|
|
0
|
1
|
x1
|
высота лба
|
низкий
|
широкий
|
x2
|
профиль носа
|
курносый
|
горбатый
|
x3
|
длина носа
|
короткий
|
длинный
|
x4
|
разрез глаз
|
узкие
|
широкие
|
x5
|
цвет глаз
|
светлые
|
темные
|
x6
|
форма подбородка
|
остроконечный
|
квадратный
|
x7
|
толщина губ
|
тонкие
|
толстые
|
x8
|
цвет лица
|
темный
|
светлый
|
x9
|
очертание лица
|
овальное
|
квадратное
|
Для конкретного лица А эксперт, исходя из приведенной
шкалы, задает mA(x)Î [0,1], формируя векторную функцию
принадлежности { mA(x1),
mA(x2),...
mA(x9)}.
При прямых методах используются также групповые
прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо и
каждый должен дать один из двух ответов: "этот человек лысый" или
"этот человек не лысый", тогда количество утвердительных ответов,
деленное на общее число экспертов, дает значение m "лысый" (данного лица). (В
этом примере можно действовать через функцию совместимости, но тогда придется
считать число волосинок на голове у каждого из предъявленных эксперту лиц).
Косвенные методы определения значений функции
принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых
свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как
правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности
были нам известны, например, mA(xi)
= wi, i=1,2,...,n, то
попарные сравнения можно представить матрицей отношений A = {aij},
где aij=wi/wj
(операция деления).
На практике эксперт сам формирует матрицу A, при этом
предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричных
относительно диагонали aij = 1/aij,
т.е. если один элемент оценивается в a
раз сильнее чем другой, то этот последний должен быть в 1/a раз сильнее, чем первый. В общем случае
задача сводится к поиску вектора w, удовлетворяющего уравнению
вида Аw = lmaxw,
где lmax - наибольшее
собственное значение матрицы A. Поскольку матрица А положительна
по построению, решение данной задачи существует и является положительным.
Включение.
Пусть A и B - нечеткие множества на
универсальном множестве E.
Говорят, что A содержится в B, если "x ÎE mA(x) mB(x).
Обозначение: A Ì B.
Иногда используют термин "доминирование",
т.е. в случае когда A Ì B,
говорят, что B доминирует A.
Равенство.
A и B равны, если "xÎE
mA(x) = mB (x).
Обозначение: A = B.
Дополнение.
Пусть M = [0,1], A
и B - нечеткие множества, заданные на E. A и B
дополняют друг друга, если
"xÎE mA(x) = 1 - m B(x).
Обозначение: B = или A = .
Очевидно, что = A. (Дополнение определено для M
= [0,1], но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного M).
Пересечение.
AÇB
- наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B.
mAÇB(x) = min( mA(x), m B(x)).
Объединение.
А È
В - наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В,
с функцией принадлежности:
mAÈ B(x) = max(mA(x), m B(x)).
Разность.
А - B = АÇ с функцией
принадлежности:
mA-B(x)
= mA Ç (x) = min( mA(x), 1 - m B(x)).
Дизъюнктивная сумма.
АÅB
= (А - B)È(B - А) = (А Ç) È(Ç B) с функцией принадлежности:
mA-B(x)
= max{[min{m A(x),
1 - mB(x)}];[min{1
- mA(x), mB(x)}] }
Примеры.
Пусть:
A = 0,4/ x1
+ 0,2/ x2+0/ x3+1/
x4;
B = 0,7/ x1+0,9/
x2+0,1/ x3+1/ x4;
C = 0,1/ x1+1/
x2+0,2/ x3+0,9/ x4.
Здесь:
AÌB,
т.е. A содержится в B или B доминирует A, С несравнимо
ни с A, ни с B, т.е. пары {A, С} и {A, С} - пары
недоминируемых нечетких множеств.
A ¹ B ¹ C.
= 0,6/ x1 + 0,8/x2 + 1/x3
+ 0/x4;
= 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0,9/x3
+ 0/x4.
AÇB =
0,4/x1 + 0,2/x2 + 0/x3 +
1/x4.
АÈВ
= 0,7/x1 + 0,9/x2 + 0,1/x3
+ 1/x4.
А - В = АÇ
= 0,3/x1
+ 0,1/x2 + 0/x3 + 0/x4;
В - А = Ç
В = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3
+ 0/x4.
А Å
В = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3
+ 0/x4.
Для нечетких множеств можно строить
визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси
ординат которой откладываются значения mA(x),
на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E (мы уже
использовали такое представление в примерах нечетких множеств). Если E
по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в
расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными
простые операции над нечеткими множествами.
На верхней части рисунка заштрихованная часть соответствует
нечеткому множеству A и, если говорить точно, изображает область
значений А и всех нечетких множеств, содержащихся в A. На нижней
- даны , AÇ , AÈ
.
Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются
следующие свойства:
-
коммутативность;
-
ассоциативность;
-
идемпотентность;
-
дистрибутивность;
AÈÆ
= A, где Æ - пустое
множество, т.е. mÆ(x) = 0 ">xÎE;
AÇÆ = Æ;
AÇE
= A, где E - универсальное множество;
AÈE = E;
-
теоремы де Моргана.
В отличие от четких множеств, для нечетких множеств в общем
случае:
AÇ ¹ Æ,
AÈ ¹ E.
(Что, в частности, проиллюстрировано выше в примере
наглядного представления нечетких множеств).
Замечание. Введенные выше операции над нечеткими
множествами основаны на использовании операций max и min. В
теории нечетких множеств разрабатываются вопросы построения обобщенных,
параметризованных операторов пересечения, объединения и дополнения, позволяющих
учесть разнообразные смысловые оттенки соответствующих им связок "и",
"или", "не".
Один из подходов к операторам пересечения и объединения
заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм.
Треугольной нормой (t-нормой)
называется двуместная действительная функция T:[0,1]´[0,1]®[0,1],
удовлетворяющая следующим условиям:
T(0,0)=0; T(mA,
1) = mA; T(1,
m A) = mA - ограниченность;
T(mA, mB) £T(mC, mD),
если mA£mC , mB£mD
- монотонность;
T(mA , m B) = T(mB, mA)
- коммутативность;
T(mA, T(m B, mC))= T( T(mA,
mB), mC) - ассоциативность;
Простым случаем треугольных норм являются:
min(mA , m
B)
произведение mA×mB
max(0, mA
+ m B -1).
Треугольной конормой (t-конормой)
называется двуместная действительная функция ^:[0,1]´[0,1]®
[0,1], со свойствами:
T(1,1) = 1; T(mA ,0) = m
A ; T(0, m A)
= mA - ограниченность;
T(mA, mB )³
T(mC, mD ), если mA ³mC
, mB ³mD - монотонность;
T(mA , mB ) = T(mB , mA
) - коммутативность;
T(mA, T(mB , mC )) = T(T(mA
, mB ), mC ) - ассоциативность.
Примеры t-конорм:
max(mA, m B)
mA + mB - mA× mB
min(1, mA + mB).
Алгебраическое произведение A и B
обозначается A×B и
определяется так:
"xÎE mA×B
(x) = mA(x)mB(x).
Алгебраическая сумма этих множеств обозначается и определяется так:
"xÎE = m A(x) + mB(x)-mA(x)mB(x).
Для операций {×,
} выполняются свойства:
-
коммутативность;
-
ассоциативность;
A×Æ = Æ, AÆ
= A, A×E = A, AE = E
-
теоремы де Моргана.
Не выполняются:
-
идемпотентность;
-
дистрибутивность;
а также A× = Æ, A
= E.
Замечание. Доказательства приводимых свойств операций
над нечеткими множествами мы оставляем читателю.
Для примера докажем свойство: . Обозначим mA(x)
через a, mB(x)
через b. Тогда в левой части для каждого элемента х
имеем: 1-ab, а в правой: (1-a)+(1-b)-(1-a)(1-b)
= 1-a+1-b-1+a+b-ab = 1-ab.
Докажем, что свойство дистрибутивности не выполняется, т.е. A×(BC) ¹
(A×B)(A×C). Для левой части имеем: a(b+c-bc)
= ab+ac-abc; для правой: ab+ac-(ab)(ac)
= ab+ac+a2bc. Это
означает, что дистрибутивность не выполняется при a¹a2.
Замечание. При совместном использовании операций {È, Ç,+,×}
выполняются свойства:
А×(BÈC) = (A×B)È(A × C);
А× (BÇC) = (A×B)Ç(A×C);
А(BÈC) = (AB)È(AC);
А(BÇC)=(AB)Ç(AC).
Продолжим обзор основных операций над нечеткими множествами.
На основе операции алгебраического произведения (по крайней
мере для целых a эта основа
очевидна) определяется операция возведения в степень a нечеткого множества A, где a - положительное число. Нечеткое
множество Aa определяется
функцией принадлежности mAa = maA(x). Частным случаем возведения в
степень являются:
CON(A) = A2 - операция концентрирования,
DIL(A) = A0,5 - операция растяжения,
которые используются при работе с лингвистическими
неопределенностями.
Умножение на число. Если a - положительное число, такое, что am
A(x)£1,
то нечеткое множество aA имеет
функцию принадлежности:
maA(x)
= amA(x).
Выпуклая комбинация нечетких множеств. Пусть A1,
A2,.., An - нечеткие множества
универсального множества E, а w1,
w2, ..., wn - неотрицательные числа,
сумма которых равна 1.
Выпуклой комбинацией A1, A2,..,
An называется нечеткое множество A с функцией
принадлежности:
"xÎE mA(x1, x1,..., xn)
= w1mA1(x) + w2mA2(x) + ... + wnmAi(x).
Декартово произведение нечетких множеств. Пусть A1,
A2, ..., An - нечеткие подмножества
универсальных множеств E1, E2, ..., En
соответственно. Декартово произведение A = A1´A2 ´ ...´An
является нечетким подмножеством множества E = E1´E2 ´ ...´En с функцией принадлежности:
mA(x1,
x1, ..., xn) = min{ mA1(x1), mA2(x2) , ... , mAi(xn) }.
Оператор увеличения нечеткости используется для
преобразования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого
множества.
Пусть A - нечеткое множество, E -
универсальное множество и для всех xÎE определены нечеткие множества K(х).
Совокупность всех K(х) называется ядром оператора увеличения
нечеткости Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое
множество A является нечеткое множество вида:
Ф(A, K) = mA (x)K(х),
где mA(x)K(х)
- произведение числа на нечеткое множество.
Пример:
E = {1,2,3,4};
A = 0,8/1+0,6/2+0/3+0/4;
K(1) =
1/1+0,4/2;
K(2) =
1/2+0,4/1+0,4/3;
K(3) =
1/3+0,5/4;
K(4) = 1/4.
Тогда
Ф(A,K) = mA(1) K(1) ÈmA(2)K(2) ÈmA(3)K(3) ÈmA(4)K(4) =
= 0,8(1/1+0,4/2) È
0,6(1/2+0,4/1+0,4/3) =
= 0,8/1+0,6/2+0,24/3.
Четкое множество a-уровня (или уровня a). Множеством a-уровня
нечеткого множества A универсального множества E называется четкое
подмножество Aa универсального
множества E, определяемое в виде:
Aa ={x/m A(x)³a}, где a£1.
Пример: A = 0,2/x1 + 0/x2
+ 0,5/x3 + 1/x4 ,
тогда A0.3 = {x3,x4},
A0.7 = {x4}.
Достаточно очевидное свойство: если a1 ³a2
, то Aa1£ Aa2 .
Теорема о декомпозиции. Всякое нечеткое множество A
разложимо по его множествам уровня в виде:
A = aA a, где aAa
- произведение числа a на
множество A, и a
"пробегает" область значений M функции принадлежности
нечеткого множества A.
Пример: A = 0,1/x1 +
0/x2 + 0,7/x3 + 1/x4
представимо в виде:
A =
0,1(1,0,1,1) È 0,7(0,0,1,1,) È 1(0,0,0,1)=
= (0,1/x1 + 0/x2 +
0,1/x3 + 0,1/x4)È (0/x1 + 0/x2 + 0,7/x3 + 0,7/x4)È
È(0/x1 + 0/x2 + 0/x3 + 1/x4)
= 0,1/x1 +0/x2 +0,7/x3 +1/x4 .
Если область значений функции принадлежности состоит из n
градаций a1£ a2£ a3£ ...£
an, то A (при
фиксированных значениях градаций) представимо в виде:
A = aiAai,
т.е. определяется совокупностью обычных множеств { Aa1, Aa2, ..., Aai}, где Aa1 ³Aa2³
, ..., ³Aai.
Пусть A и B - нечеткие подмножества
универсального множества E. Введем понятие расстояния r(A, B) между нечеткими
множествами. При введении расстояния обычно предъявляются следующие требования:
r(A, B) ³ 0 - неотрицательность;
r(A,
B) = r(B,
A) - симметричность;
r(A,
B) < r(A,
C) + r(C,
B).
К этим трем требованиям можно добавить четвертое: r(A, A) = 0.
Определим следующие расстояния по формулам:
Расстояние Хемминга (или линейное расстояние):
r(A,
B) = ½mA(xi) - mB(xi)½ .
Очевидно, что r(A,
B)Î[0, n].
Евклидово или квадратичное расстояние:
e(A,
B) = , e(A,
B)Î[0,
].
Относительное расстояние Хемминга:
r(A,
B) = , r(A, B)Î[0,1].
Относительное евклидово расстояние:
e(A,
B)=, e(A, B)Î[0,1].
Расстояние Хемминга и квадратичное расстояние, в случае
когда E бесконечно, определяются аналогично с условием сходимости
соответствующих сумм:
если E счетное, то
r(A,
B) = ½mA(xi) - mB(xi)½ ,
e(A, B) = ;
если E = R (числовая ось), то
r(A,
B) = ,
e(A,
B) = .
Замечание. Здесь приведены два наиболее часто
встречающихся определения понятия расстояния. Разумеется, для нечетких множеств
можно ввести и другие определения понятия расстояния.
Перейдем к индексам нечеткости или показателям
размытости нечетких множеств.
Если объект х обладает свойством R
(порождающим нечеткое множество A) лишь в частной мере, т.е.
0<mA(x)<1,
то внутренняя неопределенность, двусмысленность объекта х в отношении
R проявляется в том, что он, хотя и в разной степени, принадлежит сразу
двум противоположным классам: классу объектов, "обладающих свойством R",
и классу объектов, "не обладающих свойством R". Эта
двусмысленность максимальна, когда степени принадлежности объекта обеим классам
равны, т.е. mA(x)
= (x) = 0,5, и
минимальна, когда объект принадлежит только одному классу, т.е. либо mA(x) = 1 и (x) = 0, либо mA(x) = 0 и (x) = 1.
В общем случае показатель размытости нечеткого множества
можно определить в виде функционала d(A) со значениями в R
(положительная полуось), удовлетворяющего условиям:
d(A) = 0 тогда и только тогда, когда А -
обычное множество;
d(A) максимально тогда и только тогда, когда mA(x) = 0.5 для всех xÎE.
d(A)d(B), если A является заострением B,
т.е.
mA(x)£mB(x) при mB(x) < 0,5;
mA(x)³mB(x) при mB(x) > 0,5;
mA(x)-
любое при mB(x)
= 0,5.
d(A) = d() - симметричность по отношению к 0,5.
d(AÈB)+d(AÇB) = d(A)+d(B).
Замечание. Приведенная система аксиом при введении
конкретных показателей размытости часто используется частично, т.е., например,
ограничиваются свойствами P1, P2 и P3, либо некоторые свойства
усиливаются или ослабляются в зависимости от решаемой задачи.
Рассмотрим индексы нечеткости (показатели размытости),
которые можно определить, используя понятие расстояния.
Обычное множество, ближайшее к нечеткому
Пусть A - нечеткое множество. Вопрос: какое
обычное множество AÌE
является ближайшим к A, т.е. находится на наименьшем евклидовом
расстоянии от нечеткого множества A. Таким подмножеством, обозначаемым A,
является подмножеством с характеристической функцией:
.
Обычно принимают mA(xi)
= 0, если mA(xi)
= 0,5.
Используя понятие обычного множества, ближайшего к
нечеткому, введем следующие индексы нечеткости нечеткого множества А.
Линейный индекс нечеткости:
Здесь r(A, A)
- линейное (хеммингово) расстояние, множитель - обеспечивает выполнение условия 0<d(A)<1.
Квадратичный индекс нечеткости
, 0<d(A)<1.
Здесь e(A, A)
- квадратичное (евклидово) расстояние.
Замечания.
1. Мы ввели линейный и квадратичный индексы нечеткости,
используя понятие расстояния и понятие обычного множества, ближайшего к
нечеткому. Эти же индексы можно определить, используя операцию дополнения,
следующим образом:
-
линейный индекс,
- квадратичный индекс.
2. Отметим следующие свойства, связанные с ближайшим обычным
множеством:
АÇВ=АÇВ,
АÈВ=АÈВ;
а также "xÎE:|mA(xi)-mA(xi)|=, откуда для линейного индекса нечеткости
имеем:
,
т.е. в этом представлении становится очевидным, что d(A)=d().
3. Нечеткое множество с функцией принадлежности иногда называют векторным
индикатором нечеткости.
Оценка нечеткости через энтропию
Ограничимся случаем конечного универсального множества.
Энтропия системы с n состояниями e1,e2, ..., en, с которыми связаны вероятности p1,p2,
..., pn определяется выражением:
H(p1, p2,
..., pn) = - pi ln pi, Hmin
= 0, Hmax = 1.
В случае нечетких множеств положим:
pA(xi)
=
Тогда общую формулу, позволяющую подсчитать энтропию по
нечеткости, можно записать в следующем виде:
H(pA(x1),
pA(x2), ..., pA(xn)) = - pA(xi) ln pA(xi).
Замечание. Попытки использования энтропии в
теории нечетких множеств (в приведенном выше виде) показали, что это не лучший
способ оценки. Однако работы по обобщению понятия энтропии для нечетких
множеств продолжаются.
Принцип обобщения - одна из основных идей теории нечетких
множеств - носит эвристический характер и используется для расширения области
применения нечетких множеств на отображения. Пусть X и Y - два
заданных универсальных множества. Говорят, что имеется функция, определенная на
X со значением в Y, если, в силу некоторого закона f, каждому
элементу XÎX
соответствует элемент yÎY.
Образом множества АÌХ
при отображении с®Y называют
множество f(A)ÌY
тех элементов Y, которые являются образами элементов множества А.
Замечание. Мы напомнили классическое
определение отображения, которое в теории нечетких множеств принято называть
четким отображением, т.к. наряду с ним мы введем понятие нечеткого отображения
(или нечеткой функции).
Будем говорить, что имеется нечеткая функция f, определенная
на X со значением в Y, если она каждому элементу xÎX ставит в соответствие элемент
yÎY со степенью
принадлежности mf(x,y).
Нечеткая функция f определяет нечеткое отображение f:XY.
Принцип обобщения заключается в том, что при заданном четком
f:X®Y или нечетком f:XY отображении для
любого нечеткого множества А, заданного на Х, определяется
нечеткое множество f(A) на Y, являющееся образом A.
Пусть f:X®Y
заданное четкое отображение,
а A = {mA(x)/х}-
нечеткое множество в Х. Тогда образом А при отображении f
является нечеткое множество f(A) на Y с функцией принадлежности:
mf(A)(y) = mA(x); yÎY,
где f -1(y)={x/f(x)=y}.
В случае нечеткого отображения f:XY, когда для любых xÎX и yÎY определена двуместная функция принадлежности mf(x,y), образом нечеткого
множества А, заданного на Х, является нечеткое множество f(A) на Y
с функцией принадлежности:
mf(A)(y) = min(mA(x), mf(x,y)).
Замечание. Мы не приводим примеров
использования принципа обобщения. Предлагаем подумать, каким образом можно
определить нечеткое число и как с помощью принципа обобщения (не забывая
декартова произведения) и классических операций возведения числа в
степень(одноместная), сложения и умножения (двуместные) получать
соответствующие нечеткие результаты. К нечетким отображениям мы вернемся, когда
будем рассматривать понятие нечеткого отношения.
Пусть Е = Е1´Е2´
...´Еn -
прямое произведение универсальных множеств и М - некоторое множество
принадлежностей (например М = [0,1]). Нечеткое n-арное отношение
определяется как нечеткое подмножество R на E, принимающее свои
значения в М. В случае n=2 и М = [0,1], нечетким
отношением R между множествами X = Е1 и Y = Е2
будет называться функция R:(X,Y)®
[0,1], которая ставит в соответствие каждой паре элементов (х,y)ÎX´Y величину mR(x,y)
Î[0,1]. Обозначение: нечеткое
отношение на X´Y
запишется в виде: xÎX, yÎY: xRy. В случае, когда X
= Y, т.е. X и Y совпадают, нечеткое отношение R: X´X®[0,1]
называется нечетким отношением на множестве X.
Примеры:
Пусть X = {x1,x2,x3},
Y = {y1,y2,y3,y4}, М
= [0,1]. Нечеткое отношение R=XRY может быть задано, к примеру,
таблицей:
|
y1
|
y2
|
y3
|
y4
|
x1
|
0
|
0
|
0,1
|
0,3
|
x2
|
0
|
0,8
|
1
|
0,7
|
x3
|
1
|
0,5
|
0,6
|
1
|
Пусть X = Y = (-, ), т.е. множество всех действительных чисел.
Отношение x>>y (x много больше y) можно задаеть функцией принадлежности:
Отношение R, для которого mR(x,y) = e-k(x-y)2,
при достаточно больших k можно интерпретировать так: "x и y близкие друг к
другу числа".
В случае конечных или счетных универсальных множеств
очевидна интерпретация нечеткого отношения в виде нечеткого графа, в котором
пара вершин (xi,xj) в случае XRX соединяется ребром с
весом mR(xi,xj),
в случае XRY пара вершин (xi,yj) соединяется
ребром c весом mR(xi,yj).
Примеры:
Пусть Х={x1,x2,x3}, и
задано нечеткое отношение R: X´X® [0,1], представимое графом:
Пусть X={x1,x2} и Y={y1,y2,y3},
тогда нечеткий граф вида:
задает нечеткое отношение XRY.
Замечание. В общем случае нечеткий граф может быть
определен на некотором GÌX´Y, где G - множество
упорядоченных пар (x,y) (необязательно всех возможных) такое, что GÇ = Æ
и GÈ = X´Y.
Будем использовать обозначения вместо и вместо .
Пусть R: X´Y®[0,1].
Носитель нечеткого отношения.
Носителем нечеткого отношения R называется обычное
множество упорядоченных пар (x,y), для которых функция принадлежности
положительна:
S(R)={(x,y):
mR(x,y)>0}.
Нечеткое отношение содержащее данное нечеткое отношение, или
содержащееся в нем.
Пусть R1 и R2 - два
нечетких отношения такие, что:
"(x,y)ÎX´
Y: mR1(x,y)£mR2(x,y),
тогда говорят, что R2 содержит R1
или R1 содержится в R2 .
Обозначение: R1ÍR2 .
Пример:
Отношения R1 , R2 -
отношения типа y>>x (y много больше x). При k2 > k1
отношение R2 содержит R1 .
Объединение двух отношений R1
и R2.
Объединение двух отношений обозначается R1ÈR2 и определяется
выражением:
mR1ÈR2(x,y) = mR1(x,y)Ú mR2(x,y)
Примеры:
1. Ниже изображены отношения действительных чисел,
содержательно означающие: xR1y - "числа x и y очень
близкие", xR2y - "числа x и y очень различны"
и их объединение xR1ÈR2y
- "числа x и y очень близкие или очень различные".
Функции
принадлежности отношений заданы на |y-x|.
mR1ÈR2(x,y) =
|
|
mR1(x,y), | y - x | £a
mR2(x,y), | y - x | >a
|
где a - такое |y-x|, что mR1(x,y) = mR2(x,y)
2.
R1
|
|
y1
|
y2
|
y3
|
x1
|
0,1
|
0
|
0,8
|
x2
|
1
|
0,7
|
0
|
|
R2
|
|
y1
|
y2
|
y3
|
x1
|
0,7
|
0,9
|
1
|
x2
|
0,3
|
0,4
|
0,5
|
|
R1ÈR2
|
|
y1
|
y2
|
y3
|
x1
|
0,7
|
0,9
|
1
|
x2
|
1
|
0,7
|
0,5
|
|
Пересечение двух отношений.
Пересечение двух отношений R1 и R2
обозначается R1ÇR2
и определяется выражением:
mR1ÇR2(x,y) = mR1(x,y)Ù mR2(x,y)
.
Примеры:
1. Ниже изображены отношения: xR1y,
означающее "модуль разности |y-x| близок к a",
xR2y, означающее "модуль разности |y-x| близок к b", и их пересечение.
Алгебраическое произведение двух отношений.
Алгебраическое произведение двух отношений R1
и R2 обозначается R1×R2 и определяется
выражением:
mR1×R2(x,y) = mR1(x,y)× mR2(x,y)
Алгебраическая сумма двух отношений.
Алгебраическая сумма двух отношений R1 и R2
обозначается R1R2
и определяется выражением: .
Для введенных операций справедливы следующие свойства
дистрибутивности:
R1Ç(R2ÈR3) = (R1ÇR2 )È(R1ÇR3),
R1È(R2ÇR3) = (R1ÈR2)Ç(R1ÈR3),
R1×(R2ÈR3) = (R1×R2)È(R1×R3),
R1×(R2ÇR3) = (R1×R2)Ç(R1×R3),
R1(R2ÈR3) = (R1R2)È(R1R3),
R1(R2ÇR3) = (R1R2)Ç (R1R3).
Дополнение отношения.
Дополнение отношения R обозначается и определяется функцией
принадлежности:
(x,y) = 1 - mR(x,y)
.
Дизъюнктивная сумма двух отношений.
Дизъюнктивная сумма двух отношений R1 и R2
обозначается RÅR и определяется
выражением:
R1ÅR2
= (R1Ç2)È(1ÇR2) .
Обычное отношение, ближайшее к нечеткому.
Пусть R - нечеткое отношение с функцией
принадлежности mR(x,y).
Обычное отношение, ближайшее к нечеткому, обозначается R и определяется
выражением:
По договоренности принимают mR(x,y)=0 при mR(x,y) = 0,5.
Проекции нечеткого отношения.
Пусть R - нечеткое отношение R: (x,y)®[0,1]. Первой проекцией отношения R (проекция на X)
называется нечеткое множество , заданное на множестве X, с функцией
принадлежности:
.
Аналогично, второй проекцией (проекцией на Y) называется нечеткое
множество , заданное на
множестве Y, с функцией принадлежности:
.
Величина h(R) = называется глобальной проекцией отношения R.
Если h(R)=1, то отношение R нормально, в противном случае -
субнормально.
Пример:
R =
|
|
y1
|
y2
|
y3
|
y4
|
y5
|
x1
|
0,1
|
0,2
|
1
|
0,3
|
0,9
|
x2
|
0,9
|
0,1
|
0,5
|
0,8
|
0,5
|
x3
|
0,4
|
0
|
0,6
|
1
|
0,3
|
|
|
1-я проекция
|
= R1'
|
|
|
|
|
|
R2' =
|
|
|
|
= h(R)
|
2-я проекция
|
|
Цилиндрические продолжения проекций нечеткого
отношения
Проекции R1¢ и R2¢ нечеткого отношения XRY
в свою очередь определяют в X´Y
нечеткие отношения и с функциями принадлежности:
(x,y)=(x) при любом y,
(x,y)=(y) при любом x,
называемые, соответственно, цилиндрическим продолжением R1'
и цилиндрическим продолжением R2'.
Замечание. Очевидно, что для любых нечетких
подмножеств А и В, определенных, соответственно, на X и Y,
можно построить их цилиндрические продолжения А и В.
Пример (продолжение):
Имеем:
R1' =
|
|
|
=
|
|
y1
|
y2
|
y3
|
y4
|
y5
|
x1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
x2
|
0,9
|
0,9
|
0,9
|
0,9
|
0,9
|
x3
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
|
и
R2' =
|
|
y1
|
y2
|
y3
|
y4
|
y5
|
|
0,9
|
0,2
|
1
|
1
|
0,9
|
|
=
|
x1
|
0,9
|
0,2
|
1
|
1
|
0,9
|
x2
|
0,9
|
0,2
|
1
|
1
|
0,9
|
x3
|
0,9
|
0,2
|
1
|
1
|
0,9
|
|
Сепарабельность отношений
Нечеткое отношение XRY называется сепарабeльным, если
оно равно пересечению цилиндрических продолжений своих проекций, т.е. если R
= Ç , т.е. mR
(x,y) = (x)Ç (y).
Замечание. Если определено декартово
произведение нечетких множеств (выше оно введено), то, очевидно, нечеткое
отношение XRY сепарабельно, если оно является декартовым произведением
своих проекций, т.е. R = R1'´R2'.
Пример (продолжение):
Ç =
|
|
y1
|
y2
|
y3
|
y4
|
y5
|
x1
|
0,9
|
0,2
|
1
|
1
|
0,9
|
x2
|
0,9
|
0,2
|
0,9
|
0,9
|
0,9
|
x3
|
0,9
|
0,2
|
1
|
1
|
0,9
|
|
¹ R,
|
т.е. исходное отношение R несепарабельно.
Композиция двух нечетких отношений
Пусть R1 - нечеткое отношение R1:
(X´ Y)®[0,1] между X и Y, и R2 -
нечеткое отношение R2: (Y´Z)® [0,1]
между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z, обозначаемое R2·R1, определенное через R1
и R2 выражением
mR1·R2 (x,z) = [mR1
(x,y)LmR1(y,z)],
называется (max-min)-композицией отношений R1
и R2.
Примеры:
R1
|
|
y1
|
y2
|
y3
|
x1
|
0,1
|
0,7
|
0,4
|
x2
|
1
|
0,5
|
0
|
|
R2
|
|
z1
|
z2
|
z3
|
z4
|
y1
|
0,9
|
0
|
1
|
0,2
|
y2
|
0,3
|
0,6
|
0
|
0,9
|
y3
|
0,1
|
1
|
0
|
0,5
|
|
R2·R1
|
|
z1
|
z2
|
z3
|
z4
|
x1
|
0,3
|
0,1
|
0,7
|
x2
|
0,9
|
0,5
|
1
|
0,5
|
|
mR1·R2(x1, z1)
= [mR1(x1, y1) L mR2 (y1, z1)]
V [mR1(x1, y2)
L mR2(y2, z1)] V [mR1(x1, y3) L mR2(y3, z1)]
=
= (0,1L0,9)V(0,7L0,3)V(0,4L0,1) = 0,1V0,3V0,1 = 0,3
mR1·R2(x1,z2)
= (0,1L0)V(0,7L0,6)V(0,4L 1) = 0V0,6V0,4 = 0,6
mR1·R2(x1,z3)
= 0,1
...................
...................
mR1·R2(x2,z5)
= 0,5
Замечание. В данном примере вначале
использован "аналитический" способ композиции отношений R1
и R2 , т.е. i-я строка R1
"умножается" на j-й столбец R2 с использованием
операции L, полученный результат
"свертывается" с использованием операции V в m (xi,zj).
Ниже приведены графы, соответствующие R1 и R2,
"склеенные" по Y. В полученном графе рассматриваем пути от xi
к zj и каждому ставим в соответствие минимальный из
"весов" его составляющих. Затем определяем максимум по всем путям из xi
в zj, который и дает искомое m(xi,zj).
Свойства max-min композиции
Операция (max-min)-композиции ассоциативна, т.е.
R3·(R2·R1) = (R3·R2 )·R1,
дистрибутивна относительно объединения, но недистрибутивна
относительно пересечения:
R3·(R2È R1) = (R3·R2)È
(R3·R1),
R3·(R2Ç R1)¹(R3· R2)Ç(R3· R1).
Кроме того, для (max-min)-композиции выполняется следующее
важное свойство: если R1ÌR2
то, R·R1 ÌR·R2.
(max-*)
- композиция
В выражении mR1·R2(x, z) = [mR1(x,
y)LmR2(y,
z)] для (max-min)-композиции отношений R1 и R2
операцию L можно заменить любой другой,
для которой выполняются те же ограничения, что и для L: ассоциативность и монотонность (в смысле неубывания) по
каждому аргументу. Тогда:
mR1·R2(x, z) = [mR1(x,
y)*mR1(y,
z)]
В частности, операция L
может быть заменена алгебраическим умножением, тогда говорят о (max -
prod)-композиции.
Обычное подмножество a - уровня нечеткого отношения
Обычным подмножеством a
- уровня нечеткого отношения R называется четкое (обычное) отношение Ra такое, что
mR1(x,y) =
Очевидно, что из a1£ a2
следует Ra1 ³ Ra2.
Теорема декомпозиции
Любое нечеткое отношение R представимо в форме:
R = a×Ra, 0<a£1,
где a×Ra означает, что все элементы Ra умножаются на a.
Пусть X и Y - универсальные множества,
взаимосвязь которых задана нечетким отношением R: (X´Y)®[0,1],
т.е. для каждой пары (x,y)ÎX´Y задано значение функции
принадлежности mR(x,y)Î[0,1].
Пусть А - некоторое нечеткое множество, заданное на Х,
т.е. определена функция принадлежности mA(x)
для всех х из Х. Тогда нечеткое множество А и нечеткое
отношение R индуцируют в Y нечеткое подмножество B с функцией
принадлежности
mB(y) = min[mA(x), m
R(x,y)] = [m A(x)L mR(x,y)].
Обозначение: B = A·R.
Пример:
Пусть X = {x1, x2,
x3}, Y = {y1, y2, y3,
y4} и заданы нечеткое отношение
XRY =
|
|
y1
|
y2
|
y3
|
y4
|
x1
|
0,8
|
1
|
0
|
0,3
|
x2
|
0,8
|
0,3
|
0,8
|
0,2
|
x3
|
0,2
|
0,3
|
0
|
0,4
|
и нечеткое множество A = {0,3/x1,0,7/x2,1/x3}.
Проведем операцию L
для А и столбца y1 :
После выполнения операции V на элементах полученного столбца
имеем:
mB(y1) = 0,3V0,7V0,2
= 0,7.
Проделав аналогичные вычисления для y2, y3,
y4 имеем:
mB(y2) = 0,3
mB(y3) = 0,7
mB(y4) =
0,4.
И окончательно:
A
|
|
R
|
|
B
|
|
·
|
0,8
|
1
|
0
|
0,3
|
0,8
|
0,3
|
0,8
|
0,2
|
0,2
|
0,3
|
0
|
0,4
|
|
=
|
|
Замечание. При заданном R, если А индуцирует
В, то ближайшее четкое подмножество А индуцирует В.
Нечеткие подмножества последовательно
обуславливающие друг друга
Если
А1 индуцирует А2
посредством R1,
А2 индуцирует А3
посредством R2,
.............................................
Аn-1 индуцирует Аn
посредством Rn-1,
то
А1 индуцирует Аn
посредством Rn-1·Rn-2· ...·R1,
где Rn-1·Rn-2·
...·R1 -
определенная выше композиция нечетких отношений R1, R2,
..., Rn.
Пример:
Вернемся к примеру (max-min)-композиции.
R1
|
·
|
R2
|
=
|
R1·R2
|
|
y1
|
y2
|
y3
|
x1
|
0,1
|
0,7
|
0,4
|
x2
|
1
|
0,5
|
0
|
|
|
z1
|
z2
|
z3
|
z4
|
y1
|
0,9
|
0
|
1
|
0,2
|
y2
|
0,3
|
0,6
|
0
|
0,9
|
y3
|
0,1
|
1
|
0
|
0,5
|
|
|
z1
|
z2
|
z3
|
z4
|
x1
|
0,3
|
0,6
|
0,1
|
0,7
|
x2
|
0,9
|
0,5
|
1
|
0,5
|
|
Пусть А={0,3/x1, 0,7/x2
}, тогда
А2
|
|
R2
|
|
А3
|
|
·
|
0,9
|
0
|
1
|
0,2
|
0,3
|
0,6
|
0
|
0,9
|
0,1
|
1
|
0
|
0,5
|
|
=
|
|
|
|
|
А1
|
|
R1·R2
|
|
А3
|
|
·
|
0,3
|
0,6
|
0,1
|
0,7
|
0,9
|
0,5
|
1
|
0,5
|
|
=
|
|
|
|
|
Немного о бинарных отношениях вида XRX
Нечеткие отношения вида XRX задаются функцией
принадлежности m R(x,y),
но с условием, что x и y - элементы одного и того же
универсального множества. В зависимости от своих свойств (основные -
симметричность, рефлексивность, транзитивность) конкретные нечеткие отношения
задают отношения сходства и различия, порядка или слабого порядка между
элементами Х. Они имеют обширную сферу приложений в задачах
автоматической классификации и принятия решений (сравнение альтернатив).
Понятие нечеткой и лингвистической переменных используется
при описании объектов и явлений с помощью нечетких множеств.
Нечеткая переменная характеризуется тройкой
<a, X, A>, где
a - наименование
переменной,
X - универсальное множество (область определения a),
A - нечеткое множество на X, описывающее ограничения (т.е. m A(x)) на значения
нечеткой переменной a.
Лингвистической переменной называется набор
<b ,T,X,G,M>, где
b - наименование
лингвистической переменной;
Т - множество ее значений (терм-множество), представляющих
собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых
является множество X. Множество T называется базовым терм-множеством
лингвистической переменной;
G - синтаксическая процедура, позволяющая оперировать
элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения).
Множество TÈ G(T), где G(T) -
множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством
лингвистической переменной;
М - семантическая процедура, позволяющая превратить каждое
новое значение лингвистической переменной, образуемое процедурой G, в нечеткую
переменную, т.е. сформировать соответствующее нечеткое множество.
Замечание. Чтобы избежать большого количества
символов
символ b используют
как для названия самой переменной, так и для всех ее значений;
пользуются одним и тем же символом для обозначения нечеткого
множества и его названия, например терм "молодой", являющийся
значением лингвистической переменной b
= "возраст", одновременно есть и нечеткое множество М ("молодой").
Присвоение нескольких значений символам предполагает, что
контекст позволяет разрешить возможные неопределенности.
Пример: Пусть эксперт определяет толщину выпускаемого
изделия с помощью понятий "малая толщина", "средняя
толщина" и "большая толщина", при этом минимальная
толщина равна 10 мм, а максимальная - 80 мм.
Формализация такого описания может быть проведена с помощью
следующей лингвистической переменной <b,
T, X, G, M>, где
b - толщина изделия;
T - {"малая толщина", "средняя
толщина", "большая толщина"};
X - [10, 80];
G - процедура образования новых термов с помощью связок
"и", "или" и модификаторов типа "очень",
"не", "слегка" и др. Например: "малая
или средняя толщина", "очень малая толщина" и др.;
М - процедура задания на X = [10, 80] нечетких подмножеств А1="малая
толщина", А2 = "средняя толщина", А3="большая
толщина", а также нечетких множеств для термов из G(T) в соответствии
с правилами трансляции нечетких связок и модификаторов "и",
"или", "не", "очень", "слегка"
и др. операции над нечеткими множествами вида: А Ç
В, АÈ В, , CON А = А2 , DIL А = А0,5
и др.
Замечание. Наряду с рассмотренными выше
базовыми значениями лингвистической переменной "толщина"
(Т={"малая толщина", "средняя толщина",
"большая толщина"}) возможны значения, зависящие от области
определения Х. В данном случае значения лингвистической переменной
"толщина изделия" могут быть определены как "около 20 мм",
"около 50 мм", "около 70 мм", т.е. в виде нечетких
чисел.
Продолжение примера:
Функции принадлежности нечетких множеств:
"малая толщина" = А1 , "средняя
толщина"= А2, " большая толщина"= А3
.
