Оценка вероятности события
Задача №1 (1).
Условие:
Вариант 1. P6, P8, A62, A85, C62, C85.
Решение:
P6 = 6! = 6∙5∙4∙3∙2∙1
= 720 P8 = 8! = 8∙7∙6∙5∙4∙3∙2∙1
= 40320
==
6∙5 = 30 ==
8∙7∙6 = 336
= =
=
15
= =
=
56
Задача
№2 (2).
Условие:
В ящике случайным
образом находится 10 рубашек, причем 4 из них высшего сорта. Покупатель берет
наудачу 3 из них. Найти вероятность того, что из взятых рубашек окажется
высшего сорта хотя бы 1 рубашка.
Решение:
Способ 1:
А - событие взятия 1
рубашки высшего сорта
B
- событие взятия 2 рубашек высшего сорта
C
- событие взятия 3 рубашек высшего сорта
R
- событие взятия хотя бы одной рубашки высшего сорта
R=A+B+C
(A)
=====(B)
=====(C)
=====(R)
= P(A) + P(B) + P(C) = ++
=
2
способ:
А - событие взятия хотя
бы одной рубашки высшего сорта
- ни одна из рубашек
высшего сорта не взята
P(A)
+ P()
= 1 P(A) = 1 - P()()
= =
=
P(A)
= 1 - =
Задача №3 (1).
Условие:
Имеется 3 партии деталей
по 30 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой партии - 30, во
второй - 20, в третей партии - 15. Из наудачу выбранной партии наудачу
извлекают деталь, оказавшуюся стандартной. Деталь возвращают в партию и
вторично из той же партии извлекают деталь, тоже оказавшуюся стандартной. Найти
вероятность того, что детали извлекались из третей партии.
Решение:
А - событие извлечения
стандартной детали в каждом из двух испытаний
В1 - детали
извлекались из первой партии
В2 - детали
извлекались из второй партии
В3 - детали
извлекались из третей партии
Так как детали
извлекались из наудачу взятой партии, то P(B1) = P(B2) = P(B3) =
(А) = 1 - вероятность
извлечения стандартных деталей из 1 партии
(А) = ∙
= -
вероятность извлечения стандартных деталей из 2 партии
(А) = ∙
= -
вероятность извлечения стандартных деталей из 3 партии
PA(B3) = ==∙=
Задача
№4 (3).
Условие:
Отдел технического
контроля проверяет на стандартность 1000 деталей. Вероятность, что деталь
стандартна, равна 0.9. Найти с вероятностью 0.95 границы, в которых будет
заключено m стандартных деталей среди проверенных.
Решение:
P
= 0.9 - вероятность того, что деталь стандартна
q
= 1-P = 0.1 - вероятность того, что деталь нестандартна
Вероятность того, что
абсолютная величина отклонения относительной частоты стандартных
деталей от
числа P не превысит положительного числа ε, определяется
из удвоенной формулы Лапласа:
= Q
Ф(105ε)
= =0.475
По таблице значений
функции Ф(х) находим, что х = 1.96. Откуда 105ε = 1.96,
значит ε ≈ 0,0186.
Таким образом, границы,
в которых будет заключено m
стандартных деталей среди проверенных, удовлетворяет равенству:
≤0,0186 или 0,8814≤≤0,9186
Отсюда искомое число
стандартных деталей среди 1000 проверенных с вероятностью Q = 0.95 заключено в границах
≤m≤917
Задача
№5 (4).
Условие:
Экономист считает, что
вероятность роста стоимости акций компании в следующем году составит 0.8, если
экономика страны будет на подъёме, и 0.25, если экономика не будет успешно
развиваться. По мнению экспертов, вероятность экономического подъёма равна
0.55. Оценить вероятность того, что акции компании поднимутся в следующем году.
Решение:
А - событие, что акции
компании поднимутся в следующем году
Н1 - событие,
что экономика страны будет на подъёме
H2
- событие, что экономика страны не будет успешно развиваться
События Н1 и
Н2 образуют полную группу событий. Так как:
P(H1) = 0.55 - вероятность того, что экономика страны будет на подъёме
P(H2) = 0.45 - вероятность того, что экономика страны не будет успешно
развиваться
= 0.8 - вероятность
роста акций при подъёме экономики страны
= 0.25 - вероятность
роста акций при неуспешном развитии экономики страны
По формуле полной
вероятности получим:
P(A)
= ∙P(H1) + ∙P(H2) = 0.8∙0.55+0.25∙0.45 = 0.44+0.1125 = 0,5525
Задача
№6 (5).
