Исследование системы автоматического управления
Исходные данные
Уравнения связей структурной схемы САУ :
x3= v - yx4= x - y x2= y3x1=( y2 +y4)- f
ν - задающее воздействие ; ƭ - возмущающее воздействие ; xi - входная переменная i - звена ; yi - выходная переменная i - звена ; у = у1 выходная (управляемая ) переменная САУ.
Параметры динамических звеньев исходной САУ:
k11T1k01k2τ2T2k02k3T31,21,00,70,01,80,50,11,01,40,0k4τ4T40,70,00,0
Система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая динамику звеньев исходной САУ:
T 1 +=k1 (τ1 +k01 x1), (1)2 + =k2 (τ2 +k02 x2 ), (2)3 + y3 = k3 x3 , (3)
T4 + y4 = k4 (τ4 + x4 ), (4)
1.Анализ линейной непрерывной системы автоматического управления
.1 Уравнения в операторной форме в общем виде
T1 s2 y1 + s y1 = k1 (τ1 s x1 + k01 x1) 2 s2 y2 + s y2 = k2 (τ2 s x2 + k02 x2)3 s y3 +y3 = k3 x34 s y4 +y4 =k4 (τ4 s x4 +x4 )
после упрощения получим :
(T1s2 + s) y1 =k1 x1(τ1 s + k01 )
(T2 s2+ s) y2 =k2 x2 (τ 2s + k02 )
(T3 s + 1) y3 = k3 x3
(T4 s + 1) y4 = k4 x4(τ4 s + 1)
уравнение в операторной форме с учетом численных значений:
(0,7s2 + s) y1 = 1,2sx1
(0,1s2+s)y2 =(0,9s+1,8)x2
y3= k3=1,4 x34= k4=0,7x4
1.2Передаточные функции элементов
= W1(s) = = =
= W2(s)=
= W3(s) = k3=1,4
= W4(s) = k4=0,7
1.3Структурная схема
По уравнениям связи строим структурную схему исходной нескорректированной САУ:
.4Структурные преобразования
Заменим звенья W3(s) и W2 (s) одним звеном W5(s) по правилам структурных преобразований :
y2 = x2(s)·W2(s)2=y33 = x3(s)·W3(s)2=x3(s)·W3(s)·W2(s)
Решая эти уравнения совместно, получим:
=W5(s)= W3(s)·W2(s);5(s) = k5=2,52
Заменим контур W4 (s), W5 (s) одним звеном W6(s)
По правилам структурных преобразований:
y6 = y5+y4;
y5 =x5(s)W5(s);4=x4(s)W4(s); y6= x5(s)W5(s)+x4(s)W4(s);
=W6(s)=W5(s)+W4(s);6(s)=
Передаточная функция разомкнутой системы :
Коэффициент передачи:
Kраз = k1 ̇ ·k5 =3,02раз(s) = W6(s) ·W1(s) =
1.5Передаточная функция замкнутой САУ
Передаточная функция замкнутой САУ по задающему воздействию v
W VY = = =
1.6Передаточная функция по ошибке
We (s) = =
1.7 Критерии устойчивости
.7.1 Формулировка критерия Гурвица
Для того, чтобы линейная САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы главный определитель матрицы Гурвица и все его n-1 диагональные миноры были положительными.
Матрица Гурвица составляется из коэффициентов характеристического уравнения системы по определенным правилам.
Характеристическое уравнение заданной системы.
В критерии Гурвица характеристическое уравнение задается в виде операторного полинома :
D(p) = a0 pn + a1 pn-1 + …+an-1 p+ an ,
Чтобы получить характеристическое уравнение заданной системы , приравниваем к нулю знаменатель заданной САУ :
0,07s3
Обозначим коэффициенты и найдем их значения:
a0 = 0,07 0 ,
a1 = 0,88 0 ,
a2 = 3,35 0,
a3 = 3,02
все коэффициенты характеристического уравнения положительны - необходимое условие устойчивости выполняется.
Составляем матрицу Гурвица:
=
Условия устойчивости :
= = 0,88
= - = 2,73 0.
По условию Гурвица система является устойчивой.
.7.2 Критерий Михайлова
Формулировка критерия
для устойчивости системы автоматического управления необходимо и достаточно, чтобы вектор описываемый кривую ( годограф ) Михайлова при изменении ω от 0 до огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно в положительном направлении n квадрантов, где n- порядок системы.
Критерий Михайлова является частотным критерием устойчивости.
Характеристическое уравнение системы :
+ +…+ s + .
Делаем подстановку (s =
получим комплексный полином :
( jω )n + ( jω )n-1 +…+ = X(ω) + j Y(ω) = D (ω)e jφ(ω) ,
,07(j ω)3+ 0,88(j ω)2+3,35(j+3,02=X(ω)+j Y(ω).
Выделим вещественную и мнимую часть:
X(ω)= 3,02- 0,88ω2,
Y(ω)= 3,35ω - 0,07ω3
Составим таблицу значений:
ω с-1 0 2 3 5710X(ω) 3,02-0,5-4,9 -19-40,1-85Y(ω) 06,148,16 8-0,56-36,5
Построим по полученным значениям годограф Михайлова
По графику видно, что критерий Михайлова выполняется, так как годограф проходит n=3 квадрантов и на 3 квадранте уходит в бесконечность. Система устойчива!
.7.3 Критерий Найквиста
Этот критерий называется точечным критерием. Он позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы Ws (