Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов
Министерство общего и профессионального образования
Сочинский государственный университет туризма
и курортного дела
Педагогический институт
Математический факультет
Кафедра общей математики
ДИПЛОМНАЯ РАБОТА
Использование дифференциальных уравнений в частных
производных для моделирования реальных процессов.
Выполнила:
студентка 5-го курса
дневной
формы обучения
Специальность 010100
„Математика”
Прокофьевой Я. К.
Студенческий билет № 95035
Научный руководитель:
доцент,
канд.
техн.
наук
Позин П.А.
Сочи, 2000 г.
СОДЕРЖАНИЕ
Введение………………………………………………………………………..……3
Глава 1. Уравнения
гиперболического типа.
§1.1. Задачи,
приводящие к уравнениям гиперболического типа..………………5
1.1.1. Уравнение колебаний
струны..…………………………………………5
1.1.2. Уравнение
электрических колебаний в проводах…….………………8
§1.2. Метод разделения
переменных ……………………………………………..10
1.2.1.
Уравнение свободных колебаний струны….…………………………10
Глава 2. Уравнения параболического типа.
§2.1. Задачи,
приводящие к уравнениям параболического типа………………..17
2.1.1. Уравнение распространения тепла в
стержне.……………………….17
2.1.2. Распространение тепла в пространстве.………………………………19
§2.2. Температурные волны.……………………………………………………….23
Глава 3. Моделирование с помощью дифференциальных уравнений в
частных производных.
§3.1. Дифракция излучения на сферической частице……………………………29
Заключение………………………………………………………………………….40
Литература…………………………………………………………………………..41
ВВЕДЕНИЕ
Изучением дифференциальных
уравнений в частных производных занимается математическая физика. Основы теории
этих уравнений впервые были изложены в знаменитом «Интегральном исчислении» Л.
Эйлера.
Классические уравнения
математической физики являются линейными. Особенность линейных уравнений
состоит в том, что если U и V – два решения, то функция aU + bV при любых постоянных a и b снова является решением. Это обстоятельство позволяет
построить общее решение линейного дифференциального уравнения из
фиксированного набора его элементарных решений и упрощает теорию этих
уравнений.
Современная общая теория
дифференциальных уравнений занимается главным образом линейными уравнениями и
специальными классами нелинейных уравнений. Основным методом решения нелинейных
дифференциальных уравнений в частных производных выступает численное
интегрирование.
Круг вопросов
математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов.
Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости,
электродинамике и т.д. Возникающие при этом математические задачи содержат
много общих элементов и составляют предмет математической физики.
Постановка задач
математической физики, будучи тесно связанной с изучением физических проблем,
имеет свои специфические черты. Так, например, начальная и конечная стадии
процесса носят качественно различный характер и требуют применения различных
математических методов.
Круг вопросов,
относящихся к математической физике, чрезвычайно широк. В данной работе
рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с
частными производными.
Расположение
материала соответствует основным типам уравнений. Изучение каждого типа
уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениям
рассматриваемого типа.
Глава 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
§1.1. Задачи,
приводящие к уравнениям гиперболического типа.
Уравнения с частными
производными 2-го порядка гиперболического типа наиболее часто встречаются в
физических задачах, связанных с процессами колебаний. Простейшее уравнение
гиперболического типа
называется волновым уравнением. К
исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных
колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в
проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т.д.
1.1.1.
Уравнение колебаний струны.
В математической физике
под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в
любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна
длины 
в начальный момент направлена по отрезку
оси Оx от 0 до .
Предположим, что концы струны закреплены в точках 
. Если
струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой
себе или, не отклоняя струны, придать в начальный момент ее точкам некоторую
скорость, или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки
струны будут совершать движения – говорят, что струна начнет колебаться. Задача
заключается в определении формы струны в любой момент времени и определении
закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.
Будем рассматривать малые
отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно
предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости. При этом
предположении процесс колебания струны описывается одной функцией 
, которая дает величину перемещения точки
струны с абсциссой x в момент t.
Рис. 1.1.
Так как мы рассматриваем
малые отклонения струны в плоскости 
, то будем
предполагать, что длина элемента струны 
равняется
ее проекции на ось Ox, т.е. 
.1 Также будем предполагать, что натяжение
во всех точках струны одинаковое; обозначим его через Т.
Рассмотрим элемент струны
.
Рис. 1.2.
На концах этого элемента, по
касательным к струне, действуют силы Т. Пусть касательные образуют с осью Ox углы 
.
Тогда проекция на ось Ou
сил, действующих на элемент , будет равна 
. Так как угол 
мал,
то можно положить 
, и мы будем иметь:
(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению,
стоящему в квадратных скобках).
Чтобы получить уравнение
движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции.
Пусть 
- линейная плотность струны. Тогда масса
элемента струны будет 
. Ускорение элемента равно 
. Следовательно, по принципу Даламбера
будем иметь:
.
Сокращая на 
и
обозначая 
, получаем уравнение движения
. (1)
Это и есть волновое уравнение – уравнение колебаний
струны. Для полного определения движения струны одного уравнения (1)
недостаточно. Искомая функция 
должна удовлетворять
еще граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны 
, и начальным условиям, описывающим
состояние струны в начальный момент (t = 0).
Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.
Пусть, например, как мы
предполагали, концы струны при неподвижны. Тогда при
любом t должны выполнятся равенства:
(2’)
(2’’)
Эти равенства являются граничными условиями для нашей
задачи.
(3’)
Далее, в начальный момент должна быть задана скорость в
каждой точке струны, которая определяется функцией 
.
Таким образом, должно быть
(3’’)
Условия (3’) и (3’’) являются начальными условиями.
Замечание. В частности,
может быть 
или 
. Если
же и , то
струна будет находится в покое, следовательно, 
.
1.1.2.
Уравнение электрических колебаний в проводах.
Как указывалось выше, к
уравнению (1) приводит и задача об электрических колебаниях в проводах.
Электрический ток в проводе характеризуется величиной i
(x, t) и напряжением v (x, t),
которые зависят от координаты x точки провода и от
времени t. Рассматривая элемент провода , можем написать, что падение напряжения
на элементе равно 
.
Это падение напряжения складывается из омического, равного 
, и индуктивного, равного 
. Итак,
(4)
где R и L
– сопротивление и коэффициент индуктивности, рассчитанные на единицу длины
провода. Знак минус взят потому, что ток течет в направлении, обратном возрастанию
v. Сокращая на ,
получаем уравнение
(5)
Далее, разность токов, выходящего из элемента и входящего в него за время 
, будет
Она расходуется на зарядку элемента, равную 
, и на утечку через боковую поверхность
провода вследствие несовершенства изоляции, равную 
(здесь
А – коэффициент утечки). Приравнивая эти выражения и сокращая на 
, получим уравнение
(6)
Уравнения (5) и (6)принято называть телеграфными
уравнениями.
Из системы уравнений (5) и (6)
можно получить уравнение, содержащее только искомую функцию i
(x, t), и уравнение, содержащее
только искомую функцию v (x, t). Продифференцируем члены уравнения (6) по x; члены уравнения (5) продифференцируем по t
и умножим их на С. Произведя вычитание, получим:
Подставляя в последнее уравнение выражение 
из уравнения (5), получим:
или
(7)
Аналогичным образом получается уравнение для определения v (x, t):
(8)
Если пренебречь утечкой через
изоляцию 
и сопротивлением 
,
то уравнения (7) и (8) переходят в волновые уравнения:
где обозначено: 
.
Исходя из физических условий, формулируют граничные и начальные условия задачи.
§1.2. Метод
разделения переменных.
1.2.1.
Уравнение свободных колебаний струны.
Метод
разделения переменных или метод Фурье, является одним из наиболее
распространенных методов решения уравнений с частными производными. Изложение
этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны, закрепленной на
концах. Итак, будем искать решение уравнения
удовлетворяющее
однородным граничным условиям
(9)
и начальным условиям
(10)
Уравнение
(1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением
этого уравнения. Имея достаточно большое число частных решений, можно
попытаться при помощи суммирования их с некоторыми коэффициентами найти искомое
решение.
Поставим
основную вспомогательную задачу: найти решение уравнения
не равное тождественно нулю,
удовлетворяющее однородным граничным условиям
(11)
и представимое в виде
произведения
(12)
где X (x) – функция только переменного x, T (t) – функция только переменного t.
Подставляя предполагаемую форму
решения (12) в уравнение (1), получим:
или, после деления на XT,
(13)
Чтобы
функция (12) была решением уравнения (1), равенство (13) должно удовлетворяться
тождественно, т. е. 0 ‹ х ‹ , t › 0. Правая часть равенства (13)
является функцией только переменного t, а левая – только х. Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим, что правая
и левая части равенства (13) при изменении своих аргументов сохраняют
постоянное значение
(14)
где 
– постоянная, которую для удобства
последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее
знаке.
Из
соотношения (14) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для
определения функций X (x) и T (t)
(15)
(16)
Граничные условия (11) дают:
Отсюда следует, что
функция X (x) должна удовлетворять дополнительным условиям:
X(0) = X() = 0, (17)
Так как иначе мы имели бы
в то время как задача
состоит в нахождении нетривиального решения. Для функции T (t) в основной вспомогательной задаче никаких дополнительных
условий нет.
Таким
образом, в связи с нахождением функции X (x) мы приходим к
простейшей задаче о собственных значениях:
найти те значения параметра , при которых существуют нетривиальные
решения задачи:
(18)
а также найти эти
решения. Такие
значения параметра называются собственными
значениями, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями
задачи (18). Сформулированную таким образом задачу часто называют задачей
Штурма – Лиувилля.
Рассмотрим
отдельно случаи, когда параметр отрицателен, равен
нулю или положителен.
1.
При ‹ 0 задача не имеет нетривиальных
решений. Действительно, общее решение уравнения (15) имеет вид
Граничные
условия дают:
Х (0) = С1 + С2 = 0;
т. е.
Но в рассматриваемом
случае 
– действительно и положительно, так что 
. Поэтому
С1
=0, С2 = 0
и, следовательно,
2.
При = 0 также не существует нетривиальных
решений. Действительно, в этом случае общее решение уравнения (15) имеет вид
Х (х) = С1х
+ С2.
Граничные условия дают:
т. е. С1 = 0 и
С2 = 0 и, следовательно,
Х (х)
0.
3.
При › 0 общее решение уравнения может быть
записано в виде
Граничные условия дают:
Если Х(х) не равно
тождественно нулю, то D2
0,
поэтому
(19)
или
где n- любое целое число. Следовательно,
нетривиальные решения задачи (18) возможны лишь при значениях
Этим собственным значениям
соответствуют собственные функции
где Dn – произвольная постоянная.
Итак,
только при значениях , равных
(20)
существуют нетривиальные решения
задачи (11)
(21)
определяемые с точностью
до произвольного множителя, который мы положили равным единице. Этим же
значениям n соответствуют решения уравнения (9)
(22)
где An и Bn – произвольные постоянные.
Возвращаясь
к задаче (1), (9), (10), заключаем, что функции
(23)
являются частными
решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям (11) и
представимыми в виде произведения (12) двух функций, одна из которых зависит
только от х, другая – от t. Эти
решения могут удовлетворить начальным условиям (10) нашей исходной задачи
только для частных случаев начальных функций j(x) и y(x).
Обратимся
к решению задачи (1), (9), (10) в общем случае. В силу линейности и
однородности уравнения (1) сумма частных решений
(24)
также удовлетворяет этому
уравнению и граничным условиям (9). Начальные условия позволяют определить An и Bn. Потребуем, чтобы функция (24)
удовлетворяла условиям (10)
(25)
Из
теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-непрерывная и
кусочно-дифференцируемая функция f(x), заданная в промежутке 
, разлагается в ряд Фурье
(26)
где
(27)
Если функции j(x) и y(x) удовлетворяют условиям разложения в ряд
Фурье, то
(28)
(29)
Сравнение
этих рядов с формулами (25) показывает, что для выполнения начальных условий
надо положить
(30)
чем полностью
определяется функция (24), дающая решение исследуемой задачи.
Итак,
мы доказали, что ряд (24), где коэффициенты An и Bn определены по формуле (30), если он
допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет функцию u (x, t), которая является
решением уравнения (1) и удовлетворяет граничным и начальным условиям (9) и
(10).
Замечание. Решая рассмотренную задачу для
волнового уравнения другим методом, можно доказать, что ряд (24) представляет
решение и в том случае, когда он не допускает почленного дифференцирования. При
этом функция должна быть дважды дифференцируемой, а 
- один раз дифференцируемой.
Глава 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
§2.1. Задачи,
приводящие к уравнениям гиперболического типа.
2.1.1.
Уравнение
распространения тепла в стержне.
Рассмотрим однородный стержень длины . Будем предполагать, что боковая
поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках поперечного сечения
стержня температура одинакова. Изучим процесс распространения тепла в стержне.
Расположим ось Ох так, что один конец стержня будет
совпадать с точкой х = 0, а другой – с точкой х = .
Рис.
2.1.
Пусть u (x, t) – температура в сечении стержня с
абсциссой х в момент t. Опытным путем установлено, что скорость
распространения тепла, т. е. количество тепла, протекающего через сечение с
абсциссой х за единицу времени, определяется формулой
(1)
где S – площадь сечения рассматриваемого
стержня, k – коэффициент теплопроводности.
Рассмотрим элемент стержня, заключенный между
сечениями с абсциссами х1 и х2 (х2 – х1
= 
х). Количество тепла, прошедшего через
сечение с абсциссой х1 за время t, будет
равно
(2)
то же самое с абсциссой х2:
(3)
Приток Q1
- Q2 в элемент стержня за
время t будет равняться:
(4)
Этот приток тепла за время t затратился на повышение температуры
элемента стержня на величину u:
или
(5)
где с – теплоемкость вещества
стержня, – плотность вещества стержня (xS –
масса элемента стержня).
Приравнивая выражения (4) и (5) одного и того же
количества тепла 
, получим:
Чтобы решение уравнения (6) было вполне определено, функция
u (x, t) должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим физическим
условиям задачи. Краевые условия для решения уравнения (6) могут быть
различные. Условия, которые соответствуют так называемой первой краевой задаче
для 
, следующие:
u (x, 0) = φ(x),
(7)
u (0, t) = ψ1(t), (8)
u (, t) = ψ2(t). (9)
Физическое условие (7) (начальное условие)
соответствует тому, что при 
в разных сечениях
стержня задана температура, равная φ(x). Условия (8) и (9) (граничные
условия) соответствуют тому, что на концах стержня при х = 0 и при х = поддерживается температура, равная
ψ1(t) и ψ2(t) соответственно.
Доказывается, что уравнение (6) имеет единственное
решение в области 
, удовлетворяющее условиям (7)
– (9).
2.1.2.
Распространение тепла в пространстве.
Рассмотрим процесс распространения тепла в трехмерном
пространстве. Пусть u (x, y, z, t) – температура в точке с координатами (x, y,
z) с момент времени t. Опытным путем установлено, что скорость прохождения
тепла через площадку s, т. е. количество тепла,
протекающего за единицу времени, определяется формулой (аналогично формуле
(1))
(10)
где k – коэффициент теплопроводности
рассматриваемой среды, которую мы считаем однородной и изотропной, n – единичный
вектор, направленный по нормали к площадке s в
направлении движения тепла. Таким образом, можем записать:
где 
–
направляющие косинусы вектора n, или
Подставляя выражение 
в формулу (10), получаем:
Q = -k n grad u s.
Количество тепла, протекающего за время ∆t через
площадку ∆s, будет равно:
Qt = -k n grad u t s.
Вернемся к поставленной задаче. В рассматриваемой
среде выделим малый объем V, ограниченный поверхностью S. Количество тепла,
протекающего через поверхность S, будет равно:
(11)
где n – единичный вектор,
направленный по внешней нормали к поверхности S. Очевидно, что формула (11)
дает количество тепла, поступающего в объем V (или уходящего из объема V) за
время t. Количество тепла, поступившего в объем
V, идет на повышение температуры вещества этого объема.
Рассмотрим элементарный объем υ.
Пусть за время t его температура поднялась на u. Очевидно, что количество тепла, затраченное
на это повышение температуры элемента υ,
будет равно
где с – теплоемкость вещества, ρ
– плотность. Общее количество тепла, затраченное на повышение температуры в
объеме V за время t, будет
Но это есть тепло, поступающее в объем V за время t; оно определено формулой (11) . Таким
образом, имеет место равенство
Сокращая на t,
получаем:
(12)
Поверхностный интеграл, стоящий в левой части этого
равенства, преобразуем по формуле Остроградского (в векторной форме, где F –
дивергенция векторного поля, 
– замкнутая
поверхность)
полагая F = k grad u:
Заменяя двойной интеграл, стоящий в левой части
равенства (12), тройным интегралом, получим:
Применив теорему о среднем к тройному интегралу,
стоящего слева, получим :
(14)
где P (x, y, z) – некоторая точка
объема V.
Так как мы можем выделить произвольный объем V в
трехмерном пространстве, где происходит распространение тепла, и так как мы
предполагаем, что подынтегральная функция в равенстве (13) непрерывна, то
равенство (14) будет выполняться в каждой точке пространства. Итак,
(15)
Но
Подставляя в уравнение (15),
получаем:
(16)
Если k – постоянное, то
и уравнение (15) в этом случае дает:
или, положив 
(17)
Коротко уравнение (17) записывается так:
где u –
оператор Лапласа. Уравнение (17) и есть уравнение теплопроводности в
пространстве. Для того чтобы найти единственное решение, отвечающее
поставленной задаче, нужно задать краевые условия.
Пусть имеем тело 
,
поверхность которого . В этом теле рассматривается
процесс распространения тепла. В начальный момент температура тела задана. Это
соответствует тому, что известно значение решения при t = 0 – начальное
условие:
u (x, y, z, 0) = φ (x, y,
z). (18)
Кроме того, должна быть известна температура в любой
точке М поверхности тела в любой момент времени t
– граничное условие:
u (М, t) = ψ (М, t). (19)
(Возможны и другие граничные
условия.)
Если искомая функция u (x, y, z, t) не зависит от z,
что соответствует тому, что температура не зависит от z, то получаем уравнение:
(20)
-
уравнение
распространения тепла на плоскости. Если рассматривается распространения тепла в плоской области D
с границей С, то граничные условия, аналогично (18) и (19), формулируются так:
u (x, y, 0) = φ (x, y),
u (М, t) = ψ (М, t),
где φ и ψ – заданные
функции, М – точка границы С.
Если же функция u не зависит ни от z, ни от y, то
получаем уравнение
- уравнение распространения тепла
в стержне.
§2.2. Температурные волны.
Задача о распространении
температурных волн в почве является одним из первых примеров приложения
математической теории теплопроводности, развитой Фурье, к изучению явлений
природы.
Температура на
поверхности земли носит, как известно, ярко выраженную суточную и годовую
периодичность. Обратимся к задаче о распространении периодических температурных
колебаний в почве, которую будем рассматривать как однородное полупространство 
. Эта задача является характерной задачей
без начальных условий, так как при многократном повторении температурного хода
на поверхности влияние начальной температуры будет меньше влияния других
факторов, которыми мы пренебрегаем (например, неоднородность почвы). Таким
образом, приходим к следующей задаче:
(1)
удовлетворяющее условию
u
(0, t) = A cos 
t. (2)
Предполагается, что функции u (x, t) и m (t)
ограничены всюду, т.е.
Запишем граничное условие в
виде
(2’)
Из линейности уравнения теплопроводности следует, что
действительная и мнимая части некоторого комплексного решения уравнения
теплопроводности каждая в отдельности удовлетворяет тому же решению.
Если найдено решение уравнения
теплопроводности, удовлетворяющее условию (2’), то его действительная часть
удовлетворяет условию (2), а мнимая – условию
Итак, рассмотрим задачу:
(3)
Ее решение будем искать в виде
(4)
где и 
- неопределенные пока постоянные.
Подставляя выражение (4) в
уравнение (3) и граничное условие, находим:
,
откуда
Для u (x,
t) имеем:
(5)
Действительная часть этого решения
(6)
удовлетворяет уравнению теплопроводности и граничному
условию (2). Формула (6) в зависимости от выбора знака определяет не одну, а
две функции. Однако только функция, соответствующая знаку минус, удовлетворяет
требованию ограниченности. Таким образом, решение поставленной задачи получаем
в виде
(7)
На основании полученного
решения можно дать следующую характеристику процесса распространения
температурной волны в почве. Если температура поверхности длительное время
периодически меняется, то в почве также устанавливаются колебания температуры с
тем же периодом, причем:
1.Амплитуда колебаний
экспоненционально убывает с глубиной
,
т.е. если глубины растут в арифметической прогрессии, то
амплитуды убывают в геометрической прогрессии (первый закон Фурье).
2. Температурные колебания в
почве происходят со сдвигом фазы. Время 
запаздывания
максимумов (минимумов) температуры в почве от соответствующих моментов на
поверхности пропорционально глубине
(второй закон Фурье).
3. Глубина проникновения тепла
в почву зависит от периода колебаний температуры на поверхности. Относительное
изменение температурной амплитуды равно
Эта формула показывает, что чем
меньше период, тем меньше глубина проникновения температуры. Для температурных
колебаний с периодами Т1 и Т2 глубины x1
и x2, на которых происходит одинаковое
относительное изменение температуры, связаны соотношением
(третий закон Фурье). Так, например, сравнение суточных и
годовых колебаний, для которых Т2 = 365 Т1, показывает,
что
т.е. что глубина проникновения годовых колебаний при
одинаковой амплитуде на поверхности была бы в 19,1 раза больше глубины
проникновения суточных колебаний.
Следует, однако, иметь в виду,
что изложенная здесь теория относится к распространению тепла в сухой почве или
горных породах. Наличие влаги усложняет температурные явления в почве, при
замерзании происходит выделение скрытой теплоты, не учитываемое этой теорией.
Температуропроводность является
одной из характеристик тела, важных для изучения его физических свойств, а
также для различных технических расчетов. На изучении распространения
температурных волн в стержнях основан один из лабораторных методов определения
температуропроводности.
Пусть на конце достаточно
длинного стержня поддерживается периодическая температура 
(t). Представив
эту функцию в виде ряда Фурье
где Т – период, и взяв температурные волны,
соответствующие каждому слагаемому, получим, что температура u
(x, t) для любого x будет периодической функцией времени и ее n-я
гармоника равна
или
Эта
формула показывает, что если произвести измерение температуры в каких-нибудь
двух точках, x1 и x2,
за полный период, то, находя коэффициенты an
(x1), bn
(x1), an
(x2), bn
(x2) при помощи гармонического анализа,
можно определить коэффициент температуропроводности стержня а2.
Глава 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ.
§3.1. Дифракция
излучения на сферической частице.
Перейдем теперь к
рассмотрению задачи о дифракции электромагнитных волн на сферической частице.
Как известно, в случае монохроматического излучения частоты система уравнений Максвелла сводится к
системе уравнений для напряженностей электрического 
и
магнитного 
полей:
(1)
где 
- волновое число для пустоты; с0
– скорость света в вакууме. Обозначим через k = k0
m – волновое число в среде с
комплексным показателем преломления m = n – ix. Показатели преломления и поглощения (n и x) называются оптическими постоянными, их зависимость от w обычно известна из эксперимента.
Задача о разыскании шести
неизвестных функций (
) может быть сведена к задаче о
разыскании двух функций – электрического и магнитного потенциалов (U1 и U2), которые являются решениями
колебательного уравнения. Получим их по методу Фурье в виде бесконечных сумм
частных решений с неопределенными коэффициентами, которые определяются
«сшиванием» значений внутри и снаружи сферы. Через найденные потенциалы
составляющие полей легко вычисляются дифференцированием.
Пусть на сферическую
частицу радиуса а, центр которой совмещен с началом координат, в отрицательном
напрвлении оси Oz падает линейно
поляризованная плоская волна (рис 4.). Ось Ox является направлением электрических колебаний, а ось Oy – магнитных. Электрическое и
магнитное поля в падающей волне описываются формулами:
(2)
где ka = mak0 – величина волнового вектора падающего излучения во
внешней среде с вещественным показателем преломления ma.
Рис. 3.1. Сферическая система координат для изучения
дифракции света на шаре.
В дальнейшем в
промежуточных формулах всюду будет опущен множитель Е0, который
будет внесен в окончательные выражения для полей.
В сферической системе координат, в которой естественно
решать данную задачу, уравнения Максвелла (1) имеют вид:
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Второй тип
– магнитные колебания:
(10)
В случае электрических колебаний из
уравнения (6) получим
Это соотношение,
очевидно, будет удовлетворено, если предположим, что 
есть
производные от некоторой третьей функции 
:
первая – по , а вторая – по 
:
Подставляя эти соотношения в
формулы (4) и (5) получим
Этим соотношениям можно
удовлетворить, если положить 
где 
- некоторая новая функция. Тогда найдем 
. Если теперь вместо функции ввести 
, то
формула (3) получит вид
(11)
тогда как (7) и (8) приводятся к
одному и тому же волновому уравнению для функции 
(12)
Используя указанные выше
соотношения и заменяя в выражении для 
производные
по 
через производные по r из уравнения (12), получим следующие
соотношения:
(13)
которые выражают все составляющие
полей для случая 
через одну функцию - потенциал электрических колебаний.
Подставив эти выражения в уравнение (3) – (8), легко убедиться в том, что
равенства (13) образуют решение уравнений Максвелла, если U1 является решением волнового уравнения. Аналогично для
магнитных колебаний все составляющие полей могут быть выражены через некоторую
функцию 
- потенциал магнитных колебаний.
В общем случае в поле
присутствуют колебания обоих типов. Для составляющих полей получим при этом
следующие выражения:
(14)
Функции U1 и U2 являются решением волнового
уравнения.
(15)
которое будем решать по методу Фурье
(значок у U временно опущен, он появится при
рассмотрении граничных условий, которые для U1 и U2 различны). В качестве частного
решения положим
(16)
Подставляя (16) в (13) и разделяя
переменные, получим для f и Y следующие уравнения:
(17)
(18)
Уравнение для Y имеет однозначное и непрерывное
решение на всей сфере только для 
, где n = 0, 1, 2… В этом случае его
решением являются сферические функции:
(19)
где 
а 
- полином Лежандра. В уравнении (17)
сделаем подстановку 
, тогда для Rn (x) получим следующее уравнение (x = kr):
(20)
Это уравнение Бесселя и его решением
являются цилиндрические функции с полуцелым индексом 
.
Таким образом, n-е частное
решение уравнения (15) будет
(21)
Из всех цилиндрических функций только
бесселевы функции первого рода 
конечны в нуле.
Поэтому только они могут быть использованы для решения внутри шара. Вне шара, в
соответствии с принципом излучения, решение должно иметь характер расходящейся
волны. Так как временной множитель выбран в виде 
, то
только ханкелевская функция второго рода 
дает
волну, расходящуюся из источника дифракции 
.
Обозначим
(22)
тогда частное решение, очевидно,
следует представить в виде суперпозиции частных решений с неопределенными
коэффициентами, которые вычисляются из граничных условий. Граничные условия для
потенциалов U1 и U2 на шаре получаются из требования
непрерывности тангенциальных () составляющих полей.
Из (14) видно, что для этого необходимо, чтобы на поверхности шара были
непрерывны следующие величины: 
, т.е.
(23)
(24)
где Ua – потенциал дифрагированного поля, а
Ui – внутреннего.
Представим теперь
электрический и магнитный потенциалы падающей волны также в виде рядов по 
, используя известное разложение плоской
волны по полиномам Лежандра:
(25)
Тогда после преобразований получим:
(26)
Потенциалы 
и 
должны
иметь такую же угловую зависимость, как и потенциалы падающего поля. Поэтому
можно записать:
(27)
(28)
Коэффициенты 
должны
быть определены из условий (23), (24), которые образуют относительно пар
коэффициентов 
и 
с
данным значком две независимые системы по два
линейных уравнения. Запишем их, введя следующие обозначения: 
; 
-
относительный (комплексный) показатель преломления, - длина
волны излучения. Для 
и 
имеем:
(29)
Аналогичная система получается для 
и 
:
(30)
Решая эти системы относительно и ,
получим:
(31)
Аналогичные выражения получаются и
для и .
Подставляя эти выражения в (27) и (28), получаем однозначное решение уравнений
для потенциалов, удовлетворяющее всем граничным условиям. Из потенциалов, в
соответствии с (14), можно получить выражения для составляющих внутреннего и
дифрагированного полей. Так как в дальнейшем нас будет интересовать
дифрагированное поле, то выпишем только его составляющие, восстановив опущенный
ранее множитель Е0:
(32)
Штрихи всюду означают производные по
аргументу, указанному под знаком функции (
и 
). На достаточно большом расстоянии от
рассматриваемой частицы, в так называемой волновой зоне, можно пренебречь
составляющими Er и Hr по сравнению с составляющими по и .
Дифрагированное поле будет являться поперечной волной, распространяющейся из
источника дифракции. Введя обозначения
(33)
(34)
и применяя асимптоматические
выражения для функций 
при 
,
получим:
(35)
Согласно этим формулам,
дифрагированное поле представляется в виде сумм отдельных парциальных волн.
Интенсивность возбуждения -й парциальной волны
определяется числами 
, которые существенно зависят
от 
.
Поле вне частицы 
есть суперпозиция падающего 
и дифрагированного 
полей:
(36)
Средняя по времени величина вектора потока энергии определяется
(37)
где 
-
вектор, комплексно сопряженный к . В силу (36) поток
может быть представлен в виде 
, где 
- поток падающего поля, 
- дифрагированного поля и 
- поток, обязанный интерференции
падающего и рассеянного излучений. Определим величины сечений поглощения сп
и рассеяния ср излучения частицей
(38)
где J0 – интенсивность падающего излучения, 
-
радиальные составляющие потоков, 
- элемент телесного
угла, а 
- элемент площади на сфере. Все
интегралы распространены по сфере. Полное ослабление потока в результате
прохождения им частицы будет складываться из рассеяния и поглощения, т.е. для
сечения ослабления излучения частицей имеем с = сп + ср.
Поскольку поток падающего излучения постоянен по направлению, то 
и для искомых сечений получим
(39)
(40)
Рассмотрим интеграл в (39). Имеем 
Подставляя сюда выражение (32) для
полей, выполняя интегрирование по и группируя
соответствующим образом члены, получим двойную сумму следующих двух типов
выражений:
Сумма будет иметь общий
множитель 
. Оба интеграла легко вычисляются.
Интеграл а) равен нулю, так как его подынтегральное выражение есть 
, а функция 
равна
нулю при 
. В интеграле б) преобразуем вначале
первое слагаемое, проинтегрировав его по частям
Работа начинается с рассмотрения простейших задач,
приводящих к дифференциальным уравнениям гиперболического типа (колебания
струны, электрические колебания в проводах). Затем рассматривается один из
методов решения уравнений данного типа. Во второй главе рассматриваются
дифференциальные уравнения параболического типа (распространение тепловых волн)
и одно из приложений к данной сфере – температурные волны. В третьей главе
рассматривается вывод уравнения дифракции излучения на сферической частице.
Вследствие большого объема теории по применению
дифференциальных уравнений для моделирования реальных процессов в данной
дипломной работе не мог быть рассмотрен весь материал.
В заключение
хотелось бы отметить особую роль дифференциальных уравнений при решении многих
задач математики, физики и техники, так как часто не всегда удается установить
функциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но
зато удается вывести дифференциальное уравнение, позволяющее точно предсказать
протекание определенного процесса при определенных условиях.
Литература.
1. Н. С. Пискунов
«Дифференциальное и интегральное исчисления», М., «Наука», 1972, том. 2.
2. И. М. Уваренков, М. З. Маллер «Курс
математического анализа», М., «Просвещение», 1976.
3. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский
«Уравнения математической физики», М., «Наука», 1972.
4. Владимиров В. С. «Уравнения
математической физики», М., «Наука», 1988.
1 Это предположение эквивалентно тому,
что мы пренебрегаем величиной по сравнению с 1. Действительно, .