Лекции по матану (III семестр) переходящие в шпоры
№1
1 Двойной интеграл
Рассмотрим
в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией Г,
являющейся замкнутой непрерывной кривой. z = l(P) = f(x,y), P= (x,y) Î D – произвольные ф-ции определенные и ограниченные на D.
Диаметром области D наз. наибольшее расстояние между граничными точками.
Область D разбивается на n частых областей D1…Dn конечным
числом произв. кривых. Если S – площадь D, то DSi – площадь каждой
частной области. Наибольший из диаметров областей обозн l.
В каждой частной области Di возьмем произв. точку Pi (xi , Di) Î Di, наз. промежуточной. Если диаметр разбиения D l à 0 , то
число n областей Di à ¥. Вычислим зн-ие
ф-ции в промежуточных точках и составим сумму:I = f(xi, Di)DSi (1), наз.
интегральной суммой ф-ции. Ф-ция f(x,y) наз. интегрируемой в области D если существует
конечный предел интегральной суммы.
Двойным
интегралом ф-ии f(x,y) по области D наз. предел интегральной суммы
при l à 0. Обозн:
или
2 Понятие числового
ряда и его суммы
Пусть задана бесконечная
последовательность чисел u1, u2, u3…
Выражение u1+ u2+ u3…+ un (1)
называется числовым рядом, а числа его составляющие- членами ряда.
Сумма конечно числа n
первых членов ряда называется n-ной частичной суммой ряда: Sn = u1+..+un
Если сущ. конечный предел: , то его называют суммой ряда и говорят, что ряд сходится,
если такого предела не существует, то говорят что ряд расходится и суммы не
имеет.
№ 2
1 Условие существования
двойного интеграла
Необходимое,
но недостаточное:
Ф-ция
f(x,y) интегрируема на замкнутой области D, ограничена
на D.
1
достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y)
непрерывна на замкнутой, огр. области D, то она интегрируема на D.
2
достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y)
ограничена в замкнутой области D с какой-то границей и непрерывна в ней за исключением
отдельных точек и гладки=х прямых в конечном числе где она может иметь разрыв,
то она интегрируема на D.
2 Геометрический и
арифметический ряды
Ряд состоящий из членов
бесконечной геометрической прогрессии наз. геометрическим: или
а+ а×q +…+a×qn-1
a ¹ 0 первый член q –
знаменатель. Сумма ряда:
следовательно
конечный предел последовательности частных сумм ряда зависит от величины q
Возможны случаи:
1 |q|<1
т.
е. ряд схд-ся и его сумма 2 |q|>1
и предел суммы так же равен бесконечности
т. е. ряд расходится.
3 при q = 1 получается
ряд: а+а+…+а… Sn = n×a ряд расходится
4
при q¹1 ряд имеет вид: а-а+а … (-1)n-1a Sn=0 при n четном, Sn=a при n нечетном предела частных суммы не существует. ряд расходится.
Рассмотрим ряд из бесконечных
членов арифметической прогрессии: u – первый
член, d – разность. Сумма ряда
при
любых u1 и d одновременно ¹ 0 и ряд всегда
расходится.
№3
1 Основные св-ва 2ного
интеграла
1.
Двойной интеграл по области D = площади этой области.
2.
Если область G содержится в Д, а ф-ция ограничена и интегрируема в Д,
то она интегрируема и в G.
3. Аддитивное св-во. Если область
Д при помощи кривой г разбивают на 2 области Д1 и Д2, не имеющих общих
внутренних точек, то:
4. константы выносятся за знак
интеграла, а сумму в ф-ции можно представить в виде суммы интегралов:
5. Если ф-ции f и g
интегрируемы в Д, то их произведение также интегрируемо в Д. Если g(x,y) ¹ 0 то и f/g интегрируема в Д.
6. Если f(x,y) и g(x,y)
интегрируемы в Д и всюду в этой области f(x,y)
<= g(x,y), то:
В частности: g(x,y)
>=0 то и
7.
Оценка абсолютной величины интеграла: если f(x,y)
интегрируема в Д, то и |f(x,y)| интегрир. в Д причем
обратное утверждение неверно,
итз интегрируемости |f| не следует интегрируемость f.
8. Теорема о среднем значении.
Если ф-ция f(x,y)
интегр. в Д., то в этой области найдется такая точка (x,
h) Î Д, что:
(2),
где S – площадь фигуры Д. Значение f(x,
h) опред по ф-ле (2) наз. средним значением ф-ции f по области
Д.
2 С-ва сходящихся рядов
Пусть даны два ряда: u1+u2+…un =(1) и v1+v2+…vn = (2)
Произведением ряда (1) на
число l Î R наз
ряд: lu1+lu2+…lun =(3)
Суммой рядов (1) и (2) наз
ряд:
(u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn) = (для разности там только - появица)
Т1 Об общем множителе
Если ряд (1) сходится и его
сумма = S, то для любого числа l ряд =l × тоже сходится и его
сумма S’ = S×l
Если ряд (1) расходится и l ¹ 0, то и ряд тоже расходится. Т.
е. общий множитель не влияет на расходимости ряда.