Условие:
Инвестор вложил капитал
в ценные бумаги двух финансовых фирм. При этом он надеется получить доход в
течении обусловленного времени от первой фирмы с вероятностью 0.88, от второй -
с вероятностью 0.85. Однако есть возможность банкротства фирм независимо друг
от друга, которая оценивается для первой фирмы вероятностью 0.16, для второй -
0.018. В случае банкротства инвестор получает только вложенный капитал. Какова
вероятность получить прибыль?
вероятность значение
степень оценка
А - событие получения инвестором
прибыли
В1 - событие банкротства
первой фирмы
В2 - событие банкротства
второй фирмы
С1 = В1∙
- событие банкротства только первой фирмы
С2 = ∙В2
- событие банкротства только второй фирмы
С3 = В1∙В2
- событие банкротства обеих фирм
С4 = ∙
- событие работы обеих фирм
Р(В1) = 0.16
- вероятность банкротства первой фирмы
Р(В2) = 0.018
- вероятность банкротства второй фирмы
РС1(А) = 0.85
- вероятность получения прибыли при банкротстве только первой фирмы
РС2(А) = 0.88
- вероятность получения прибыли при банкротстве только второй фирмы
РС3(А) = 0 -
вероятность получения прибыли при банкротстве обеих фирм
РС4(А) = 1 -
вероятность получения прибыли при работе обеих фирм
Р(С1) = 0.16∙0.982
= 0.1571 - вероятность банкротства первой фирмы
Р(С2) = 0.84∙0.018
= 0.0151 - вероятность банкротства второй фирмы
Р(С3) = 0.16∙0.018
= 0.0029 - вероятность банкротства обеих фирм
Р(С4) = 0.84∙0.982
= 0.8223 - вероятность работы двух фирм
Тогда по формуле полной
вероятности получим:
P(A)
= PC1(A)∙P(C1)+ PC2(A)∙P(C2)+
PC3(A)∙P(C3)+ PC4(A)∙P(C4)
=
=
0.85∙0.1571+0.88∙0.0151+0∙0.0029+1∙0.8223 = 0.1335+0.0133+0+0.8223 = 0,9691
Задача
№7 (1).
Условие:
Вероятность выигрыша по
лотерейному билету равна 0.04. Какова вероятность того, что среди купленных 15
билетов окажется 3 выигрышных?
Решение:
Требуется найти
вероятность n=3 успехов из N=15
испытаний Бернулли с вероятностью успеха р=0.04. По формуле Бернулли эта
вероятность равна:
P15(3)
= =∙0.043∙0.9612=455∙0.000064∙0.613=0.018
Задача
№8 (6).
Условие:
Вероятность банкротства
одной из 9 фирм к концу года равна 0.24. Какова вероятность того, что к концу
года обанкротится не более 3 фирм?
Решение:
Будем считать событием
банкротство одной фирмы. Тогда n
- число событий из 9 испытаний. Требуется найти вероятность Р (n<3). Используя формулу Бернулли, получим:
Р (n<3) = p (n=0 или n=1 или n=2 или n=3) = P9(0)+P9(1)+P9(2)+P9(3)
=
=
+++
=
=
∙1∙0.0846+∙0.24∙0.1113+∙0.0576∙0.1465+∙0.138∙0.01927
=
=
0.0846+0.2404+0.2363+0.2234 = 0.7847
Задача
№9 (1).
Условие:
Текущая цена ценной
бумаги представляет собой нормально распределенную величину Х со средним =55
и дисперсией DX=4. Найти вероятность того, что цена
актива будет находиться в пределах от Х1=53 до Х2=57 ден.
единиц.
Решение:
Так как М(Х) ≈ =55,
σ = =
2, то
P
(53<X<57) = -
=
Ф(1) - Ф(-1) = Ф(1)+Ф(1) = 2Ф(1) = 0.6826
Задача
№10 (7).
Условие:
Суммарная выручка 10
фирм в среднем равна S=11000.
В 80% случаев эта выручка отклоняется от средней не более чем на ∆S = 500. Найти вероятность того, что очередная месячная выручка
находится в интервале между 1000 и 10000.
Решение:
По условию задачи =P (10500<S<11500)
= 0.8. Так как
= - =2=0.8,
=0.4
то по таблице значений
функции Ф(х) находим =1.28,
σ = =390,625
P
(1000<S<10000) = -
= +
= Ф (23,04) = 0,5