Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра теоретической механики

КУРСОВАЯ РАБОТА

«Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы»

по разделу «Динамика»

ТУЛА 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ

Аннотация

Схема механизма и данные для выполнения задания

Вывод дифференциального уравнения движения с использованием теоремы об изменении кинетической энергии механической системы

Определение закона движения системы

Определение реакций внешних и внутренних связей

Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью принципа Даламбера - Лагранжа

Составление дифференциального уравнения движения механизма с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода

Результаты вычислений

Исследование и оптимизация механической системы

Результаты исследований

АННОТАЦИЯ

Исследуется движение механической системы с одной степенью свободы, на которую действуют момент сопротивления Мс=-µώ и возмущающая гармоническая сила F(t). Трением качения и скольжения следует пренебречь. Качение катков происходит без скольжения, проскальзывание нитей на блоках отсутствует. Требуется, используя основные теоремы динамики системы и аналитические методы теоретической механики, определить закон движения первого тела и реакции внешних и внутренних связей.

колебание механическое движение тело

Схема механизма и данные для выполнения задания

Дано:

m1=1 кг.

m2=5 кг. r2=0,1 м. R₂=0.2 м. i2=0,1 м.3=2 кг. r3=0,2м. R3=0.3 м. i3=0,3 м.4=3 кг.

µ=1,25 H*м*с c=4000 H/м fсц=0,1 0=50 H p=π рад/с0=0,09 м. Њ0=0 м/с Mc=-µω3 α=900

1.  
ВЫВОД ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРЕМЫ ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.

Изобразим расчетную схему (рис. 2)

Рис. 2. Расчетная схема

На рис. 2 обозначено:

Р1, Р2, Р3, Р4 - силы тяжести,

N4 - нормальная реакция опорной плоскости,

Fсц - сила сцепления,

Fуп - упругая реакция пружины,

X3, Y3 - реакция подшипника блока 3,

М=-µw - сила вязкого сопротивления,

F(t)- возмущающая сила

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы. Будем определять положение системы с помощью координаты S. Начало отсчета координат совместим с положением статического равновесия груза 1.

Для построения дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в форме:

dT/dt= Ne+Ni (1.1)

где: Т - кинетическая энергия системы,

Ne - сумма мощностей внешних сил,

Ni - сумма мощностей внутренних сил.

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел, образующих механическую систему:

Т=Т1+Т2+Т3+Т4 (1.2)

Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия:

Т1=1/2m1v12, (1.3)

Блок 2 совершает плоскопараллельное движение, поэтому его кинетическая энергия равна:

Т2=1/2m2v22+1/2J2ω22 (1.4)

где v2 - скорость центра масс блока;

J2=m2R22 - момент инерции относительно центральной оси блока;

ω2 - угловая скорость блока.

Блок 3 совершает вращательное движение, его кинетическая энергия:

Т3=1/2 J3ω32, (1.5)

где Jc3=m3i32 - момент инерции относительно центральной оси блока;

ω3 - угловая скорость блока.

Каток 4 совершает поступательное движение, его кинетическая энергия:

Т4=1/2m4v42, (1.6)

Так как система имеет одну степень свободы и в качестве координаты, определяющей ее положение, ранее принято перемещение груза 1, то кинетические характеристики всех тел механизма легко выражаются через кинематические параметры груза 1 соотношениями:

2=V1=Va=w2R2b=V4=w3r3

ω2=V/r2

ω3=VA/R34=ω3*r3; (1.7)

Подставляя (1.3), (1.4), (1.5), (1.6) в (1.2) с учетом (1.7) окончательно получаем:

Т=1/2mпр*V2 (1.8)

где

mпр=m1+m2+ m2*R22/r22+m3*i32*R22/ r22*R32+m4*r32/R32пр=35.333 кг.

Называется приведенной массой.

Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, недеформируемы и скорости их точек относительно друг друга равны нулю. Поэтому мощности внутренних сил будут равняться нулю Ni=0.

Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, таковыми являются силы:P3, X3, Y3, N4, Fсц. Сумма мощностей остальных внешних сил:

Fуп=-Fуп*V4,

Np2=P2*V,

Nм=-Мс*ω3,

Np1=P1*V,

или

Ne=F*V+P1*V-Мc*ω3+P2*V-Fуп*V4

С учетом кинематических соотношений (1.7) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду:

Ne=Fпр*V (1.9)

где

пр=-Fуп*r3*R2/R3*r2-Мс*R2/R3*r2+P2+F+P1 (1.10)

называется приведенной силой.

Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. Полное удлинение пружины f равно сумме статического fст и динамического Sc4, удлинений f=fcт+Sc4.

Тогда упругая сила будет равна:

уп=с*(fcт+SD)=c*[fcт+r3/R3*S]

Момент вязкого сопротивления М=µw3. Тогда приведенная сила (1.10) в развернутой форме будет определяться выражением:

пр=-c*(fcт+r3*S/R3)*r3/R3+P1+P2+F(t)-Мс*R2/R3*r2 (1.11)

В состоянии покоя S=Њ=0 и условием равновесия системы будет служить уравнение

пр0=P1+P2-c*fcт*r3/R3=0 (1.12)

Из уравнения (1.12) определяется статическое удлинение пружины

cт=R3(P1+P2)/c*r3 (1.13)

Таким образом, окончательное выражение для приведенной силы (1.11) будет иметь вид:

пр=-сr3/R3* R3(P1+P2)/c*r3-c*r32*S1/R32-µЊ/R32+F(t)+P2+P1 (1.14)

Подставим выражения для кинетической энергии (1.8) и сумму мощностей всех сил (1.9) с учетом (1.14) в уравнение (1.1). Тогда, после дифференцирования, получаем дифференциальное уравнение движения системы:

пр*Љ=-cпр*S-µпр*Њ+F(t)

где

спр=с*r32/R32 - приведенная жесткость пружины

µпр=µ/R32 - приведенный коэффициент сопротивления.

Общепринято такие уравнения представлять в виде:

Љ+2*n*Њ+k2S=F(t)/mпр (1.15)

где введены коэффициенты, имеющие определенный физический смысл:

k=(спр/mпр)1/2=r3*(c/mпр)1/2/R3=7.1 с-1 - частота собственных колебаний,

n=µпр/2mпр=µ/(2*R32*mпр)=0.2 с-1 - показатель степени затухания колебаний. Начальные условия:

при t=0 SÐt=0=S0, ЊÐt=0=Њ0 (1.16)

Уравнения (1.15), (1.16) представляют математическую модель для решения второй задачи динамики.

2.     ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ.

Возмущающая сила изменяется по гармоническому закону:

=F0*sin(pt),

где F0 - амплитуда возмущающей силы, р - циклическая частота возмущения.

Дифференциальное уравнение движения механической системы (1.15) с учетом выражения для возмущающей силы примет вид:

Љ+2*nЊ+k2S=h0*sin(pt) , (2.1)

где h0=F0/mпр=1.41

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (2.1) складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее неоднородному уравнению (2.1), имеет вид:

Љ+2*n*Њ +k2S=0. (2.2)

Решение этого уравнения ищем в виде функции

S=A*eλt (2.3)

где А и λ - неопределенные постоянные величины.

Подставляя (2.3) в (2.2), получим:

(λ2+2*n*λ+k2)*A*eλt=0

Так как мы ищем нетривиальное решение, то А*еλt≠0. Следовательно, должно выполняться условие

λ2+2*n*λ+k2=0 (2.4)

Уравнение (2.4) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (2.2). Это уравнение имеет два корня:

λ1,2=-n±(n2-k2)Ѕ=-n±i*k1 (2.5)

где k1=(k2-n2)Ѕ=7.08 c-1.

В этом случае (n<k) общее решение уравнения (2.2) имеет вид:

=e-nt*[A1*sin( k1t)+A2*cos(k1t)]

Данное выражение нетрудно представить в виде

OD=A0*e-nt*sin(k1t+α0) (2.6)

где А0, α0 - постоянные интегрирования.

Определим частное решение неоднородного дифференциального уравнения (2.1). Частное решение ищем в виде правой части

S=F(t)=B1*sin(pt)+B2*cos(pt)=B0*sin(pt-β0) (2.7)

где В0=(В12+В22)Ѕ, β0=arctg(B2/B1)

Подставляя (2.7) в (2.1), после несложных преобразований получим

[B1*(k2-p2)-2*n*p*B2]*sin(pt)+[2*n*p*B1+B2*(k2-p2)]*cos(pt)=h0*sin(pt).

