Методы управления запасами
Федеральное
государственное образовательное
бюджетное
учреждение высшего профессионального образования
«ФИНАНСОВЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ПРИ
ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
(Владимирский
филиал)
Кафедра
«Математика и информатика»
КОНТРОЛЬНАЯ
РАБОТА № 1, № 2.
«Метод
оптимальных решений»
Вариант № 5
Студент:
Носова Екатерина Евгеньевна
Курс
2, № группы ЗСПЗ-ЭК202
Личное
дело: 100.06/130175
Преподаватель:
Горбатенко Е.Н.
Владимир
2015
Содержание
1. Контрольная работа № 1.
Задание №1. Методы управления запасами
. Задание № 2
Контрольная работа № 1
Задание № 1. Методы управления запасами
Управление запасами - это более сложная ступень
их нормирования, предусматривающая активное изменение всех факторов, влияющих
на образование запасов. Управление запасами заключается в установлении той или
иной периодичности поставок, их объемов, регулярности и наилучших сроков
выполнения. Совокупность правил, по которым принимаются эти решения, называют
системой (стратегией, политикой) управления запасами.
Различаются несколько основных систем
регулирования запасов в зависимости от их исходных параметров, которыми
регламентируются запасы. Чаще всего в качестве таких параметров принимают
размеры и периодичность заказа на пополнение запасов, поддерживаемый уровень запасов.
Система с фиксированным размером заказа. В такой
системе размер заказа на пополнение запасов является величиной постоянной, а
очередная поставка товаров осуществляется при уменьшении наличных запасов до
определенного критического уровня (так называемой точки заказа, или точки
восстановления запаса). В процессе функционирования системы запас пополняется
каждый раз на одну и ту же величину, но интервалы пополнения могут быть
различными в зависимости от расходования запаса.
Типичный процесс в системе с фиксированным
размером заказа иллюстрируется на рис.1.
Рис.1. Система с фиксированным размером заказа
Эта система имеет два регулирующих параметра:
точка заказа S (фиксированный
уровень запаса, при снижении которого организуется заготовка очередной партии
сырья, материалов и т.п.) и размер заказа q,
причем последний параметр постоянен.
Система с фиксированным размером заказа требует
регулярного учета движения остатков, с тем чтобы не был упущен момент
наступления точки заказа. Кроме того, условием эффективного функционирования
этой системы является относительное постоянство времени, необходимого на
организацию и осуществление очередной партии поставки.
Система с фиксированной периодичностью заказа.
При этой системе заказы на очередную поставку сырья повторяются через
одинаковые промежутки времени. В конце каждого периода проверяется уровень
запасов и, исходя из этого, определяется размер заказываемой партии. В процессе
функционирования этой системы запас пополняется каждый раз до определенного
уровня, не превышающего максимального запаса, но помощью различных партий
поставок, зависящих от степени расходования запаса в предшествующем периоде.
Регулирующими параметрами системы с
фиксированной периодичностью заказа является максимальный уровень S,
до которого осуществляется пополнение запасов, и продолжительность периода
повторения заказов τ. Оба
параметра постоянны. Варьируется лишь размер партии q.
Типичный процесс в системе и фиксированной
периодичностью заказа показан на рис. 2.
Рис.2. Система с фиксированной периодичностью
заказа
Эффективное функционирование рассматриваемой
системы достигается, когда имеется возможность заготавливать материалы в любых
размерах, причем расходы на оформление заказа любого размера невелики. Явными
достоинствами этой системы являются возможность периодической проверки остатков
на складах (к моменту подачи заказа) и отсутствие необходимости вести
систематический учет движения остатков.
Система с двумя фиксированными уровнями, или (s,
S) - система.
Допустимый уровень запасов в системе с двумя фиксированными уровнями (ее
называют (s, S)
- системой) регламентируется как сверху, так и снизу. Кроме максимального
верхнего уровня запаса S,
до которого может осуществляться пополнение запаса, устанавливается нижний
уровень s (точкам заказа).
Регулирующими параметрами рассматриваемой
системы являются нижний s
и верхний S уровни запаса
(величины постоянные), периодичность заказа τ (величина
переменная).
Саморегулирующиеся системы. Рассмотренные ранее
системы предполагают относительную неизменность условий, в которых
функционирует та или иная система. В действительности же такое постоянство
условий бывает редко из-за изменения потребности, условий поставки и т.п. В связи
с этим возникает необходимость в создании комбинированных систем с возможностью
саморегулирования применительно к изменившимся условиям. Так возникают системы
с изменяющимся размером заказа, вероятностным временем отставания выполнения
заказа и т.д.
Системы оптимального управления запасами.
Системы оптимального управления запасами связаны с широким применением
математических методов. При оптимальном подходе предпринимается все возможное,
чтобы не только хорошо управлять, но и отыскать наилучшее управление из всех
возможных.
Некоторую стратегию управления запасами
обозначим через =(u1,u2,
..., un),
где ui
-
управляющие переменные. Каждая такая стратегия связана с определенными
затратами по доведению материальных средств до потребителей: Ф ().
Тогда задача по оптимальному управлению запасами
состоит в минимизации функции затрат
Ф ()(1)
При условии, что принадлежит
некоторому множеству возможных (допустимых) управлений G:
. (2)
Если на выбор не
накладывается каких-либо ограничений, перед нами безусловная задача
оптимизации. Задача (1), (2) - задача математического программирования.
Конкретная математическая формулировка
(экономико-математическая модель - ЭММ) задачи отыскания оптимальной стратегии
(1), (2) существенно зависит от исследуемой реальной ситуации. Однако общность
принимаемых в расчет факторов позволяет говорить о единстве тех или иных
элементов, которые учитываются при моделировании управления запасами.
Основными элементами задачи оптимального
управления запасами являются:
· система материально-технического
обеспечения (МТО);
· спрос на предметы МТО;
· возможность пополнения запасов;
· принятая стратегия управления
запасами;
· ограничения;
· функция затрат (цели).
В качестве функции цели в математических моделях
управления запасами чаще всего используется минимум затрат Ф (),
связанных с заготовкой и содержанием запасов, а также с перебоями в снабжении
потребителей (потери от дефицита).
. Расходы на хранение включают в себя
расходы на содержание складского помещения (или плату за арену), оплату труда
складского персонала и амортизацию оборудования, потери от естественной убыли
хранимых материалов, потери от снижения потребительских качеств материалов и
омертвления денежных средств, вложенных в запасы (иммобилизация). Эти издержки
прямо пропорциональны величине поставки.
. Расходы, входящие в стоимость поставки,
включают расходы, связанные с оформлением заказа, заключением договоров и
соглашений на поставку, почтовые, телеграфные, канцелярские и прочие
управленческие расходы. Эти расходы пропорциональны количеству поставок, т.е.
обратно пропорциональны величине партии поставки.
. Потери от дефицита - расходы из-за
неудовлетворенного спроса. Их определение - задача весьма сложная, в частности,
из-за того, что имеется ряд косвенных потерь, таких как простои оборудования и
рабочей силы у потребителя из-за отсутствия материалов, неэкономная замена
материалов и т.п. В настоящее время в моделях используются различные оценки
этих потерь (например, разность между стоимостью обычной и стоимостью
экстренной доставки товара; упущенная прибыль; простой оборудования и т.п.).
Наличие в ЭММ оптимизации запасов всех видов издержек не обязательно. Могут
иметь место как модели, в которых допускаются случаи дефицита, так и модели, в
которых дефицит не допускается.
Разработано множество различных моделей
управления запасами, которые можно подразделить следующим образом:
· детерминированные - предусматривают
достаточную точность входящих параметров;
· стохастические - позволяют
установить потребность в материалах с учетом вероятностного фактора;
· статические;
· динамические - предполагают
изменения входящих параметров во времени. Наиболее важным параметром в
динамической модели является интенсивность спроса.
При управлении запасами на всех уровнях
номенклатуру запасов предварительно классифицируют, например, проводя
АВС-анализ номенклатуры запасов конкретного объекта внедрения.
Группа «А» - запасы тех материалов, которые
потребляются в значительном объеме, имеют высокую стоимость либо, являясь
дефицитными, играют важную роль в производстве. Такие материалы, составляя
5-10% номенклатуры, занимают 50-70% от общего объема поставок в натуральных
единицах.
