х
(распределение Парето).
Учитывая, что средний
относительный доход тех, чей уровень дохода меньше Х, может быть задан
функцией:
Построить кривую Лоренца
в системе координат, показывающей неравномерность в распределении доходов
населения страны.
Значениями x принять равными:
а) при с<х≤3с
с шагом Δх=0,2С
б) при 3с<х≤6с
с шагом Δх=0,5С
Исходные данные:
α = 1.6; c = 3500.
Решение:
а)
3500<x≤10500, шаг Δх = 700
F(x)
|
L(x)
|
x
|
0,00
|
0,00
|
3500
|
0,25
|
0,10
|
4200
|
0,42
|
0,18
|
4900
|
0,53
|
0,25
|
5600
|
0,61
|
0,30
|
6300
|
0,34
|
7000
|
0,72
|
0,38
|
7700
|
0,75
|
0,41
|
8400
|
0,78
|
0,44
|
9100
|
0,81
|
0,46
|
9800
|
0,83
|
0,48
|
10500
|
б)
10500<x≤21000, шаг Δх = 1750
F(x)
|
L(x)
|
x
|
0,83
|
0,48
|
10500
|
0,87
|
0,53
|
12250
|
0,89
|
0,56
|
14000
|
0,91
|
0,59
|
15750
|
0,92
|
0,62
|
17500
|
0,93
|
0,64
|
19250
|
0,94
|
0,66
|
21000
|
Задание 3
Первоначальный банковский
вклад S0 размещен на n лет под р1% годовых с начислением процента m1 раз в год. Сравнить конечную сумму вклада, если
условия договора изменятся на р2% и m2 раз, и рассчитать для обоих вариантов эффективную ставку
процента, а также величину дисконта и дисконт-фактора.
Найти величину разового
платежа для погашения долгосрочного кредита на сумму Sn, данного банком под р% на n лет.
Исходные данные:
S0 = 3500; n = 6; p1 = 16; m1 = 3; p2 = 14; m2 = 2; p = 25; Sn =
200000.
Решение:
Конечная сумма вклада
Эффективная ставка
процента
Дисконт
Дисконт-фактор
а) =8917,70
= 0.1687
= 0.1379 %
= 0.8621
б) = 7882,67
= 0.1449
= 0.1228 %
= 0.8772
Сравнив
полученные результаты, видим, что при увеличении учетной ставке процента и
количества начислений в год – конечная сумма вклада увеличивается.
в)
Задание
4
В таблице приведены
данные об исполнении баланса за отчетный период (в у.д.е.).
Отрасли
|
потребление
|
Конечный продукт
|
Валовой выпуск
|
Машиностроение
|
Металлургия
|
Энергетика
|
производство
|
Машиностроение
|
25
|
15
|
10
|
60
|
100
|
Металлургия
|
10
|
15
|
20
|
120
|
200
|
Энергетика
|
15
|
5
|
10
|
150
|
240
|
Решить задачу
межотраслевого баланса, если конечное потребление первой отрасли не изменилось,
второй отрасли увеличилось в 1,5 раза, третьей уменьшилось на 25%.
С учетом изменений строим
новый вектор конечного потребления:
Находим матрицу прямых
затрат в условиях взаимодействия трех отраслей:
Т.к. aij ≥ 0, = 0.5 ≤ 1, = 0.175 ≤ 1, = 0.167 ≤ 1 –
матрица A продуктивна, следовательно,
продуктивна и сама модель.
Находим матрицу E-A, представляющую собой матрицу полных затрат, каждый элемент
которой выражает стоимостные затраты той части валового выпуска которая
необходима для выпуска единицы конечного продукта.
Определитель матрицы:
Вычислим матрицу C составленную из алгебраических
дополнений матрицы E-A:
И транспонируем ее:
Находим новый вектор
валового выпуска продукции тремя отраслями:
Чтобы
машиностроение дало 60 у.д.е., металлургия 120 у.д.е., энергетика 150 у.д.е.
конечного продукта идущего на непроизводственное потребление необходимо
обеспечить следующие объемы валового выпуска отраслей: Машиностроение - 109,772
у.д.е.
Металлургия
– 212,934 у.д.е.
Энергетика
– 140,269 у.д.е.
Задание 5. Динамическая
экономико-математическая модель Кейнса
Экономика в форме динамической модели
Кейнса как инерционное звено
В этой модели предполагается,
что ВВП в следующем году равен совокупному
спросу предыдущего (текущего) года, а совокупный спрос, состоящий из спроса на
потребительские (C) и инвестиционные
(I) товары, зависит только от ВВП
текущего года:
При линейной зависимости
спроса на потребительские товары от ВВП и примерном постоянстве спроса на
инвестиционные товары приходим к соотношению
где - минимальный объем фонда
потребления;
– склонность к потреблению.
Соотношение, действующее
при дискретности времени в один год, при дискретности Δt примет форму:
где (1 – с) – склонность
к накоплению.
При t → 0 приходим к уравнению инертного звена (роль
постоянной времени выполняет величина , обратная склонности к накоплению):
Последнее уравнение имеет
равновесное (стационарное) решение
Если в начальный момент
спрос на инвестиционные товары изменился с величины I0 до I (I > I0), то в экономике будет происходить переходный процесс от
значения ВВП
до значения yE (см. рис.1). При этом
Нелинейная динамическая модель Кейнса
Рассмотрим нелинейную
модель Кейнса как нелинейное динамическое звено первого порядка:
т.е. скорость роста ВВП
является функцией ВВП и инвестиций. В линейном случае
Поскольку y(y>0) – ВВП, а x=I(I>0) – инвестиции, то из экономических соображений следует,
что
т.е с увеличением ВВП
скорость его роста замедляется, а с увеличением инвестиций – возрастает.
Пусть при t=0 инвестиции были равны I0 и система находилась в некотором равновесном
состоянии (y0,I0), первая компонента которого
определяется из уравнения (инвестиции I0 считаются
известными)
При увеличении инвестиций
с I0 до I=I0+ΔI
(ΔI>0) система будет удовлетворять
уравнению
Представим ВВП в виде
суммы постоянной и переменной частей:
Переменная часть η(t) удовлетворяет уравнению
Если приращение
инвестиций ΔI сравнительно
мало, то при эволюторном характере функции f(y,I) переменная часть η(t) также сравнительно мала. Поэтому
правую часть можно разложить в окрестности точки (y0,I0) в ряд Тейлора, отбросив члены
второго и более высоких порядков:
После перенесения члена,
содержащего η, в левую часть и деления обеих частей на
получаем уравнение
инерционного звена:
где
– обобщенная предельная
склонность к сбережению в начальном состоянии;
Из вышеописанного
вытекает, что переменная часть ВВП будет вести себя следующим образом:
а ВВП в целом будет изменяться
как функция
При этом новое
равновесное состояние ВВП
Заключение
В данной курсовой работе
были рассмотрены основные математические модели макроэкономических процессов,
такие как мультипликативная производственная функция, кривая Лоренца, различные
модели банковских операций, модели межотраслевого баланса Леонтьева,
динамическая экономико-математическая модель Кейнса.
Как можно было заключить
из вышеизложенного, математические методы имеют большую степень
универсальности. Основой этой универсальности является язык
математики. Если исследователи различных специальностей часто говорят об одной
и той же проблеме совершенно по-разному, видят разные ее
особенности, и не могут связать их воедино; то перевод проблемы на
математический язык сразу выявляет общие закономерности, и даже может
дать уже практически готовое решение, полученное ранее где-то
в другой отрасли знаний и для других целей. То есть предпосылкой
использования математики является формализация количественных и качественных
сторон проблемы.
Литература
1. Бережная Е.В., Бережной В.И.
Математические методы моделирования экономических систем. М.: Финансы и
статистика, 2005. 368 с.
2. Ильченко А.Н.
Экономико-математические методы. М.: Финансы и статистика, 2006 287 с.
3. Колемаев В.А.
Экономико-математическое моделирование: Моделирование макроэкономических
процессов и систем. М.: ЮНИТИ, 2005 295 с.
4. Колемаев В.А. Математическая экономика.
М.: ЮНИТИ, 2005. 399 с.
5. Найденков В.И. Прогнозирование и
моделирование национальной экономики: Конспект лекций. М.: ПРИОР, 2004. 156 с.
6. Орехов Н.А., Левин А.Г., Горбунов
Е.А., Математические методы и модели в экономике. М.: ЮНИТИ, 2004. 302 с.
7. Просветов Г.И. Математические модели
в экономике. Спб.: РДЛ, 2006. 151 с.
8. Федосеев В.В.
Экономико-математические методы и прикладные модели. М.: ЮНИТИ, 2005 391 с.
9. Хазанова Л.Э. Математические методы в
экономике. Спб.: Волтерс Клувер, 2005. 132 с.
10. Шелобаев С.И.
Экономико-математические методы и модели. М.: ЮНИТИ, 2005. 286 с.