Введение_______________________________________________________
|
3
|
Глава 1.Операторные
уравнения.___________________________________
|
4
|
|
§1. Определение линейного оператора________________________
|
4
|
|
§2. Норма линейного оператора______________________________
|
5
|
|
§3. Обратные
операторы____________________________________
|
5
|
|
§4. Абстрактные
функции___________________________________
|
9
|
|
§5. Аналитические абстрактные функции и ряды Тейлора________
|
11
|
|
§6. Метод малого параметра в простейшем
случае______________
|
12
|
|
§7. Метод малого параметра в общем
случае___________________
|
13
|
|
§8. Метод продолжения по
параметру________________________
|
15
|
|
8.1. Формулировка основной
теоремы___________________
|
15
|
|
8.2. Простейший случай продолжения по
параметру_______
|
16
|
Глава 2.
Приложение_____________________________________________
|
19
|
Литература_____________________________________________________
|
27
|
Введение
Функциональный
анализ – мощное средство для решения математический задач, возникающих в
реальных ситуациях, он имеет множество приложений в различных областях
математики, его методы проникают в смежные технические дисциплины.
Многие
задачи математической физики, теории упругости, гидродинамики сводятся к
отысканию решения дифференциального линейного уравнения, что, в свою очередь,
приводит к задаче отыскания решения уравнения Аx = y с линейным оператором А. В
данной работе рассмотрены два метода решения операторных уравнений.
Цель данной работы:
рассмотреть основы теории линейных операторов и методы решения операторных
уравнений – метод малого параметра и метод продолжения по параметру, показать
применение этих методов к решению задач.
Изучив имеющийся
материал по данной теме, я поставила перед собой следующие задачи:
1. раскрыть некоторые основы
теории линейных операторов, необходимые для освоения методов решения
операторных уравнений;
2. проиллюстрировать на
конкретных примерах способы решения операторных уравнений и дать пояснения по
ходу решения конкретных задач.
Так как выделение
из функционального анализа его прикладной части, содержащей конструктивные
методы получения решений задач, преследует методическую цель – сделать эти
методы доступнее тем, кто занимается приложениями математики. Поэтому данная
работа разделена на две главы, в первой содержатся необходимые теоретические
обоснования способов решения операторных уравнений и суть обоих методов, а во
второй – решения конкретных задач.
Глава
1. Операторные уравнения
§1.Определение линейного
оператора
Пусть X и Y –
линейные пространства, оба вещественные или оба комплексные.
Оператор А: X →
Y с областью определения D(А) называется линейным, если
А(λ1x1
+ λ2x2) = λ1А(x1)
+ λ2А(x2)
для любых x1,x2
Î D и
любых скаляров λ1 и λ2.
Пусть X и Y –
нормированные пространства и А: X → Y, где А – линейный оператор, всюду
заданный в X (т.е. D(А) = X).
Оператор А
называется непрерывным в точке x0 Î X, если Аx → Аx0 при
x → x0. Но судить о непрерывности линейного оператора в
различных точках x0 Î X можно по непрерывности его в нуле
пространства X.
Теорема 1. Пусть линейный оператор А всюду задан в банаховом пространстве X и
со значениями в банаховом пространстве Y непрерывен в точке 0 Î X; тогда А непрерывен в любой
точке x0 Î X.
Доказательство. Рассмотрим равенство Аx – Аx0 = А (x – x0). Если
x → x0, то z = x – x0 → 0. По непрерывности в
нуле Аz → 0, но тогда Аx – Аx0 → 0, что и требовалось
доказать.
Линейный оператор
А называется непрерывным, если он непрерывен в точке x = 0.
Пусть S1(0)
– замкнутый шар ||x|| ≤ 1 в банаховом пространстве X.
{ ||Аx||,
||x|| ≤ 1}.
Согласно
определению, если А ограничен, то существует постоянная с > 0
такая, что для любых x с ||x|| ≤ 1
справедливо неравенство
||Аx||
≤ с (1)
Теорема 2. А ограничен тогда и только тогда, когда справедлива оценка
||Аx||
≤ с ||x|| (2)
для любых x Î X, где с – постоянная.
Теорема 3. Пусть А: X → Y, А – линейный оператор, X, Y – банаховы
пространства. Для того чтобы А был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы
он был ограниченным.
§2. Норма
линейного оператора
В линейном
пространстве непрерывных линейных операторов зададим норму следующим образом:
. (1)
Поясним, почему
существует конечное число ||А||, определяемое для любого ограниченного
оператора равенством (1). Так как А – ограничен, то множество
ограничено сверху. По теореме о
верхней грани существует .
Из свойства sup M следует,
что ||Аx|| ≤ ||А|| для всех x Î S1(0). Отсюда
||Аx|| ≤ ||А|| ||x||,
(2)
справедливое для всех x
Î X, включая x = 0. таким образом, ||А|| является
наименьшей из констант в неравенстве ||Аx|| ≤ ||А||, и,
значит, оценка (2) является наилучшей.
Пространство
нормированных непрерывных линейных операторов, действующих из X в Y, будем
обозначать L(X, Y).
§3.Обратные операторы
Системы линейных
алгебраических уравнений, интегральные уравнения, а также различные задачи для
обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с производными часто могут
быть записаны в виде линейного уравнения
Если существует
обратный оператор , то
решение задачи записывается в явном виде:
Важное значение
приобретает теперь выявление условий, при выполнении которых обратный оператор
существует и обладает теми или иными свойствами.
Пусть задан
линейный оператор: А: X → Y, где X,Y – линейные пространства,
причем его область определения D(A)X, а область значений R(A)Y.
Введем множество - множество нулей
оператора А. заметим, что N(A) не пусто, так как 0 Î N(A)
Теорема 4. Оператор А переводит D (А) в R (А) взаимно однозначно тогда и только тогда, когда N(A)=, (т.е. множество А нулей состоит только из
элемента 0)
Теорема 5. Оператор А-1 существует и ограничен на R(A) тогда и только тогда, когда для
некоторой постоянной m>0
и любого x Î D(A) выполняется неравенство
. (1)
Введем теперь
следующее важное понятие.
Будем говорить,
что линейный оператор А: X → Y непрерывно обратим, если R(A)=Y , оператор обратим и A-1 Î L(Y, X), (т.е. ограничен).
Обращаясь к
теореме 5, мы сможем сформулировать следующее утверждение.
Теорема 6. Оператор А непрерывно обратим тогда и только тогда, когда R(A)=Y и для некоторой постоянной m>0 и для всех выполняется неравенство (1).
В случае определенного
и ограниченного на всем множестве оператора A Î L(X,Y) имеется теорема Банаха об обратном операторе.
Теорема 7. Если А – ограниченный линейный оператор, отображающий взаимно
однозначно банахово пространство X на банахово пространство Y, то обратный оператор А-1
ограничен.
Иными словами,
если А Î L(X,Y), где X и Y банаховы, R(A)=Y и А обратим, то А
непрерывно обратим.
Взглянем на
понятие непрерывно обратимого оператора с точки зрения разрешимости линейного
уравнения
Ax = y (2)
Если А
непрерывно обратим, то уравнение это имеет единственное решение x = A-1y для
любой правой части у. Если при этом (решение того же уравнения с правой частью ), то . Это означает, что малое изменение
правой части y влечет малое изменение
решения, или, как принято говорить, задача (2) корректно разрешима.
Пусть А Î L(X,Y). Оператор U Î L(X,Y) будем называть правым обратным к А, если AU = Iy. Оператор V Î L(X,Y) будем называть левым
обратным к А, если VA = Ix.
Здесь через Iy (Ix) обозначен тождественный оператор в
пространстве Y (X). Ниже для правого обратного к А
используем обозначение Аr–1,
а для левого – АL–1.
Лемма 1. Если существует правый обратный Аr–1 к А, то уравнение (2) имеет
решение
x
= Аr–1 y
Если
существует левый обратный оператор к А, то уравнение (2) может иметь не более
одного решения.
Доказательство.
А(Аr–1 y) = (А Аr–1)y = y,
т.е. x = Аr–1 y обращает (2) в тождество и, значит,
является решением.
Далее, пусть
существует АL–1. рассмотрим N(A). Пусть x Î N(A), тогда Аx = 0. применим к этому
равенству оператор АL–1, тогда АL–1Аx = 0, откуда x = 0. итак, всякое x Î N(A) оказывается равным 0. Значит, N(A) = {0} и, по теореме 4, А
взаимно однозначен, т.е. для уравнения (2) справедлива теорема единственности.
Что и требовалось доказать.
Пусть X – банахово пространство. Рассмотрим
банахово пространство L(X) – пространство линейных,
ограниченных и заданных на всем множестве операторов. Пусть I – тождественный оператор в L(X). Очевидно, что I непрерывно обратим. Ниже доказывается,
что вместе с I непрерывно обратимы все
операторы - единичного
шара в L(X), т.е. все такие А, для которых
справедливо неравенство .
Для краткости
положим C = I – A. Ниже мы будем ссылаться на признак Вейерштрасса: пусть X – банахово
пространство, тогда всякий абсолютно сходящийся в X ряд сходится.
Теорема 8. Пусть и
; тогда
оператор I – C непрерывно обратим. При этом справедливы оценки
(1)
(2)
Доказательство.
Рассмотрим в L(X) ряд
I+C+C2+C3+… (3)
Так как , то ряд (3) оценивается
сходящимся числовым рядом – геометрической прогрессией
По признаку
Вейерштрасса ряд (3) сходится равномерно, т.е.
.
Где S – сумма ряда (3). Далее простой
проверкой убеждаемся, что
,
.
Но при этом (ибо и ), а . Поэтому, в пределе имеем равенства (I – C)S = I и S(I –
C) = I. По лемме 1 отсюда заключаем, что I – C непрерывно обратим и S=(I –
C)-1. Далее,
,
.
Переходя в этих
неравенствах к пределу при , получаем оценки (1) и (2). Теорема доказана.
Теперь рассмотрим
более общий случай пространства L(X,Y). Пусть А Î L(X,Y) непрерывно обратим.
Теорема 9. Пусть A, B Î L(X,Y), А непрерывно обратим и выполнено
неравенство .
Тогда B непрерывно обратим и
справедливы оценки
, .
§4. Абстрактные
функции
Пусть S – некоторое множество на числовой
оси или в комплексной плоскости, а X – нормированное пространство.
Рассмотрим
функцию x() с областью определения S и с областью значений в X. Такие
функции принято называть абстрактными функциями числовой переменной
или векторными функциями числовой переменной, поскольку элементы
линейного (иначе – векторного) пространства мы называем также векторами. На
абстрактные функции числовой переменной переносятся многие понятия и факты
математического анализа. Далее рассмотрим сведения о пределах и непрерывности
таких функций, о разложении в степенные ряды, а также понятие аналитической
абстрактной функции.
Пусть x() определена в
окрестности точки 0,
за исключением, быть может, самой точки 0. Элемент а Î X будем называть пределом функции
x()
при →0 и
записывать
при →0,
Степенные ряды –
это специальный случай рядов в нормированном пространстве, когда члены ряда
зависят от параметра.
Рассмотрим в
нормированном пространстве X ряд вида , где xк Î X, а – вещественное или комплексное
переменное. Поскольку можно ввести новую переменную –0 = , то в дальнейшем мы полагаем 0 = 0 и рассматриваем
степенные ряды вида
(1)
Конечная сумма называется частичной
суммой степенного ряда (1).
Пусть – множество всех точек , для которых ряд (1)
сходится. называется
областью сходимости ряда (1).
Сумму ряда (1)
при Î обозначим через S() (это абстрактная функция, определенная
на со значениями
в X), при этом будем писать
, при Î .
Последнее равенство означает, что Sn() → S()
при n→∞ для всех Î .
Очевидно, область
сходимости любого степенного ряда (1) не пуста, так как 0 Î . Как и в случае скалярных функций,
справедлива следующая теорема.
Теорема 10 (Абель). Пусть0 ≠ 0
и 0
Î ,
тогда круг содержится
в . Во всяком
круге Sr(0), где r < , ряд (1) сходиться абсолютно и равномерно
относительно .
Теорема 11. Пусть два степенных ряда равны в круге SR(0), R>0:
;
тогда равны все их
коэффициенты: (k=0, 1, 2, …)
Дифференцирование абстрактных
функций
Пусть функция числового переменного λ со
значениями в банаховом пространстве X определена в окрестности точки λ0.
По определению производной x’(λ0) функции x(λ) в точке λ0
называется предел
,
если этот предел существует (и конечен). Если имеет производную в точке
λ0, то она называется дифференцируемой в этой
точке.
§5. Аналитические
абстрактные функции и ряды Тейлора
Абстрактную
функцию x()
будем называть аналитической при =0, если она представима в некоторой
окрестности точки =0
сходящимся степенным рядом:
(1)
с ненулевым радиусом сходимости.
Теорема 12. Если x() – аналитическая абстрактная функция при =0, то x() непрерывна в круге SR(0), где R – радиус
сходимости степенного разложения (1).
Теорема 13. Если x() – аналитическая абстрактная функция при =0, то x() дифференцируема в
круге SR(0) сходимости своего
степенного разложения.
Пусть x() бесконечно
дифференцируема в точке 0. Ряд вида
называется рядом Тейлора
функции x().
Если x() аналитична при =0, то ее ряд Тейлора,
в силу теоремы 10, является ее степенным разложением и, значит, сходится к ней
в SR(0).
Понятие
абстрактной аналитической функции используется в широко применяемом на практике
методе малого параметра.
§6. Метод малого
параметра в простейшем случае
Рассмотрим
следующее уравнение:
Аx –Сx=y. (1)
Здесь А, С
Î L(X,Y) и y Î Y заданы, -
скалярный параметр, , а неизвестное x разыскивается в X.
Если , т.е.
, (2)
то, согласно теореме 9, оператор А–С непрерывно обратим, и
тогда решение уравнения (1) существует, единственно и задается явной формулой
. (3)
Отсюда видно, что
в круге (2) решение является аналитической функцией параметра и, следовательно,
может быть найдено в виде
(4)
На этой идее
основывается метод малого параметра для уравнения (1). Подставим ряд (4) в
уравнение (1) и, согласно теореме единственности разложения в степенной ряд,
приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в правой и левой частях
получившегося тождества:
.
Таким образом, мы
приходим к следующей рекуррентной системе уравнений для определения x0,
x1, …:
Аx0=y, Аx1=Сx0, …, Аxк=Сxк-1,
…
Так как А
непрерывно обратим, то отсюда последовательно находим
x0=А–1y, x1=
А–1(СА–1)y, …, xк= А–1(СА–1)кy, …
Следовательно,
. (5)
Мы получили
решение (3), разложенное в степенной ряд. Если мы хотим оборвать степенной ряд
и ограничиться приближенным решением
то можно оценить ошибку. Вычитая из
ряда (5) его частичную сумму (6) и оценивая разность по норме, получим
.
§7. Метод малого
параметра в общем случае
Пусть дано
уравнение
А()х
= у(). (1)
Здесь А()Î L(X,Y) задана при каждом , , или, как говорят, А() –
оператор-функция. Пусть А() аналитична при =0, а оператор А(0)
непрерывно обратим, у() – заданная аналитическая функция при =0 со значениями в Y. Неизвестное x разыскивается
в X.
Аналитичность А() и у() в точке 0
означает, что они разлагаются в следующие степенные ряды с ненулевыми радиусами
сходимости, которые равны и соответственно:
, . (2)
Из аналитичности
А()
следует непрерывность А() при =0. следовательно, найдется
число r > 0 такое, что в
круге
.
Отсюда вытекает,
что в круге оператор-функция
А()
непрерывно обратима и, следовательно, уравнение (1) имеет единственное решение
,
при этом x() аналитична в
точке =0
и радиус сходимости соответствующего степенного ряда равен min(, r). Для фактического
построения x() удобно воспользоваться методом
малого параметра. Будем разыскивать x() в виде
. (3)
Подставляя ряд
(3) в уравнение (1) и учитывая разложения (2), приходим к следующей системе
для неопределенных коэффициентов x0, x1, x2,
…:
А0x0 = y0, А0x1+А1x0
= y1,
А0x2 + А1x1 + А2x0
= y2, (4)
. . . . . . . . . . .
, …
Здесь А0
= А(0) непрерывно обратим. Решая последовательно уравнения получившейся
системы, находим
, , … (5)
Возникающие здесь
формулы довольно громоздки, однако этим путем можно найти решение уравнения с
любой степенью точности. Метод малого параметра особенно удобен в тех случаях,
когда обращение оператора А(0) – задача более простая, чем задача обращения
оператора А().
§8.
Метод продолжения по параметру
8.1.
Формулировка основной теоремы
В качестве еще
одного приложения теорем об обратных операторах рассмотрим один из вариантов
метода продолжения по параметру. Пусть и А непрерывно обратим. Если , то, согласно теореме 9
§3, В также непрерывно обратим. Оказывается, при определенных условиях
можно доказать, что В будет непрерывно обратим и в том случае, когда он
очень далек от А. Идея заключается в следующем. Рассмотрим непрерывную
на отрезке [0, 1] оператор - функцию такую, что А(0)=А, А(1)=В. Иначе
говоря, в L(X, Y) рассматривается непрерывная кривая,
соединяющая точки А и В. Будем предполагать, что для оператор –
функции выполняется
следующее условие:
1. Существует постоянная такая, что при всех и при любых справедливо неравенство
. (1)
Теорема 14.
Пусть А(λ) – непрерывная на [0, 1] оператор-функция (при каждом ), причем оператор А(0)
непрерывно обратим. Если для А(λ)выполняется условие I, то А(I)непрерывно обратим, причем .
Замечание к
теореме 14.
Если выполнено условие I при и оператор непрерывно обратим, то
.
(2)
Действительно,
пусть , а , т.е.. тогда условие I дает или , что означает справедливость неравенства (2).
8.2. Простейший
случай продолжения по параметру
Приведем здесь
доказательство теоремы 14 для случая, когда . Согласно условию этой теоремы . По замечанию 14 . Имеем следующую оценку:
.
Пусть , где . На [0, δ] имеем , и, следовательно, по
теореме 9 А(λ) при всяком непрерывно обратим. Если
окажется, то , то
теорема доказана.
Пусть δ <
1. Возьмем А(δ). Согласно замечанию п.14.1 . Повторяем наши рассуждения при
λ>δ. Имеем оценку
,
если , откуда А(λ)
непрерывно обратим при каждом . Если , то теорема доказана. Если же 2δ < 1,
то и
рассуждение можно повторить. После конечного числа шагов мы достигаем точки
λ=1, и, следовательно, А(1) непрерывно обратим.
Доказательство теоремы в
общем случае
Рассмотренный
выше частный случай отрезка в L(X,Y) не всегда удобен в приложениях.
Общий случай основывается на следующем элементарном предложении.
Лемма.
Пусть М – некоторое непустое множество на [0,1], одновременно открытое и
замкнутое на [0.1]. тогда М=[0, 1].
Замечание 1.
условие открытости М на [0,1] понимается так: для любого существует δ > 0
такое, что .
Доказательство леммы. Пусть N = [0, 1] \ M (дополнение к М на [0, 1]). Нужно доказать, что N = Æ – пустое множество. Допустим
противное, что N ¹ Æ. Поскольку М ¹ Æ и ограничено сверху, то
существует b = supM, причем b Î M вследствие замкнутости. Покажем, что
b = 1. Если b <1, то вследствие открытости M на [0, 1] найдется x > b, x Î M. Это противоречит определению supM. Следовательно, b >1 невозможно. Итак, 1Î М.
Теперь рассмотрим
множество N. Как дополнение к М,
оно также открыто и замкнуто на [0, 1], и, значит, к нему применимо рассуждение
с supM . мы получаем, что 1 Î N. Это невозможно, ибо N – дополнение к М. полученное
противоречие доказывает, что допущение N ¹ Æ неверно. Итак, N= Æ, т.е. М = [0, 1].
Лемма доказана.
Вернемся к
доказательству теоремы. Пусть М – множество тех точек λÎ[0, 1], для которых оператор А(λ)
непрерывно обратим. Согласно замечанию 1 для всех λ Î М. М не пусто, поскольку 0 Î [0, 1].
воспользуемся непрерывностью
оператор–функции А(λ) в метрике L(X,Y). Для любого e > 0 найдется δ = δ(e)>0 такое, что при всех λ
Î [0, 1] таких, что < δ выполняется неравенство <e.
Возьмем e = γ, тогда при < δ(γ),
λ Î [0, 1]
<1.
По теореме 9 §3 А(λ)
непрерывно обратим для всех таких λ. Итак, вместе с λ0
М содержит ,
т.е. М открыто на [0, 1].
Докажем, что М
замкнуто на [0, 1]. Пусть и при . Надо доказать, что λ0 М.
воспользуемся неравенством и получим
.
Вследствие
непрерывности А(λ) по λ для любого e > 0 находим номер N = N(e) такой, что при n > N будет <e. Возьмем e = γ, тогда для n = N(γ)+1 <1.
По теореме 9 А(λ0) непрерывно обратим, т.е.
λ0 Î М, и, значит, М
замкнуто на [0, 1]. По лемме М = [0, 1] . в частности, 1Î М и . Теорема полностью доказана.
Замечание. Рассмотрим уравнение с
параметром:
А(λ)х = у, λÎ [0, 1]. (1*)
Пусть для всех возможных решений
этого уравнения при всяком λÎ [0, 1] справедлива оценка
, (2*)
где с –
некоторая постоянная, не зависящая от х, у и λ. Оценка
такого рода называется априорной оценкой для решения уравнения (1*). Очевидно,
априорная оценка (2*) представляет собой лишь иначе записанное условие (1): .
Доказанная выше
теорема свидетельствует о важности априорных оценок для доказательства теорем
существования и единственности решений.
Глава 2. Приложение
Пример 1. Рассмотрим интегральное
уравнение с малым вещественным параметром λ:
(1)
Это уравнение вида А()х = у() – операторное
уравнение в С[-π; π], где
Покажем, что А() аналитична в т.
0, т.е. разлагается в ряд вида . Разложим функцию А() в ряд Тейлора: .
Найдем к –
ую производную:
Разложим функцию
в ряд Тейлора в т. 0:
Таким образом,
функция аналитична, следовательно, непрерывна при = 0, а значит, уравнение
имеет единственное решение.
Операторные коэффициенты
имеют вид:
; (2)
I. Начнем с уравнения А0x0
= y системы (4) §7, где у нас теперь y0=y, yк=0, к ≥
1.
Заменим, , поэтому
, (4)
где
,
Для того, чтобы
найти коэффициент А в уравнении (4), умножим его на cos t и,
интегрируем по t от –π до π:
,
подсчитаем интегралы:
, ,
Тогда, подставив в уравнение,
получаем: .
Отсюда:
. (5)
Найдем
коэффициент В уравнения (4), умножив это уравнение на sin t и интегрируя
по t от –π до π:
.
Подсчитав
соответствующие интегралы:
, , , подставив и выразив В,
получаем:
. (6)
Подставим найденные коэффициенты (5)
и (6) в уравнение (4):
и свернем по
формуле:
II. Найдем теперь x1(t), для этого необходимо решить
следующее уравнение системы (4) §7: А0x1+А1x0
= y1. Так как y1=0 в нашем случае, то мы будем решать
уравнение А0x1= – А1x0.
Обозначим , т.к. мы знаем теперь x0(s), следовательно φ(t) можно вычислить. Имеем:
Как в предыдущем
случае заменим, ,
поэтому
. (7)
где , .
Умножим уравнение
(7) на cos t и проинтегрируем по t от –π до π – получим коэффициент А:
Подсчитав: , , ,
имеем .
Аналогично
умножив уравнение (7) на sin t и проинтегрируем по t от –π до π – получим коэффициент В: .
Составляем
функцию x1(t), подставив коэффициенты А
и В в уравнение и свернув равенство по формуле косинуса разности:
.
Таким способом мы
можем найти все остальные решения уравнения с любой степенью точности.
Пример 2. Применим метод продолжения по параметру для оценки разрешимости краевой
задачи для дифференциального уравнения, а потом решим ее методом малого
параметра.
–x'' + b(t)x' +c(t)x = y(t), 0< t <1, (1)
x(0) = x(1) = 0
(2)
Здесь c(t) непрерывна на [0, 1], b(t) непрерывно дифференцируема на [0,
1]. Предположим еще, что на [0, 1] c(t) – b(t)'/2 ≥ α > –8/π (*).
Покажем методом
продолжения по параметру, что в этих условиях при всякой правой части y ÎY = С [0, 1] существует
единственное решение задачи x Î X = С2 [0, 1] –
пространству, состоящему из дважды непрерывно дифференцируемых на [0, 1]
функций x(t), удовлетворяющих граничным
условиям (2), и с нормой , где .
Запишем задачу
(1) – (2) в операторном виде: Вx = y
Здесь определен всюду на X со значениями в Y. В
качестве оператора А примем ÎL(X, Y).
Соединим
операторы А и В отрезком
, λ Î [0, 1].
Теперь необходимо
установить априорную оценку для решений краевой задачи
–x'' + λb(t)x' + λc(t)x = y(t), 0< t
<1, (3)
x(0) = x(1) = 0
(4)
Как только такая
оценка будет получена, из теоремы п.8.1. будет следовать однозначная
разрешимость краевой задачи (3) – (4).
Умножим уравнение
(3) на x(t) и проинтегрируем полученное
равенство по t от 0 до 1:
.
Заметим, с учетом
граничных условий:
Подставим
полученные интегралы и сгруппируем относительно λ:
(5)
Произведем оценку
всех трех слагаемых в этом равенстве.
Докажем, что . (6)
Заметим, что , и значит по неравенству
Коши – Буняковского:
.
Точно так же:
.
Перемножим эти
неравенства:
. (6*)
Отсюда, замечая,
что , получим
.
Далее (7)
– это следует из предположения (*).
Последний
интеграл равенства (5) можно оценить, используя скалярный квадрат:
, где .
Для любого ε
> 0
. (8)
Используя
полученные неравенства (6), (7), (8) и подставляя их в равенство (5), получаем:
,
считая ε > 0 достаточно
малым, имеем
.
Выберем и получим
, где .
Возвращаясь снова
к равенству (5), получим следующую оценку:
, где , а .
Теперь с помощью
оценки (6*) имеем и,
значит, учитывая, что ,
получим
(9)
Из уравнения (3)
можем получить оценки для и :
. (10)
Здесь оценивается через и . Действительно, x(0) = x(1) = 0. по
теореме Роля на (0, 1) найдется точка ξ, в которой x'(ξ) = 0. Тогда,
запишем уравнение (3) в виде
,
(в этом можно убедиться, взяв
производную:
и сократив)
интегрируем его от ξ до θ и
получим
.
Отсюда имеем
оценку
, (11)
где .
Теперь подставим полученные
результаты в (10):
Теперь (9), (11)
и (12) дают искомую априорную оценку:
(постоянную с4 нетрудно
подсчитать, сложив неравенства(9), (11), (12)и выполнив преобразования).
Таким образом,
доказательство разрешимости задачи получено, теперь приступим к ее решению
методом малого параметра.
Итак, рассмотрим
операторное уравнение:
А(λ)x
= y(λ),
где .
I. Начнем с уравнения А0x0
= y (где А0 – коэффициент при нулевой степени λ) системы (4) §7, причем y0 =
y, yк = 0, к ≥ 1.
, причем с1 подбирается так, чтобы
выполнялось краевое условие: x0(1) = 0.
II. Найдем x1(t), для этого необходимо решить
следующее уравнение: А0x1+А1x0 = y1.
Так как y1=0, то мы будем решать уравнение А0x1=
– А1x0.
Из того, что следует следующее
уравнение:
.
По аналогии c2 и c3 подбираем так, чтобы выполнялось краевое условие: x0(1)
= 0.
Таким образом,
решения нашей краевой задачи выглядит так:
,
подставляя найденные решения, имеем:
или
Литература
1. Данфорд Н., Шварц Дж.
Линейные операторы. М., 1962
2. Талдыкин А.Т. Элементы
прикладного функционального анализа: Учеб. пособие. – М.: Высшая школа, 1982.
3. Треногин В.А. Функциональный
анализ. М., 1993.
4. Функциональный анализ./Под.
ред. С. Г. Крейна. М., 1972
5. Хатсон В., Пим Дж. С.
Приложения функционального анализа и теория операторов. Пер. с англ. – М.: Мир,
1983.