Сравнивая коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях справа и слева, получаем систему алгебраических уравнений для определения постоянных В1 и В2:

(k2-p2)*B1-2*n*p*B2=h0, 2*n*p*B1-(k2-p2)*B2=0.

Решая эту систему алгебраических уравнений, получаем выражения для коэффициентов В0, β0:

В0=h0*(1/((k2-p2)2+4*n2*p2))Ѕ=1.77 м; β0=arctg(2*n*p/(k2-p2)=0.03.

Таким образом, решение (2.7) найдено. Складывая (2.7) и (2.6), получаем общее решение неоднородного уравнения (2.1)

Константы А0 и α0 определяются из начальных условий (1.16). Для этого найдем производную по времени от (2.8)

Њ=-A0*n*e-nt*sin(k1*t+α0)+A0*e-nt*k1*cos(k1*t+α0)+B0*p*cos(pt+β0) (2.9)

Подчинив начальным условиям, получим систему уравнений относительно искомых констант

=A0*sin(α0)+B2,

Њ=A0[-n*sin(α0)+k1*cos(α0)]+B1*p. :(2.10)

Решая эту систему, получаем

0=(S0-B2)/sin(α)=0.09 м

α0=arctg(k1*(S0-B2)/(Њ0+n*(S0-B2)-p*B1)=0.049 рад,

где В1=(2*h0*n*p*(k2-p2))/((k2-p2)2+4*n2*p2)=0.05 м B2=-h0*2*n*p/((k2-p2)2+4*n2*р2)=0.00011 м.

И, подставляя (2.10) в(2.8), получаем закон движения механизма, выраженный через перемещение груза.

(t)=0.09*е-0.2t*sin(7.09*t+0.049)+1.77*sin(π*t-0.03) (м)

3.  
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕАКЦИЙ ВНЕШНИХ И ВНУТРЕННИХ СВЯЗЕЙ

Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и рисуем расчетную схему отдельно для каждого тела (рис.3).

рис.3. Расчетные схемы каждого тела механизма.

К каждому телу, изображенному на расчетной схеме (рис.3), применяем две из основных теорем механики материальной системы: теорему об изменении количества движения и теорему об изменении кинетического момента

c/dt=∑Fke (3.1)

dLcz/dt=∑Mcze (3.2)

Для каждого тела уравнения (3.1) и (3.2) записываем в проекциях на оси координат соответственно схемам рис.3:

Тело 1:

1V1/dt=F+P1-T12. (3.3)

Тело 2:

2Vc2/dt=P2+T21-T23 (3.4)

dJ2Bω2/dt=-T23*R2

Тело 3: 3V3X/dt=X3-T34 ; т. к. V3=0, то X3-T34=0; (3.5)3-P3-T32=dm3*V3y/dt

=Y3-P3-T323*ω3/dt=T32*R3-T34*r3-Mc

Тело 4:

4V4X/dt=T43-Fсц+Fупр4V4y=N4-P4, т. к. V4y=0, то N4-P4=0 (3.6)

Решая эту систему уравнений, получаем выражение для определения реакций связей:

Т12=F(t)+P1-m1*Љ23=T21+T2k+P2-m2*Љ2k=m2*R2*Љ/r2+T23*R2/r234=(m3*i32*Љ/R3*r3)-T32*R3/r3+Mc/r3 (3.7)3=T343=P3+T324=P4сц=-m4*r3*Љ/R3+T43-Fупр

4.   СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЗМА С ПОМОЩЬЮ ПРИНЦИПА ДАЛАМБЕРА - ЛАГРАНЖА.

рис.4. Расчетная схема

Общее уравнение динамики системы есть математическое выражение принципа Даламбера - Лагранжa

∑δAka=∑δAkи=0 (4.1)

Здесь ∑δАka=∑Fk*δrk - сумма элементарных работ всех активных сил на возможном перемещении системы; ∑δАkи=-∑mk*ak*δrk - сумма элементарных работ всех сил инерции на возможном перемещении системы.

Изобразим на рисунке активные силы и силы инерции (рис. 4).