Функция принадлежности:
нечеткое множество "малая или средняя толщина"
= А1ÈА1.
Нечеткие числа - нечеткие переменные,
определенные на числовой оси, т.е. нечеткое число определяется как нечеткое
множество А на множестве действительных чисел R с функцией принадлежности mA(x)Î[0,1], где x - действительное
число, т.е. xÎR.
Нечеткое число А нормально, если mA(x)=1, выпуклое, если для
любых x£y£z выполняется
mA(x)³mA(y)LmA(z).
Множество a
- уровня нечеткого числа А определяется как
Аa
= {x/m A(x)³a}.
Подмножество SAÌR
называется носителем нечеткого числа А, если
S = {x/mA(x)>0}.
Нечеткое число А унимодально, если условие mA(x) = 1 справедливо
только для одной точки действительной оси.
Выпуклое нечеткое число А называется нечетким нулем,
если
mA(0) = (mA(x)).
Нечеткое число А положительно, если "xÎSA, x>0
и отрицательно, если "xÎSA,
x<0.
Расширенные бинарные арифметические операции (сложение,
умножение и пр.) для нечетких чисел определяются через соответствующие операции
для четких чисел с использованием принципа обобщения следующим образом.
Пусть А и В - нечеткие числа, и - нечеткая операция, соответствующая операции над обычными числами. Тогда
С = АB
ÛmC(z)=(mA(x)LmB(y))).
Отсюда:
С = ÛmC(z)=(mA(x)LmB(y))),
С = Û mC(z)=(mA(x)LmB(y))),
С = Û mC(z)=(mA(x)L
mB(y))),
С = Û mC(z)=(mA(x)LmB(y))),
С = Û mC(z)=(mA(x)LmB(y))),
С = Û mC(z)=(mA(x)LmB(y))).
Нечеткие числа (L-R)-типа - это разновидность нечетких чисел
специального вида, т.е. задаваемых по определенным правилам с целью снижения
объема вычислений при операциях над ними.
Функции принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа задаются с
помощью невозрастающих на множестве неотрицательных действительных чисел
функций действительного переменного L(x) и R(x), удовлетворяющих
свойствам:
а) L(-x)=L(x), R(-x)=R(x);
б) L(0)=R(0).
Очевидно, что к классу (L-R) функций относятся функции,
графики которых имеют следующий вид:
Примерами аналитического задания (L-R) функций могут быть
L(x) = , p³0;
R(x)= , p³
0 и т.д.
Пусть L(y) и R(y) - функции (L-R)-типа
(конкретные). Унимодальное нечеткое число А с модой а
(т.е. mA(a)=1) c
помощью L(y) и R(y) задается следующим образом:
mA(x)
=
где а - мода; a>0,
b>0 - левый и правый коэффициенты
нечеткости.
Таким образом, при заданных L(y) и R(y)
нечеткое число (унимодальное) задается тройкой А = (а, a, b).
Толерантное нечеткое число задается, соответственно,
четверкой параметров А=(а1, a2, a, b),
где а1 и a2 - границы толерантности, т.е. в
промежутке [а1,a2] значение функции
принадлежности равно 1.
Примеры графиков функций принадлежности нечетких чисел (L-R)-типа
приведены ниже.
Мы не будем здесь рассматривать операции над (L-R) числами;
отметим, что в конкретных ситуациях функции L(y), R(y), а также
параметры a, b нечетких чисел (а, a,
b) и (а1, a2,
a, b
) должны подбираться таким образом, чтобы результат операции (сложения,
вычитания, деления и т.д.) был точно или приблизительно равен нечеткому числу с
теми же L(y) и R(y), а параметры a¢
и b¢ результата не выходили за
рамки ограничений на эти параметры для исходных нечетких чисел, особенно если
результат в дальнейшем будет участвовать в операциях.
Замечание. Решение задач математического
моделирования сложных систем с применением аппарата нечетких множеств требует
выполнения большого объема операций над разного рода лингвистическими и другими
нечеткими переменными. Для удобства исполнения операций, а также для
ввода-вывода и хранения данных, желательно работать с функциями принадлежности
стандартного вида.
Нечеткие множества, которыми приходится оперировать в
большинстве задач, являются, как правило, унимодальными и нормальными. Одним из
возможных методов аппроксимации унимодальных нечетких множеств является
аппроксимация с помощью функций (L-R)-типа.
Примеры (L-R)-представлений некоторых лингвистических
переменных:
Терм ЛП
|
(L-R)-представление
|
Графическое представление
|
Средний
|
А = (а, a, b)LR
a = b>0
|
a b
|
Малый
|
А = (а, ¥,
b)LR
a = ¥
|
a = ¥ b
|
Большой
|
А = (а, a, ¥)LR
b=¥
|
a b = ¥
|
Приблизительно в диапазоне
|
А = (а1, а2, a, ¥)LR
|
a b
a1 a2
|
Определенный
|
А = (а, 0, 0)LR
a = b = 0
|
a = 0 b = 0
|
Разнообразный
зона полной неопределенности
|
А = (а, ¥,
¥)LR
a = b = ¥
|
a = b = ¥
|
Нечеткими высказываниями будем называть высказывания
следующего вида:
Высказывание <b
есть b'>, где b - наименование лингвистической переменной, b' - ее значение, которому соответствует
нечеткое множество на универсальном множестве Х.
Например высказывание <давление большое>
предполагает, что лингвистической переменной "давление"
придается значение "большое", для которого на универсальном
множестве Х переменной "давление" определено соответствующее
данному значению "большое" нечеткое множество.
Высказывание <b
есть mb'>, где m - модификатор,
которому соответствуют слова "ОЧЕНЬ", "БОЛЕЕ ИЛИ МЕНЕЕ",
"МНОГО БОЛЬШЕ" и др.
Например: <давление очень большое>, <скорость
много больше средней> и др.
Составные высказывания, образованные из высказываний видов
1. и 2. и союзов "И", "ИЛИ", "ЕСЛИ..,
ТО...", "ЕСЛИ.., ТО.., ИНАЧЕ".
Высказывания на множестве значений фиксированной
лингвистической переменной
То, что значения фиксированной лингвистической переменной
соответствуют нечетким множествам одного и того же универсального множества Х,
позволяет отождествлять модификаторы "очень" или "не"
с операциями "CON" и "дополнение", а союзы "И",
"ИЛИ" с операциями "пересечение" и "объединение"
над нечеткими множествами .
Для иллюстрации понятия лингвистической переменной мы в
качестве примера рассматривали лингвистическую переменную "толщина
изделия" с базовым терм-множеством Т = {"малая",
"средняя", "большая"}. При этом на Х = [10,
80] мы определили нечеткие множества А1, А2, А3,
соответствующие базовым значениям: "малая", "средняя",
"большая".
В этом случае высказыванию <толщина изделия очень
малая> соответствует нечеткое множество CONA = A2;
высказыванию <толщина изделия не большая или средняя> - нечеткое
множество А2È высказыванию <толщина
изделия не малая и не большая> А1Ç.
Высказывания <толщина изделия много больше средней>
или <толщина изделия близка к средней> требуют использования
нечетких отношений R ("много больше,чем") и R ("близко
к"), заданных на Х´Х. Тогда
этим высказываниям будут соответствовать нечеткие множества A·R1 и A·R2, индуцированные нечеткими отношениями R1
и R2.
Случай двух и более лингвистических переменных
Пусть <a, Ta, X, Ga, Ma>
и <b, Tb, Y, Gb,
Mb> - лингвистические
переменные, и высказываниям <a есть a'>, <b
есть b '> соответствуют нечеткие
множества А и В заданные на X и Y.
Составные нечеткие высказывания вида 3, связывающие значения
лингвистических переменных a и b, можно привести к высказываниям вида 1,
введя лингвистическую переменную (a, b), значениям которой будут соответствовать
нечеткие множества на X´Y.
Напомним, что нечеткие множества А и В, заданные на X и Y,
порождают на X´Y нечеткие
множества и , называемые цилиндрическими
продолжениями, с функциями принадлежности:
(x,y)
= mA(x) при любом y,
(x,y)
= mB(y) при любом x,
где (x,y) X´Y.
