Вычисления по теории вероятностей
Задача 1. В партии из 60 изделий 10 – бракованных. Определить вероятность
того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными:
а) ровно 2 изделия;
б) не более
2 изделий.
Решение.
А)
Используя
классическое определение вероятности:
Р(А) –
вероятность события А, где А – событие, когда среди выбранных наудачу изделий
для проверки 5 изделий окажутся бракованными ровно 2 изделия;
m – кол-во благоприятных исходов события
А;
n – количество всех возможных исходов;
Б)
Р(А’) –
вероятность события А’, где А’ – событие, когда среди выбранных наудачу изделий
для проверки 5 изделий окажутся бракованными не более 2 изделий,
;
– кол-во благоприятных исходов события ;
– кол-во благоприятных исходов события ;
– кол-во благоприятных исходов события ;
n’ – количество всех возможных исходов;
Ответ:
вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся
бракованными: а) ровно 2 изделия равна 16%. б) не более 2 изделий равна 97%.
Задача 2. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый
автомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. Определить вероятность
попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата в цех
поступило соответственно 20, 10, 20 деталей.
Решение.
По формуле
полной вероятности:
где А –
взятие хорошей детали, – взятие
детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата,
– вероятность взятия хорошей детали из первого (второго / третьего)
автомата, –
вероятность попадания на сборку небракованной детали.
; (т. к. ) = 1% =
0.01)
;
;
Ответ:
Вероятность попадания на сборку небракованной детали равна 98%.
Задача 3. В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый
автомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. С каждого автомата поступило на
сборку соответственно 20, 10, 20 деталей. Взятая на сборку деталь оказалась
бракованной. Найти вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата.
Решение.
По формуле
полной вероятности:
где А’ –
взятие бракованной детали, – взятие
детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата,
– вероятность взятия бракованной детали из первого (второго /
третьего) автомата, –
вероятность попадания на сборку бракованной детали.
; (согласно условию)
;
;
Согласно
формуле Байеса:
Ответ:
Вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата равна 20%.
Задача 4. Рабочий обслуживает 18 станков. Вероятность выхода станка
из строя за смену равна . Какова
вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков? Каково
наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену?
Решение.
Используя
формулу Бернулли, вычислим, какова вероятность того, что рабочему придется
ремонтировать 5 станков:
где n – кол-во станков, m – кол-во станков, которые придётся
чинить, p – вероятность выхода станка из строя за смену, q =1-р – вероятность, не выхождения
станка из строя за смену.
.
Ответ:
Вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5 станков равна 15%.
Наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену равно 3.
Задача 5. В двух магазинах, продающих товары одного вида, товарооборот (в
тыс. грн.) за 6 месяцев представлен в таблице. Можно ли считать, что
товарооборот в первом магазине больше, чем во втором? Принять = 0,05.
Все
промежуточные вычисления поместить в таблице.
Магазин №1
|
Магазин №2
|
20,35
|
20,01
|
20,60
|
23,55
|
32,94
|
25,36
|
37,56
|
30,68
|
40,01
|
35,34
|
25,45
|
23,20
|
Пусть, a1 – товарооборот в 1 магазине, a2 – товарооборот во 2 магазине.
Формулируем
гипотезы Н0 и Н1:
Н0: a1 = a2
Н1:
a1 ≠ a2
|
xi
|
xi-a1
|
(xi-a1)2
|
yi
|
yi-a2
|
(yi-a2)2
|
|
20,35
|
-9,135
|
83,44823
|
20,01
|
-6,35
|
40,32
|
|
20,6
|
-8,885
|
78,94323
|
23,55
|
-2,81
|
7,896
|
|
32,94
|
3,455
|
11,93703
|
25,36
|
-1
|
1
|
|
37,56
|
8,075
|
65,20563
|
30,68
|
|
18,66
|
|
40,01
|
10,525
|
110,7756
|
35,34
|
4,32
|
80,64
|
|
25,45
|
-4,035
|
16,28123
|
23,20
|
8,98
|
9,98
|
∑
|
176,91
|
|
366,591
|
158,14
|
-3,16
|
158,496
|
a1 = = = 29,485,
a2 = =
1 = = 73.32
2 = =
n 1 = n 2 = n =6
Вычислю
выборочное значение статистики:
ZВ = * =
Пусть = 0,05.
Определяем необходимый квантиль распределения Стьюдента: (n1+n2-2)= 2.228.
Следовательно,
так как ZВ=0,74 < =2,228, то мы не станем отвергать гипотезу Н0, потому
что это значит, что нет вероятности того, что товарооборот в первом магазине
больше, чем во втором.
Задача 6. По данному статистическому
ряду:
1.
Построить гистограмму частот.
2.
Сформулировать гипотезу о виде распределения.
3.
Найти оценки параметров распределения.
4.
На уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о распределении
случайной величины.
Все
промежуточные вычисления помещать в соответствующие таблицы.
Интервал
|
Частота случайной величины
|
1 – 2
|
5
|
2 – 3
|
8
|
3 – 4
|
19
|
4 – 5
|
42
|
5 – 6
|
68
|
6 -7
|
44
|
7 – 8
|
21
|
8 – 9
|
9
|
9 – 10
|
4
|
1. Гистограмма частот:
2.
Предположим, что моя выборка статистического ряда имеет нормальное
распределение.
3. Для
оценки параметров распределения произведем предварительные расчеты, занесем их в
таблицу:
№
|
Интервалы
|
Частота,
mi
|
Середина
Интервала, xi
|
xi*mi
|
xi2*mi
|
1
|
1–2
|
5
|
4,5
|
7,5
|
112,5
|
2
|
2–3
|
8
|
2,5
|
20
|
50
|
3
|
3–4
|
19
|
3,5
|
66,5
|
232,75
|
4
|
4–5
|
42
|
4,5
|
189
|
350,5
|
5
|
5–6
|
68
|
5,5
|
374
|
2057
|
6
|
6–7
|
44
|
6,5
|
286
|
1859
|
7
|
7–8
|
21
|
7,5
|
157,5
|
1181,25
|
8
|
8–9
|
9
|
8,5
|
76,5
|
650,25
|
9
|
9–10
|
4
|
9,5
|
38
|
361
|
∑
|
|
n=220
|
|
1215
|
7354,25
|
Найдем
оценки параметров распределения:
= = 5,523
2= 2 = 2,925 = = 1,71
4. все
вычисления для проверки гипотезы о распределении занесем в таблицы.
№
|
Интервалы
|
Частоты, mi
|
t1
|
t2
|
Ф(t1)
|
Ф(t2)
|
pi
|
1
|
-∞ – 2
|
5
|
-∞
|
-2,06
|
0
|
0,0197
|
0,0197
|
2
|
2–3
|
8
|
-2,06
|
-1,47
|
0,0197
|
0,0708
|
0,0511
|
3
|
3–4
|
19
|
-1,47
|
-0,89
|
0,0708
|
0,1867
|
0,1159
|
4
|
4–5
|
42
|
-0,89
|
-0,31
|
0,1867
|
0,3783
|
0,1916
|
5
|
5–6
|
68
|
-0,31
|
0,28
|
0,3783
|
0,6103
|
0,232
|
6
|
6–7
|
44
|
0,28
|
0,86
|
0,6103
|
0,8051
|
0,1948
|
7
|
7–8
|
21
|
0,86
|
1,45
|
0,8051
|
0,9265
|
0,1214
|
8
|
8–9
|
9
|
1,45
|
2,03
|
0,9265
|
0,9788
|
0,0523
|
9
|
9-∞
|
4
|
2,03
|
∞
|
0,9788
|
1
|
0,0212
|
Где: t1= , t2 = , ai, bi – границы интервала, Ф(t) – Функция распределения нормального закона.
pi = Ф(t2) – Ф(t1)
Так как проверка
гипотезы о распределении производится по критерию , составляем еще одну таблицу для
вычислений:
№ интервала
|
pi
|
mi
|
n* pi
|
|
1
2
|
0,0708
|
13
|
15,57
|
0,4242
|
3
|
0,1159
|
19
|
25,5
|
1,6569
|
4
|
0,1916
|
42
|
42,15
|
5
|
0,232
|
68
|
51,04
|
5,6336
|
6
|
0,1948
|
44
|
42,86
|
0,0303
|
7
|
0,1214
|
21
|
26,71
|
1,2207
|
8
9
|
0,0735
|
13
|
16,17
|
0,6214
|
∑
|
|
|
|
9,5876
|
Согласно
расчетам, = = 9,5876
Выбираем
уровень значимости = 0,05 и вычисляем 1-α (k-r-1), где k – число подмножеств, r – число параметров в распределении.
0,95(7–2–1) = 0,95(4)
= 9,49.
Сравнив
полученное значение с расчетным можно сделать вывод, что так как расчетное
значение больше, следовательно, гипотеза о нормальном распределении выборки
статистического ряда не принимается.
Задача 7. По данным выборки вычислить:
а)
выборочное значение коэффициента корреляции;
б) на
уровне значимости =
0,05 проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции.
Решение
Формулируем
гипотезы Н0 и Н1:
Н0:
a1 = a2
Н1:
a1 ≠ a2
|
xi
|
xi-a1
|
(xi-a1)2
|
yi
|
yi-a2
|
(yi-а2)2
|
xi*yi
|
|
4,40
|
-0,476
|
0,2266
|
3,27
|
-0,47
|
0,2209
|
14,388
|
|
5,08
|
0,204
|
0,0416
|
4,15
|
0,41
|
0,1681
|
21,082
|
|
4,01
|
-0,866
|
0,7499
|
2,95
|
-0,79
|
0,6241
|
11,829
|
|
3,61
|
-1,266
|
1,6027
|
1,96
|
-1,78
|
3,1684
|
7,075
|
|
6,49
|
1,614
|
2,605
|
5,78
|
2,04
|
4,1616
|
37,512
|
|
4,23
|
-0,646
|
0,4173
|
3,06
|
-0,68
|
0,4824
|
12,944
|
|
5,79
|
0,914
|
0,8354
|
4,45
|
0,71
|
0,5041
|
25,765
|
|
5,52
|
0,644
|
0,4147
|
4,23
|
0,49
|
0,2401
|
23,349
|
|
4,68
|
-0,196
|
0,0384
|
3,54
|
-0,2
|
0,04
|
16,567
|
|
4,95
|
0,074
|
0,0055
|
4,01
|
0,27
|
0,0729
|
19,849
|
∑
|
48,76
|
-
|
6,9371
|
37,4
|
-
|
9,6626
|
190,36
|
a1 = = 4,876, a2 = = 3,74
1 = = 0,7708
2 = = 1,0736
n 1 = n 2 = n =6
а) Вычислим
выборочное значение коэффициента корреляции
=
б) Проверим
на уровне значимости =0,05 гипотезу о значимости коэффициента
корреляции:
(n-2)=2,306
Вычислим
величину
=
получаем,
что >0.6319 т.е. попадает в критическую
область, следовательно, коэффициент корреляции можно считать значимым.
Задача 8. По данным выборки найти:
а) точечные
оценки математического ожидания и дисперсии;
б) с
доверительной вероятностью р =1- найти доверительные интервалы для математического ожидания и
дисперсии.
α
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
x7
|
x8
|
x9
|
x10
|
0.01
|
3,85
|
8,87
|
21,26
|
6,72
|
0,29
|
15,48
|
7,48
|
0,33
|
0,34
|
1,37
|
Решение
а) Вычислим
математическое ожидание и дисперсию. Промежуточные значения поместим в таблицу.
xi
|
mi
|
mixi
|
mixi2
|
3,85
|
1
|
3,85
|
14,822
|
8,87
|
1
|
8,87
|
78,677
|
21,26
|
1
|
21,26
|
451,987
|
6,72
|
1
|
6,72
|
45,158
|
0,29
|
1
|
0,29
|
0,0840
|
15,48
|
1
|
15,48
|
239,630
|
7,48
|
1
|
7,48
|
55,950
|
0,33
|
1
|
0,33
|
0,109
|
0,34
|
1
|
0,34
|
0,115
|
1,37
|
1
|
1,37
|
1,877
|
∑65,99
|
10
|
65,99
|
888,409
|
Математическое
ожидание:
m==
Дисперсия:
δ2==
б) с доверительной вероятностью р =1- найти доверительные интервалы для математического ожидания и
дисперсии, считая, что выборка получена из нормальной совокупности.
Определим
из таблиц значение , где ;
Доверительный
интервал для математического ожидания имеет вид:
Подставив
полученные значения, найдем доверительный интервал для математического
ожидания:
0,271<M<12.927
Доверительный
интервал для дисперсии имеет вид:
Доверительный
интервал для дисперсии равен: 23,192<D<240,79.