Исследование системы автоматического управления
Исходные данные
Уравнения связей структурной схемы САУ :
x3= v - yx4= x - y x2= y3x1=( y2 +y4)- f
ν - задающее воздействие ; ƭ - возмущающее воздействие ; xi - входная переменная i - звена ; yi - выходная переменная i - звена ; у = у1 выходная (управляемая ) переменная САУ.
Параметры динамических звеньев исходной САУ:
k11T1k01k2τ2T2k02k3T31,21,00,70,01,80,50,11,01,40,0k4τ4T40,70,00,0
Система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая динамику звеньев исходной САУ:
T 1 +=k1 (τ1 +k01 x1), (1)2 + =k2 (τ2 +k02 x2 ), (2)3 + y3 = k3 x3 , (3)
T4 + y4 = k4 (τ4 + x4 ), (4)
1.Анализ линейной непрерывной системы автоматического управления
.1 Уравнения в операторной форме в общем виде
T1 s2 y1 + s y1 = k1 (τ1 s x1 + k01 x1) 2 s2 y2 + s y2 = k2 (τ2 s x2 + k02 x2)3 s y3 +y3 = k3 x34 s y4 +y4 =k4 (τ4 s x4 +x4 )
после упрощения получим :
(T1s2 + s) y1 =k1 x1(τ1 s + k01 )
(T2 s2+ s) y2 =k2 x2 (τ 2s + k02 )
(T3 s + 1) y3 = k3 x3
(T4 s + 1) y4 = k4 x4(τ4 s + 1)
уравнение в операторной форме с учетом численных значений:
(0,7s2 + s) y1 = 1,2sx1
(0,1s2+s)y2 =(0,9s+1,8)x2
y3= k3=1,4 x34= k4=0,7x4
1.2Передаточные функции элементов
= W1(s) = = =
= W2(s)=
= W3(s) = k3=1,4
= W4(s) = k4=0,7
1.3Структурная схема
По уравнениям связи строим структурную схему исходной нескорректированной САУ:
.4Структурные преобразования
Заменим звенья W3(s) и W2 (s) одним звеном W5(s) по правилам структурных преобразований :
y2 = x2(s)·W2(s)2=y33 = x3(s)·W3(s)2=x3(s)·W3(s)·W2(s)
Решая эти уравнения совместно, получим:
=W5(s)= W3(s)·W2(s);5(s) = k5=2,52
Заменим контур W4 (s), W5 (s) одним звеном W6(s)
По правилам структурных преобразований:
y6 = y5+y4;
y5 =x5(s)W5(s);4=x4(s)W4(s); y6= x5(s)W5(s)+x4(s)W4(s);
=W6(s)=W5(s)+W4(s);6(s)=
Передаточная функция разомкнутой системы :
Коэффициент передачи:
Kраз = k1 ̇ ·k5 =3,02раз(s) = W6(s) ·W1(s) =
1.5Передаточная функция замкнутой САУ
Передаточная функция замкнутой САУ по задающему воздействию v
W VY = = =
1.6Передаточная функция по ошибке
We (s) = =
1.7 Критерии устойчивости
.7.1 Формулировка критерия Гурвица
Для того, чтобы линейная САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы главный определитель матрицы Гурвица и все его n-1 диагональные миноры были положительными.
Матрица Гурвица составляется из коэффициентов характеристического уравнения системы по определенным правилам.
Характеристическое уравнение заданной системы.
В критерии Гурвица характеристическое уравнение задается в виде операторного полинома :
D(p) = a0 pn + a1 pn-1 + …+an-1 p+ an ,
Чтобы получить характеристическое уравнение заданной системы , приравниваем к нулю знаменатель заданной САУ :
0,07s3
Обозначим коэффициенты и найдем их значения:
a0 = 0,07 0 ,
a1 = 0,88 0 ,
a2 = 3,35 0,
a3 = 3,02
все коэффициенты характеристического уравнения положительны - необходимое условие устойчивости выполняется.
Составляем матрицу Гурвица:
=
Условия устойчивости :
= = 0,88
= - = 2,73 0.
По условию Гурвица система является устойчивой.
.7.2 Критерий Михайлова
Формулировка критерия
для устойчивости системы автоматического управления необходимо и достаточно, чтобы вектор описываемый кривую ( годограф ) Михайлова при изменении ω от 0 до огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно в положительном направлении n квадрантов, где n- порядок системы.
Критерий Михайлова является частотным критерием устойчивости.
Характеристическое уравнение системы :
+ +…+ s + .
Делаем подстановку (s =
получим комплексный полином :
( jω )n + ( jω )n-1 +…+ = X(ω) + j Y(ω) = D (ω)e jφ(ω) ,
,07(j ω)3+ 0,88(j ω)2+3,35(j+3,02=X(ω)+j Y(ω).
Выделим вещественную и мнимую часть:
X(ω)= 3,02- 0,88ω2,
Y(ω)= 3,35ω - 0,07ω3
Составим таблицу значений:
ω с-1 0 2 3 5710X(ω) 3,02-0,5-4,9 -19-40,1-85Y(ω) 06,148,16 8-0,56-36,5
Построим по полученным значениям годограф Михайлова
По графику видно, что критерий Михайлова выполняется, так как годограф проходит n=3 квадрантов и на 3 квадранте уходит в бесконечность. Система устойчива!
.7.3 Критерий Найквиста
Этот критерий называется точечным критерием. Он позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы Ws (jω)
Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста не охватывал критическую точку (-1,0)
Условие выполняется!
1.8 Построение АЧХ, АФЧХ, ЛАХ, ЛАФЧХ и годографа в среде MatLab.
Частотные характеристики
1.9Показатели качества переходных процессов при моделировании на ЭВМ
Переходный процесс идет по возрастающей!
При подаче на вход импульса процесс стабилизируется , но не сразу отклоняясь от нуля.
2.Синтез последовательного корректирующего устройства на основании метода желаемой ЛАЧХ
.1 Построение асимптотической ЛАЧХ нескорректированной системы
Wнес =
При построении ЛАЧХ системы , состоящей из последовательных типовых звеньев учитывается , что логарифм произведения есть сумма логарифмов ,поэтому для каждого звена можно построить ЛАЧХ , а затем просуммировать и получить ЛАЧХ всей системы.
Для построения Lсн (ω) рассчитываем параметры:
1) 20 lg kраз = 20 lg( k1 k5) = 20 lg (3,02) = 9,6 дБ
)Частоты сопряжения системы:
=1/ τ1 = 1/ 1 =1 рад/ сек
=1/ T1 = 1/0,7=1,42 рад/сек
=1/T2 = 1/0,1 = 10 рад/сек
по оси абсцисс возьмем логарифмический масштаб (lg ω). Пересчитаем частоты сопряжений в десятичных логарифмах частоты:
lg = lg (1) = 0 дек
lg = lg (1,42) = 0,15дек
lg = lg (10) =1дек
в координатной плоскости [ L (w), lg w] при частоте w=1 ( lg 1= 0 дек) отложим ординату 20 lg k и логарифмы частот сопряжений.
В низкочастотной области асимптотическая Lнс (w)- прямая линия проходящая под наклоном - 20 дБ/ Дек через точку с координатами ( 20 lgk, 0). Таким образом асимптотическая LHC (w) представляет собой ломанную с наклонами -20, -40, -20 и -40 дБ/дек.
.2 Построение асимптотической желаемой ЛАЧХ - Lж
Построение низкочастотной зоны Lжел (ω) начинаем с определения требуемого коэффициента
Kтр = 1/yдоп ( =1/0,005 = 200 20 lg kтр = 46
Через точку 20 lg kтр проводим прямую линию под наклоном -20 дБ/дек.
Эта линия соответствует низкочастотной зоне желаемой ЛАЧХ.
Для определения СЧЗ необходимо определить частоту среза Wc желаемой ЛАЧХ и ординаты начала и конца зоны.
При заданном мах.доп = 25 определяем P мах , Tpeг f (Pмах)
Находим время регулирования
Tpeг =
При заданном значении допустимом времени регулирования
Tрег.доп =1,5 с частоту среза найдем по формуле:
с = = = 6,07 рад/с
Lgc =0,78
Среднечастотная асимптота проводится под наклоном - 20 дБ/дек через точку lgc начальная и конечная ординаты 16 дБ.
Высокочастотная зона Lжел (ω) строится параллельно ЛАЧХ исходной САУ ее наклон -20 дБ/дек или -40 дБ/дек.
Определим ЛАЧХ последовательно корректирующего устройства Lку(ω) графическим вычитанием ординат LHC (ω) из ординат L жел (ω)
.3 Определение передаточной функции и параметров корректирующего устройства.
Передаточная функция корректирующего устройства :
Wку (s) = kку .
Найдем численные значения времени T4, T5, T6 :
T4 = 1/ср5 ; lg ωcp4=0,055 дек, ωср4=1,135 рад/с Т4=0,88 с
T5 = 1/ωср6; lg ωcp5=1,705 дек , ωср5=50,6 рад/с Т5=0,02 с
T6 = 1/ωср6 ; lg ωcp6 =1,365 дек, ωср6=0,043 рад/с Т6=23,26 с
Коэффициент передачи регулятора определяется по формуле:
Kку = = = 66,2
.4 Структурная схема синтезированной САУ
Включаем корректирующий элемент в структурную схему.
.5 Запас устойчивости по фазе скорректированной САУ
Считаем запас устойчивости по передаточной функции:
Wжел (s) = k тр ·
(= - -(c), при A(= 1
(с) = arctg (T4 c)
Для апериодических звеньев:
(с) = - arctg (T5 c)
(c) = - arctg ( T6 c)
Для интегрирующего звена : (с) = -
() = -180 - [ arctg (T4 c) - arctg (T6 c)- arctg (T5 c)- 90] / = 73,3
2.6 Проверка результатов синтеза методом цифрового моделирования
после ввода корректирующего звена процесс стабилизации занимает 1,8с.
Переходная характеристика скорректированной САУ имеет вид:
При подаче на вход импульса:
Частотные характеристики:
Вывод
автоматический управление моделирование
Оценка показателей качества переходного процесса и статической ошибки регулирования
Скорректированной САУ при единичном ступенчатом воздействии
Время регулирования уменьшилась по сравнению с исходной Tрег. = Т рег. доп = 1,5с
Статистическая ошибка регулирования: у(ω) = 0 в отличии от исходной САУ.