Аналитическая геометрия
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ.
Пусть задана система векторов а1, а2,
а3,…,ал (1) одной размерности.
Определение:
система векторов (1) называется линейно-независимой, если равенство a1а1+a2а2+…+aлал=0
(2) выполняется лишь в том случае, когда все числа a1, a2,…, aл=0 и ÎR
Определение:
система векторов (1) называется линейно-зависимой, если равенство (2) выполнимо
хотя бы при одном ai¹0
(i=1,…,k)
Свойства
1. Если система векторов содержит нулевой вектор, то она
линейно зависима
2. Если система векторов содержит линейно-зависимую
подсистему векторов, то она будет линейно-зависимой.
3. Если система векторов линейно-независима, то и любая
ее подсистема будет линейно независимой.
4. Если система векторов содержит хотя бы один вектор,
являющийся линейной комбинацией других векторов, то эта система векторов будет
линейно зависимой.
Определение:
два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.
Определение:
три вектора называются компланарными, если они лежат в параллельных плоскостях.
Теорема:
Если заданы два вектора a и b, причем а¹0 и
эти векторы коллинеарны, то найдется такое действительное число g, что b=ga.
Теорема: Для
того что бы два вектора были линейно-зависимы необходимо и достаточно, что бы
они были коллениарны.
Доказательство:
достаточность. Т.к. векторы коллинеарны, то b=ga. Будем
считать, что а,b¹0 (если нет, то система линейно-зависима по 1
свойству). 1b-ga=0. Т.к.
коэфф. При b¹0, то система линейно зависима по определению.
Необходимость. Пусть а и b линейно-зависимы. aа+bb=0, a¹0. а= -b/a*b. а
и b коллинеарны по определению
умножения вектора на число.
Теорема: для того, чтобы три вектора были линекно-зависимы
необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны. Необходимость.
Дано: a, b, c – линейно-зависимы. Доказать: a, b, c – компланарны. Доказательство: т.к.
векторы линейно-зависимы, то aа+bb+gc=0, g¹0. с= - a/g*а - b/g*b. с-диагональ параллелограмма, поэтому a, b, c лежат в одной плоскости.
БАЗИС СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. РАЗЛИЧНЫЕ СИСТЕМЫ
КООРДИНАТ.
1. Определение: пусть задана некоторая система
векторов. Базисом этой системы называется мах. совокупность линейно-независимых
векторов системы.
В множестве векторов на прямой базис состоит из
одного ненулевого вектора.
В качестве базиса множества векторов на плоскости
можно взять произвольную пару.
В множестве векторов в трехмерном пространстве базис
состоит из трех некомпланарных векторов.
2. Прямоугольная (декартова) система координат на
плоскости определяется заданием двух взаимно перпендикулярных прямых с общим
началом и одинаковой масштабной ед. на осях.
Прямоугольная (декартова) система координат в
пространстве определяется заданием трех взаимно перпендикулярных прямых с общей
точкойпересечения и одинаковой масштабной ед. на осях.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение:
скалярным произведением двух векторов называется произведение длин двух
векторов на косинус угла между ними.
(а,b)=|a|
|b| cos u, u<90, пр-е полож.; u=90, пр-е
=0; u>90, пр-е отриц.
Свойства:
1. (а,b)= (b,а)
2. (aа,b)= a (а,b)
3. (а+b,с)= (а,с)+ (b,с)
4. (а,а)=|a|2 –
скал.квадрат.
Определение:
два вектора называются ортоганальными, когда скалярное пр-е равно 0.
Определение:
вектор называется нормированным, если его скал.кв.равен 1.
Определение:
базис множества векторов называется ортонормированным, если все векторы базиса
взаимно-ортагональны и каждый вектор нормирован.
Теорема:
Если векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, то их
скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат.
Найдем формулу угла между векторами по определению
скалярного произведения. cos
u=a,b/|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2/sqrt(x12+y12+z12)*sqrt(x22+y22+z22)
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ.
Определение:
векторным произведением двух векторов a и b обозначаемым [a,b]
называется вектор с удовлетворяющий след. требованиям: 1. |c|=|a||b|sin u. 2. (с,а)=0 и (с,b)=0. 3. а, b, с образуют правую тройку.
Свойства:
1. [a,b]= - [b,a]
2. [aа,b]= a [а,b]
3. [a+b,c]=[a,c]+[b,c]
4. [a,a]=0
Теорема:
Длина векторного произведения векторов равна площади параллелограмма
построенного на этих векторах.