Сообщим системе возможное перемещение. Возможная работа активных сил определяется как сумма следующих элементарных работ:

∑δАка=δAF(t)+δAмс+δАP1+δAP2+δAFупр (4.2)

Сумма элементарных работ указанных сил вычисляется, как и мощность по формуле (1.9)

∑δАка=(F(t)-µ*Њ/R32-c*r32*S/R32)*δS (4.3)

Найдем возможную работу сил инерции:

∑δАки=-Ф1*δS-Ф2* δS2-М2Ф*δφ2-М3Ф*δφ3-Ф4*δS4 (4.4)

Для величин главных векторов и главных моментов сил инерции имеем следующие выражения:

Ф1=m1*a1=m1*Љ М2Ф=JC2*ε2=JC2*φ2

Ф2=m2*a2=m2*Љ2 М3Ф=JC3*ε3=JC3*φ3 (4.5)

Ф4=m4*a4=m4*Љ4

Используя кинематические соотношения (1.7), можно записать

φ2=Љ/R2 JC2=m2*R22 δS4= r3*δS/R3

φ3=Љ/R3 JC3=m3*i32 (4.6)

Тогда возможную работу сил инерции можно преобразовать к виду

∑δАки=[-m1-m2- m2*R22/r22-m3*i32*R22/ r22*R32-m4*r32/R32]*Љ*δS (4.7)

или

∑δАки=-mпр*Љ*δS, (4.8)

где mпр=m1+m2+ m2*R22/r22+m3*i32*R22/ r22*R32+m4*r32/R32 

mпр=35.333 кг.

Подставляя выражения (4.3) и (4.8) в общее уравнение динамики (4.1), получаем:

[F(t)-µ*Њ/R32-c*r32*S/R32]*δS-mпр*Љ*δS=0 (4.9)

Разделив (4.9) на δS≠0, получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний системы:

Љ+2*n*Њ+k2S=h0*sin(pt) (4.10)

где k=(r3/R3)*(c/mпр)1/2=7.1 с-1

n=µ/2*R32*mпр=0.2 с-1

h0=F0/mпр=1.41 м/с2

Дифференциальное уравнение (4.10) полностью совпадает с уравнением (1.15).

5.     СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЗМА С ПОМОЩЬЮ УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 2-ГО РОДА.

В качестве обобщенной координаты примем перемещение груза 1 - S. Для механической системы с одной степенью свободы дифференциальное уравнение движения в обобщенных координатах имеет вид:

/dt*∂Т/∂Њ-∂Т/∂S=Q

где Т - кинетическая энергия системы;- обобщенная сила;

S - обобщенная координата;

Выражение для кинетической энергии системы было найдено ранее (1.8):

Т=1/2mпр*V2 или Т=1/2mпр*Њ2

где mпр=m1+m2+ m2*R22/r22+m3*i32*R22/ r22*R32+m4*r32/R32

mпр=35.333 кг.

Производные от кинетической энергии: ∂Т/∂S=0; ∂T/∂Њ=mпр*Њ; d/dt*∂T/∂Њ=mпр*Љ.

Для определения обобщенной силы Q сообщим системе возможное перемещение δS и вычислим сумму элементарных работ всех активных сил:

∑δАка=F(t)*δS+P1*δS-Mc*δS/r2-(P2+P4+Fупр)r3*δS/R3

С другой стороны для системы с одной степенью свободы:

∑δАкa=Q*δS.

Тогда:

=1/δS*∑δAка

Q=F0+P1-(P2+P4+1/2*F0)*r3/R3-0.1*P3=-12 H.

Подставив производные от кинетической энергии в уравнение Лагранжа, получаем:

пр*Љ-0=Q

Отсюда ускорение тела 1 равно:

а1=Љ=Q/mпр

а1=-0.34 м/с2

6.     РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Студент: Хабихузин С. Р. Группа: 320431

Вариант: 22

m1=1 кг.

m2=5 кг. r2=0,1 м. R₂=0.2 м. i2=0,1 м.

m3=2 кг. r3=0,2м. R3=0.3 м. i3=0,3 м.4=3 кг.