Т2 Если ряды (1) и (2)
сходятся, а их суммы = соотв S и S’, то и ряд: тоже сходится и если s
его сумма, то s = S+S’. Т. е. сходящиеся ряды можно почленно складывать и
вычитать. Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то их сумма(или разность)
тоже расходится. А вот если оба ряда расходятся. то ихняя сумма (или разность)может
как расходится (если un=vn) так и сходиться (если un=¹vn)
Для ряда (1) ряд называется n – ным остатком
ряда. Если нный остаток ряда сходится, то его сумму будем обозначать: rn =
Т3 Если ряд сходится, то и
любой его остаток сходится, если какой либо остаток ряда сходится, то сходится
и сам ряд. Причем полная сумма = частичная сумма ряда Sn + rn
Изменение, а также
отбрасывание или добавление конечного числа членов не влияет на сходимость
(расходимость) ряда.
№4
1 Сведение
2ного интеграла к повторному
Пусть
у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)<=
у2(х) на всем отрезке.
D={x,y}:
a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x)
Отрезок
[a,b] – проекция Д на ось ох. Для такой области людбая
прямая, параллельная оу и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает
границу области не более чем в 2 точках. Такая область наз. правильной в
направлении оси оу.
Если
фция f(x,y) задана на Д и при каждом х Î [a,b] непрерывна на у , на отрезке, [y1(x),y2(x)], то
фц-ия F(x) = , наз. интегралом,
зависящим от параметра I, а интеграл : ,
наз повторным интегралом от ф-ции f(x,y) на
области Д. Итак, повторный интеграл вычисляется путем последовательного
вычисления обычных определенных интегралов сначала по одной., а затем по другой
переменной.
2 Необходимый
признак сходимости рядов
Если ряд сходится, то предел
его общего члена равен нулю:
Док-во:
Sn=u1+u2+…+un
Sn-1\u1+u2+…+un-1
un=Sn-Sn-1, поэтому:
Сей признак является только
необходимым, но не является достаточным., т. е. если предел общегоь члена и
равен нулю совершенно необязательно чтобы ряд при этом сходился. Следовательно,
вот сие условие при его невыполнении является зато достаточным условием
расходимости ряда.
№5
1 Замена переменных в двойном интеграле.
Общий случай криволинейных координат
Пусть
существует ф-ция f(x,y) интегр на области Д, можно прямолинейные координаты x, y с помощью
формул преобразования перейти к криволинейным: x = x(u,v), y=y(u,v), где
эти ф-ции непрерывные вместе с частными производными первого порядка,
устанавливают взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие
между точками плоской области Д и области Д’ и определитель преобразования,
наз. Якобианом не обращается в 0:если это выполняется
можно пользоваться ф-лой:
2 Интегральный признак
сходимости ряда. Ряд Дирихле
Т1 Пущай дан рядт (1),
члены которого неотрицательны, и не возрастают: u1>=u2>=u3…>=un
Если
существует ф-ция f(x) неотрицательная, непрерывная и не возрастающая на [1,+¥] такая, что f(n) = Un, " n Î N, то для сходимости ряда (1) необходимо
унд достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл:,
а для расходимости достаточно и необходимо чтобы сей интеграл наоборот расходился
(ВАУ!).
Применим сей признак для
исследования ряда Дирихле: Вот он: , a
Î R Сей ряд называют обобщенным
гармоническим рядом, при a >0 общий член оного un=1/na à0 и убывает поэтому можно воспользоваться интегральным
признаком, функцией здеся будет ф-ция f(x)=1/xa (x>=1)сия
ф-ция удовлетворяет условиям теоремы 1 поэтому сходимость (расходимости) ряда Дирихле
равнозначна сходимости расходимости интеграла:
Возможны три случая:
1 a
>1,
Интеграл а потому и ряд
сходится.
2 0<a<1,
Интеграл и ряд расходится
3 a=1,
Интеграл и ряд расходится
№ 6
1 Двойной интеграл
в полярных координатах
Переход к полярным координатам
частный случай замены переменных.
Луч,
проходящий из произв точки О имеет на плоскости полярные координаты A(r, j)
где r = |ОA| расстояние от О до А полярный радиус. j
= угол между векторами ОА и ОР – полярный угол отсчитываемой от полярной оси
против часовой стрелки. всегда 0<=r<=+¥, 0<=j <=2p .
Зависимость между прямоугольными
и полярными координатами: x = r×cosj , y = r×sinj
.
Якобиан преобразования будет равен:
И формула
при переходе примет вид:
2 Признаки сравнения
Т(Признаки сравнения)
Пущай и
ряды с неотрицательными членами и для
любого n выполняется нер-во:
un<=vn (1)тогда
1 Если ряд vn
сходится, то сходится и ряд un
2 если ряд un
расходится, то расходится и ряд vn. Т. е. говоря простыми русскими словами для простых
русских людей (ну для дураков вроде тебя): Из сходимости ряда с большими
членами следует сходимость ряда с меньшими, а из расходимости ряда с меньшими
членами следует расходимости ряда с большими и не наоборот!!!
Причем можно требовать, чтобы
неравенство (1) выполнялось не для всех номеров n, а начиная с
некоторого n0, т. е. для некоторых номеров меньших n0
неравенство (1) может и не выполняться. При применении сего признака сравнения
удобно в качестве ряда сравнения брать ряд Дирихле или геометрический ряд, с
которыми и так уже все ясно.
Т3 Засекреченная
Если сущ вышеописанные неотр.
ряды, то если сущ предел:
(0<k<+¥) тада оба эти ряда сходятся.
