Контрольная по теории вероятности

Контрольная по теории вероятности

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ

Факультет заочного и послевузовского обучения

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

По  дисциплине: "Теория вероятностей и элементы математической статистики"

Воронеж 2004 г.

Вариант – 9.

Задача № 1.

№№ 1-20. Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью р₁, второй – с вероятностью р₂, третий – с вероятностью р₃. Найти вероятность того, что за время работы: а) все узлы оставались исправными; б) все узлы вышли из строя; в) только один узел стал неисправным; г) хотя бы один узел стал неисправным (см. исходные данные в таблице).

p^­­₁=0,4       p₂=0,6      p₃=0,9

Решение:

Пусть событие А означает, что первый узел оказался неисправным, В оказался неисправным второй узел и С – оказался неисправным третий узел, тогда  - первый узел был исправен в промежуток времени t,  - был исправен второй узел,  - был исправен третий узел.

а) Пусть событие D означает, что все узлы оставались исправными, тогда . Поэтому , учитывая независимость событий ,  и , по теореме умножения вероятностей имеем:

б) Пусть событие Е – все узлы вышли из строя, тогда:

в) Пусть событие F – только один узел стал неисправным, тогда:

События  несовместные. Поэтому, применяя теорему сложения вероятностей несовместимых событий, получим:

г) Пусть событие D₁ – хотя бы один узел стал неисправным, тогда:

.

Задача № 2

№39. По линии связи могут быть переданы символы А, В, С. Вероятность передачи символа А равна 0,5; символа В – 0,3; символа С – 0,2. Вероятности искажения при передаче символов А, В, С равны соответственно 0,01; 0,03; 0,07. Установлено, что сигнал из двух символов принят без искажения. Чему равна вероятность, что передавался сигнал АВ?

Решение:

Пусть событие А – передача символа А, событие В – передача символа В, событие С – передача символа С, событие  - искажение при передаче символа А, событие  и  - искажения при передаче символов В и С соответственно.

По условию вероятности этих событий равны:

,  , , ,

Если события ,  и  - искажения при передаче символов, то события ,  и  - отсутствие искажений при передаче. Их вероятности:

Обозначим через D событие, состоящее в том, что были переданы два символа без искажений.

Можно выдвинуть следующие гипотезы:

Н₁ – переданы символы АА,

Н₂ – символы АВ,

Н₃ – символы ВА,

Н₄ – символы АС,

Н₅ – символы СА,

Н₆ – символы ВВ,

Н₇ – символы ВС,

Н₈ – символы СВ,

Н₉ – символы СС.

Вероятности этих гипотез:

Условные вероятности события D если имела место одна из гипотез будут:

По формуле Бейеса вычислим условную вероятность  с учетом появления события Р:

Задача № 3

№№ 41-60. Найти вероятность того, что в п независимых испытаниях событие появится: а) ровно k раз; б) не менее k раз; в) не более k раз; г) хотя бы один раз, если в каждом испытании вероятность появления этого события равна р (см. исходные данные в таблице).

Решение:

Так как число испытаний невелико, то для вычисления искомой вероятности воспользуемся формулой Бернулли:

, где

число сочетаний из п элементов по k, q=1-p. В рассматриваемом случае:

б) вероятность появления события не менее 4 раз в 5 испытаниях:

в) вероятность появления события не более 4 раз в 5 испытаниях:

г) вероятность появления события хотя бы один раз в 5 испытаниях:

Задача № 4

№№ 61-80. Дана плотность распределения f(x) случайной величины Х. Найти параметр а, функцию распределения случайной величины, математическое ожидание М[Х], дисперсию D[X], вероятность выполнения неравенства х₁<x< x₂, построить график функции распределения F(x).

Решение:

Для определения параметра а воспользуемся основным свойством плотности распределения:

, так как при  плотность распределения равна нулю, то интеграл примет вид:  или , откуда

;

Функция распределения связана с функцией плотности соотношением:

Откуда получим:

Математическое ожидание  и дисперсию  определим по формулам:

Вероятность выполнения неравенства          <x<        определим по формуле: Р(       <x<       )=F(       ) – F(       )=

Задача №5

№№ 81-100. Найти вероятность попадания в заданный интервал  нормально распределенной случайной величины, если известны ее математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение  (см. исходные данные в таблице).

Решение:

Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой:

Здесь  - функция Ломпаса, значения которой определяются по таблице. Учитывая, что функция Ф(х) нечетная, получим: