О скрытых возможностях физического содержания уравнений Максвелла классической электродинамики

О скрытых возможностях физического содержания уравнений Максвелла классической электродинамики

О скрытых возможностях физического содержания уравнений Максвелла классической электродинамики

В.В. Сидоренков, МГТУ им. Н.Э. Баумана

Показана возможность концептуальной модернизации традиционных представлений классической электродинамики о структуре и свойствах электромагнитного поля, позволяющей выявить принципиально новые реалии в физическом содержании уравнений Максвелла, иллюстрирующие подлинное величие и грандиозные скрытые возможности этих уравнений в отношении полноты охвата наблюдаемых в Природе явлений электромагнетизма.

Общепринято считать, что все известные явления электромагнетизма обусловлены существованием и взаимодействием с материальными средами электромагнитного поля, с двумя векторными компонентами электрической  и магнитной  напряженностей. Свойства этого поля физически полно и математически исчерпывающе описываются системой взаимосвязанных электродинамических уравнений, первоначальная форма и структура которых была сформулирована Максвеллом [1]. К сожалению, Максвелл ушел из жизни рано (в 48 лет), и свои гениальные уравнения он так и не успел привести в единую логическую систему. Поэтому при жизни его теория электромагнитного поля не нашла должного признания в научной среде, более того, у некоторых коллег отношение к ней было почти враждебным, вплоть до полного неприятия: она считалась непонятной, математически нестрогой и логически необоснованной. Как отголоски прошлого и сегодня можно услышать разговоры о некоем «механическом» методе построения Максвеллом своих уравнений, хотя этого в трактате [1] нет. Можно без преувеличения сказать, что для физика, инженера и преподавателя трактат Максвелла (конечно, если они его действительно читали) является бесценным методическим и информационным пособием, библией электромагнетизма, а для студента еще и физическими основами математического анализа.

Впоследствии, после триумфа теории Максвелла - открытия электромагнитных волн (Герц, 1888г), эти уравнения были модернизированы Герцем и Хевисайдом, где новации заключались по существу лишь в уменьшения числа (с 8 до 4) основных исходных уравнений системы. Однако если говорить о положительном эффекте такой модификации, то он заключался в том, что предложенные уравнения были для того времени концептуально логически обозримы и физически более последовательны, имели удобный математически векторный вид и в определенной мере законченную форму. В современном окончательном виде именно эту модифицированную систему уравнений [2]:

(a) ,   (b) ,

(c) ,  (d) , (1)

и стали называть уравнениями Максвелла классической электродинамики. Здесь векторы напряженности электрического  и магнитного  полей связаны посредством материальных соотношений:

,  ,  , (2)

с векторами электрической  и магнитной  индукций, вектором плотности электрического тока , которые представляют собой отклик среды на наличие в ней электромагнитного поля. Соответственно,  – объемная плотность стороннего заряда,  и  – электрическая и магнитная постоянные,  – удельная электрическая проводимость, относительные диэлектрическая  и магнитная  проницаемости среды.

Принципиальная особенность этих релятивистски-инвариантных уравнений (1) состоит в том, что в их структуре заложена отражающая обобщение опытных данных основная аксиома классической электродинамики – неразрывное единство переменных во времени электрической и магнитной компонент электромагнитного поля. Прямым фундаментальным следствием уравнений Максвелла является вывод о том, что описываемое ими электромагнитное поле распространяется в свободном пространстве посредством поперечных волн, скорость которых определяется лишь электрическими и магнитными параметрами среды, заполняющей это пространство (например, в отсутствие поглощения ). Совместное решение уравнений системы (1) позволяет также ответить на вопрос, что переносят эти волны и получить аналитическую формулировку закона сохранения электромагнитной энергии:        

 , (3)  

согласно которому поток электромагнитной энергии компенсирует в данной точке среды джоулевы (тепловые) потери за счет электропроводности (первое слагаемое справа) и изменяет электрическую и магнитную энергии, либо наоборот. При этом характеризующий энергетику данного факта вектор Пойнтинга плотности потока электромагнитной энергии , связанный с вектором объемной плотности электромагнитного импульса , отличен от нуля только там, где одновременно присутствуют электрическая и магнитная компоненты поля, векторы  и  которых неколлинеарны.

Суть электромагнетизма – это взаимодействие электромагнитного поля с материальной средой, а потому в итоге все сводится к стремлению описать энергетику явлений электрической и магнитной поляризаций, феномена электропроводности. Однако следует указать на весьма ограниченный диапазон явных возможностей уравнений Максвелла (1), поскольку строго в их рамках нельзя представить в принципе раздельное существование чисто электрических либо магнитных волн, переносящих электродинамические потоки только электрической или магнитной энергии, хотя процессы соответствующей поляризации наблюдаются в эксперименте, существуют раздельно и энергетически друг от друга независимы. Кроме того, далеко не ясен вопрос о физической реализации момента импульса электромагнитного поля, соответственно, переносящих его волн, и как это явление соотносится с уравнениями Максвелла. Заметим, что еще со времен Пойнтинга его безуспешно пытаются описать этими уравнениями (см., например, результаты анализа в статье [3]).

В ограниченности уравнений (1) можно убедиться на конкретном примере изучения энергетики процесса стационарной электропроводности в металле, где наряду с тепловыделением в проводнике существуют электрическое и магнитное поля, а, следовательно, и соответствующие энергии. Однако, согласно (3), уравнения (1) способны описать лишь энергетику тепловых потерь, причем сам по себе закон Джоуля-Ленца на локальном уровне существовать не может, ибо для его реализации требуется поступление в данную точку потока электромагнитной энергии извне: . Итак, процесс электрической проводимости принципиально имеет полевое континуальное воплощение. При этом уравнения Максвелла (1) в принципе не способны описать аналогичные потоку электромагнитной энергии другие существующие в данном процессе потоки: электрической или магнитной энергий. Теоретический анализ такой ситуации представлен в работах [4, 5].

В этой связи попытаемся аргументированно прояснить сложившуюся ситуацию, для чего продолжим далее модернизацию теперь уже уравнений (1), где нашей основной задачей будет выявление концептуально новых реалий в физическом содержании уравнений Максвелла, иллюстрирующих действительное величие и грандиозные скрытые возможности этих уравнений в отношении полноты охвата наблюдаемых в Природе явлений электромагнетизма.

Поскольку «все новое – это хорошо забытое старое», то обратимся к физическим представлениям о векторном потенциале электромагнитного поля, который, по словам Максвелла [1], “может быть признан фундаментальной величиной в теории электромагнетизма”. Однако в наше время векторные потенциалы как физическую реальность по существу не рассматривают, им отводят лишь роль вспомогательной математической функции, в ряде случаев упрощающей вычисления. Такой общепринятый сегодня взгляд на векторные потенциалы берет начало от Герца и Хевисайда, о чем прямо говорится в цитате из статьи Герца (перевод из [6]): “… мне не кажется, что какая либо выгода достигается при введении векторного потенциала в фундаментальные уравнения; более того, хотелось бы видеть в этих уравнениях связь между физическими величинами, которые можно наблюдать, а не между величинами, которые служат лишь для вычислений ”. Не доводя до абсурдной абсолютизации мнение классика, в целом с этим приходится согласиться, так как такой взгляд обусловлен взаимно неоднозначной связью полей и их потенциалов, не допускающей прямых измерений последних, но, что еще более важно, использование векторных потенциалов строго в рамках уравнений Максвелла не приводит в явном виде к дополнительным, не известным прежде следствиям.

Удивительно, но это табу на развитие физических представлений в классической электродинамике существует со времен Герца, и его продолжают настоятельно культивировать уже более века. Другое подобное табу - это завидное упорство в применении инородной электродинамике гауссовой системы единиц, где по существу игнорируется физическое содержание электродинамических соотношений и выдвигается на передний план формализм математики, что создает путаницу физических понятий и мешает действительно разобраться в них. Конкретный пример такого «математического шабаша» в электромагнетизме можно встретить даже в учебниках, когда без разбора пишут, кстати, не считаясь с мнением Максвелла ([1] п. 12, 14), как «», так и «» либо «» и «». Кроме того, вызывает недоумение неприятие до сей поры и необъяснимый корпоративный снобизм многих профессиональных физиков в отношении к широко используемой в технических дисциплинах международной системы единиц СИ. По нашему мнению, налицо концептуальный застой и даже стагнация в теории электромагнетизма. При этом, несмотря на все вышесказанное, опять же в учебной литературе повсеместно с помпой утверждается, что именно данная область физического знания наиболее полно разработана во всех ее аспектах и ее современный уровень является вершиной человеческого гения.

Однако к настоящему времени исследованиями в области электродинамики, квантовой механики и сверхпроводимости достоверно установлено, что в фундаментальных уравнениях должны фигурировать не электромагнитные поля, а именно их потенциалы. В частности, эффекты Ааронова-Бома, Джозефсона, Мейснера реализуются в поле магнитной компоненты векторного потенциала [6], проявляющего себя тем самым вполне наблюдаемой физической величиной. Известно предложение о применении указанного поля векторного потенциала в технологиях обработки разного рода материалов [7]. Отметим также сообщение [4], где на основе формального использования представлений об электромагнитном векторном потенциале металлического проводника с током установлено, что в проводник при электропроводности вместе с потоком электромагнитной энергии (вектора Пойнтинга) поступают потоки чисто электрической и чисто магнитной энергии, момента электромагнитного импульса. Таким образом, имеем серьезную, требующую своего разрешения проблему, в которой надо должным образом проанализировать известные либо вскрыть новые реалии в физическом содержании уравнений Максвелла, в частности, понять роль и место векторного потенциала в теории электричества

Поставленная задача и проведенный в этом направлении анализ [8-10] показал, что исходные соотношения первичной взаимосвязи электромагнитного поля с компонентами электрической  и магнитной  напряженностей и поля электромагнитного векторного потенциала с электрической  и магнитной  компонентами можно получить непосредственно из системы максвелловских уравнений (1):

(c) ,   (d) . (4)

Здесь соотношение (4a) для магнитной компоненты векторного потенциала  вводится с помощью уравнения (1d), так как дивергенция ротора произвольного векторного поля тождественно равна нулю. Аналогично соотношение (4b) для электрической компоненты векторного потенциала  следует из уравнения (1b) при , справедливого для сред с локальной электронейтральностью. Однозначность функций векторного потенциала, то есть чисто вихревой характер таких полей, обеспечивается условием кулоновской калибровки: div. Далее подстановка соотношения (4a) для  в уравнение вихря электрической напряженности (1a) приводит к известной формуле (4с) связи полей векторов  и  [2], описывающей закон электромагнитной индукции Фарадея. В силу рассмотрения только вихревых полей, формально следующий из таких рассуждений электрический скалярный потенциал  тут не обсуждается. Аналогичная подстановка соотношения (4b) для  в уравнение вихря магнитной напряженности (1c) с учетом соотношений (2) дает формулу (4d) связи полей векторов  и , где  – постоянная времени релаксации электрического заряда в среде за счет ее электропроводности.

Как видим, полученные соотношения (4) являются базой для интерпретации физического смысла поля электромагнитного векторного потенциала, выяснения его роли и места в теории электричества (см. работу [8]), соответственно, в явлениях электромагнетизма. Однако самое главное и конструктивное в них то, что они представляют собой логически связанную систему уравнений, описывающих структуру и свойства необычного вихревого векторного поля, состоящего их четырех полевых векторных компонент , ,  и , которое условно назовем единое электродинамическое поле.

Объективность существования указанного единого поля убедительно иллюстрируется основным фундаментальным следствием из соотношений (4), которое состоит в том, что подстановки (4c) в (4b) и (4d) в (4a) приводят к системе новых электродинамических уравнений для поля электромагнитного векторного потенциала с полевыми компонентами: электрической  и магнитной . Видно, что математическая структура этих уравнений, полностью аналогична системе традиционных уравнений электродинамики Максвелла (1):

(a) rot,     (b) div,  

(c) rot,  (d) div. (5)

Чисто вихревой характер компонент  и поля векторного потенциала обеспечивается условием калибровки посредством дивергентных уравнений (5b) и (5d), которые также представляют собой для уравнений (5a) и (5c) начальные условия в математической задаче Коши, что делает систему (5) замкнутой. Неординарность уравнений системы (5) вполне очевидна, поскольку в каждом одном роторном уравнении для компоненты потенциала  или  содержится информация о свойствах обоих роторных уравнений электромагнитных полей  и  системы (1). Убедиться в этом посредством дифференцирования по времени и пространству этих уравнений с учетом соотношений (4) предоставим читателю. При этом дивергентные уравнения системы (5) с помощью дифференцирования их по времени преобразуются в соответствующие уравнения системы (1) при .

Однако вернемся к соотношениям (4) единого электродинамического поля. Подстановки соотношения (4с) в продифференцированное по времени соотношение (4a) и аналогично (4d) в (4b) дают систему электродинамических уравнений электромагнитного поля (1) при , где уравнения (1d) и (1b) получаются взятием дивергенции от (4a) и (4b). Уравнения (1а) и (1с) можно также получить, если взять ротор от (4с) и (4d) при подстановке в них (4а) и (4b).

Применение операции ротора к (4c) и подстановка в него (4a) с учетом (4d) преобразует систему (4) в еще одну систему теперь уже уравнений электрического поля с компонентами напряженности  и векторного потенциала :

(a) rot,  (b) div,    

(c) rot,        (d) div. (6)

Соответственно взятие ротора от соотношения (4d) и подстановка в него (4b) с учетом (4c) снова преобразует систему соотношений (4) в еще одну новую систему уравнений классической электродинамики систему уравнений магнитного поля с компонентами напряженности  и векторного потенциала :

(a) rot,  (b) div,    

(c) rot,         (d) div. (7)

Сделаем общее математическое замечание о дивергентных уравнениях во всех системах. Как уже говорилось, уравнения  являются калибровкой, обеспечивающей однозначность функции векторного потенциала , поэтому, согласно симметрии уравнений в рассматриваемых системах, другие дивергентные уравнения: (1b) при , (1d), (6b) и (7b) с математической точки зрения также следует считать соответствующими калибровками для функций вихревых полей  и .

Проведем анализ полученных выше систем уравнений [9], специфика которых состоит в том, что, являясь модификацией уравнений Максвелла электромагнитного поля, они справедливы теперь в таких областях пространства, где присутствуют одновременно поля и их векторные потенциалы, либо только потенциалы. Согласно структуре представленных уравнений, описываемые ими поля распространяются в пространстве в виде волн, скорость которых определяется электрическими и магнитными параметрами среды, заполняющей это пространство: ,  и . В этом можно убедиться, взяв, как обычно, ротор от одного из роторных уравнений системы, и после чего подставить в него другое роторное уравнение той же системы. В качестве иллюстрации получим, например, для системы (6) волновое уравнение относительно :

rot rot grad divrot ,  

где, согласно (6b), div, а Δ – оператор Лапласа. Таким образом, имеем теперь волновые уравнения не только для электромагнитных полей  и , но и для их векторных потенциалов  и  в парных комбинациях этих четырех уравнений в зависимости от системы. В итоге возникает физически очевидный, принципиальный вопрос: какие это волны, и что они переносят? Результаты изучения особенностей распространения составляющих единого электродинамического поля в виде плоских волн в однородных изотропных материальных средах изложены, например, в публикации [10]. Однако в настоящей работе для нас больший интерес представляет другое: прояснить физическое содержание рассматриваемых здесь новых систем электродинамических уравнений.

Подобно вектору Пойнтинга  плотности потока электромагнитной энергии полей системы уравнений (1) рассмотрим другой потоковый вектор , который, судя по размерности, описывает электрическую энергию, приходящуюся на единицу площади поверхности. Для аргументированного обоснования возможности существования такого вектора и установления его статуса воспользуемся уравнениями системы (6) и с помощью стандартных вычислений (см. (3)) получим

 (8)

Аналогичным образом можно ввести еще один потоковый вектор , размерность которого соответствует поверхностной плотности магнитной энергии в соотношении, описывающем энергетику процесса намагничивания среды в данной точке:            

. (9)

Итак, уравнения магнитного поля системы (7) рассматривают чисто магнитные явления, устанавливают реальность поперечных магнитных волн, переносящих поток магнитной энергии.

Эксперименты по изучению условий возбуждения и распространения магнитных волн в металлах и сопоставление их с теорией распространения единого электродинамического поля в виде плоских волн представлены в работе [10]. Все это действительно убеждает нас, что известная технология нагрева металлов с помощью магнитного индуктора – это использование физического процесса возбуждения и распространения в проводящей среде чисто магнитных поперечных волн. Резюме: если Вы сделали открытие, то загляните в книгу, там об этом уже все написано.

Полученные соотношения баланса (8) и (9) описывают энергетику условий реализации обычной электрической или магнитной поляризации среды (первое слагаемое правой части соотношений) посредством переноса извне в данную точку потоком вектора  или  соответствующей энергии. Однако эти соотношения устанавливают также наличие эффектов динамической поляризации вещества (в частности, проводящих сред) за счет действия переменных во времени электрической или магнитной компонент поля электромагнитного векторного потенциала. Надо сказать, что явления динамической поляризации уже имеют прямое экспериментальное воплощение: это эффекты электродинамической индукции в металлах [11] и динамического намагничивания в ферритах и магнитоупорядоченных металлах [12].

Очевидно, что такие представленные результаты анализа систем (6) и (7) в виде соотношений энергетического баланса (8) и (9) в принципе невозможны и просто абсурдны в рамках традиционных уравнений электродинамики Максвелла, но это нисколько не является недостатком системы (1), а лишь иллюстрирует автономию при описании полей в одной системе уравнений по отношению к другим.

Аналогично вводится потоковый вектор , определяющий, судя по размерности, момент импульса на единицу площади поверхности. Соответственно, уравнения (5) позволяют получить соотношение баланса процесса передачи момента электромагнитного импульса:     

. (10)

Здесь момент электромагнитного импульса в проводящей среде создается электрической компонентой векторного потенциала, стационарной в том числе, а в среде диэлектрика – переменными во времени электрической и магнитной компонентами.

Как видим, именно уравнения поля электромагнитного векторного потенциала (5) описывают волны, переносящие в пространстве поток момента импульса, которые со времен Пойнтинга безуспешно пытаются описать с помощью уравнений электромагнитного поля (1) (см. анализ в [3]). Существенно, что сами по себе волны векторного потенциала принципиально не способны переносить энергию, поскольку в уравнениях системы (5) поля  и  отсутствуют. В этой связи укажем на пионерские работы [13], где обсуждается неэнергетическое (информационное) взаимодействие векторного потенциала со средой при передаче в ней потенциальных волн и их детектирование с помощью эффекта, аналогичного эффекту Ааронова-Бома. Однако, как иллюстрирует система соотношений (4) и установлено анализом в работе [10], существование и распространение волн электромагнитного векторного потенциала в принципе невозможно без сопровождающих их волн электромагнитного поля, соответственно, наоборот.

Таким образом, соотношения (4) действительно следует считать системой уравнений вихревого векторного четырехкомпонентного единого электродинамического поля, базирующегося на исходной своей составляющей - поле электромагнитного векторного потенциала, состоящего из двух взаимно ортогональных электрической  и магнитной  векторных полевых компонент. При этом поле векторного потенциала своим существованием реализует функционально связанные с ним другие составляющие единого поля: электромагнитное поле с векторными компонентами  и , электрическое поле с компонентами  и , магнитное поле с компонентами  и . Отмеченная здесь структура и взаимосвязь составляющих единого электродинамического поля сохраняется и в статической асимптотике. Логика построения систем уравнений для стационарных составляющих единого электродинамического поля и анализ физического содержания таких уравнений изложены в работе [5].

В итоге, имеем очевидное обобщение и серьезное развитие представлений классической электродинамики, согласно которым в Природе, так же как и в случае электромагнитного поля, не может быть электрического, магнитного или другой составляющей единого электродинамического поля с одной полевой компонентой. Структура обсуждаемых составляющих единого электродинамического поля из двух векторных взаимно ортогональных полевых компонент – это объективно необходимый способ их реального существования, принципиальная и единственная возможность распространения конкретной составляющей в виде потока соответствующей ей физической величины, в случае динамических полей – посредством поперечных волн [10].

Кстати, впервые о реальности магнитной поперечной волны с двумя ее компонентами  и , сдвинутыми при распространении по фазе на , более 20 лет назад официально в виде приоритета на открытие заявил Докторович, и этот факт он с удивительным упорством, достойным лучшего применения, безуспешно пытается донести до других, ссылаясь на приоритет и свою статью (например, [14]). Печально, но только Время - высший судья, и оно расставит всех по своим местам! В этой связи независимое подтверждение в представленных здесь работах научных достижений Докторовича будет для него серьезной поддержкой в общении с оппонентами.

В заключение следует заявить, что настоящая работа не претендует на научную новизну, поскольку в ней представлен лишь краткий ретроспективный обзор, по сути дела, реферат уже опубликованных в печати некоторых важных результатов по изучению роли и места электромагнитного векторного потенциала в теории электричества, проводимого автором на протяжении ряда лет. Главная цель здесь была совершенно другая, а именно указать пути кардинального выхода электромагнитной теории из застоя. Как представляется, эта цель вполне достигнута: мы смогли выявить и показать действительно новые реалии в физическом содержании уравнений Максвелла, проиллюстрировать подлинное их величие и грандиозные скрытые возможности в отношении полноты охвата наблюдаемых в Природе явлений электромагнетизма, и в итоге тем самым провести модернизацию концептуальных представлений классической электродинамики о структуре и свойствах электромагнитного поля, которое, как установлено, является лишь только одной из равноправных взаимосвязанных составляющих вихревого векторного четырехкомпонентного единого электродинамического поля.

Список литературы

1. Максвелл Дж. К. Трактат об электричестве и магнетизме. Т. I и II. М.: Наука, 1989.

2. Матвеев А.Н. Электродинамика. М.: Высшая школа, 1980.

3. Соколов И.В. // УФН. 1991. Т. 161. № 10. С. 175-190.

4. Сидоренков В.В. // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2005. № 2. С. 35-46.

5. Сидоренков В.В. // http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/4797.html.