№7
1 Вычисление
площади плоской области
с помощью 2ного интеграла
Если Д правильная в направлении
оу a<=x<=b, y1(x)<=y<=y2(x), то
Если Д огр линиями в полярных
координатах, то
2 Признаки Даламбера и Коши
Т(Признак Далембера)
Пущай для ряда un с
положит членами существует предел:
, то
1 Если k<1,
то ряд сходится
2 Если k>1
ряд расходится
Т(Признак Коши)
Пусть для того же самого ряда
(т. е. положительного) существует предел:, тогда
1 Если k<1,
то ряд сходится
2 Если k>1
ряд расходится
А вот если эти все пределы
по Коши и дедушке Даламберу равны 1, то о сходимости или расходимости ряда ничего
сказать низзя. Вот низзя и все тут. Вот.
№8
1 Вычисление объема
с помощью 2ного интеграла
Рассматривая в пространстве
тело Р, огр снизу плоскостью оху, сверху z = f(x,y), кот
проектируется в Д, сбоку границей области Д, называемое криволинейным
цилиндром. Объем этого тела вычисляют по формуле:
если
f(x,y)<=0 в Д тор тело находится под плоскостью оху. Его
объем равен объему цилиндрического тела. огр сверху ф-цией:
z = |f(x,y)|>=0.
тогда
если в Д ф-ция меняет знак, то
область разбивается на 2. Область Д1, f(x,y)>=0;
Д2, f(x,y)<=0, тогда:
2 Знакочередующиеся ряды. Признак
Лейбница.
Ряд называется знакочередующимся
если каждая пара соседних членов имеет разные знаки (один ♀, другой
♂), если считать каждый член сего ряда положительным то его можно записать
в виде:
Т (Признак Лейбница)
Если для знакочередующегося
ряды выполняются условия:
1)
u1>=u2>=u3…>=un>=un+1…
2)
то ряд сходится, а его сумма и
остаток rn удовлетворяют неравенствам: 0<=S<=un и |rn|<=un+1
Ряд удовлетворяющий условиям
теоремы наз. рядом Лейбница.
Если условие чередования
знаков выполняется не с первого члена, а с какого-нибудь исчо, то при существовании
равного 0 предела ряд будет также сходится.
1 Вычисление
площади поверхности
с помощью двойного интеграла.
Пусть
дана кривая поверхность Р, заданная ур-ями z = f(x,y) и
имеющая границу Г, проецирующуюся на плоскость оху в область Д. Если в этой
области ф-ция f×(x,y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные:
тогда площадь поверхности Р вычисляется:
для ф-ций вида x = m
(y,z) или y = j(x,z) там
будут тока букыв в частных производных менятца ну и dxdy.
2 Знакопеременные ряды.
Абсолютная и условная
сходимость рядов.
Ряд называют знакопеременным,
если его членами являются действительные числа, а знаки его членов могут
меняться как кому в голову взбредет. Пусть дан ряд:
u1+u2…+un=(1), где un – может
быть как положительным, так и отрицательным. Рассмотрим ряд состоящий из
абсолютных значений этого ряда:
|u1|+|u2|…+|un|=(2),
Если сходится ряд (2), то ряд
(1) называют абсолютно сходящимся, а вот если ряд (1) сходится, а ряд (2)
расходится. то ряд (1) наз сходящимся условно.
Т. Признак абсолютной сходимости:
Если знакочередующийся ряд
сходится условно. то он и просто так сходится, при этом:
<=
Доквы:
т. к. 0<=|un|+un<=2|un|, то
по признаку сравнения сходится ряд |un|+un, тогда сходится
ряд: (|un|+un)-|un|=un. Далее, т. к. по св-ву абсолютной величины |Sn|=|u1+u2+…+un|<=|un| " n Î N, то переходя к пределу получим:
<=
Т2 Если ряд (1) абсолютно
сходится, то и любой ряд составленный из тех же членов, но в любом другом
порядке тоже абсолютно сходится и его сумма равна сумме ряда un – Sn. А
вот с условно сходящимися рядами все гораздо запущенней.
Т(Римана)
Если знакопеременный ряд с
действительными членами сходится условно, то каким бы ни было дейст. число S можно
так переставить члены ряда, что его сумма станет равна S, т. е. сумма
неабсолютно сходящегося ряда зависит от порядка слагаемых
№10
1 Вычисление массы,
координат центра масс,
моментов инерции плоской
материальной пластины с
помощью 2ного интеграла.
Масса плоской пластины
вычисляется по ф-ле:
, где
r(х, у) – поверхностная плотность.
Координаты центра масс выч по
ф-ле:
если пластина однородная, т.
е. r(х, у) – const, то ф-лы упрощаются:
Статические моменты плоскостей
фигуры Д относит осей оу и ох
Момент инерции плоской
пластины относительно осей ох, оу, начала координат:
J0=Jx+Jy
если пластина однородная, то
ро вышвыривается на фиг и считается равной 1.
2 Сходимость функциональных
последовательностей и рядов
Функциональной
последовательностью заданной на множестве Е, наз. последовательность ф-ций {fn(x)}
(1)определенных на Е и принимающих числовые действительные значения.
Пусть
задана поледовательность числовых ф-ций {un(x)}
Формальнг написанную сумму: (2) называют
функциональным рядом на множестве Е, а ф-цию un(x) –
его членами. Аналогично случаю числовых рядов сумма: Sn(x) = u1(x)+u2(x)+…+un(x)
называется частичной суммой ряда n порядка, а ряд: un+1? un+2… -
его n-ным остатком. при каждом фиксированном х = х0 Î Е получим из (1) числовую последовательность {fn(x0)}, а
из (2) – числовой ряд, которые могут сходится или
расходится. если кто-нибудь из оных сходится, то сходится и функциональная посл
(1) в т х0, и сия точка наз. точкой сходимости.