Группа «В» - материалы со средними размерами
потребности (20-25% номенклатуры).
Группа «С» - материалы, потребляемые в
незначительных объемах и составляющие подавляющее большинство номенклатуры.
Относительно номенклатуры группы «А» считается
оправданным привлечение достаточно строгих математических методов. Управление
составляющими группы «В» проводится по упрощенным методикам (использование
субоптимальных решений). Экономико-математические исследования по материалам
группы «С», как правило, не проводятся.
Методы управления запасами.
Норма запаса - это минимальное количество
предметов труда, находящееся у предприятия и необходимое для бесперебойного
снабжения производства.
Для определения норм запасов используются три
группы методов:
· эвристические;
· методы технико-экономических
расчетов;
Эвристические методы предполагаю собой
использование знаний и опыта специалистов, изучающих отчетную информацию за
предыдущий период, анализирующих рынок и принимающих решения о минимальных
необходимых для предприятия запасах, которые основаны, на их личном
(субъективном) понимании тенденций развития спроса. Таким специалистом может
быть сотрудник предприятия, который постоянно решает задачу нормирования
запаса. Используемый в данном случае метод решения (из группы эвристических)
имеет название «опытно-статистический».
В случае если задача в сфере управления запасами
на предприятии имеет определенную сложность, можно использовать знания и опыт
нескольких сотрудников предприятия. При последующем анализе их субъективных
оценок ситуации и предлагаемых решений, используя специальный алгоритм, можно
сформировать довольно хорошее решение, которое мало чем будет отличаться от
оптимального. Данный метод, как и предыдущий, относится к эвристическим методам
и имеет название «метод экспертных оценок».
Сущность метода технико-экономических расчетов
заключается в делении всего запаса на отдельные группы в зависимости от
целевого назначения, к примеру, на номенклатурные позиции. Затем для
образованных групп в отдельности рассчитывается сезонный, текущий и страховой запасы,
причем каждый из которых может быть разделен на определенные элементы. Так,
например, страховой запас в случае увеличения спроса или нарушения
установленных сроков завоза товаров от поставщиков. Данный метод позволяет
довольно точно определять нужный для предприятия размер запасов, но его
трудоемкость велика.
Экономико-математические методы. Спрос на
продукцию или товары в большинстве случаев представляет собой процесс
случайный, который можно описать методами математической статистики. Наиболее
простой экономико-математический метод определения размеров запаса - это метод
экстраполяции, позволяющий перенести темпы, которые сложились в прошлом на
будущее.
Так, имея данные о размере запасов за прошлые
четыре периода, применив метод экстраполяции, можно рассчитать размер запасов
на будущий период при помощи формулы:
5
= 0,5 (2Y4 + Y3 - Y1),
где Y1, Y3, Y4
- показатели запаса (в процентах к обороту, в сумме или днях), за первый,
третий и четвертый периоды соответственно;5 - нормативный показатель
(уровень) запаса на будущий, пятый период.
Спрогнозировать уровень запасов для шестого
периода можно при помощи следующей формулы:
6
= 0,5 (2Y5 + Y4 - Y2),
где Y6 - нормативный показатель
(уровень) запаса на шестой период.
Мировая практика управления запасами на
предприятии показывает, что рост запасов должен немного отставать от роста
спроса. В математическом выражении это выглядит так:
где Тз - темп роста запасов;
То - темп роста спроса.
При вышеуказанном соотношении между спросом и
запасами возможно ускорение оборачиваемости оборотных средств.
Задание 2
Решить графическим методом типовую задачу
оптимизации. Осуществить проверку правильности решения с помощью средств MS
Excel (надстройки Поиск
решения).
Продукция двух видов (краска для внутренних (I)
и наружных (Е) работ) поступает в оптовую продажу. Для производства красок
используются два исходных продукта А и В. Максимально возможные суточные запасы
этих продуктов составляют 6 и 8 тонн, соответственно. Расходы продуктов А и В
на 1 т соответствующих красок приведены в таблице.
Исходный
продукт
|
Расход
исходных продуктов на тонну краски, т
|
Максимально
возможный запас, т
|
|
Краска
Е
|
Краска
I
|
|
А
В
|
1
2
|
2
1
|
6
8
|
Изучение рынка сбыта показало, что суточный
спрос на краску I никогда не
превышает спроса на краску Е более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что
спрос на краску I никогда не
превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3000 ден. ед. для
краски Е и 2000 ден. ед. для краски I. Какое количество краски каждого вида
должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был
максимальным?
Построить экономико-математическую модель
задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение
графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?
Решение:
Пусть х1 - количество краски Е; х2
- количество краски I.
Таким образом, целевая функция имеет вид:
При
следующих ограничениях:
.
Строим график ограничений и находим
общее множество решений:
Рис. 1.
График ограничений
Множеством
допустимых решений, удовлетворяющих всем ограничениям одновременно, будет
заштрихованная фигура. Максимум искомой функции находится в одной из вершин
этого многоугольника.
Найдем
координаты вершин многоугольника:
Вершина
в точке А находится на пересечении прямых х2-х1=1 и х2=2.
В
результате решения системы получаем, что координаты точки А(1;2).
Вершина
в точке В находится на пересечении прямых х2-х1=1 и х1+2х2=6.
Координаты точки В(1,33;2,33).
Вершина
в точке С находится на пересечении прямых х1+2х2=6 и х2=2.
Координаты точки С(2;2).
Найдем максимум целевой функции F(X)=3000х1+2000х2,
подставив координаты:
F(X)=3000*1+2000*2=7000
ден.ед.
F(X)=3000*1,33+2000*2,33=8665
ден.ед.
F(X)=3000*2+2000*2=10000
ден.ед.
Таким образом, чтобы доход от
реализации продукции был максимальным 10000 ден.ед., фирма должна производить 2
т краски Е и 2 т краски I (точка С).
Если
решать задачу на минимум, то необходимо производить 1 т краски Е и 2 т краски I (точка А) и тогда
доход от реализации продукции составит 7000 ден.ед.
Проверка правильности решения с помощью средств MS
Excel.
. Вводим исходные данные (рис.2).
Рис. 2. Исходные данные
. Вводим зависимость для целевой функции
(рис.3).
Рис. 3. Зависимость для целевой функции
. Копируем формулу в ячейки С4÷С7.
. Запускаем команду поиск решения
(рис.4).
Рис.4. Условия задачи в поиске решения
. Найдем решение. После нажатия кнопки
«Выполнить» запускается процесс решения задачи (рис.5).
Рис. 5. Решение задачи
заказ экономический математический
партия
Ответ: чтобы получить максимальный 10000 ден.ед.
доход от реализации продукции, фирма должна производить 2 т краски Е и 2 т
краски I.
Рассчитать параметры моделей экономически
выгодных размеров заказываемых партий.
Пекарня покупает пшеничную хлебопекарную муку в
мешках. В среднем пекарня использует 750 мешков год. Подготовка и получение
одного заказа обходится в 160 руб. Годовая стоимость хранения составляет 30
руб. за мешок. Время доставки заказа - 2 дня. Пекарня работает 365 дней в году.
Определите экономичный объем заказа. Подсчитайте годовую стоимость хранения
муки, период поставок, точку заказа.
Решение:
а) Экономичный объем запаса или оптимальный
размер заказа.
Оптимальный размер заказа рассчитывается по
формуле Уилсона:
(H
= Th)
шт.
б) Годовая стоимость хранения муки =
Стоимость хранения одного мешка * Количество дней в году = 30*365=10950 руб.
в) Период поставок = оптимальная периодичность
пополнения запасов.
дн.
г) Точка заказа или точка восстановления запаса.
Поскольку среднесуточный спрос равен 750/365 = 2
шт., точка заказа (уровень запасов при котором делается новый заказ) составит
2*2 = 4 шт.
Ответ: оптимальный размер заказа равен 89 шт.,
годовая стоимость хранения муки = 10950 руб., период поставок = 0,12 дн., точка
заказа = 4 шт.
Контрольная работа № 2
Задача 1
Необходимо решить транспортную задачу:
минимизировать расходы на доставку продукции заказчикам со складов фирмы,
учитывая следующие затраты на доставку одной единицы продукции, объём заказа и
количество продукции, хранящейся на каждом складе:
Таблица тарифов на перевозку продукции и объёмов
запасов на складе и заказов :
Магазин
Склад
|
Тверь
|
Рязань
|
Тула
|
Чехов
|
Запасы
на складе (ед.прод)
|
Москва
|
5
|
3
|
7
|
2
|
25
|
Санкт-Петербург
|
2
|
6
|
4
|
5
|
36
|
Саратов
|
3
|
7
|
1
|
9
|
40
|
Самара
|
6
|
4
|
8
|
3
|
50
|
Объём
заказа (ед.прод)
|
20
|
45
|
15
|
25
|
|
Решение
Задача 2
Использовать методы теории массового
обслуживания для исследования предлагаемой хозяйственной ситуации. При
моделировании предполагается, что поток требований на обслуживание является
простейшим (пуассоновским), а продолжительность обслуживания распределена по
экспоненциальному (показательному) закону. Задачу следует решить с помощью
средств MS Excel.
В бухгалтерии организации в определенные дни
непосредственно с сотрудниками работают два бухгалтера. Если сотрудник заходит
в бухгалтерию для оформления документов (доверенностей, авансовых отчетов и
пр.), когда оба бухгалтера заняты обслуживанием ранее обратившихся работников,
то он уходит из бухгалтерии, не ожидая обслуживания. Статистический анализ
показал, что среднее число сотрудников, обращающихся в бухгалтерию в течение
часа, равно l; среднее время, которое затрачивает бухгалтер
на оформление документа, равно Тср мин. (значения l
и Тср по вариантам даны ниже в таблице).
Оценить основные характеристики работы данной
бухгалтерии как СМО с отказами (указание руководства не допускать
непроизводительных потерь рабочего времени!). Сколько бухгалтеров должно
работать в бухгалтерии в отведенные дни с сотрудниками, чтобы вероятность
обслуживания сотрудников была выше 85%?
№
варианта
|
Параметр
l
|
Параметр
Тср=1/μ
|
5
|
14
|
10
|
Решение:
. Рассчитаем вероятность отказа в
обслуживании по формуле:
Ротк=Рn=Р0
,
P0=;
-
нагрузка на систему.
· Расчет нагрузки на систему (рис.6):
Рис.6. Расчет нагрузки на систему
. Рассчитаем вероятности Р0
ячейке С5 без степени -1, для 1 числа канала (рис.7):
Рис. 7. Расчет вероятности
. Рассчитаем вероятность Р0
для остальных каналов меняя в формуле 1 на ячейку С4, и скопируем для ячеек
С5-С13.
. Рассчитаем вероятность Р0 в
ячейке D4 ставя ячейку С4 в
степень -1, и скопируем формулу в ячейки D5-D13;
. Рассчитаем вероятность Ротк
в ячейке F4, и скопируем
формулу в ячейки F5-F13.
Рис. 8. Полученные данные
. Относительная пропускная способность В,
т.е. вероятность того, что заявка будет обслужена
7. Абсолютная пропускная способность А
получим, умножая интенсивность потока заявок 𝜆
на В:
.
8. Среднее число занятых каналов (рис.13);
.
Рис. 9. Расчет характеристик системы массового
обслуживания
Рис.10. График вероятности
отказа в обслуживании
Ответ: Из графика на рис. 10 видно, что
минимальное число бухгалтеров, при котором вероятность обслуживания работника
будет выше 85%, равно n=3.
Задача 3
Для матрицы последствий
выберите вариант решения:
А) по критерию максимакса
Б) по критерию Вальда (максимина)
В) по критерию Сэвиджа
В) по критерию Гурвица при λ
=1/2.
Решение:
примем решение по правилу Гурвица
В соответствии с этим компромиссным решением
будет линейная комбинация минимального и максимального выигрыша.
i=
λ
*minqij+ (1- λ)*maxqij,
решением
будет
maxCi, λ
=1/2.
1=1/2*1+
(1-1/2) *7= 42=1/2*4+ (1-1/2) *6=53=1/2*3+ (1-1/2) *9=64=1/2*3+
(1-1/2) *12=7,5= C4=7,5
Ответ: 7,5