Некоторые линейные операторы
Содержание
Введение
§1. Определение линейного
оператора. Примеры
§2. Непрерывные линейные
операторы в нормированном пространстве. Ограниченность и норма линейного
оператора
§3. Обратный оператор. Спектр
оператора и резольвента
§4. Оператор умножения на
непрерывную функцию
§5. Оператор интегрирования
§6. Оператор
дифференцирования
§7. Оператор сдвига
Заключение
Введение
Наиболее доступными для изучения среде операторов, действующих в линейных
нормированных пространствах, являются линейные операторы. Они представляют
собой достаточно важный класс операторов, так как среди них можно найти
операторы алгебры и анализа.
Целью дипломной работы является показать некоторые из линейных
операторов, исследовать их на непрерывность и ограниченность, найти норму
ограниченного оператора, а также спектр оператора и его резольвенту.
В первом и втором параграфах приведены основные сведения теории
операторов: определение линейного оператора, непрерывности и ограниченности
линейного оператора, его нормы. Рассмотрены некоторые примеры.
В третьем параграфе даны определения обратного оператора, спектра
оператора и его резольвенты. Рассмотрены примеры.
В четвертом параграфе исследуется оператор умножения на непрерывную
функцию: Ах(t) = g(t)x(t).
В пятом параграфе приведен пример оператора интегрирования Аf(t)=.
В седьмом параграфе исследуется оператор сдвига Af(x) = f(x+a).
Показана линейность, непрерывность, ограниченность, найдена норма, точки
спектра и резольвента всех трех операторов.
В шестом параграфе исследуется оператор дифференцирования Дf(x)=f/(x), в пространстве дифференцируемых функции D[a, b]. Показана его линейность. Доказано,
что Д не является непрерывным оператором, а также как из неограниченности
оператора следует его разрывность.
§1. Определение линейного оператора. Примеры
Определение 1. Пусть Ex и Ey [1]– линейные пространства над полем комплексных (или действительных)
чисел. Отображение А: Ex ® Ey называется линейным оператором,
если для любых элементов х1 и х2 пространства Ex и любого комплексного
(действительного) числа выполняются
следующие равенства [2]:
1.
А(х1+х2)
= Ах1 + Ах2;
2.
А(х) = А(х);
Примеры линейных операторов:
1) Пусть Е = Е1 – линейное топологическое пространство. Оператор
А задан формулой:
Ax = x для всех x Е.
Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя является
линейным и называется единичным оператором.
2) Рассмотрим D[a,b] – пространство дифференцируемых
функций, оператор дифференцирования Д в пространстве D[a,b] задан формулой:
Дf(x)
= f/(x).
Где f(x) D[a, b], f/(x) C[a, b].
Оператор Д определен не на всем пространстве C[a, b], а лишь на множестве функций имеющих
непрерывную производную. Его линейность, очевидно, следует из свойств
производной.
3) Рассмотрим пространство С[-, +]
– пространство непрерывных и ограниченных функций, оператор А сдвигает функцию
на const a:
Аf(x) = f(x+a).
Проверим линейность оператора А:
1) А(f+g) = (f+g)(x+a) = f(x+a) + g(x+a)
= А(f) + А(g).
Исходя из определения суммы функции, аксиома аддитивности выполняется.
2) A(kf(x))
= kf(x+a) = kA(f(x)).
Верна аксиома однородности.
Можно сделать вывод, что А – линейный оператор.
4) Пусть (пространство непрерывных функций на отрезке [0,1],
и дано отображение 1,
заданное формулой:
Так как
интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции является функцией
дифференцируемой, а, следовательно, непрерывной, то . В силу линейности определенного интеграла
данное отображение является линейным оператором.
§2. Непрерывные линейные операторы в нормированном
пространстве. Ограниченность и норма линейного оператора
Пусть , – нормированные
пространства.
Определение 2 .Оператор А: Е Е1 называется непрерывным
в точке ,
если какова бы не была последовательность xn x0, А(xn) сходится к А(x0). То есть, при p (xn, x0) 0, p (А(xn), А(x0)) 0.
Известно и другое (равносильное) определение непрерывности линейного
оператора.
Определение 3. Отображение А называется непрерывным в точке x0, если какова бы не была окрестность[3]
U точки y0 = А (x0) можно указать окрестность V точки x0 такую, что А(V) U.
Иначе >0 >0, что как только p (x, x0) < , p (f(x), f(x0)) < .
Теорема 1.
Если линейный оператор непрерывен в точке х0 = 0, то он
непрерывен и в любой другой точке этого пространства.
Доказательство. Линейный оператор А непрерывен в точке х0=0 тогда
и только тогда, когда .
Пусть оператор А непрерывен в точке х0=0. Возьмем последовательность
точек пространства хn®х1, тогда хn–х1®0, отсюда А(хn–х1)®А(0)=0, т. е. А(хn–х1)®0.
Так как А – это линейный оператор, то А(хn–х1)®Ахn–Ах0, а тогда
Ахn-Ах0 ® 0, или Ахn®Ах0.
Таким образом,
из того, что линейный оператор А непрерывен в точке х0=0, следует
непрерывность в любой другой точке пространства.
т. д-на.
Пример.
Пусть задано отображение F(y) = y(1) пространства С[0, 1] в R. Проверим, является ли это
отображение непрерывным.
Решение.
Пусть y(x) – произвольный элемент пространства
С[0, 1] и yn(x) – произвольная сходящаяся к нему
последовательность. Это означает:
p (yn, y) = |yn(x)- y(x))| = 0.
Рассмотрим последовательность образов: F(yn) = yn(1).
Расстояние в R определено следующим образом:
p (F(yn), F(y)) = |F(yn) - F(y))| = | yn(1) - y(1)| |yn(x)- y(x))|=p(yn,y),
то есть p (F(yn), F(y)) 0.
Таким образом, F непрерывно в любой точке
пространства С[a, b], то есть непрерывно на всем
пространстве.
С понятием непрерывности линейного оператора тесно связано понятие
ограниченности.
Определение 4. Линейный оператор А: Е Е1 называется ограниченным,
если можно указать число K>0 такое, что
||Аx|| K||x||. (1)
Среди всех констант K,
удовлетворяющих (1), имеется наименьшее.
Доказательство:
Пусть множество S – множество всех констант K, удовлетворяющих (1), будучи
ограниченным снизу (числом 0), имеет нижнюю грань k. Достаточно показать, что k S.
По свойству нижней грани в S можно указать последовательность (kn), сходящуюся к k. Так как kn S, то выполняется неравенство: |А(x)| kn||x||, (xE). Переходя в этом неравенстве к
пределу
получаем |А(x)| k||x||, где (xE), (k S).
т. д-на.
Определение 5. Наименьшая из этих констант K, для которых выполняется неравенство (1), называется нормой
оператора А и обозначается ||A||[4].
||А|| K, для K, подходящего для (1), то есть |А(x)| ||А||||x||, где
||А|| = xE.
Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует
тесная связь, а именно справедлива следующая теорема.
Теорема 3.
Для того, чтобы линейный оператор А действующий из Ex в Ey был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы
оператор А был непрерывен.
Необходимость:
Дано: А – ограничен;
Доказать: А – непрерывен;
Доказательство:
Используя теорему 1 достаточно доказать непрерывность А в нуле.
Дано, что ||Аx|| K||x||.
Докажем, что А непрерывен в нуле, для этого должно выполняться >0, >0 что ||x||< ||Ax|| < .
Выберем так, чтобы K*||x|| < , ||x|| < , (К>0), значит = , тогда если ||x||< ,
то ||Аx|| K||x|| < K =
Непрерывность в нуле доказана, следовательно доказана непрерывность в точке.
Достаточность:
Дано: А – непрерывен;
Доказать А – ограничен;
Доказательство:
Допустим, что А не ограничен. Это значит, что числу 1 найдется хотя бы
один соответственный вектор x1 такой, что ||A x1|| > 1|| x1||.
Числу 2 найдется вектор x2, что ||A x2|| > 2|| x2|| и т.д.
Числу n найдется вектор xn, что ||A xn|| > n|| xn||.
Теперь рассмотрим последовательность векторов yn = , где
||yn|| = .
Следовательно последовательность yn 0 при n .
Так как оператор А непрерывен в нуле, то Аyn 0, однако
||Аyn || = ||A|| = ||Axn || > n|| xn|| = 1, получаем противоречие с Аyn 0, то есть А – ограничен
Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора
эквивалентны.
Примеры.
1) Покажем, что норма функционала[5] F(y) = в C[a, b], где p(x) – непрерывная на [a,b] функция, равна .
По определению 5: ||F|| = |F(x)| = ||.
|| || = |y(x)||| |y(x)|||;
||F|| = (|y(x)|||) = ||y(x)|||| = || .
Таким образом, норма F(y) = будет ||F|| = ;
2) Найдем норму функционала, определенного на C[0, 2], где p(x)=(x-1)
F(y) = .
По выше доказанному ||F|| = = 1.
§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента
Пусть , – нормированные
пространства, –
линейный оператор, DA- область определения
оператора, а RA – область значений.
Определение 6. Оператор А называется обратимым, если для
любого элемента у, принадлежащего RA, уравнение Ах=у имеет единственное решение.
Если оператор А обратим, то каждому элементу у, принадлежащему RA, можно поставить в соответствие
единственный элемент х, принадлежащий DA и являющийся решением уравнения Ах=у. Оператор,
осуществляющий это соответствие, называется обратным оператором к
оператору А и обозначается А-1.
Теорема 4.
Для того чтобы линейный оператор имел ограниченный обратный оператор
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:
,
(m>0).
Доказательство:
Достаточность.
Пусть выполняется данное неравенство. Тогда равенство Ax=0 возможно лишь тогда, когда x – нулевой вектор. Получим 0 m*||x||, отсюда ||x|| 0, но так как норма не может быть <0, то x=0. А обращается в ноль лишь на
нулевом векторе. Итак, А-1 существует.
Докажем его ограниченность.
y=Ax.
x=A-1y, норма ||A-1y||=||x||, но ||x|| ||Ax||=||y||.
Отсюда ||A-1y|| ||y||, то есть обратный оператор
существует и он ограничен.
Если за m возьмем наибольшую из
возможных, то получим, что ||A-1||=.
Необходимость.
Пусть от А имеется ограниченный обратный А-1 на нормированном
пространстве.
Итак, ||A-1y|| М||y||.
Подставляем значение y и
значение A-1y,получим ||x|| M||Ax|| (М всегда можно считать
положительным числом).
Отсюда ||Ax|| ||x||.
Положим =m, получим ||Ax|| m||x||.
т. д-на.
В
теории операторов важную роль играет понятие спектра оператора. Рассмотрим это
понятие сначала для конечномерного пространства.
Определение
7. Пусть А –
линейный оператор в n-мерном пространстве Еn. Число λ называется собственным
значением оператора А, если уравнение Ах=λх имеет ненулевые решения.
Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора
А, а все остальные значения λ – регулярными. Иначе говоря, λ
есть регулярная точка, если оператор , где I – единичный оператор, обратим, При этом оператор (А – λI)-1, как и всякий оператор
в конечномерном пространстве, ограничен. Итак, в конечномерном пространстве
существуют две возможности:
1)
уравнение
Ах=λх имеет ненулевое решение, то есть λ является собственным
значением для оператора А; оператор (А – λI)-1 при этом не существует;
2)
существует
ограниченный оператор (А – λI)-1, то есть λ есть регулярная точка.
3)
оператор
(А – λI)-1 существует, то
есть уравнение Ах=λх имеет лишь нулевое решение, но этот оператор не
ограничен.
Введем
следующую терминологию. Число λ мы назовем регулярным для оператора
А, действующего в линейном нормированном пространстве Е, если оператор (А –
λI)-1, называемый резольвентой
оператора А, определен на всем пространстве Е и непрерывен.
Совокупность всех остальных значений λ называется спектром
оператора А. Спектру принадлежат все собственные значения оператора А, так как,
если (А – λI)х=0 при некотором х≠0,
то оператор (А – λI)-1 не существует.
Их совокупность называется точечным спектром. Остальная часть спектра,
то есть совокупность тех λ, для которых (А – λI)-1 существует, но не
непрерывен, называется непрерывным спектром. Итак, каждое значение
λ является для оператора А или регулярным, или собственным значением, или
точкой непрерывного спектра. Возможность наличия у оператора непрерывного
спектра – существенное отличие теории операторов в бесконечномерном
пространстве от конечномерного случая.
Определение
8. Оператор , где – регулярная точка оператора А,
называется резольвентой[6] оператора А и
обозначается (или
).
Теорема
5. Пусть – линейный непрерывный
оператор, его
регулярные числа. Тогда .
Доказательство. Умножим обе части равенства
на : (==. С другой стороны получим . Так как числа – регулярные для оператора А, то оператор имеет обратный. Значит,
из равенства следует, что . Значит, утверждение
теоремы верно.
т. д-на.
Примеры.
1) Рассмотрим в пространстве C[0,1] оператор умножения на независимую
переменную t: Ax = tx(t).
Уравнение Аx=x принимает в этом случае вид:
tx(t) - x(t) = y(t),
решение x(t) этого уравнения есть функция,
тождественно ему удовлетворяющая.
Если лежит
вне отрезка [0, 1], то уравнение Аx=x имеет при любом y(t) единственное непрерывное решение:
x(t) = y(t),
откуда следует, что все такие значения
параметра являются регулярными, и
резольвента есть оператор умножения на :
R(y) = y(t).
Все значения параметра, принадлежащие
отрезку[0, 1], являются точками спектра. В самом деле, пусть 0 [0, 1]. Возьмем в
качестве y(t)
какую-нибудь функцию, не обращающуюся в нуль в точке 0, y(0) = a 0. Для такой функции
равенство (t - 0)x(t) = y(t), не может тождественно удовлетворяться ни при какой непрерывной на
отрезке [0, 1] функции x(t), ибо в точке t = 0 левая часть его равна нулю, в то время как правая отлична от нуля.
Следовательно, при = 0 уравнение Аx=x не имеет решения для произвольной правой части, что и доказывает
принадлежность 0 спектру оператора A. Вместе с тем ни
одна точка спектра не является собственным значением, так как решение
однородного уравнения (t - )x(t) = 0, [0,
1], при любом t, отличном от , а
следовательно, в силу непрерывности и при t = ,
обращается в нуль, т.е. тождественно равно нулю.
2) Пусть оператор А действующий из Е Е, задается матрицей А=.
Аx = = .
Введем обозначения:
= y1
= y2
x1, x2, y1, y2 E;
A - *I = , найдем определитель A - *I:
D(A - *I) = = (2-)*(-2-) –
3 = 2 – 7;
Если определитель отличен от нуля, то
есть если не есть корень уравнения 2 – 7 = 0, следовательно, все такие значения параметра регулярные.
Корни уравнения 2 – 7 = 0 образуют спектр:
1 = ; 2 = -;
1, 2 – собственные значения.
Найдем собственные векторы для
собственных значений :
при = получаем:
откуда x1 = (2+)x2; 1-й собственный вектор: ((2+)x, x);
при = - получаем:
откуда x1 = (2 - )x2 ; 2-й собственный вектор: ((2 - )x, x);
§4. Оператор
умножения на непрерывную функцию
Рассмотрим
пространство непрерывных
на отрезке функций,
и оператор А, заданный формулой:
Ах(t) = g(t) x(t).
g(t) - функция, непрерывная на [a, b]; a,bR.
Проверим является ли оператора А линейным, то есть, по определению 1,
должны выполняться аксиомы аддитивности и однородности.
1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).
A(f+g)
= (g(t)+f(t))x(t)
= g(t)x(t)+f(t)x(t) =
A(f) + A(g).
2) Аксиома однородности: A(k*f) = k*A(f).
A(k*f)
= A(k*x(t)) =
k*g(t)x(t) = kA(x(t)) =
k*A(f).
По средствам арифметических операции над функциями, аксиомы аддитивность
и однородность выполняются. Оператор А является линейным по определению.
3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением
непрерывности:
p (fn(x), f0(x)) 0 p (A fn(x), Af0(x)) 0.
Оператор А, действует в пространстве C[], в котором расстояние между
функциями определяется следующим образом:
p (fn(x), f0(x)) = | fn(x) - f0(x)|.
Решение:
p (A xn(t), Ax0(t)) = |Axn(t) - Ax0(t)| = |xn(t)g(t) - x0(t)g(t)| |g(t)| |xn(t) - x0(t)|
= |g(t)|p (xn(t), x0(t))
0.
