Частотные методы анализа упругой системы станка

Частотные методы анализа упругой системы станка

Частотные методы анализа упругой системы станка

упругий система амплитуда станок

Расчетная схема

Частотные методы анализа УС (или ЭУС) станков представляют собой исследование амплитуды и фазы вынужденных колебаний УС в зависимости от соотношения между собственной циклической частотой и циклической частотой возмущающего воздействия.

При всем конструктивном многообразии станков в целом и различии в конструкции узлов станка все они обладают некоторыми общими свойствами, которые позволяют, приняв некоторые ограничения, прийти к нескольким простейшим схемам. Так, сложную многомассовую систему любого конкретного узла можно путем упрощений и «отбрасывания» менее значимых элементов привести к одномассовой или двухмассовой системе. Податливости отдельных звеньев заменяются приведенной податливостью, массы звеньев заменяются приведенным моментом инерции и т.д. При изучении колебательных процессов в станках задаются входной координатой - силовым циклическим воздействием на узел и получают выходную координату - чаще всего геометрическое перемещение (отжим, прогиб, деформацию).

Общие свойства вынужденных колебаний шпиндельного узла (рис. 1, а) можно рассмотреть на примере простейшей системы (рис. 1, б) с одной степенью свободы, с одной сосредоточенной массой т, упругой жесткостью j и коэффициентом вязкого сопротивления β. На систему действует циклическая внешняя возмущающая сила F₀ *sint.

Рис. 1. Расчетные схемы эквивалентной упругой системы с одной степенью свободы

Блок-схема (рис. 1, в) разомкнутой эквивалентной системы представляет связь входной координаты (циклической возмущающей силы) и выходной координаты (перемещения).

Основное уравнение механики связывает силы внешнего воздействия с силами инерции. Согласно основному уравнению механики все внешние силы уравновешиваются силами реакций и силами инерции

 или _внеш = _упр + _неупр + _инерц,

где     F_упр = R = cy - силы упругого сопротивления, которые пропорциональны перемещению;

F_неупр =  - силы неупругого (вязкого) сопротивления, которые пропорциональны скорости движения;

F_внеш = F(t) = F₀ sint - циклическая сила внешнего воздействия;

F_инерц = ma =  - силы инерции, пропорциональные ускорению.

Таким образом уравнение можно представить в виде

.

Разделив правую и левую части уравнения на массу т, и приняв новые обозначения, получим

,

где    2b = m - коэффициент неупругого сопротивления;

ω₀² = c/m квадрат собственной циклической частоты;

F = F₀/m - сила внешнего воздействия.

Если заданы начальные условия (t=t₀, y=y₀, ), общее решение уравнения имеет вид

,

где    y_cm = F₀/c - статический прогиб.

Приняв новые обозначения решение можно представить в виде

y = ae^-btsin(ω₀₁t + j₁) + Asin (t - j).

Первая часть решения представляет собственные затухающие колебания с собственной циклической частотой ω₀₁ (ω₀₁¹ω₀ при наличии вязкого сопротивления b¹0 и ω₀₁=ω₀ при b=0 - отсутствии вязкого сопротивления), амплитудой ae^-bt и углом начальной фазы j₁. Скорость затухания зависит от множителя b в показателе степени e^-bt, т.е. от коэффициента неупругого сопротивления.

Вторая часть решения уравнения - это вынужденные колебания упругой системы с частотой возмущающего воздействия и амплитудой А. Эта амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения /ω₀  - собственной циклической частоты ω₀ и частоты возмущающего воздействия, а также от отношения b/ω₀ - коэффициента вязкого сопротивления к круговой частоте собственных колебаний.

Временная характеристика упругой системы

Графическое представление выходных колебаний упругой системы станка (решения основного уравнения) и возмущающей силы при установившемся режиме называется временной характеристикой (ВХ) упругой системы станка. При установившемся режиме частоты результирующих выходных колебаний и возмущающей силы равны.

Рис. 2. Временные характеристики упругой системы станка

На рисунке изображены временные характеристики упругой системы при одинаковых периодах возмущающей силы и выходных колебаний Т_вход=Т_вых. Время запаздывания (сдвиг по фазе) между возмущающей силой и вынужденными колебаниями определяется углом сдвига j и равно отношению угла сдвига к частоте вынужденных колебаний t =j/w.

Фазо-частотная характеристика упругой системы

Зависимость угла сдвига выходной координаты j от частоты возмущающей силы  называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) упругой системы станка

j_ус(w) =

Как видно из графика ФЧХ:

—      при весьма незначительной круговой частоте вынуждающих колебаний угол сдвига по фазе пренебрежимо мал, т.е. w ® 0 Þ j ® 0;

—      при резонансной частоте вынуждающих колебаний, когда частота вынуждающих колебаний совпадает с частотой собственных колебаний упругой системы станка w = ω₀ Þ j = -p/2;

—      при частоте возмущающей силы намного большей частоты собственных колебаний w ® ∞, (w >> ω₀) Þ j ® -p.

При этом, чем большее значение имеет коэффициент неупругого сопротивления b, тем ветви ФЧХ становятся более пологими.

Рис. 3. Фазо-частотная характеристика системы:

а) экспериментальная, б) теоретическая

Амплитудно-частотная характеристика упругой системы

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний упругой системы станка от частоты А_ус(w) называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ). АЧХ определяется как отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного сигнала возмущающей силы

Рис. 4. Амплитудно-частотная характеристика

А_ус(w)=,

где    =,

А_вход = F₀ - возмущающая внешняя сила;

 - статический прогиб от силы Р₀ упругой системы, обладающей жесткостью j

m - динамический коэффициент_.

Таким образом

А_ус(w)=

Как видно из формулы А_ус(w) АЧХ зависит прямо пропорционально от динамического коэффициента m и обратно пропорционально от жесткости системы j.

Рис. 5. Влияние возмущающей частоты и вязкого сопротивления на амплитуду колебаний (АЧХ)

При частоте воздействия возмущающей силы F₀ равной нулю (w=0) или при частоте воздействия возмущающей силы F₀ во много раз меньшей (w<<ω₀) частоты собственных колебаний, динамический коэффициент становится равным единице (m=1) и АЧХ определяет податливость упругой системы (1/c = е).

При частоте воздействия возмущающей силы F₀ во много раз превышающей (w>>ω₀) частоту собственных колебаний величина АЧХ весьма мала из-за малости величины динамического коэффициента m.

При частоте воздействия возмущающей силы F₀ равной (w = ω₀) частоте собственных колебаний АЧХ становится зависимой от величины коэффициента неупругого сопротивления b и если вязкое сопротивление пренебрежимо мало (b®0), то при резонансе амплитуда стремительно возрастает (А_ус®∞) из-за увеличения динамического коэффициента (m®∞).

Амплитудно-фазовая частотная характеристика упругой ситемы

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) станка совмещает в себе АЧХ и ФЧХ. АФЧХ используется для оценки динамической устойчивости станков (обозначается W (i)) и представляет некую обобщенную характеристику динамических качеств системы.

АФЧХ является комплексной величиной и ее графически представляют на комплексной плоскости с действительной абсциссой (Re) и мнимой ординатой (iJm):

W (i) = Re + iJm.

Каждому значению частоты колебаний  соответствует в полярных координатах своя амплитуда (модуль) А и аргумент (разность фаз) j:

A = ;

Рис. 6. Комплексная система координат для представления АФЧХ

=.

Посредством этих величин, учитывая, что

Re = Acosj, a Jm = Aisinj

динамическую характеристику для любой частоты можно представить в виде:

W (i) = Acosj + Aisinj = A (cosj + isinj).

Как было показано ранее, в общем случае, когда возмущающая внешняя сила и сила неупругого сопротивления не равны нулю (b¹0 и Fsint¹0) амплитуда вынужденных колебаний равна:

 = y_стm,

где    y_ст - статический прогиб под действием внешней силы, y_ст = F/c;

m - динамический коэффициент;

₀ - собственная циклическая частота упругой системы;

b - коэффициент неупругого сопротивления.

Возведем в квадрат значение амплитуды, выраженное через координаты АФЧХ и через статический прогиб и динамический коэффициент

A² = ()² = (Re)² + (Jm)²

A² = (Re)² + (Jm)²

Произведем преобразования в правой части равенства

Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение для знаменателя

Из последнего выражения можно определить Re и Jm:

Таким образом, уравнение динамической характеристики W (i) имеет вид:

W (i) = Re + iJm =

Если принять обозначения:

 = - инерционная постоянная, с;

 - постоянная времени демпфирования, с,

то после преобразований уравнение динамической характеристики W (i) примет вид:

W (i) = Re + iJm =+.

При построении графика динамической характеристики W (i) (т.е. АФЧХ) сдвиг по фазе j принимают отрицательным и откладывают по часовой стрелке, (случай, когда выходная координата отстает от входной, что наиболее характерно для станков) значение действительной части Re откладывается по оси абсцисс, а значение мнимой части Jm по оси ординат.

Рис. 7. Амплитудно-фазовая частотная характеристика
упругой системы с одной степенью свободы

На практике, при построении экспериментальных АФЧХ механических систем кривая зависимости W (i) может выглядеть совсем иначе, начинаться и заканчиваться в разных (отличных от теоретической кривой) точках, иметь несколько петель. Это происходит из-за того, что любая механическая система состоит из нескольких подсистем - звеньев, каждая из которых является сложной системой со множеством степеней свободы. При определенных допущениях и упрощениях каждую из подсистем приводят к однокоординатной (с одной степенью свободы) системе со своей собственной резонансной частотой своей упругой жесткостью и вязким неупругим сопротивлением. Подсистемы могут соединяться между собой как последовательно, так и параллельно. При последовательном соединении звеньев их АФЧХ умножаются (перемножаются модули-амплитуды и складываются фазы-аргументы), а при параллельном соединении АФЧХ складываются по правилу векторов (раздельно складываются вещественные и мнимые части) при заданных частотах. При рассмотрении системы, состоящей из шпиндельного узла, верхней и нижней кареток суппорта график АФЧХ может иметь вид.

Рис. 8. Экспериментальные АФЧХустойчивой - 1 и неустойчивой - 2 систем

Каждая петля означает свою резонансную частоту для какого-то составляющего элемента общей УС станка. Например, точка 1 соответствует резонансу верхней каретки суппорта, точка 2 - резонанс шпиндельного узла, точка 3 - резонансная частота нижней каретки суппорта. Каждая резонансная петля (точка локального резонанса) имеет свою амплитуду колебаний, расположенную на радиусе вспомогательной описанной окружности, проведенной из центра координат до касания с кривой АФЧХ.

Для оценки виброустойчивости станка используется частотный критерий Найквиста. В соответствии с этим критерием об устойчивости системы можно судить по тому, захватывает ли кривая АФЧХ точку с координатами [-1Re; 0iJm]. Т.е. для устойчивой системы должно выполняться условие:

Re⁰ < |1|.

На приведенном графике кривая АФЧХ под номером 1 соответствует устойчивой системе, кривая 2 - неустойчивой.