Доказательство:
справедливость теоремы вытекает из первого требования определения векторного
произведения.
Теорема:
Пусть векторы а и b заданы координатами в ортонормированном базисе, тогда
векторное произведение равно определителю третьего порядка в первой строке
которого наход-ся базисны векторы, во второй – координаты первого вектора, в
третьей – координаты второго.
Определение:
ортой вектора а называется вектор ед. длины имеющий одинаковое направление с
вектором а. ea=a/|a|
РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ.
1.Общее ур-е пр. 2. Ур-е пр. в отрезках. 3.
Каноническое ур-е пр. 4. Ур-е пр. ч/з две точки. 5. Ур-е пр. с углов. коэфф. 6.
Нормальное ур-е прямой. Расст. от точки до прямой. 7. Параметрическое ур-е пр.
8. Пучок пр. 9.Угол между пр.
1. Ах+By+C=0
(1), где A, B одновр.не равны нулю.
Теорема: n(A,B) ортоганален
прямой заданной ур-ем (1).
Доказательство:
подставим коорд. т.М0 в ур-е (1) и получим Ах0+By0+C=0 (1’). Вычтем (1)-(1’) получим А(х-х0)+B(y-y0)=0, n(A,B), М0М(х-х0, y-y0). Слева в полученном
равенстве записано скалярное произведение векторов, оно равно 0, значит n и M0M
ортоганальны. Т.о. n
ортоганлен прямой. Вектор n(A,B)
называется нормальным вектором прямой.
Замечание: пусть ур-я А1х+B1y+C1=0 и А2х+B2y+C2=0 определяют одну и ту же
прямую, тогда найдется такое действительное число t, что А1=t*А2 и
т.д.
Определение:
если хотя бы один из коэффициентов в ур-ии (1) =0, то ур-е называется неполным.
1. С=0, Ах+By=0 – проходит ч/з (0,0)
2. С=0, А=0, By=0, значит у=0
3. С=0, B=0, Ах=0,
значит х=0
4. А=0, By+C=0, паралл. ОХ
5. B=0, Ах+C=0, паралл. OY
2. x/a+y/b=1.
Геом.смысл:
прямая отсекает на осях координат отрезки а и b
3. x-x1/e=y-y1/m
Пусть на прямой задана точка и напр. вектор прямой
(паралл.пр.). Возьмем на прямой произв. точки. q и M1М(х-х1; y-y1)
4. x-x1/x2-x1=y-y1/y2-y1
Пусть на прямой даны две точки М1(x1;y1) и М2(x2;y2). Т.к. на прямой заданы
две точки, то задан направляющий вектор q(x2-x1; y2-y1)
5. y=kb+b.
u – угол
наклона прямой. Tg угла наклона называется угловым коэффициентом прямой k=tg u
Пусть прямая задана в каноническом виде. Найдем
угловой коэффициент прямой tg
u = m/e. Тогда видим x-x1/e/e=y-y1/m/e. y-y1=k(x-x1)
при y1-kx1=b, y=kx+b
6. xcosq+ysinq-P=0
q - угол между вектором ОР и положительным напр. оси
ОХ.
Решение:
Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cosq,
sinq).
Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и
ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosqx+sinqy. Приравняем правые части.
Задача:
прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.
Ах+By+C=0
xcosq+ysinq-P=0
т.к. уравнения определяют одну прямую, то
сущ. коэфф. пропорциональности.
Cos2q=(A*t)2
Sin2q=(B*t)2
-p=C*t
cos2q+sin2q=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=±sqrt(1/ A2+B2). Sign
t= - sign C
Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее
ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0,
t-нормирующий множитель.
7. Система: x=et+x1 и y=mt+y1
НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Расстояние от точки до прямой.
1. xcosq+ysinq-P=0
q - угол между вектором ОР и положительным напр. оси
ОХ.
Задача:
записать ур-е прямой , если изветны Р и q
Решение:
Выделим на прямой ОР вектор ед. длины n. |n|=1, n(cosq,
sinq).
Пусть М(x,y) – произв.точка прямой. Рассмотрим два вектора n и
ОМ. Найдем двумя способвами их скал.произведение. 1. ОМ*n=|OM||n|cosMOP=Р. 2. ОМ*n=cosqx+sinqy. Приравняем правые части.
Задача:
прямая задана общим ур-ем. Перейти к норм. виду.
Ах+By+C=0
xcosq+ysinq-P=0
т.к. уравнения определяют одну прямую, то
сущ. коэфф. пропорциональности.
Cos2q=(A*t)2
Sin2q=(B*t)2
-p=C*t
cos2q+sin2q=t2(A2+B2), t2=1/A2+B2, t=±sqrt(1/ A2+B2). Sign
t= - sign C
Что бы найти нормальное уравнение прямой нужно общее
ур-е умножить на t.
Аtх+Bty+Ct=0,
t-нормирующий множитель.
2. Обозначим d – расстояние от точки до прямой, а ч/з б – отклонение
точки от прямой. б=d, если нач.коорд. и точка по разные стороны; = -
d, если нач.коорд. и точка по одну сторону.
Теорема:
Пусть задано нормальное уравнение прямой xcosq+ysinq-P=0 и М1(x1;y1), тогда отклонение точки М1 = x1cosq+y1sinq-P=0
Задача: найти расстояние от точки М0(x0;y0)
до прямой Ах+By+C=0. Т.к. d=|б|, то формула расстояний принимает вид d=|
x0cosq+y0sinq-P|. d=|Ах0+By0+C|/sqrt(A2+B2)
ГИПЕРБОЛА.
Определение:
ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных
точек, называемых фокусами, есть величина постоянная
Каноническое уравнение:
Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на
одинаковом расстоянии от начала координат. |F1F2|=2c, М – произвольная точка гиперболы. r1, r2 – расстояния от М до фокусов;
|r2-r1|=2a; a<c;
,
x2c2-2a2xc+a2=a2(x2-2xc+c2+y2)
x2(c2-a2)-a2y2=a2(c2-a2)
c2-a2=b2
x2b2-a2y2=a2b2
- каноническое ур-е гиперболы
ПАРАБОЛА.
Определение:
ГМТ на плоскости расстояние от которых до фиксированной точки на плоскости,
называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой этой плоскости
называемой директрисой.
Каноническое уравнение:
Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а директриса
расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на одинаковом
расстоянии от начала координат.
|DF|=p,
М – произвольная точка параболы;
К – точка на директрисе; МF=r; MK=d;
r=sqrt((x-p/2)2+y2); d=p/2+x
Приравниваем и получаем:
y2=2px - каноническое уравнение параболы
ЭКСЦЕНТРИСИТЕТ И ДИРЕКТРИСА ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ.
1. Определение: эксцентриситет – величина
равная отношению с к а.
е=с/а
е эллипсв <1 (т.к. а>c)
е гиперболы >1 (т.к. с>a)
Определение:
окружность – эллипс у которого а=b, с=0, е=0.
Выразим эксцентриситеты через а и b:
е эллипса является мерой его “вытянутости”
е гиперболы характеризует угол раствора между
асимптотами
2. Директрисой D эллипса (гиперболы),
соответствующей фокусу F, называется прямая расположенная в полуплоскости a перпендикулярно большой оси эллипса и отстоящий от
его центра на расстоянии а/е>a
(а/е<a)
D1: x= - a/e
D2: x= a/e
р=а(1-е2)/е – для эллипса
р=а(е2-1)/е – для гиперболы
ТЕОРЕМА ОБ ОТНОШЕНИИ РАССТОЯНИЙ. 2-ОЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.
Теорема:
Отношение расстояния любой точки эллипса (гиперболы) до фокуса к расстоянию от
нее до соответствующей директрисы есть величина постоянная равная е эллипса
(гиперболы).
r1/d1=e
x£|a|, xe+a>0
r1=xe+a
d1 – расстояние от М(x,y) до прямой D1
xcos180+ysin180-p=0
x=-p
x=-a/e
бм=-x-a/e
d1=-бм (минус, т.к. прямая и точка по
одну стороно о начала коорд.)
Определение:
ГМТ на плоскости, отношение расстояния от которых до фокуса, к расстоянию до
соответствующей директрисы есть величина постоянная и представляет собой
эллипс, если <1, гиперболу, если >1, параболу,
если =1.
ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ, ПАРАБОЛЫ.
Пусть задан эллипс, парабола или правая ветвь
гиперболы.
Пусть задан фокус этих кривых. Поместим полюс полярной
системы в фокус кривой, а полярную ось совместим с осью симметрии, на которой
находится фокус.
r= r
d=p+rcosj
e=r/p+rcosj
- полярное уравнение эллипса, параболы и правой ветви
гиперболы.
КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задан эллипс в каноническом виде. Найдем
уравнение касательной к нему, проходящей через М0(x0;y0) – точка касания, она принадлежит эллипсу значит
справедливо:
у-у0=y’(x0)(x-x0)
Рассмотрим касательную к кривой следовательно
ya2y0-a2y02+b2x0x-b2x02=0
- уравнение касательной к эллипсу.
- уравнение
касательной к гиперболе.
- уравнение
касательной к параболе.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ НА
ПЛОСКОСТИ.
Преобразование на плоскости есть применение
преобразований параллельного переноса и поворота.
Пусть две прямоугольные системы координат имеют общее
начало. Рассмотрим все возможные скалярные произведения базисных векторов двумя
способами:
(е1;е1’)=cos u
(е1;е2’)=cos (90+u)= -sin u
(е2;е1’)=cos (90-u)=sin u
(е2;е2’)=cos u
Базис рассматривается ортонормированный:
(е1;е1’)=(е1, a11е1+a12е2)= a11
(е1;е2’)= (е1, a21е1+a22е2)= a21
(е2;е1’)= a12
(е2;е2’)= a22
Приравниваем:
a11=cos u
a21= - sin u
a12=sin u
a22=cos u
Получаем:
x=a+x’cos u – y’sin u
y=b+x’sin u – y’cos u - формулы поворота системы координат на угол u.
------------
x=a+x’
y=b+y’ - формулы параллельного переноса
ИНВАРИАНТЫ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА.
Определение:
Инвариантой ур-я (1) линии второго порядка относительно преобразования системы
координат, называется функция зависящая от коэффициентов ур-я (1) и не меняющая
своего значения при преобразовании системы координат.
Теорема:
инвариантами уравнения (1) линии второго порядка относительно преобразования
системы координат являются следующие величины: I1; I2; I3
Вывод: при
преобразовании системы координат 3 величины остаются неизменными, поэтому они
характеризуют линию.
Определение:
I2>0 – элиптический тип
I2<0 – гиперболический тип
I2=0 – параболический тип
ЦЕНТР ЛИНИИ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть задана на плоскости линия уравнением (1).
Параллельный перенос:
Параллельно перенесем систему XOY на вектор OO’
т.о. что бы в системе X’O’Y’ коэфф. при x’ и y’
преобразованного уравнения кривой оказались равными нулю. После этого:
a11x’2+2a12x’y’+a22y’2+a’33=0 (2)
точка О’ находится из условия: a13’=0 и
a23’=0.
Покажем, что новое начало координат (если
система разрешима) является центром симметрии кривой: f(x’;y’)=0, f(-x’;-y’)=
f(x’;y’)
Но точка О’ существует если знаменатели у x0 и y0 отличны от нуля.
Точка O’ – единственная точка.
Центр симметрии кривой существует если I2¹0 т.е.
центр симметрии имеют линии элиптического и гиперболического типа
Поворот:
Пусть система XOY повернута на
угол u. В новой системе координат уравнение не содержит
члена с x’y’ т.е. мы делаем коэфф. а12=0. a12’= -0,5(a11-a22)sin2u+a12cos2u=0
(разделим на sin2u), получим:
, после такого
преобразования уравнение принимает вид
a11’x’2+a22’y’2+2a13’x’+2a23’y’+a33’=0
(3)
ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ЭЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема:
Пусть задана линия элиптического типа т.е. I2>0
и пусть I1>0
следовательно уравнение (1)
определяет: 1. I3<0
– эллипс; 2. I3=0 – точка;
3. I3>0 – ур-е (1) не определяет. Если I3=0 говорят, что эллипс вырождается в
точку. Если I3>0 говорят, что задается мнимый эллипс. Пусть после
ПП и поворота ур-е (1) принимает вид (*).
Доказательство:
1. пусть I2>0, I1>0,
I3<0, тогда
а11’’x’’2+a22’’
y’’2= -I3/I2
I2=a11’’a22’’
> 0
I1= a11’’+a22’’
> 0
a11’’ > 0; a22’’
> 0
Итак, под корнями стоят положительные числа, следовательно,
уравнение эллипса.
2. I3>0
в данном случае под корнем стоят отрицательные числа, следовательно уравнение
не определяет действительного геометрического образа.
3. I3=0 в данном случае т(0,0) –
случай вырождения эллипса.
ТЕОРЕМА О ЛИНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.
Теорема:
Пусть уравнение (1) определяет линию гиперболического типа. Т.е. I2<0, I3¹0 - ур-е
(1) определяет гиперболу; I3=0
– пару пересекающихся прямых.
Доказательство:
I2<0; I2=
a11’’a22’’ < 0.
Пусть a11’’>0; a22’’<0
Пусть I3>0
В данном случае мы имеем гиперболу с
действительной осью ОХ.
Пусть I3<0
-(-а11’’)x’’2+a22’’
y’’2= -I3/I2
В этом случае мы имеем гиперболу с действительной осью
ОY
Пусть I3=0
а11’’x’’2-(-a22’’)y’’2=0
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ КРИВЫХ 2-ГО ПОРЯДКА.
Пусть крива второго порядка задана уравнением (1).
Рассмотрим квадратную часть этого уравнения: u(x,y)= a11x2+2a12xy+a22y2
Определение:
ненулевой вектор (a, b) координаты которого
обращают в ноль квадратичную часть называется вектором асимптотического
направления заданной кривой.
(a, b) – вектор асимптотического направления.
a11a2+2a12ab+a22b2=0 (*)
Рассмотрим (a’, b’) параллельный
(a, b): следовательно .
Дробь a/b характеризует вектор
асимптотического направления.
Задача:
выяснить какие асимптотические направления имеют кривые 2-го порядка.
Решение:
положим, что b¹0 и поделим на b2, получим: a11(a/b)2+2a12a/b+a22=0 из этого квадратного уравнения
найдем a/b.
т.к. у линий гиперболического и параболического типов
I2£0, то
они имеют асимптотические направления. Т.к. у эллипса I2>0 следовательно
таких у него нет (говорят он имеет мнимые асимптотические направления).
Найдем асимптотические направления у гиперболы:
(a, b)1=(a,b)
(a, b)2=(-a,b)
Векторы асимптотического направления являются
направляющими векторами для асимптот.
Итак: гипербола имеет два асимптотических направления,
которые определяются асимптотами гиперболы.
Найдем асимптотические направления у параболы:
y2=2px
y2-2px=0
u(x,y)= y2+0, y=0
(a, b)=(0,0)
Итак: вектор асимптотического направления параболы
лежит на оси симметрии параболы, т.е. прямая асимптотического направления
пересекает параболу в одной точке, след. асимптотой не является. Парабола имеет
одно асимптотическое направление, но асимптот не имеет.
РАЗЛИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ.
Пусть задано трехмерное пространство.
Теорема:
Плоскость в афинной системе координат задается уравнением первой степени от
трех переменных: Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C¹0 одновреенно.
Справедлива и обратная теорема.
Теорема:
Вектор n(A, B, C) ортоганален плоскости, задаваемой общим уравнением.
Вектор n – нормальный вектор плоскости.
2. Уравнение плоскости в отрезках:
3. Уравнение плоскости, определенной нормальным
вектором и точкой.
Пусть n(A,B,C)
и М(x0;y0;z0). Запишем ур-е пл-ти:
Ax+By+Cz+D=0
Ax0+By0+Cz0=-D
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
5. Уравнение плоскости ч/з 3 точки.
Пусть известны три точки не принадл. одной прямой.
Пусть М(x;y;z) – произвольная точка плоскости. Т.к.
точки принадл. одной плоскости то векторы компланарны.
М1М x-x1 y-y1 z-z1
М1М2 x2-x1 y2-y1 z2-z1 =0
М1М3 x3-x1 y3-y1 z3-z1
6. Параметрическое ур-е плоскости.
Пусть плоскость определена точкой и парой
некомпланарных векторов. V(V1;V2;V3);
U(U1;U2;U3); M0(x0;y0;z0),
тогда плостость имеет вид: система: x=x0+V1t+U1s
и y=y0+V2t+U2s и
z=z0+V3t+U3s
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ.
Ax+By+Cz+D=0; M0(x0;y0;z0)
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ В ПРОСТРАНСТВЕ.
Угол между плоскостями: пусть заданы две плоскости: A1x+B1y+C1z+D1=0;
A2x+B2y+C2z+D2=0,
поэтому n1(A1;B1;C1); n2(A2;B2;C2). Отыскание угла между плоскостями сводится к
отысканию его между нормальными векторами.