Если
посл(1) сход на м-ж Е, то ф-ция f, определенная при " x Î E f(x) = назывется
пределом посл (1), если ряд(2) сходится на м-ж Е, то ф-ция S(x)
определенная при " x Î Е равенством
S(x)=
называется
суммой ряда (2).
Остаток
ряда сходится только когда на этом же м-ж сходится сам ряд., если обозначить
сумму остатка ряда через rn(ч), то S(x) = Sn(x)+rn(x)
Если ряд (2) сходится абсолютно, то он наз абсолютно
сходящимся на м-ж Е. Множество всех точек сходимости функционального ряда наз
областью сходимости. Для определения области сходимости можно использовать
признак Даламбера и Коши. С ихнею помашшю ф-ц ряд исследуется на абсолютную сходимость
Например, если существует
и
, то ряд (2) абсолютно сходится при k(x)<1
и расходится при k(x)>1.
№11
1 Тройные интегралы
Пусть на некоторой ограниченной
замкнутой области V трехмерного пространства задана ограниченная ф-ция f (x,y,z).
Разобьем область V на n произвольных частичных областей, не имеющих общих
внутренних точек, с объемами DV1… DVn В каждой частичной области возбмем произв. точку М с
кооорд Mi(xi,hi,ci) составим сумму:
f(xi,hi,ci)×DVi, кот наз
интегральной суммой для ф-ции f(x,y,z). Обозначим за l максимальный диаметр
частичной области. Если интегральная сумма при l à 0 имеет конечный предел, то сей предел и называется
тройным интегралом от ф-ции f(x,y,z) по области V И обозначается:
2 Равномерная
сходимость функциональных
последовательностей и рядов.
Признак Вейерштрасса.
Ф-циональную
последовательность {fn)x)} x Î
E наз. равномерно сходящейся ф-цией f на м-ж Е, если
для Î e >0, сущ номер N,
такой, что для " т х Î E и " n >N выполняется ¹-во: |fn(x)-f(x)|<e. Если м-ж {fn)x)}
равномерно сходится на м-ж Е, то она и просто сходится в ф-ции f на
сем м-ж. тогда пишут: fn à f.
наз.
равномерно сходящимся рядом, если на м-ж Е равномерно сходится последовательность
его частичной суммы. , т. ен. равномерная сходимость ряда означает:Sn(x) à f(x) Не всякий
сходящийся ряд является равномерно сходящимся, но всякий равномерно сходящийся
– есть сходящийся (не, вот это наверное лет 500 выдумывали.)
Т. (Признак Вейерштрасса
равномерной сходимости ряда)
Если числовой ряд: (7),
где a
>=0 сходится и для " x Î E и " n = 1,2… если выполняется нер-во |un(x)|<=an(8), ряд (9) наз абсолютно и равномерно сходящимся
на м-ж Е.
Док-вы:
Абсолютная сходимость в каждой
т. х следует из неравенства (8) и сходимости ряда (7). Пусть S(x) –
сумма ряда (9), а Sn(x) – его частичная сумма.
Зафиксируем произвольное e
>0 В силу сходимости ряда (7) сущ. номера N, " n >N и вып. нерво
Следовательно: |S(x)-Sn(x)| =
Это означает, что Sn(x) à S(x) что означает равномерную
сходимость ряда..
№12
1 Замена переменных
в тройном интеграле.
Если ограниченная замкнутая
область пространства V = f(x,y,z) взаимно однозначно отображается на область V’
пространства = (u,v,w) Если непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и
существует якобиан
то справедлива формула:
При переходе к цилиндрическим
координатам, с вязанными с x,y,z формулами: x=rcosj, y=rsinj, z=z
(0<=r<=+¥, 0<=j
<= 2p, -¥<=z<=+¥)
Якобиан преобразования:
И поэтому в цилиндрических
координатах переход осуществляется так:
При переходе к сферическим
координатам: r? j q, связанными с z,y,z формулами
x=rsinq×cosj,
y=r sinqsinj, z=rcosq.
(0<=r<=+¥, 0<=j <= 2p,
0<=q
<=2p)
Якобиан преобразования:
Т. е. |J|=r2×sinq.
Итак, в сферических координатах
сие будет:
2 Свойства равномерно
сходящихся рядов
Т1 Если ф-ция un(x), где
х Î Е непрерывна в т. х0 Î E и ряд (1) равномерно
сходится на Е, то его сумма S(x) = также непрерывна в т.
х0.
Т2 (Об поюленном интегрировании
ряда)
Пусть сущ. ф-ция un(x) Î R и непрерывная на отр. [a,b] и
ряд (3) равномерно сходится на этом отрезке,
тогда какова бы ни была т. х0 Î [a, b] (4) тоже равномерно
сходится на [a,b]. В частности: при x0 = a, х = b: т. е. ряд (3) можно почленно интегрировать.
Т3 (о почленном дифференцировании
ряда)
Пусть сущ. ф-ция un(x) Î R и непрерывная на отр. [a,b] и
ряд её производных (6) равномерно сходящийся на
отр [a,b] тогда, если ряд сходится
хотя бы в одной точке x0 Î [a,b] то
он сходится равномерно на всем отрезке [a,b], его
сумма S(x) = является непрерывно
дифференцируемой ф-цией и
S’(x)= (9)
В силу ф-л ы (8) последнее
равенство можно записать:
()’ =
So ряд (7) можно почленно дифференцировать
№13
1 Приложения
тройных интегралов
Объем тела
Масса тела: , где r(М) = r(x,y,z) -
плотность.
Моменты инерции тела
относительно осей координат:
Момент инерции относительно
начала координат:
Координаты центра масс:
m –
масса.
Интегралы, стоящие в
числителях выражают статические моменты тела: Myz, Mxz, Mxy
относит коорд плоскостей oyz, oxz, oxy. Если тело однородное: r(М) = const,
то из формул она убирается и оне упрощаются как в 2ных интегралах.
2 Степенные ряды. Теорема Абеля
Степенным рядом наз
функциональный ряд вида: a0+a1x+a2x2+… + anxn = (1) x Î R членами которого являются
степенные ф-ции. Числа an Î
R, наз коэффициентами ряда(1). Степенным рядом наз также ряд:
a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2…
+ an(x-x0)n = (2)
Степенной ряд (1) сходится абсолютно по крайней мере в
т. х = 0, а ряд (2) в т х = х0, т .е в этих случаях все лены кроме 1 равны 0.
Ряд (2) сводится к ряду (1) по ф-ле у = х-х0.
Т Абеля
1Если степенной ряд (1)
сходится в т. х0 ¹ 0, то он сходится абсолютно при любом х, для которого
|x|<|x0|.
2Если степеннгой ряд (1) расходится
в т. х0, то он расходится в любой т. х, для которой |x|>|x0|
№14
1 Определение криволинейных
интегралов 1 и 2 рода
Криволинейный интеграл по
длине дуги (1 рода)
Пусть ф-ция f(x,y)
определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой К. Произвольно разобъем
дугу на n элементарных дуг точками t0..tn
пусть Dlk
длина k частной дуги. Возьмем на каждой элементарной дуге
произвольную точку N(xk,hk) и умножив сию
точку на соотв. длину дуги составим три интегральную суммы:
d1 = f(xk,hk)×Dlk
d2 = Р(xk,hk)×Dхk
d3 = Q(xk,hk)×Dyk,
где Dхk = xk-xk-1,
Dyk = yk-yk-1
Криволинейным интегралом 1
рода по длине дуги будет называться предел интегральной суммы d1
при условии, что max(Dlk) à 0
Если предел интегральной суммы
d2 или d3 при l
à 0, то этот предел наз. криволинейным интегралом 2
рода, функции P(x,y) или Q(x,y) по кривой l = AB и обозначается:
или
сумму: + принято
называть общим криволинейным интегралом 2 рода и обозначать символом:
в
этом случае ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) – называются интегрируемыми вдоль кривой l = AB.
Сама кривая l наз контуром или путем интегрирования А – начальной, В
– конечной точками интегрирования, dl – дифференциал длины дуги,
поэтому криволинейный интеграл 1 рода наз. криволинейным интегралом по дуге
кривой, а второго рода – по функции..
Из определения криволинейных
интегралов следует, что интегралы 1 рода не зависят от того в каком направлении
от А и В или от В и А пробегается кривая l. Криволинейный
интеграл 1 рода по АВ:
,
для криволинейных интегралов 2 рода изменение направления пробегания кривой
ведет к изменению знака:
В
случае, когда l – замкнутая кривая т. е. т. В совпадает с т. А, то из
двух возможных направлений обхода замкнутого контура l называют положительным
то направление, при котором область лежащая внутри контура остается слева по
отношению к ??? совершающей обход, т. е. направление движения против часовой
стрелки. Противоположное направление обхода наз – отрицательным. Криволинейный
интеграл АВ по замкнутому контуру l пробегаемому в положит
направлении будем обозначать символом:
Для пространственной кривой
аналогично вводятся 1 интеграл 1 рода:
и
три интеграла 2 рода:
сумму трех последних
интегралов наз. общим криволинейным интегралом 2 рода.
Рассмотрим степенной ряд:
(1)
Число (конечное или бесконечное) R>=0 наз радиусом сходимости ряда (1) если для любого
х такого, что |x|<R ряд (1) сходится, а для " х таких. что |x|>R ряд расходится Интервал на числовой оси состоящий из
т. х для которых |x|<R, т. е. (-R, +R) наз. интервалом
сходимости.
Т1 Для всякого степенного
ряда (1) существует радиус сходимости R 0<=R<=+¥ при этом, если |x|<R, то в этой т. х ряд сходится абсолютно
Если вместо х взять у =
х-х0, то получится: интервал сходимости: |x-x0<R|
будет: (x0-R, x0+R)При этом если |x-x0|<R? то
ряд сходится в т. x абсолютно иначе расходится. На концах интервала, т. е.
при x = -R, x=+R для ряда (1) или x = x0-R, x=x0+R для
ряда (3) вопрос о сходимости решается индивидуально. У некоторых рядов интервал
сходимости может охватывать всю числовую прямую при R = +¥ или вырождаться в одну точку при R = 0.
Т2 Если для степенного ряда
(1) существует предел (конечный или бесконечный): , то радиус сходимости будет равен этому пределу.
Док-вы: Рассмотрим ряд из
абсолютных величин и по
Даламберу исследуем его на сходимость:
(5)
1)Рассмотрим случай, когда конечен и отличен от 0. Обозначив его
через R запишем (5) в виде При числовом значении х степенной ряд становится
числовым рядом, поэтому по Даламберу ряд (1) сходится если |x|/R<1,
т. е. |x|<R, тогда по признаку абсолютной сходимости ряд (1)
сходится абсолютно при |x|<R иначе ряд расходится.
2)Пусть = ¥ тогда из(5)
следует, что для
любого х Î R Итак ряд (1) сходится при любом х
причем абсолютно.
3) Пусть =0 тогда из (5) следует, что и ряд расходится для любого х. Он сходится только при
х = 0 В этом сл-е R = 0.
Т3 Если существует предел
конечный или бесконечный , то (10)
№15
1 условия
существования и вычисления
криволинейных интегралов.
Кривая L наз.
гладкой, если ф-ции j(t), y(t) из определяющих
её параметрических уравнений:
(1)
имеет на отрезке [a,b]
непрерывные производные: j’(t), y’(t).Точки кривой L наз
особыми точками, если они соответствуют значению параметра t Î [a,b] для которых (j’(t))2+(y’(t))2
= 0 т. е. обе производные обращаются в 0. Те точки для которых сие условие не
выполняется наз. обычными (ВАУ!).
Если
кривая L=AB задана ф-лами (1), является гладкой и нет имеет обычных
точек, а ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) непрерывны вдоль этой кривой, то криволинейные
интегралы всех видов существуют (можно даже ихние формулы нарисовать для
наглядности) и могут быть вычислены по следующим формулам сводящим эти интегралы
к обычным:
Отседова жа вытекаает штаа:
В частности, если кривая АВ
задана уравнением y = y(x), a<=x<=b , где у(х) непрерывно дифференцируемая ф-ция, то
принимая х за параметр t получим:
ну и сумма там тожжа
упростица.
ну и наоборот тожжа так будит,
если х = х(у)
Если АВ задана в криволинейных
координатах a <= j <= b
где ф-ция r(j) непрерывно дифференцируема на отрезке [a,
b] то имеет место частный случай, где в качестве
параметра выступает полярный угол j. x = r(j)×cos(j),
y= r(j)×sin(j).
и у второго рода так же.
Прямая
L наз кусочно-гладкой, если она непрерывна и распадается на конечное
число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых представляет
собой гладкую кривую. В этом случает криволинейные интегралы по этой кривое
определяются как сумма криволинейных интегралов по гладким кривым составляющим
сию кусочно-гладкую кривую. все выше сказанное справедливо и для
пространственной кривой (с буквой зю).
2 Свойства степенных рядов
Т1
Если степенной ряд (1) имеет радиус сходимости R>0,
то на любом отрезке действительной оси вида |x|<=r, 0<r<R (2)
(или [-r,r]) целиком лежащем внутри интервала сходимости ряд (1)
сходится равномерно.
Для ряда отрезком равномерной сходимости будет
отрезок |x-x0|<=r или ([x0-r,x0+r])
Т2 На любом отрезке |x-x0|<=r сумма
степенного ряда является непрерывной ф-цией.
Т3 Радиусы сходимости R, R1, R2
соответственно рядов× (5), (6), (7)
равны: R1=R2=R3. Итак ряды (6) и (7) полученные с помощью формального
интегрирования и дифференцирования имеют те же радиусы сходимости, что и
исходный ряд.
Пусть ф-ция f(x)
является суммой степенного ряда (9)
Т4 Дифференцирование степенного
ряда
Если ф-ция f(x) на
интервале (x0-R, x0+R) является суммой ряда (9), то она дифференцируема на
этом интервале и её производная f’(x) находится дифференцированием ряда (9):
f’(x)= При этом радиус
сходимости полученного ряда = R
Т5 О интегрировании
степенного ряда
Степенной ряд (9) можно
почленно интегрировать на любом отрезке целиком принадлежащем интервалу
сходимости при этом полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости что
и исходный ряд.
Последовательное
применение Т4 приводит к утверждению, что ф-ция f имеет на
интервале сходимости производные всех порядков, которые могут быть найдены из
ряда (9) почленным дифференцированием. При интегрировании и дифференцировании
степенного ряда внутри интервала сходимости радиус сходимости R не
меняется, однако на концах интервала может изменяться.
№16
1 Свойства
криволинейных интегралов
Св-ва криволинейных интегралов
1 рода:
1.Константа выносится за
знак интеграла, а интеграл суммы можно представить в виде суммы интегралов:
2. Если дуга АВ состоит из двух дуг Ас и Св не имеющих общих внутренних точек и
если для ф-ции f(x,y) сущ криволинейный интеграл по АВ, то для для сей
ф-ции сущ криволинейные интегралы по АС и по ВС причем:
3.
4.Ф-ла среднего значения
если
ф-ция f(x,y) непрерывна вдоль кривой АВ, то на этой кривой найдется
точка М, такая, что:
,
где l – длина кривой
Криволинейный интеграл 2
рода обладает всеми свойствами интегралов 1 рода, и исчо при изменении
направления прохождения кривой он меняет знак. .И вапще все сказанное выше
справедливо и для пространственной кривой (этта та которая с буквой зю)
2 Разложение ф-ций в
степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.
Пусть(1)
сходится при |x-x0|<R а его сумма является ф-лой f(x)= (2) В этом случае говорят, что ф-ция f(x) разложена
в степенной ряд. (1) .
Т1 Если ф-ция f
распространяется в некоторой окрестности т. х0 f(x)= , то
и справедлива формула: (15)
Если в некоторой окрестности заданной точки ф-ция распадается в степенной ряд,
то это разложение единственно.
Пусть дествит. ф-ция f
определена в некоторой окрестности т. х0 и имеет в этой точке производные всех
порядков, тогда ряд:(6) наз рядом Тейлора ф-ции f в т,
х0
При х0=0 ряд Тейлора принимает
вид:
(6’)
и называется ряд Маклорена.
Ряд Тейлора может:
1 Расходится всюду, кроме х=х0
2 Сходится, но не к исходной
ф-ции f(x), а к какой-нибудь другой.
3 Сходится к исходной ф-ции f(x)
Бесконечная дифференцируемость
ф-ции f(x) в какой-то т. х0 является необходимым условием
разложимости ф-ции в ряд Тейлора, но не является достаточным. Для введения
дополнительных условий треб. ф-ла Тейлора.
Т2 Если ф-ция f(x) (n+1)
раз дифференцируема на интервале (x0-h, x0+h) h>0,
то для всех x Î (x0-h, x0+h)
имеет место ф-ла Тейлора:
где
остаток rn(x) можно записать:
(9)
Формула (8) наз остаточным членом ф-лы Тейлора в интегральной форме. Ф-ла (9) –
формулой Лагранжа.
Преобразуя ф-лу Тейлора при х0
= 0 получаем ф-лу Маклорена.
Т3 Если ф-ция f(x)
имеет в окрестности т х0 производные любого порядка и все они ограниченны одним
и тем же числом С, т е " x Î U(x0) |f(n)(x)|<=C, то
ряд Тейлора этой ф-ции сходится в ф-ции f(x) для
всех х из этой окрестности.
№17
1 Формула Грина
Сия очень полезная в
сельском хозяйстве формула устанавливает связь между криволинейными и двойными
интегралами.
Пусть
имеется некоторая правильная замкнутая область Д, ограниченная контуром L и
пущая ф-ции P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными: в данной области. тогда имеет место ф-ла:
И вот вся эта фигулина и есть
формула Грина.
Контур L
определяющий область д может быть задан показательными уравнениями х = х1(у),
х=х2(у) с<=y<=d x1(y)<=x2(y) или
y = y1(x), y=y2(x)
a<=x<=b y1(x)<=y2(x).
Рассмотрим область Д
ограниченную неравенствами: a<=x<=b и y1(x)<=y2(x). и преобразуем двойной интеграл к криволинейным для чего сведем его к
повторному и ф-ле Невтона-Лыебница выполним интегрирование по у и получим:
каждый
из 2 определенных интегралов в правой части последнего равенства =
криволинейному интегралу 2 рода взятому по соответствующей кривой а именно:
Итак двойной интеграл:
Формула Грина остается
справедливой для всякой замкнутой области Д, которую можно разбить проведением
дополнительных линий на конечной число правильных замкнутых областей.
2 Разложение элементарных
ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена)
1Разложение ф-ции ех
ряд
Маклорена.
радиус сходимости:
R=¥ следовательно ряд абсолютно сходится на всей числовой
прямой.
2Разложение sinx и cosx В
степенной ряд Маклорена
сходится на всей числовой оси
сходится
на всей числовой оси
3. f(x) = (1+x)a
Наз. биномиальный ряд с
показателем a Различают 2 случая:
1- a
Î N, тогда при любом х все члены ф-лы
исчезают, начиная с (a +2) поэтому ряд Маклорена содержит конечное число
членов и сходится при всех х. Получается формула Бинома Невтона: , где биномиальный
коэффициент.
2- a
Î R>N (a
¹ 0 х ¹ 0) и ряд сходится абсолютно
при |x|>1
4 Разложение ф-ции ln(1+x)
сходится при –1<x<=1
5 Разложение arctgx
в степенной ряд Маклорена
сходится
при -1<=x<=1
№18
1 Некоторые приложения криволинейных интегралов 1 рода.
1.Интеграл - длине дуги АВ
2.Механический смысл интеграла
1 рода.
Если f(x,y) = r(x,y) –
линейная плотность материальной дуги, то ее масса:
для пространственной там буква
зю добавляется.
3.Координаты центра масс
материальной дуги:
4. Момент инерции дуги лежащей
в плоскости оху относительно начала координат и осей вращения ох, оу:
5. Геометрический смысл интеграла
1 рода
Пусть ф-ция z = f(x,y) –
имеет размерность длины f(x,y)>=0 во всех точках материальной дуги лежащей в
плоскости оху тогда:
,
где S – площадь цилиндрической поверхности, кот состоит из
перпендикуляров плоскости оху, восст в точках М(x,y) кривой
АВ.
2 Геометрические и арифметические
ряды.
№19
1 Некоторые приложения
криволинейных интегралов 2 рода.
Вычисление площади плоской
области Д с границей L
2.Работа силы. Пусть материальная
т очка под действием силы перемещается вдоль непрерывной плоской кривой ВС,
направясь от В к С, работа этой силы:
при пространственной кривой
там исчо третья функция появитца для буквы зю.
2 Свойства сходящихся рядов
№20
1 Условия независимости
криволинейного интеграла 2 рода от пути интегрирования.
Плоская область W
наз односвязной если не имеет дыр. т. е. однородная.
Пусть ф-ция P(x,y) и Q(x,y)вместе
со своими частными производными непрерывны в некоторой замкнутой, односвязной
области W тогда следующие 4 условия эквиваленты, т. е.
выполнение какого либо из них влечет остальные 3.
1. Для " замкнутой кусочногладкой кривой L в W
значение криволинейного интеграла:
2. Для все т. А и т. В области
W значение интеграла
не зависит от выбора пути
интегрирования, целиком лежащего в W.
3. Выражение Pdx+Qdy
представляет собой полный дифференциал некоторых функций определенных в W
существует ф-ция E=c(х,у) опред в W такая, что dE = Pdx+Pdy
4. В области W
Отседова следовает, что
условие 3 является необходимым и достаточным условием при котором интегралы 2
рода не зависят от выбора пути интегрирования.
2 Интегральный признак
сходимости ряда. Ряд Дирихле.
№21
Пущай ф-ция P(x,y) и Q(x,y) - непрерывны в замкнутой области W
и выражение P(x,y) + Q(x,y) есть полный дифееренциал некоторой ф-ции F(x,y) в W
, что равносильно условию: , тогда dF=Pdx+Qdy.
Для интегралов независящих от
пути интегрирования часто применяют обозначение:
или
А(x0,y0) Î l , В = (х,у) Î l
поэтому
F(x,y)=
где (х0,у0) – фиксированная точка Î l, (x,y) –
произвольная точка Î l
, с – const. и дает возможность определить все ф-ции, имеющие в
подинтегральном выражении свои полные дифференциалы. Тк. интеграл не зависит от
пути интегрирования, за путь инт. удобно взять ломаную звень которой
параллельны осям координат. тогда формула преобразуется к виду.
2
Признаки сравнения
№22
1 Сведение 2-ного интеграла к
повторному
Пусть
у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)<=
у2(х) на всем отрезке.
D={x,y}:
a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x)
Отрезок
[a,b] – проекция Д на ось ох. Для такой области людбая
прямая, параллельная оу и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает
границу области не более чем в 2 точках. Такая область наз. правильной в направлении
оси оу.
Если
фция f(x,y) задана на Д и при каждом х Î [a,b] непрерывна на у , на отрезке, [y1(x),y2(x)], то
фц-ия F(x) = , наз. интегралом,
зависящим от параметра I, а интеграл : ,
наз повторным интегралом от ф-ции f(x,y) на
области Д. Итак, повторный интеграл вычисляется путем последовательного
вычисления обычных определенных интегралов сначала по одной., а затем по другой
переменной.
2 Признаки Даламбера и Коши
№23
1 2 ной интеграл
в полярных координатах
Переход к полярным координатам
частный случай замены переменных.
Луч, проходящий из произв
точки О имеет на плоскости полярные координаты A(r, j)
где r = |ОA| расстояние от О до А полярный радиус. j
= угол между векторами ОА и ОР – полярный угол отсчитываемой от полярной оси
против часовой стрелки. всегда 0<=r<=+¥, 0<=j <=2p .
Зависимость между
прямоугольными и полярными координатами: x = r×cosj
, y = r×sinj .
Якобиан преобразования будет равен:
И формула при переходе примет
вид:
2 Знакочередующиеся ряды признак
Лейбница
№24
1 Замена переменных
в тройном интеграле
Если ограниченная замкнутая
область пространства V = f(x,y,z) взаимно однозначно отображается на область V’
пространства = (u,v,w) Если непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и
существует якобиан
то справедлива формула:
При переходе к цилиндрическим
координатам, с вязанными с x,y,z формулами: x=rcosj, y=rsinj, z=z
(0<=r<=+¥, 0<=j
<= 2p, -¥<=z<=+¥)
Якобиан преобразования:
И
поэтому в цилитндрических координатах переход осуществляется так:
При переходе к сферическим
координатам: r? j q, связанными с z,y,z формулами
x=rsinq×cosj,
y=r sinqsinj, z=rcosq.
(0<=r<=+¥, 0<=j <= 2p,
0<=q
<=2p)
Якобиан преобразования:
Т. е. |J|=r2×sinq.
Итак, в сферических
координатах сие будет:
2 Радиус сходимости и интервал
сходимости степенного ряда
№25
1
Условия
существования
и вычисления криволинейных интегралов
Кривая L наз.
гладкой, если ф-ции j(t), y(t) из определяющих
её параметрических уравнений:
(1)
имет на отрезке [a,b]
непрерывные производные: j’(t), y’(t).Точки кривой L наз
особыми точками, если они соответствуют значению параметра t Î [a,b] для которых (j’(t))2+(y’(t))2
= 0 т. е. обе производные обращаются в 0. Те точки для которых сие условие не
выполняется наз. обычными (ВАУ!).
Если кривая L=AB
задана ф-лами (1), является гладкой и нет имеет обычных точек, а ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y)
непрерывны вдоль этой кривой, то криволинейные интегралы всех видов существуют
(можно даже ихние формулы нарисовать для наглядности) и могут быть вычислены по
следующим формулам сводящим эти интегралы к обычным:
Отседова жа вытекаает штаа:
В частности, если кривая АВ
задана уравнением y = y(x), a<=x<=b , где у(х) непрерывно дифференцируемая ф-ция, то
принимая х за параметр t получим:
ну и
сумма там тожжа упростица.
ну и наоборот тожжа так будит,
если х = х(у)
Если АВ задана в криволинейных
координатах a <= j <= b
где ф-ция r(j) непрерывно дифференцируема на отрезке [a,
b] то имеет место частный случай, где в качестве
параметра выступает полярный угол j. x = r(j)×cos(j),
y= r(j)×sin(j).
и у второго рода так же.
Прямая
L наз кусочно гладкой, если она непрерывна и распадается на конечное
число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых представляет
собой гладкую кривую. В этом случает криволинейные интегралы по этой кривое
определяются как сумма криволинейных интегралов по гладким кривым составляющим
сию кусочно-гладкую кривую.
все выше сказанное справедливо
и для пространственной кривой (с буквой зю).
2 Разложение элементарных
ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена).