Графическое решение уравнений
Графическое
решение уравнений
Расцвет,
2009
Введение
Необходимость решать квадратные
уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с
нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного
характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные
уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н.э. Правило решения
этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с
современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого
правила.
Формулы решения квадратных уравнений
в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году
итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала
распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии,
Франции и других странах Европы.
Но общее правило решения квадратных
уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано
в Европе лишь в 1544 году М. Штифелем.
В 1591 году Франсуа Виет ввел
формулы для решения квадратных уравнений.
В древнем Вавилоне могли решить
некоторые виды квадратных уравнений.
Диофант Александрийский и Евклид, Аль-Хорезми и Омар Хайям решали
уравнения геометрическими и графическими способами.
В 7 классе мы изучали функции у =
С, у = kx, у = kx+m, у = x2, у = - x2, в 8 классе - у = √x, у =|x|, у = ax2+bx+c, у = k /x. В учебнике алгебры 9
класса я увидела ещё не известные мне функции: у = x3, у = x4, у = x2n, у = x-2n, у = 3√x, (x - a)2 + (у - b)2 = r2 и другие. Существуют правила построения графиков данных функций.
Мне стало интересно, есть ли ещё функции, подчиняющиеся этим правилам.
Моя работа заключается в
исследовании графиков функций и графическом решении уравнений.
1. Какие бывают функции
График функции - это множество всех
точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргументов, а
ординаты - соответствующим значениям функции.
Линейная функция задаётся уравнением
у = kx + b, где k и b - некоторые числа. Графиком этой функции является прямая.
Функция обратной пропорциональности у
= k/x, где k ¹ 0.
График этой функции называется гиперболой.
Функция (x - a)2 + (у - b)2 = r2, где а, b и r - некоторые числа. Графиком этой функции является окружность
радиуса r с центром в т. А (а, b).
Квадратичная функция y = ax2 + bx + c где а, b, с - некоторые числа и а
¹ 0. Графиком этой
функции является парабола.
Уравнение у 2(a - x) = x2(a+ x). Графиком этого
уравнения будет кривая, называемая строфоидой.
Уравнение . График этого уравнения
называется астроидой.
Кривая
(x2 y2 - 2 a x)2 =4 a2
(x2 + y2). Эта кривая называется кардиоидой.
Функции: у = x3 - кубическая парабола, у = x4, у = 1/x2.
2. Понятие уравнения,
его графического решения
Уравнение - выражение, содержащее переменную.
Решить уравнение - это значит найти все его корни, или доказать, что их нет.
Корень уравнения - это число, при подстановке которого в уравнение получается
верное числовое равенство.
Решение уравнений
графическим способом позволяет найти точное
или приближенное значение корней, позволяет найти количество корней уравнения.
При построении графиков и решении
уравнений используются свойства функции, поэтому метод чаще называют
функционально-графическим.
Для решения уравнение «делим» на две
части, вводим две функции, строим их графики, находим координаты точек
пересечения графиков. Абсциссы этих точек и есть корни уравнения.
3. Алгоритм построения
графика функции
Зная график функции у = f(x), можно построить графики функций у = f (x+m), у = f(x)+l и у = f (x+ m)+ l. Все эти графики получаются из графика функции у = f(x) с помощью преобразования параллельного переноса: на │m│ единиц масштаба вправо или влево вдоль оси x и на │l│ единиц масштаба вверх или вниз вдоль оси y.
4. Графическое решение
квадратного уравнения
На примере квадратичной функции мы
рассмотрим графическое решение квадратного уравнения. Графиком квадратичной
функции является парабола.
Что знали о параболе древние греки?
Современная математическая символика
возникла в 16 веке.
У древнегреческих же математиков ни
координатного метода, ни понятия функции не было. Тем не менее, свойства
параболы были изучены ими подробно. Изобретательность античных математиков
просто поражает воображение, - ведь они могли использовать только чертежи и
словесные описания зависимостей.
Наиболее полно исследовал параболу,
гиперболу и эллипс Аполоний Пергский, живший в 3 веке до н.э. Он же дал
этим кривым названия и указал, каким условиям удовлетворяют точки, лежащие на
той или иной кривой (ведь формул-то не было!).
Существует алгоритм построения
параболы:
• y0=ахо2+вх0+с;
• Находим ось симметрии
параболы (прямая х=х0);
• Составляем таблицу значений
для построения контрольных точек;
• Строим полученные точки и
построим точки им симметричные относительно оси симметрии.
1. По алгоритму построим параболу y = x2 - 2x - 3. Абсциссы точек
пересечения с осью x и есть корни квадратного
уравнения x2 - 2x - 3 = 0.
Существует пять способов
графического решения этого уравнения.
2. Разобьём уравнение на две
функции: y=x2 и y= 2x + 3. Корни уравнения -
абсциссы точек пересечения параболы с прямой.
3. Разобьём уравнение на две
функции: y=x2 -3 и y =2x. Корни уравнения - абсциссы точек пересечения параболы с прямой.
4. Преобразуем уравнение x2 - 2x - 3 = 0 при помощи выделения
полного квадрата на функции: y= (x -1)2 и y=4. Корни уравнения - абсциссы точек пересечения параболы с прямой.
5. Разделим почленно обе части
уравнения x2 - 2x - 3 = 0 на x, получим x - 2 - 3/x = 0, разобьём данное
уравнение на две функции: y = x - 2, y = 3/x. Корни уравнения -
абсциссы точек пересечения прямой и гиперболы.
5. Графическое решение
уравнений степени n
Пример 1. Решить уравнение x5 = 3 - 2x.
Корнями данного уравнения является
абсцисса точки пересечения графиков двух функций: y = x5, y = 3 - 2x.
Ответ: x = 1.
Пример 2. Решить уравнение 3√x = 10 - x.
Корнями данного уравнения является
абсцисса точки пересечения графиков двух функций: y = 3√x, y = 10 - x.
Ответ: x = 8.
Заключение
Рассмотрев графики функций: у = ax2+bx+c, у = k /x, у = √x, у =|x|, у = x3, у = x4, у = 3√x, я заметила, что все эти графики строятся по правилу параллельного
переноса относительно осей x и y.
Графические способы решения
уравнений красивы и понятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого
уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков могут быть приближёнными.
В 9 классе и в старших классах я
буду ещё знакомиться с другими функциями. Мне интересно знать: подчиняются ли
те функции правилам параллельного переноса при построении их графиков.
На следующий год мне хочется также
рассмотреть вопросы графического решения систем уравнений и неравенств.
Литература
1. Алгебра. 7 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных
учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.
2. Алгебра. 8 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/
А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.
3. Алгебра. 9 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных
учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.
4. Глейзер Г.И. История математики в школе. VII-VIII классы. - М.:
Просвещение, 1982.
5. Журнал Математика №5 2009; №8 2007; №23 2008.
6. Графическое решение уравнений сайты в Интернете: Тол ВИКИ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3-6.htm.