Гравитационное поле точечной массы и шара
Гравитационное поле точечной массы и шара
В.
В. Орлёнок, доктор геолого-минералогических наук
Нахождение аномалий силы тяжести, создаваемых телами
известной формы, составляет прямую задачу гравиметрии. В основе аналитического
способа решения прямой задачи лежит известный закон всемирного тяготения
Ньютона, согласно которому притяжение единичной массы (весом 1 г) элементарной
массой равно
.
(V.4)
Положим, что точка с массой dm находится на расстоянии
r от пункта наблюдения и на глубине h от поверхности Земли (рис. 26). Потенциал
точки будет
,
(V.5)
где , т.е.
.
(V.6)
Из определения силы тяжести (см. гл. 4, §3) ее
вертикальная и горизонтальная составляющие определяются как первая и вторая
производные по h и x:
;
(V.7)
.
(V.8)
;
(V.9)
.
(V.10)
Максимальное и минимальное значение Dg принимает при x = 0 и x = ±¥:
.
(V.11)
.
(V.12)
Графики функций Dg и Vxz приведены на
рис. 26.
Притяжение шара. Многие геологические тела в земной
коре могут быть аппроксимированы шаром (купола, дайки, подводные холмы и т.д.).
Предположим, что шар массой М залегает на глубине h и на расстоянии r от точки
наблюдения, расположенной на поверхности земли (рис. 27). Будем считать шар
однородным по плотности. Поместим его под центром системы координат xoz (y =
0). Притяжение шара эквивалентно притяжению точки, помещенной в центр шара.
Поэтому можно воспользоваться формулой, полученной для элементарной массы
(V.9):
.
(V.13)
Аналогично имеем для второй производной потенциала
силы тяжести Vxz:
В плане гравитирующим массам, имеющим форму, близкую к
шару, соответствуют изометрические аномалии, максимум которых располагается над
центром тяжести шара (рис. 27).
Таким образом, над центром шара вертикальная
составляющая силы тяжести Dg имеет максимум, горизонтальная
составляющая Vxz – минимум. С удалением от шара кривые Dg и Vxz асимметрически приближаются к оси x (рис.27).
Список
литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы
с сайта http://elib.albertina.ru