µ=1,25 H*м*с c=4000 H/м fсц=0,1

F0=50 H p=π рад/с

S0=0,09 м. Њ0=0 м/с Mc=-µω3 α=900

Фамилия: Хабихузин С. Р. группа: 320431

Вариант: 22

Исходные данные

M1 = 1.000 M2 = 5.000 M3 = 2.000 M4 = 3.000

I2 = 0.100 I3 = 0.300 I4 = 0.000= 0.100 RM3 = 0.200 RM4 = 0.000= 0.200 RB3 = 0.300 RB4 = 0.000= 1.250 C = 4000.000 F0 = 50.000 P1 = 9.800= 0.090 V0 = 0.000 ALF = 90.000= 19.755 K1= 19.755 MP= 41.000 CP=16000.000 N= 0.015S V W T12 T23 T34

0.000 0.090 0.000 -35.122 9.810 136.693 240.162

.021 0.082 -0.726 -31.771 21.113 129.290 225.705

.043 0.060 -1.318 -22.855 31.794 103.132 177.553

.064 0.027 -1.674 -9.954 41.292 63.295 104.898

.085 -0.009 -1.731 4.654 49.131 17.213 21.164

.107 -0.044 -1.481 18.398 54.963 -26.654 -58.379

.128 -0.071 -0.969 28.857 58.573 -60.315 -119.329

.150 -0.084 -0.285 34.193 59.892 -77.664 -150.689

.171 -0.083 0.450 34.193 59.892 -77.664 -150.689

.171 -0.083 0.450 33.472 58.974 -75.564 -146.818

.192 -0.066 1.104 26.822 55.983 -54.397 -108.417

.214 -0.037 1.562 15.419 51.159 -17.993 -42.408

.214 -0.037 1.562 15.419 51.159 -17.993 -42.408

.235 -0.001 1.743 1.270 44.788 27.045 39.298

.256 0.035 1.614 -13.131 37.181 72.513 121.901

.278 0.066 1.198 -25.248 28.649 110.061 190.340

.299 0.085 0.567 -32.947 19.497 132.672 231.956

.321 0.089 -0.169 -34.868 10.021 135.916 238.742

.342 0.078 -0.880 -30.666 0.514 118.742 208.779

.363 0.053 -1.441 -21.073 -8.726 83.685 146.600

.385 0.018 -1.754 -7.765 -17.387 36.439 62.423

.406 -0.020 -1.763 6.928 -25.144 -15.124 -29.613

.427 -0.055 -1.466 20.434 -31.659 -62.316 -113.909

.449 -0.081 -0.915 30.390 -36.599 -97.149 -176.114

.470 -0.093 -0.205 35.054 -39.660 -113.717 -205.630

.492 -0.089 0.540 33.614 -40.591 -109.226 -197.454

.513 -0.071 1.190 26.326 -39.230 -84.480 -153.045

0.534 -0.040 1.632 14.471 -35.532 -43.731 -80.067

.556 -0.003 1.791 0.129 -29.586 6.058 8.959

.577 0.034 1.638 -14.187 -21.627 56.432 98.836

.598 0.065 1.202 -25.973 -12.030 98.917 174.348

.620 0.084 0.561 -33.170 -1.287 126.488 222.901

7. ИССЛЕДОВАНИЕ И ОПТИМИЗАЦИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

При проектировании механических систем используют критические режимы внешних воздействий на них. Поэтому внешние факторы: µ - коэффициент сопротивления, F0,p - амплитуда и частота возмущающей силы, изменяются незначительно. Конструктивные параметры механических систем ( их геометрические размеры) определяются условиями их функционирования и, следовательно, могут изменяться в очень узком диапазоне. Актуальной становится такая задача оптимизации механической системы, при которой могут изменяться массовые параметры системы ( например, m1 или mпр), и жесткость упругого элемента - с.

Увеличим массу 1 тела на 10 кг.

8.  РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ

Студент: Хабихузин С. Р. Группа: 320431

Вариант: 22

m1=10 кг.

m2=5 кг. r2=0,1 м. R₂=0.2 м. i2=0,1 м.

m3=2 кг. r3=0,2м. R3=0.3 м. i3=0,3 м.4=3 кг.

µ=1,25 H*м*с c=4000 H/м fсц=0,1

F0=50 H p=π рад/с

S0=0,09 м. Њ0=0 м/с Mc=-µω3 α=900