Нечеткие множества, соответствующие составным высказываниям
<a есть a' и b
есть b'> и
<a есть a' или b
есть b'>,
определяются по следующим правилам (преобразования к виду
1), справедливым при условии невзаимодействия переменных, т.е. множества X и Y
таковы, что их элементы не связаны какой-либо функциональной зависимостью.
Правило преобразования конъюнктивной формы
Справедливо выражение:
<a есть a' и b
есть b'>Þ<(a, b) есть (a'Çb')>.
Здесь Þ - знак
подстановки, a'Çb' - значение лингвистической переменной (a, b),
соответствующее исходному высказыванию <a
есть a' и b есть b'>, которому
на X´Y ставится в соответствие нечеткое
множество Ç c функцией принадлежности
(x,y)
= (x,y)L(x,y) = mA(x)LmB(y).
Правило преобразования дизъюнктивной формы
Справедливо выражение:
<a есть a' или b
есть b'>Þ<(a,b) есть (a'Èb')>, где значению (a'Èb')
лингвистической переменной (a, b) соответствует нечеткое множество È,
с функцией принадлежности
(x,y) = (x,y)V(x,y)
= mA(x)VmB(y).
Замечание 1. Правила справедливы также для
переменных вида <a, T1,
X, G1,M1> и <a,
T2, Y, G2, M2>, когда в форме значений
лингвистических переменных формализованы невзаимодействующие характеристики
одного и того же объекта. Например, для построения нечеткого множества
высказывания <ночь теплая и очень темная> нужно использовать
правило конъюнктивной формы, а для высказывания <ночь теплая или очень
темная> - правило дизъюнктивной формы.
Замечание 2. Если задана совокупность
лингвистических переменных {<ai,
Ti, Xi, Gi, Mi>},
i = 1, 2, .., n, то любое составное высказывание, полученное из
высказываний <a есть a'> с использованием модификаторов "очень",
"не", "более или менее" и др. и связок "и",
"или", можно привести к виду <a есть a'>, где a - составная лингвистическая переменная (a1,a2,..,an ), a' - ее значение, определяемое (как и функция
принадлежности) в соответствии с вышеуказанными правилами.
Правило преобразования высказываний импликативной
формы
Справедливо выражение:
<если a есть a', то b
есть b'>Þ <(a, b) есть (a'®b')>, где значению (a'®b')
лингвистической переменной (a, b) соответствует нечеткое отношение XRY на X´Y.
Функция принадлежности mR(x,y)
зависит от выбранного способа задания нечеткой импликации.
Будем считать, что заданы универсальные множества X и Y,
содержащие конечное число элементов. Под способом определения нечеткой
импликации "если А, то В" (где А и В нечеткие множества
на X и Y соответственно) будем понимать способ задания нечеткого отношения R на
X´Y, соответствующего данному
высказыванию.
С целью обоснованного выбора определения нечеткой
импликации, японскими математиками Мидзумото, Танака и Фуками было проведено
исследование всех известных по литературе определений (плюс предложенные
авторами). Рассмотренные определения задавали следующие нечеткие отношения для
высказывания "если А, то В":
Rm = (A´B)È(´Y)
mRm(x,y) = (mA(x)L mB(y)) V (1 - mA(x));
Ra = (´Y)Å(X´B)
mRa(x,y) = 1 L (1-mA(x) + mB(y));
Rc = A´B
mRc(x,y) = mA(x)L mB(y);
Rs = A´YX´B
mRs(x,y) = ;
Rg = A´YX´B
mRg(x,y) = ;
Rsg = ( A´YX´B ) Ç ( )
;
Rgg = ( A´YX´B) Ç ()
;
Rgs = ( A´YX´B) Ç ()
;
Rss = ( A´YX´B) Ç ()
;
Rb = (´Y)È(X´B)
mRb(x,y) = (1-mA(x)) Ú mB(y);
Rà = A´YX´B
;
R· = A´YX´B
R* = A´YX´B
mR*(x,y) = 1 - mA(x)+ mA(x)× mB(y);
R# = A´YX´B
mR#(x,y)=( mA(x)Ù mB(y))Ú ((1 - mA(x)) Ù(1 - mB(y)) Ú(mB(y) Ù(1 - mA (x));
RÑ = A´YX´B
Правилом вывода являлось композиционное правило вывода с
использованием (max-min)-композиции.
В качестве значений на входе системы рассматривались:
A' = A;
A' = "очень А"= А2 , mA0,5(x) = mA(x)2 ;
A' = "более или менее А" = А0,5 mA0,5(x)= mA(x)0,5;
A' = mA(x)0,5, (x) = 1 - mA (x).
Приведем таблицу итогов исследования. В ней символ
"0" означает выполнение соответствующей схемы вход-выход, символ
"x" - невыполнение. Следствие "неизвестно" (Н)
соответствует утверждению: "если x=A, то нельзя получить никакой
информации об y".
В данной таблице первая графа -"Посылка", вторая
-"Следствие".
1
|
2
|
Rm
|
Ra
|
Rc
|
Rs
|
Rg
|
Rsg
|
Rgg
|
Rgs
|
Rss
|
Rb
|
Rà
|
R·
|
R*
|
R#
|
RÑ
|
A
|
B
|
x
|
x
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
A2
|
B2
|
x
|
x
|
x
|
0
|
x
|
0
|
x
|
x
|
0
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
A2
|
B
|
x
|
x
|
0
|
x
|
0
|
x
|
0
|
0
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
A0,5
|
B0,5
|
x
|
x
|
x
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
A0,5
|
B
|
x
|
x
|
0
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
|
Н
|
0
|
0
|
x
|
0
|
0
|
x
|
x
|
x
|
x
|
0
|
0
|
0
|
0
|
x
|
x
|
A
|
B
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
0
|
0
|
0
|
0
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
x
|
Кроме ответа о выполнении соответствующей схемы (0 или
х),авторами исследованы явные выражения для функций принадлежности следствий по
каждому из вариантов определения нечеткой импликации, на основе чего ими был
сформулирован вывод:
- Rm и Ra не могут быть использованы;
- Rc может использоваться частично; - Rs
, Rg , Rsg , Rgg , Rgs , Rss
рекомендованы к использованию;
- Rb , Rà,
R·, R* , R# , RÑ не рекомендованы к использованию.
Логико-лингвистические методы описания систем основаны на
том, что поведение исследуемой системы описывается на естественном (или близком
к естественному) языке в терминах лингвистических переменных.
Входные и выходные параметры системы рассматриваются как
лингвистические переменные, а качественное описание процесса задается
совокупностью высказываний следующего вида:
L1 : если <A1 > то <B1
>,
L2 : если <A2 > то <B2
>,
....................
Lk : если <Ak > то
<Bk >,
где <Ai>, i=1,2,..,k -
составные нечеткие высказывания, определенные на значениях входных
лингвистических переменных, а <Bi>, i = 1,2,..,k
- высказывания, определенные на значениях выходных лингвистических переменных.
С помощью правил преобразования дизъюнктивной и
конъюнктивной формы описание системы можно привести к виду:
L1 : если <A1 > то <B1
>,
L2 : если <A2 > то <B2
>,
....................
Lk : если <Ak > то
<Bk >,
где A1,A2,..,Ak -
нечеткие множества, заданные на декартовом произведении X универсальных
множеств входных лингвистических переменных, а B1, B2,
.., Bk - нечеткие множества, заданные на декартовом
произведении Y универсальных множеств выходных лингвистических переменных.
Совокупность импликаций {L1, L2, ...,
Lk} отражает функциональную взаимосвязь входных и выходных переменных
и является основой построения нечеткого отношения XRY, заданного на
произведении X´Y универсальных
множеств входных и выходных переменных. Если на множестве X задано нечеткое
множество A, то композиционное правило вывода B = A·R определяет на Y нечеткое множество B с функцией
принадлежности
mB(y)
=(mA(x) LmR(x,y))
Таким образом, композиционное правило вывода в этом случае
задает закон функционирования нечеткой модели системы.
Рассмотрим широко цитируемый пример решения задачи нечеткого
логического управления: построение модели управления паровым котлом.
Прототипом модели послужил паровой двигатель (лабораторный)
с двумя входами (подача тепла, открытие дросселя) и двумя выходами (давление в
котле, скорость двигателя).
Цель управления: поддержание заданного давления в
котле (зависит от подачи тепла) и заданной скорости двигателя (зависит от
открытия дросселя). В соответствии с этим, схема системы управления двигателем
выглядит следующим образом:
Рассмотрим одну часть задачи - управление давлением.
Входные лингвистические переменные:
РЕ - отклонение давления (разность между текущим и заданным
значениями);
СРЕ - скорость изменения отклонения давления.
Выходная лингвистическая переменная:
НС - изменение количества тепла.
Значения лингвистических переменных:
NB - отрицательное большое;
NM- отрицательное среднее;
NS- отрицательное малое;
NO- отрицательное близкое к нулю;
ZO- близкое к нулю;
PO - положительное близкое к нулю;
PS - положительное малое;
PM - положительное среднее;
PB - положительное большое.
Управляющие правила (15 правил), связывающие лингвистические
значения входных и выходных переменных, имеют вид: "Если отклонение
давления = Аi и, если скорость отклонения давления = Вi ,
то изменение количества подаваемого тепла равно Сi", где Аi,
Вi ,Сi - перечисленные выше лингвистические значения.
Полный набор правил задавался таблицей:
╬
|
Отклонение
давления РЕ
|
Скорость изменения
отклонения давления СРЕ
|
Изменение количества
подаваемого тепла НС
|
1
|
NB
|
NB или NM
|
PB
|
2
|
NB или NM
|
NS
|
PM
|
3
|
NS
|
PS или NO
|
PM
|
4
|
NO
|
PB или PM
|
PM
|
5
|
NO
|
NB или NM
|
NM
|
6
|
PO или ZO
|
NO
|
NO
|
7
|
PO
|
NB или NM
|
PM
|
8
|
PO
|
PB или PM
|
NM
|
9
|
PS
|
PS или NO
|
NM
|
10
|
PB или PM
|
NS
|
NM
|
11
|
PB
|
NB или NM
|
NB
|
12
|
NO
|
PS
|
PS
|
13
|
NO
|
NS
|
NS
|
14
|
PO
|
PS
|
PS
|
15
|
PO
|
PS
|
NS
|
Лингвистические значения отклонений задавались нечеткими
подмножествами на шкалах X, Y, Z следующей таблицей:
|
-6
|
-5
|
-4
|
-3
|
-2
|
-1
|
0
|
+1
|
+2
|
+3
|
+4
|
+5
|
+6
|
PB
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3
|
0,7
|
1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3
|
0,7
|
1
|
0,7
|
0,3
|
PS
|
|
|
|
|
|
|
0,3
|
0,7
|
1
|
0,7
|
0,3
|
|
|
PO
|
|
|
|
|
|
0,3
|
1
|
0,7
|
0,3
|
|
|
|
|
NO
|
|
|
|
|
0,3
|
0,7
|
1
|
0,3
|
|
|
|
|
|
NS
|
|
|
0,3
|
0,7
|
1
|
0,7
|
0,3
|
|
|
|
|
|
|
NM
|
0,3
|
0,7
|
1
|
0,7
|
0,3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NB
|
1
|
0,7
|
0,3
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
То есть области значений входных переменных PE, CPE и
выходной переменной НС представлялись 13 точками [-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6], равномерно расположенными между максимальными отрицательными и
положительными значениями этих переменных.
Приведем управляющие правила к виду: "если (Аi´ Вi ), то Сi",
где (Аi´Вi)
декартово произведение нечетких множеств А и В , заданных на шкалах X и Y с
функцией принадлежности
(x,y)= mAi(x)LmBi(y),
определенной на X´Y.
Для каждого из правил вида "если (Аi´Вi ), то Сi",
где (Аi´Вi)-
входное нечеткое множество, а Сi - соответствующее нечеткое значение
выхода, определялось нечеткое отношение
Ri=(Аi´Вi)´Сi, i
= 1, 2, ..., 15
с функцией принадлежности
mRi((x,y),z)=
(mAi(x)LmBi(y))LmCi(z).
Совокупности всех правил соответствовало нечеткое отношение
R = Ri
с функцией принадлежности
mR(x,y,z) = mRi((x,y),z).
При заданных значениях А¢,
В¢ входных переменных регулирующее
значение С¢ входной переменной определялось
на основе композиционного правила вывода:
С¢ = (А¢´В¢)R,
где -
(max-min)-композиция.
Функция принадлежности С¢
имеет вид:
mC¢(z) = (mA¢(x) L mB¢ (y)) L mR(x,y,z).
Числовое значение z0 (изменение
подаваемого тепла) определяется при этом либо из условия mC¢(z0)
= mC¢ (z),
либо по формуле
z0 = ,
где N - количество точек в Z (в данном случае N=13).
Задача управления скоростью двигателя решалась аналогично.
Результаты практического использования показали, что разработанная нечеткая
модель управления сравнима с классическими моделями оптимального управления.
Появление первых работ по построению моделей нечеткого
логического управления для конкретных систем определило ряд общих вопросов,
касающихся логических основ моделей, в их числе:
о полноте и непротиворечивости совокупности правил
управления;
об адекватности представления правил управления вида "если
А, то В" нечеткими отношениями, определяемыми разными способами;
о правильности способа вывода, основанного на
(max-min)-композиции и возможности использования других видов операции
композиции.
Наиболее часто требование полноты для системы "если
Аi, то Вi", i=1,2,..,n, сводится к
X = Supp Ai,
где Supp Ai - носитель нечеткого множества
Ai. Содержательно это означает, что для каждого текущего
состояния х процесса существует хотя бы одно управляющее правило,
посылка которого имеет ненулевую степень принадлежности для х.
Непротиворечивость системы управляющих правил чаще
всего трактуется как отсутствие правил, имеющих сходные посылки и различные или
взаимоисключающие следствия.
Степень непротиворечивости i-го и k-го правил
можно задавать величиной
Cik = | (mAi(x)L mAk(x))
- (mBi(y)L mBk
(y))|.
Суммируя по k, получаем оценку непротиворечивости i-го
правила в системе:
Ci = Cik,
1<i<N, k¹i.
Если эта оценка превосходит некоторое пороговое значение, то
правило из системы удаляется. В частности, для рассматриваемой выше модели
управляющей системы парового котла, оценки степеней непротиворечивости равны:
╬ правила
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
13
|
14
|
15
|
Ci
|
2,4
|
3,4
|
4,2
|
3,8
|
4,2
|
1,8
|
4,5
|
3,5
|
4,0
|
3,9
|
1,7
|
3,3
|
4,1
|
3,7
|
3,3
|
Таким образом, при пороговом значении g=3 в модели остается
всего три правила 1, 6 и 11.
Заде Л.А. Понятие лингвистической переменной и его
применение к принятию приближенных решений. М.:Мир, 1976.
Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. М.:
Радио и связь, 1982.
Нечеткие множества в моделях управления и искусственного
интеллекта /Под ред. Д.А. Поспелова. М., 1986.
Прикладные нечеткие системы /Под ред. Тэтано Т.,
Асаи К., Сугэно М: Мир, 1993.
Нечеткие множества и теория возможностей. Последние
достижения / Под ред. Р.Ягера М.: Радио и связь, 1986.
Орловский С.А. Проблемы принятия решений при нечеткой
исходной информации. М.: Наука, 1981.
Борисов А.Н., Крумберг О.А., Федоров И.П. Принятие
решений на основе нечетких моделей. Примеры использования. Рига:/
"Зинатне", 1990.
Малышев Н.Г., Берштейн Л.С., Боженюк А.В. Нечеткие модели
для экспертных систем в САПР. М.: Энергоатомиздат, 1991.
Мелихов А.Н., Бернштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуационные
советующие системы с нечеткой логикой. М.: Наука, 1990.
Р.Беллман, Л.Заде. Вопросы принятия решений в
расплывчатых условиях // Вопросы анализа и процедуры принятия решений. /
М.: Мир,1976.