Итак, p (A xn(t), Ax0(t)) 0. Следовательно по определению
2 оператор А является непрерывным, а по теореме 3 он ограничен.
4) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму.
По определению 5: ||A||=|A(f)|.
Решение.
||A||=|A(f)|=|g(t)x(t)|.
|g(t)x(t)| |g(t) x(t)| = |g(t)| |x(t)| |x(t)| |g(t)|.
||A||= |x(t)| |g(t)| = ||x(t)|| |g(t)| |g(t)|.
Норма оператора А: ||A|| = |g(t)|.
5) Обратимость оператора А, его спектр и резольвента.
Возьмем произвольное число и составим оператор :
(А-lI) x(t) = (g(t) –l ) х(t).
Чтобы найти обратный оператор, нужно решить уравнение относительно функции . Это возможно, если для любого :
.
Если число не
является значение функции g(t), то знаменатель не обращается в 0,
и функция непрерывна
на данном отрезке, а, значит, ограничена: существует такое число С, что на всем
отрезке . Отсюда
следует, что оператор является
ограниченным.
Если же ,
то оператор не
существует. Следовательно, спектр оператора состоит из всех l = g(t).
Резольвента оператора имеет вид .
Отметим, что точки спектра , , не являются собственными числами. Не
существует такой непрерывной функции , для которой , или . Поэтому весь спектр данного оператора
является непрерывным.
Вывод:
Оператор A, заданный формулой: Ах(t) = g(t)x(t), где g(t) - функция, непрерывная на [a, b], a,bR:
2.
непрерывный;
3.
ограниченный,
с нормой ||A|| = |g(t)|;
4.
обратим
при , для любого ;
5.
спектр
оператора состоит из всех l = g(t); спектр данного оператора является
непрерывным;
6.
резольвента
имеет вид .
§5. Оператор
интегрирования
Рассмотрим оператор интегрирования, действующий в пространстве
непрерывных функций - C[a,b], определенных на отрезке [a,b], заданный следующим образом:
Аf(t) = .
f(t) – функция, непрерывная на [a, b],t [a,x]; x [a,b]; a,bR;
Поскольку - интеграл с переменным верхним
пределом, есть функция от верхнего предела – F(x), a x b; Следовательно можно
утверждать, что А – оператор.
Проверим оператор A на линейность. По определению
1:
1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).
A(f+g) = = + = A(f) + A(g).
2) Аксиома однородности: A(kf) = kA(f).
A(kf) = = k* = kA(f).
Исходя из свойств интеграла:
1.
интеграл
от суммы, есть сумма интегралов;
2.
вынесение
const за знак интеграла.
Можно сделать вывод: оператор А является линейным.
3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся
определением непрерывности:
p (fn(t), f0(t)) 0 p (A fn(t), Af0(t))
0.
Оператор А, действует в пространстве C[a,b], в котором расстояние между
функциями определяется следующим образом:
p (fn(t), f0(t)) = | fn(t) - f0(t)|.
Решение:
p (A fn(t), Af0(t)) = | - |.
| - | = || = p (fn(t), f0(t))
= p (fn(t), f0(t))
(x-a) 0
axb.
Таким образом p (A fn(t), Af0(t)) 0. следовательно по определению 2 оператор
А непрерывен.
4) Непрерывный оператор является ограниченным (теорема 3):
|| || ||
|| = 0; || = |b-a|.
0 || |b-a|.
5) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму. Найдем
норму оператора А (используя определение ||A||=|A(f)|):
||A||
= |A(f)| = || = (x-a);
a x b;
Норма оператора А: ||A|| = (b-a);
6) Обратимость интегрального оператора и его спектр.
Возьмем пространство S = {f C[0,b] / f(0) = 0} с нормой ||f|| = |f(x)|.
В пространстве S рассмотрим оператор А:
Аf =
x [0,b], t [0,x];
Найдем оператор обратный к (A - *I), R;
(A - *I)*f
= g
- *f(x) = g(x) (1)
Пусть функции f и g дифференцируемы;
Продифференцируем уравнение (1), получим:
f - *f/ = g/ (2)
Это уравнение (2) – дифференциальное неоднородное линейное уравнение.
Решим это уравнение, используя метод Бернулли.
-
f/ =
-
+ f/ = 0 (3)
Представим решение уравнения в виде: f(x) = U(x)*V(x), тогда уравнение (3) примет вид:
-
*U*V + U/
*V + U*V/ = 0
U/ *V + U*V/ - *U*V = -
U/ *V + U*(V/ - *V) = - (4)
Решаем однородное линейное уравнение:
V/ - *V = 0
V/ = *V
=
*V
=
LnV = + c
V = *, пусть = с1
V = с1*
Подставим частное решение однородного уравнения в уравнение (4) при
условии, что V/ - *V = 0.
Получим уравнение:
U/ * с1* = -
=
-
= - *
U = -*
Подставим U и V в f(x) = U(x)*V(x) и получим:
f(x) = с1**(-)*
dz = g/(x)dx;
z = = g(x);
j = ;
dj =
- *dx;
Y = g(x)*
+ *
Подставим полученное значение в выражение f(x), которое примет вид:
f(x) = - - **;
Получим оператор В:
Bg = - - **;
x [0,b], t [0,x], g(x) S, - произвольное число.
Оператор В не существует, если = 0;
Рассмотрим ограниченность оператора В для всех R, 0;
||Bg|| = ||f(x)|| = |f(x)| = |-
- **| (||
+ |**|) || + |**| || + |*|*|g(x)* |*|x| *|g(x)| + *|g(x)|* (||*|x|) |g(x)|*( + ***b);
При > 0
= ;
= 1;
При < 0
=1;
= ;
Эти оба случая можно записать в общем виде: {1, },
тогда
|g(x)|*( + ***b) |g(x)|*( + *{1, }*b) = ||g(x)||*( + *{1, }*b);
Итак:
||Bg|| ||g(x)||*( + *{1, }*b);
То есть В – ограничен.
Осталось проверить, что В – оператор, обратный к (A - *I).
Если это так, то произведение этих операторов равно единичному оператору
или же (A - *I)*(Bg) = g(x).
Итак, нужно доказать, что
+ g(x) + * = g(x)
или
-* - + ** = 0; (*)
Возьмем производную от левой части (*) и получим:
-*g(x) - ** + ** + *** g(x) = -*g(x) + *g(x) - ** + ** = 0;
Следовательно, выражение (*) = const. Но, так как при x=0 выражение (*) (точнее его
левая часть) равно 0, то и const=0.
Значит В – обратный оператор к (A - *I) в S.
Итак, мы получили ограниченный оператор В, обратный к (A - *I), который существует при R, за исключением =0, то есть все возможные 0 – это регулярные точки оператора А; Сам же оператор В –
резольвента оператора А. Спектр оператора А – значение при которых В не существует, то есть =0.
Вывод:
Оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций –
C[a,b], определенных на отрезке [a,b], заданный следующим образом: Аf(t) = , где f(t) – функция, непрерывная на [a, b], t [a,x]; x [a,b]; a,bR:
1.
линейный;
2.
непрерывный;
3.
ограниченный:
0 || |b-a|;
4.
норма A: ||A|| = (b-a);
5.
резольвента
оператора А: R(A) = - - **, где
x [0,b], t [0,x], g(x) S, S = {f C[0,b] / f(0) = 0} с нормой ||f||=|f(x)|, g(x) = - *f(x), - произвольное число.
6.
Спектр
оператора А: =0.
§6. Оператор
дифференцирования.
Рассмотрим оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых
функций – D[a,b], заданный следующим образом:
Дf(x)
= f/(x);
Функция f(x) D[a, b], f/(x) C[a, b];
Проверим оператор Д на линейность, по определению 1:
1) Аксиома аддитивности: Д(f+g) = Д(f) + Д(g).
Д(f+g) = (f+g)/ = f/ + g/ = Д(f) + Д(g).
2) Аксиома однородности: Д(kf) = kД(f).
Д(kf) = (kf)
/ = k(f)/ = kД(f).
Исходя из свойств производной:
1.
производная
от алгебраической суммы нескольких функций равна алгебраической сумме их
производных;
2.
постоянный
множитель можно вынести за знак производной.
Можно утверждать, что Д – линейный оператор.
3) Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора
эквивалентны, это следует из теоремы 3.
3.1) Для начала покажем, что Д не является непрерывным оператором.
Задан оператор Дf(x) = f/(x) подпространства E C[0, 2], состоящего из непрерывно
дифференцируемых функций, в пространство C[0, 2].
Рассмотрим f0(x) = 0 C[0, 2] и последовательность функций
fn(x)=.
В пространстве E C[0, 2]: p (f0, fn) = || = 0, следовательно fn f0.
Рассмотрим последовательность образов: Д(fn ) = cos(nx).
Имеем:
p (Дfn, Дf0) = |cos(nx)| = 1.
Это означает, что Дfn не может сходиться к Дf0 , то есть отображение Д терпит разрыв в f0.
Поскольку оператор не является непрерывным, то, следовательно, он и не
является ограниченным.
3.2) Теперь покажем, как из неограниченности оператора следует его
разрывность.
Пусть оператор Д действует из C[0, 1] в C[0, 1], оператор Дf(x) = f/(x);
Этот оператор определен не на всем пространстве непрерывных функций, а
лишь на подпространстве непрерывных функций, имеющих непрерывную производную.
В пространстве C[0, 1] норма ||f|| = |f(t)|.
Рассмотрим Д fn(t): Д fn(t) = f/n(t)
= n tn-1;
||f/n(t)|| = |n tn-1| = n.
В результате получили, что оператор Д переводит ограниченное множество в
неограниченное, значит, по определению этот оператор не является ограниченным,
а по теореме 3 не является непрерывным.
Вывод:
Оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых
функций – D[a,b], заданный следующим образом: Дf(x)=f/(x), где функция f(x) D[a, b], f/(x) C[a, b]:
1.
линейный;
2.
не
ограниченный;
3.
не
непрерывный.
§7. Оператор
сдвига
Рассмотрим оператор А, действующий в пространстве непрерывных и
ограниченных функций – C[], заданный следующим образом:
Af(x) = f(x+a).
Функции f(x), f(x+a) C[], a R, f(x+a) – непрерывная и ограниченная
функция.
Покажем линейность оператора А, по определению 1 должны выполняться
следующие аксиомы :
1) Аксиома аддитивности: А(f+g) = А(f) + А(g).
А(f+g) = (f+g)(x+a)
= f(x+a) + g(x+a) = А(f) + А(g).
По определению суммы функции, аксиома верна.
2) Аксиома однородности: А(kf) = kА(f).
A(k*f(x))
= k*f(x+a) = k*A(f(x)).
Аксиомы 1 и 2 верны, следовательно можно сделать вывод, что А – линейный
оператор.
3) Проверим является ли оператор A непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:
p (fn(x), f0(x)) 0 p (A fn(x), Af0(x)) 0.
Оператор А действует в пространстве C[], в котором расстояние между
функциями определяется следующим образом:
p (fn(x), f0(x)) = | fn(x) - f0(x)|.
Решение:
p (A fn(x), Af0(x)) = |Afn(x) - Af0(x)| = |fn(x+a) - f0(x+a)| = = |fn(t) - f0(t)| = p (fn(t), f0(t)) 0.
Таким образом p (A fn(x), Af0(x)) 0. Следовательно оператор А непрерывен.
4) Непрерывный оператор является ограниченным, а у ограниченного
оператора есть норма, найдем норму оператора А (по определению 5):
||A|| = |Af| = |f(x+a)| 1.
Поскольку ||f|| = |f(x)| 1.
Норма А: ||A|| = 1.
5) Обратимость оператора А: Af(x) = f(x+a)
Такой оператор A сдвигает функцию на const a;
обратный к A оператор будет сдвигать
функцию на const (-a):
A-1f(x) = f(x-a).
6) Спектр оператора А.
Рассмотрим пространство непрерывных функций – С[0, +), имеющих конечный предел на :
Af(x) = f(x+a), a0.
Вопрос о спектре оператора А касается разрешимости в пространствах С[0,b) и С[а,+).
Введем функцию V(x) = при ||<1,
0, найдем ее предел:
= 0
Следовательно рассмотренная функция входит в пространство С[0,+).
Теперь рассмотрим V(x+a) = = * = *V(x).
Для =0
подберем непрерывную функцию = 0 при x а и не
равную 0 при x [0, a]. Для этой функции A(V(x)) = 0 то есть она является
собственным вектором для числа 0; функция V(x) = с, так же удовлетворяет
разностному отношению V(x) - V(x+a) = 0. Значит =1
точечному
спектру и в том и в другом пространстве. И все точки внутри единичного круга точечному спектру.
Покажем, что остальные точки окружности точечному спектру оператора А в пространстве
С[0, +).
Рассмотрим U(x) = и число = (|| = 1);
U(x+a) = = = U(x);
U(x) = = Cos() + iSin(), принадлежит пространству С[0,b) так как мнимая и действительная
части – функции ограниченные, но не принадлежат пространству С[a, +) так как не имеют конечного предела на .
Если точки лежат вне единичного круга, то они регулярные для оператора А
в 2-х пространствах.
Покажем, что в пространстве С[0, +) точки = , 2n не будут собственными числами.
Докажем это от противного: пусть найдется = , 2n – собственное число, тогда найдется функция f(x) С[0,
+), что
f(x+a) = f(x).
Применим оператор А n раз: f(x+n*a) = nf(x), тогда
f(x+na) = nf(x), у левой части предел
конечен;
правая часть предела не имеет, так как не имеет предела
последовательность n = = Cos(n) + iSin(n).
Следовательно =
, 2n собственным числом не является.
Эти точки будут принадлежать спектру оператора А в пространстве С[0,+), так как спектр замкнутое
множество и граница единичного круга должна принадлежать спектру оператора А в
пространстве С[0, +).
Сделаем вывод:
При ||>1 все точки регулярные;
При ||<1
и =1 – точки
спектра;
При = , 2n – точки непрерывного спектра.
Вывод:
Оператор А, действующий в пространстве непрерывных и ограниченных функций
– C[], заданный следующим образом: Af(x) = f(x+a), где функции f(x), f(x+a) C[], a R, f(x+a) – непрерывная и ограниченная
функция:
1.
линейный;
2.
непрерывный
и ограниченный;
3.
норма А:
||A|| = 1;
4.
A-1f(x) = f(x-a);
5.
Спектр
оператора А:
·
при ||<1 и =1 – точки спектра;
·
при = , 2n – точки непрерывного спектра;
·
При ||>1 все точки
регулярные.
Заключение
Список литературы
1.
Колмогоров,
А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст]/ А.Н. Колмогоров,
С.В. Фомин. – М.: Наука; Главная редакция физико–математической литературы,
1972.
2.
Соболев,
В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа [Текст] / В.И.
Соболев. - М.: Наука, 1968.
3.
Петров,
В.А., Виленкин, Н.Я, Граев, М.И. Элементы функционального анализа в задачах
[Текст]/ В.А. Петров, Н.Я. Виленкин, М.И. Граев под ред. О.А. Павлович. - М.:
Просвещение, 1978.
4.
Данфорд,
Н. Линейные операторы. Общая теория [Текст]/ Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц; под ред.
А.Г. Костюченко; пер. с англ. Л.И. Головина, Б.С. Литягина. – М.: Издательство
иностранной литературы, 1926.
[1] Ex и Ey -
линейные многообразия, то есть если x, y Ex , то x + y Ey , при , .
Ex – область определения А;
Ey
- область значения А;
[2] Равенства 1 и 2 определяются как аксиомы аддитивности и однородности;
[3]Шаром в метрическом пространстве
называется совокупность элементов x пространства, удовлетворяющих условию p (xn, x0) < а.
Шар D(x0, a).
Если p (xn, x0) а, то D(x0, a) – замкнутый шар.
Если p (xn, x0) = а, то S(x0, a) – сфера.
Всякий шар
метрического пространства, содержащий точку y, называется окрестностью
точки y.
[4]Свойства нормы оператора.
1) Если
оператор ограничен,
, то и оператор ограничен, причем .
2) Если
операторы ограничены,
то и оператор ограничен,
причем и .
[5]Линейный функционал, есть
частный случай линейного оператора. Именно, линейный функционал есть линейный
оператор, переводящий пространство E в числовую прямую.
[6] Резольвента – это
функция комплексного переменного со значениями во множестве операторов,
определенная на множестве регулярных чисел данного оператора.