Методы оптимизации
Министерство
образования и науки Российской Федерации
Федеральное
государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
«Владимирский
государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая
Григорьевича Столетовых»
«Управление
и информатика в технических и экономических системах»
КУРСОВАЯ
РАБОТА
«Методы
оптимизации»
Вариант №4
Владимир,
2014
Содержание
1. Задача о кратчайших путях в
графе
. Задача о критическом пути в
графе
. Задача о максимальном
патоке в графе
. Задача об оптимальном
распределении заданного потока в транспортной сети
. Задача линейного
программирования, решаемая графическим методом
. Решение задачи ЛП
симплекс-методом
. Несбалансированная
транспортная задача
. Численные методы решения
одномерных задач статической оптимизации
. Задача о кратчайших путях в графе
|
X1
|
X2
|
X3
|
X4
|
X5
|
X6
|
X7
|
X8
|
X9
|
X10
|
|
X1
|
|
13
|
13
|
4
|
24
|
|
|
|
|
|
|
X2
|
|
|
4
|
|
|
|
|
|
28
|
|
|
X3
|
|
|
|
19
|
|
|
|
|
4
|
|
|
X4
|
|
|
|
|
21
|
9
|
|
15
|
|
|
|
X5
|
|
|
|
|
|
|
1
|
|
|
|
|
X6
|
|
|
|
|
|
|
21
|
21
|
5
|
15
|
|
X7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
|
|
X8
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
|
14
|
|
X9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
|
|
X10
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Исход:
X1
) Строим график
)Запишем шаги
1->X4
l=4
X1->X2
l=13
X1->X3
l=13
X4
X1->X6
l=13
X3
X1->X9
l=17
X4
X1->X8
l=19
X1->X5
l=24
X7
X1->X7
l=25,X6->X10
l=28
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
|
1
|
0
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
|
2
|
0
|
13
|
13
|
4
|
24
|
-
|
-
|
-
|
-
|
-
|
|
3
|
0
|
13
|
13
|
4
|
24
|
13
|
-
|
19
|
-
|
-
|
|
4
|
0
|
13
|
13
|
4
|
24
|
13
|
-
|
19
|
12
|
-
|
|
5
|
0
|
13
|
13
|
4
|
24
|
13
|
-
|
19
|
17
|
-
|
|
6
|
0
|
13
|
13
|
4
|
24
|
13
|
34
|
19
|
17
|
-
|
|
7
|
0
|
13
|
13
|
4
|
24
|
13
|
34
|
19
|
17
|
45
|
|
8
|
0
|
13
|
13
|
4
|
24
|
13
|
34
|
19
|
17
|
33
|
|
9
|
0
|
13
|
13
|
4
|
24
|
13
|
25
|
19
|
17
|
33
|
|
10
|
0
|
13
|
13
|
4
|
24
|
13
|
25
|
19
|
17
|
33
|
2. Задача о критическом пути в графе
Ответ: C1
-> C2 -> C3
-> C9 -> C8
-> C10 -> C12
-> C13 = 61
. Задача о максимальном патоке в графе
)Строим рисунок.
) S=X1
(исход) B=X6
(сход)
S = (7+9) = 16= (7+1+8) = 16
Ответ: 16.
4. Задача об оптимальном распределении
заданного потока в транспортной сети
1) Строим граф
=0,8
) Находим
P0 =16*0,8=12,8
)Решаем.
.1)
= (X1,X3,X6)=9
= (7,7) = 7= 9*7 = 7= 7= 12,8 - 7 =
5,8.
.2)
= (X1,X2,X4,X6) = 16.
= (9,8,13) = 8= 16*7 = 112= 5,8= 5,8
- 5,8 = 0
) Строим
новый
граф
) Расписываем шаги
1,3 = 7 P1,2
= 5,8
P3,6 = 7 P2,4
= 5,8
P4,6 = 5,8
5. Задача линейного программирования,
решаемая графическим методом
Необходимо найти минимальное значение целевой
функции F = -x1+2x2
→ min, при
системе ограничений:
|
x1-x2≤3
|
(1)
|
|
2x1-3x2≥0
|
(2)
|
|
2x1-x2=4
|
(3)
|
Построим область допустимых решений, т.е. решим
графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим
полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).
Или
Границы области допустимых решений
Пересечением полуплоскостей будет являться
область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы
ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника
решений.
Рассмотрим целевую функцию задачи F
= -x1+2x2
→ min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F
= 0: F = -x1+2x2
= 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает
направление минимизации F(X).
Начало вектора - точка (0; 0), конец - точка (-1; 2). Будем двигать эту прямую
параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому
двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На
графике эта прямая обозначена пунктирной линией.
Область допустимых решений представляет собой
многоугольник
Прямая F(x)
= const пересекает область
в точке A. Так как точка A
получена в результате пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты
удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x1-x2=3
x1-x2=4
Решив систему уравнений, получим: x1
= 1, x2 = -2
Откуда найдем минимальное значение целевой
функции:
F(X)
= -1*1 + 2*(-2) = -5
|
x1
|
x2
|
|
B
|
|
|
3
|
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x)
|
-1
|
-2
|
0
|
=>
|
-7
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
1
|
-2
|
<=
|
3
|
-1
|
|
2
|
2
|
-3
|
>=
|
0
|
0
|
|
3
|
2
|
-1
|
=
|
4
|
4
|
поток распределение транспортный
оптимизация
6. Решение задачи ЛП симплекс-методом
Решим прямую задачу линейного программирования
симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Определим максимальное значение целевой функции F(X)
= - x1 + x2
- 2x3 + 3x4
+ x5 при следующих
условиях-ограничений.
x1 + 2x2
- x3 - 2x4
+ x5≤3
x1 - x2
+ x3 + 2x4
+ x5≤1
x1 + x2
+ x3 - x4≤1
Для построения первого опорного плана систему
неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных
переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим
базисную переменную x6. В 2-м
неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x7.
В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x8.
x1 + 2x2-1x3-2x4
+ 1x5 + 1x6
+ 0x7 + 0x8
= 3
x1-1x2
+ 1x3 + 2x4
+ 1x5 + 0x6
+ 1x7 + 0x8
= 1
x1 + 1x2
+ 1x3-1x4
+ 0x5 + 0x6
+ 0x7 + 1x8
= 1
Матрица коэффициентов A
= a(ij)
этой системы уравнений имеет вид:
|
1
|
2
|
-1
|
-2
|
1
|
1
|
0
|
0
|
|
-1
|
-1
|
1
|
2
|
1
|
0
|
1
|
0
|
|
2
|
1
|
1
|
-1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
Базисные переменные это переменные, которые
входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным
коэффициентом.
Экономический смысл дополнительных переменных:
дополнительные перемены задачи ЛП обозначают излишки сырья, времени, других
ресурсов, остающихся в производстве данного оптимального плана.
Решим систему уравнений относительно базисных
переменных: x6, x7,
x8
Полагая, что свободные переменные равны 0,
получим первый опорный план:
X1 =
(0,0,0,0,0,3,1,1)
Базисное решение называется допустимым, если оно
неотрицательно.
|
Базис
|
B
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
x7
|
x8
|
|
x6
|
3
|
1
|
2
|
-1
|
-2
|
1
|
1
|
0
|
0
|
|
x7
|
1
|
-1
|
-1
|
1
|
2
|
1
|
0
|
1
|
0
|
|
x8
|
2
|
1
|
1
|
-1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
|
F(X0)
|
0
|
1
|
-1
|
2
|
-3
|
-1
|
0
|
0
|
0
|
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в
индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец,
соответствующий переменной x4,
так как это наибольший коэффициент по модулю.
. Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения Di
по строкам как частное от деления: bi
/ ai4
и из них выберем наименьшее:
min (- , 1 : 2
, - ) = ½
Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (2) и находится на
пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
|
Базис
|
B
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
x7
|
x8
|
min
|
|
x6
|
3
|
1
|
2
|
-1
|
-2
|
1
|
1
|
0
|
0
|
-
|
|
x7
|
1
|
-1
|
-1
|
1
|
2
|
1
|
0
|
1
|
0
|
1/2
|
|
x8
|
1
|
2
|
1
|
1
|
-1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
-
|
|
F(X1)
|
0
|
1
|
-1
|
2
|
-3
|
-1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы.
Вместо переменной x7
в план 1 войдет переменная x4.
Строка, соответствующая переменной x4
в плане 1, получена в результате деления всех элементов строки x7
плана 0 на разрешающий элемент РЭ=2
На месте разрешающего элемента в плане 1
получаем 1.
В остальных клетках столбца x4
плана 1 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 1 заполнены строка x4
и столбец x4.
Все остальные элементы нового плана 1, включая
элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Для этого выбираем из старого плана четыре
числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают
разрешающий элемент РЭ.
НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ
СТЭ - элемент старого плана, РЭ - разрешающий
элемент (2), А и В - элементы старого плана, образующие прямоугольник с
элементами СТЭ и РЭ.
Представим расчет каждого элемента в виде
таблицы:
|
B
|
x 1
|
x 2
|
x 3
|
x 4
|
x 5
|
x 6
|
x 7
|
x 8
|
|
3-(1 • -2):2
|
1-(-1 • -2):2
|
2-(-1 • -2):2
|
-1-(1 • -2):2
|
-2-(2 • -2):2
|
1-(1 • -2):2
|
1-(0 • -2):2
|
0-(1 • -2):2
|
0-(0 • -2):2
|
|
1 : 2
|
-1 : 2
|
-1 : 2
|
1 : 2
|
2 : 2
|
1 : 2
|
0 : 2
|
1 : 2
|
0 : 2
|
|
1-(1 • -1):2
|
2-(-1 • -1):2
|
1-(-1 • -1):2
|
1-(1 • -1):2
|
-1-(2 • -1):2
|
0-(1 • -1):2
|
0-(0 • -1):2
|
0-(1 • -1):2
|
1-(0 • -1):2
|
|
0-(1 • -3):2
|
1-(-1 • -3):2
|
-1-(-1 • -3):2
|
2-(1 • -3):2
|
-3-(2 • -3):2
|
-1-(1 • -3):2
|
0-(0 • -3):2
|
0-(1 • -3):2
|
0-(0 • -3):2
|
Получаем новую симплекс-таблицу:
|
Базис
|
B
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
x7
|
x8
|
|
x6
|
4
|
0
|
1
|
0
|
0
|
2
|
1
|
1
|
0
|
|
x4
|
1/2
|
-1/2
|
-1/2
|
1/2
|
1
|
1/2
|
0
|
1/2
|
0
|
|
x8
|
3/2
|
3/2
|
1/2
|
3/2
|
0
|
1/2
|
0
|
1/2
|
1
|
|
F(X1)
|
3/2
|
-1/2
|
-5/2
|
7/2
|
0
|
1/2
|
0
|
3/2
|
0
|
Итерация №1.
. Проверка критерия оптимальности.
Текущий опорный план неоптимален, так как в
индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
. Определение новой базисной переменной.
В качестве ведущего выберем столбец,
соответствующий переменной x2,
так как это наибольший коэффициент по модулю.
. Определение новой свободной переменной.
Вычислим значения Di
по строкам как частное от деления: bi
/ ai2
и из них выберем наименьшее:
min (4 : 1 , -
, 11/2 : 1/2 ) = 3
Следовательно, 3-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (1/2) и находится на
пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
|
Базис
|
B
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
x7
|
x8
|
min
|
|
x6
|
4
|
0
|
1
|
0
|
0
|
2
|
1
|
1
|
0
|
4
|
|
x4
|
1/2
|
-1/2
|
-1/2
|
1/2
|
1
|
1/2
|
0
|
1/2
|
0
|
-
|
|
x8
|
11/2
|
11/2
|
1/2
|
11/2
|
0
|
1/2
|
0
|
1/2
|
1
|
3
|
|
F(X2)
|
11/2
|
-1/2
|
-21/2
|
31/2
|
0
|
1/2
|
0
|
11/2
|
0
|
0
|
. Пересчет симплекс-таблицы.
Формируем следующую часть симплексной таблицы.
Вместо переменной x8
в план 2 войдет переменная x2.
Строка, соответствующая переменной x2
в плане 2, получена в результате деления всех элементов строки x8
плана 1 на разрешающий элемент РЭ=1/2
На месте разрешающего элемента в плане 2
получаем 1.
В остальных клетках столбца x2
плана 2 записываем нули.
Таким образом, в новом плане 2 заполнены строка x2
и столбец x2.
Все остальные элементы нового плана 2, включая
элементы индексной строки, определяются по правилу прямоугольника.
Представим расчет каждого элемента в виде
таблицы:
|
B
|
x 1
|
x 2
|
x 3
|
x 4
|
x 5
|
x 6
|
x 7
|
x 8
|
|
4-(11/2 • 1):1/2
|
0-(11/2 • 1):1/2
|
1-(1/2 • 1):1/2
|
0-(11/2 • 1):1/2
|
0-(0 • 1):1/2
|
2-(1/2 • 1):1/2
|
1-(0 • 1):1/2
|
1-(1/2 • 1):1/2
|
0-(1 • 1):1/2
|
|
1/2-(11/2 • -1/2):1/2
|
-1/2-(11/2 • -1/2):1/2
|
-1/2-(1/2 • -1/2):1/2
|
1/2-(11/2 • -1/2):1/2
|
1-(0 • -1/2):1/2
|
1/2-(1/2 • -1/2):1/2
|
0-(0 • -1/2):1/2
|
1/2-(1/2 • -1/2):1/2
|
0-(1 • -1/2):1/2
|
|
11/2 : 1/2
|
11/2 : 1/2
|
1/2 : 1/2
|
11/2 : 1/2
|
0 : 1/2
|
1/2 : 1/2
|
0 : 1/2
|
1/2 : 1/2
|
1 : 1/2
|
|
11/2-(11/2 • -21/2):1/2
|
-1/2-(11/2 • -21/2):1/2
|
-21/2-(1/2 • -21/2):1/2
|
31/2-(11/2 • -21/2):1/2
|
0-(0 • -21/2):1/2
|
1/2-(1/2 • -21/2):1/2
|
0-(0 • -21/2):1/2
|
11/2-(1/2 • -21/2):1/2
|
0-(1 • -21/2):1/2
|
Получаем новую симплекс-таблицу:
|
Базис
|
B
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
x7
|
x8
|
|
x6
|
1
|
-3
|
0
|
-3
|
0
|
1
|
1
|
0
|
-2
|
|
x4
|
2
|
1
|
0
|
2
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
|
x2
|
3
|
3
|
1
|
3
|
0
|
0
|
1
|
2
|
|
F(X2)
|
9
|
7
|
0
|
11
|
0
|
3
|
0
|
4
|
5
|
. Проверка критерия оптимальности.
Среди значений индексной строки нет отрицательных.
Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
|
Базис
|
B
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
x6
|
x7
|
x8
|
|
x6
|
1
|
-3
|
0
|
-3
|
0
|
1
|
1
|
0
|
-2
|
|
x4
|
2
|
1
|
0
|
2
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
|
x2
|
3
|
3
|
1
|
3
|
0
|
1
|
0
|
1
|
2
|
|
F(X3)
|
9
|
7
|
0
|
11
|
0
|
3
|
0
|
4
|
5
|
Оптимальный план можно записать так:
x4 = 2
x2 = 3
F(X)
= 3•2 + 1•3 = 9
|
x1
|
x2
|
x3
|
x4
|
x5
|
|
B
|
|
|
0
|
3
|
0
|
2
|
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x)
|
-1
|
1
|
-2
|
3
|
1
|
0
|
=>
|
9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
1
|
2
|
-1
|
-2
|
1
|
<=
|
3
|
2
|
|
2
|
-1
|
-1
|
1
|
2
|
1
|
<=
|
1
|
1
|
|
3
|
2
|
1
|
1
|
-1
|
0
|
<=
|
1
|
1
|
7. Несбалансированная транспортная задача
Стоимость доставки единицы груза из каждого
пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов
|
1
|
2
|
3
|
4
|
Запасы
|
|
1
|
3
|
8
|
4
|
5
|
60
|
|
2
|
7
|
3
|
8
|
4
|
52
|
|
3
|
8
|
4
|
2
|
6
|
52
|
|
Потребности
|
27
|
40
|
43
|
41
|
|
Проверим необходимое и достаточное условие
разрешимости задачи.
∑a
= 60 + 52 + 52 = 164
∑b
= 27 + 40 + 43 + 41 = 151
Как видно, суммарная потребность груза в пунктах
назначения превышает запасы груза на базах. Следовательно, модель исходной
транспортной задачи является открытой. Чтобы получить закрытую модель, введем
дополнительную (фиктивную) базу с запасом груза, равным 13 (164-151). Тарифы
перевозки единицы груза из базы во все магазины полагаем равны нулю.
Занесем исходные данные в распределительную
таблицу.
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
Запасы
|
|
1
|
3
|
8
|
4
|
5
|
0
|
60
|
|
2
|
7
|
3
|
8
|
4
|
0
|
52
|
|
3
|
8
|
4
|
2
|
6
|
0
|
52
|
|
Потребности
|
27
|
40
|
43
|
41
|
13
|
|
Этап I.
Поиск первого опорного плана.
. Используя метод северо-западного угла,
построим первый опорный план транспортной задачи.
План начинается заполняться с верхнего левого
угла.
Искомый элемент равен 3
Для этого элемента запасы равны 60, потребности
27. Поскольку минимальным является 27, то вычитаем его.11 = min(60,27)
= 27.
|
3
|
8
|
4
|
5
|
0
|
60 - 27 = 33
|
|
x
|
3
|
8
|
4
|
0
|
52
|
|
x
|
4
|
2
|
6
|
0
|
52
|
|
27 - 27 = 0
|
40
|
43
|
41
|
13
|
0
|
Искомый элемент равен 8
Для этого элемента запасы равны 33, потребности
40. Поскольку минимальным является 33, то вычитаем его.
12 = min(33,40)
= 33.
|
3
|
8
|
x
|
x
|
x
|
33 - 33 = 0
|
|
x
|
3
|
8
|
4
|
0
|
52
|
|
x
|
4
|
2
|
6
|
0
|
52
|
|
0
|
40 - 33 = 7
|
43
|
41
|
13
|
0
|
Искомый элемент равен 3
Для этого элемента запасы равны 52, потребности
7. Поскольку минимальным является 7, то вычитаем его.
22 = min(52,7)
= 7.
|
3
|
8
|
x
|
x
|
x
|
0
|
|
x
|
3
|
8
|
4
|
0
|
52 - 7 = 45
|
|
x
|
x
|
2
|
6
|
0
|
52
|
|
0
|
7 - 7 = 0
|
43
|
41
|
13
|
0
|
Искомый элемент равен 8
Для этого элемента запасы равны 45, потребности
43. Поскольку минимальным является 43, то вычитаем его.
x23 = min(45,43)
= 43.
|
3
|
8
|
x
|
x
|
x
|
0
|
|
x
|
3
|
8
|
4
|
0
|
45 - 43 = 2
|
|
x
|
x
|
x
|
6
|
0
|
52
|
|
0
|
0
|
43 - 43 = 0
|
41
|
13
|
0
|
Искомый элемент равен 4
Для этого элемента запасы равны 2, потребности
41. Поскольку минимальным является 2, то вычитаем его.
x24 = min(2,41)
= 2.
|
3
|
8
|
x
|
x
|
x
|
0
|
|
x
|
3
|
8
|
4
|
x
|
2 - 2 = 0
|
|
x
|
x
|
x
|
6
|
0
|
52
|
|
0
|
0
|
0
|
41 - 2 = 39
|
13
|
0
|
Искомый элемент равен 6
Для этого элемента запасы равны 52, потребности
39. Поскольку минимальным является 39, то вычитаем его.
34 = min(52,39)
= 39.
|
3
|
8
|
x
|
x
|
x
|
0
|
|
x
|
3
|
8
|
4
|
x
|
0
|
|
x
|
x
|
x
|
6
|
0
|
52 - 39 = 13
|
|
0
|
0
|
0
|
39 - 39 = 0
|
13
|
0
|
Искомый элемент равен 0
x35 = min(13,13)
= 13.
|
3
|
8
|
x
|
x
|
x
|
0
|
|
x
|
3
|
8
|
4
|
x
|
0
|
|
x
|
x
|
x
|
6
|
0
|
13 - 13 = 0
|
|
0
|
0
|
0
|
0
|
13 - 13 = 0
|
0
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
Запасы
|
|
1
|
3[27]
|
8[33]
|
4
|
5
|
0
|
60
|
|
2
|
7
|
3[7]
|
8[43]
|
4[2]
|
0
|
52
|
|
3
|
8
|
4
|
2
|
6[39]
|
0[13]
|
52
|
|
Потребности
|
27
|
40
|
43
|
41
|
13
|
|
В результате получен первый опорный план,
который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность
магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной
задачи.
. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7,
а должно быть m + n
- 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным.
Значение целевой функции для этого опорного
плана равно:
F(x)
= 3*27 + 8*33 + 3*7 + 8*43 + 4*2 + 6*39 + 0*13 = 952
Этап II.
Улучшение опорного плана.
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем
предварительные потенциалы ui,
vj. по занятым
клеткам таблицы, в которых ui
+ vj = cij,
полагая, что u1 = 0.
u1 + v1 = 3; 0 + v1 = 3; v1 = 3+ v2
= 8; 0 + v2 = 8; v2 = 8+ v2 = 3; 8 + u2 = 3; u2 = -5+ v3 = 8; -5 + v3 = 8; v3 =
13+ v4 = 4; -5 + v4 = 4; v4 = 9+ v4 = 6; 9 + u3 = 6; u3 = -3+ v5 = 0; -3 + v5 =
0; v5 = 3
|
v1=3
|
v2=8
|
v3=13
|
v4=9
|
v5=3
|
|
u1=0
|
3[27]
|
8[33]
|
4
|
5
|
0
|
|
u2=-5
|
7
|
3[7]
|
8[43]
|
4[2]
|
0
|
|
u3=-3
|
8
|
4
|
2
|
6[39]
|
0[13]
|
Опорный план не является оптимальным, так как
существуют оценки свободных клеток, для которых ui
+ vj > cij
(1;3): 0 + 13 > 4; ∆13 = 0 + 13 - 4 = 9
(1;4): 0 + 9 > 5; ∆14 = 0 + 9 - 5 = 4
(1;5): 0 + 3 > 0; ∆15 = 0 + 3 - 0 = 3
(3;2): -3 + 8 > 4; ∆32 = -3 + 8 - 4 = 1
(3;3): -3 + 13 > 2; ∆33 = -3 + 13 - 2 =
8
max(9,4,3,1,8)
= 9
Выбираем максимальную оценку свободной клетки
(1;3): 4
Для этого в перспективную клетку (1;3) поставим
знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+»,
«-».
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
Запасы
|
|
1
|
3[27]
|
8[33][-]
|
4[+]
|
5
|
0
|
60
|
|
2
|
7
|
3[7][+]
|
8[43][-]
|
4[2]
|
0
|
52
|
|
3
|
8
|
4
|
2
|
6[39]
|
0[13]
|
52
|
|
Потребности
|
27
|
40
|
43
|
41
|
13
|
|
Цикл приведен в таблице (1,3 → 1,2 →
2,2 → 2,3).
Из грузов хij
стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min
(1, 2) = 33. Прибавляем 33 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и
вычитаем 33 из Хij,
стоящих в минусовых клетках. В результате
получим новый опорный план.
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
Запасы
|
|
1
|
3[27]
|
8
|
4[33]
|
5
|
0
|
60
|
|
2
|
7
|
3[40]
|
8[10]
|
4[2]
|
0
|
52
|
|
3
|
8
|
4
|
2
|
6[39]
|
0[13]
|
52
|
|
Потребности
|
27
|
40
|
43
|
41
|
13
|
|
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем
предварительные потенциалы ui,
vj. по занятым
клеткам таблицы, в которых ui
+ vj = cij,
полагая, что u1 = 0.
u1 + v1 = 3; 0 + v1 = 3; v1 = 3+ v3
= 4; 0 + v3 = 4; v3 = 4+ v3 = 8; 4 + u2 = 8; u2 = 4+ v2 = 3; 4 + v2 = 3; v2 =
-1+ v4 = 4; 4 + v4 = 4; v4 = 0+ v4 = 6; 0 + u3 = 6; u3 = 63
+ v5 = 0; 6 + v5
= 0; v5 = -6
|
v1=3
|
v2=-1
|
v3=4
|
v4=0
|
v5=-6
|
|
u1=0
|
3[27]
|
8
|
4[33]
|
5
|
0
|
|
u2=4
|
7
|
3[40]
|
8[10]
|
4[2]
|
0
|
|
u3=6
|
8
|
4
|
2
|
6[39]
|
0[13]
|
Опорный план не является оптимальным, так как
существуют оценки свободных клеток, для которых ui
+ vj > cij
(3;1): 6 + 3 > 8; ∆31 = 6 + 3 - 8 = 1
(3;2): 6 + -1 > 4; ∆32 = 6 + -1 - 4 = 1
(3;3): 6 + 4 > 2; ∆33 = 6 + 4 - 2 = 8
max(1,1,8) = 8
Выбираем максимальную оценку свободной клетки
(3;3): 2
Для этого в перспективную клетку (3;3) поставим
знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+»,
«-».
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
Запасы
|
|
1
|
3[27]
|
8
|
4[33]
|
5
|
0
|
60
|
|
2
|
7
|
3[40]
|
8[10][-]
|
4[2][+]
|
0
|
52
|
|
3
|
8
|
4
|
2[+]
|
6[39][-]
|
0[13]
|
52
|
|
Потребности
|
27
|
40
|
43
|
41
|
13
|
|
Цикл приведен в таблице (3,3 → 3,4 →
2,4 → 2,3).
Из грузов хij
стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min
(2, 3) = 10. Прибавляем 10 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и
вычитаем 10 из Хij,
стоящих в минусовых клетках. В результате
получим новый опорный план.
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
Запасы
|
|
1
|
3[27]
|
8
|
4[33]
|
5
|
0
|
60
|
|
2
|
7
|
3[40]
|
8
|
4[12]
|
0
|
52
|
|
3
|
8
|
4
|
2[10]
|
6[29]
|
0[13]
|
52
|
|
Потребности
|
27
|
40
|
43
|
41
|
13
|
|
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем
предварительные потенциалы ui,
vj. по занятым
клеткам таблицы, в которых ui
+ vj = cij,
полагая, что u1 = 0.
u1 + v1 = 3; 0 + v1 = 3; v1 = 3+ v3
= 4; 0 + v3 = 4; v3 = 4+ v3 = 2; 4 + u3 = 2; u3 = -2+ v4 = 6; -2 + v4 = 6; v4 =
8+ v4 = 4; 8 + u2 = 4; u2 = -4+ v2 = 3; -4 + v2 = 3; v2 = 73
+ v5 = 0; -2 + v5
= 0; v5 = 2
|
v1=3
|
v2=7
|
v3=4
|
v4=8
|
v5=2
|
|
u1=0
|
3[27]
|
8
|
4[33]
|
5
|
0
|
|
u2=-4
|
7
|
3[40]
|
8
|
4[12]
|
0
|
|
u3=-2
|
8
|
4
|
2[10]
|
6[29]
|
0[13]
|
Опорный план не является оптимальным, так как
существуют оценки свободных клеток, для которых ui
+ vj > cij
(1;4): 0 + 8 > 5; ∆14 = 0 + 8 - 5 = 3
(1;5): 0 + 2 > 0; ∆15 = 0 + 2 - 0 = 2
(3;2): -2 + 7 > 4; ∆32 = -2 + 7 - 4 = 1
max(3,2,1) = 3
Выбираем максимальную оценку свободной клетки
(1;4): 5
Для этого в перспективную клетку (1;4) поставим
знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+»,
«-».
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
Запасы
|
|
1
|
3[27]
|
8
|
4[33][-]
|
5[+]
|
0
|
60
|
|
2
|
7
|
3[40]
|
8
|
4[12]
|
0
|
52
|
|
3
|
8
|
4
|
2[10][+]
|
6[29][-]
|
0[13]
|
52
|
|
Потребности
|
27
|
40
|
43
|
41
|
13
|
|
Цикл приведен в таблице (1,4 → 1,3 →
3,3 → 3,4).
Из грузов хij
стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min
(3, 4) = 29. Прибавляем 29 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и
вычитаем 29 из Хij,
стоящих в минусовых клетках. В результате
получим новый опорный план.
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
Запасы
|
|
1
|
3[27]
|
8
|
4[4]
|
5[29]
|
0
|
60
|
|
2
|
7
|
3[40]
|
8
|
4[12]
|
52
|
|
3
|
8
|
4
|
2[39]
|
6
|
0[13]
|
52
|
|
Потребности
|
27
|
40
|
43
|
41
|
13
|
|
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем
предварительные потенциалы ui,
vj. по занятым
клеткам таблицы, в которых ui
+ vj = cij,
полагая, что u1 = 0.
u1 + v1 = 3; 0 + v1 = 3; v1 = 3+ v3
= 4; 0 + v3 = 4; v3 = 4+ v3 = 2; 4 + u3 = 2; u3 = -2+ v5 = 0; -2 + v5 = 0; v5 =
2+ v4 = 5; 0 + v4 = 5; v4 = 5+ v4 = 4; 5 + u2 = 4; u2 = -12
+ v2 = 3; -1 + v2
= 3; v2 = 4
|
v1=3
|
v2=4
|
v3=4
|
v4=5
|
v5=2
|
|
u1=0
|
3[27]
|
8
|
4[4]
|
5[29]
|
0
|
|
u2=-1
|
7
|
3[40]
|
8
|
4[12]
|
0
|
|
u3=-2
|
8
|
4
|
2[39]
|
6
|
0[13]
|
Опорный план не является оптимальным, так как
существуют оценки свободных клеток, для которых ui
+ vj > cij
(1;5): 0 + 2 > 0; ∆15 = 0 + 2 - 0 = 2
(2;5): -1 + 2 > 0; ∆25 = -1 + 2 - 0 = 1
max(2,1) = 2
Выбираем максимальную оценку свободной клетки
(1;5): 0
Для этого в перспективную клетку (1;5) поставим
знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+»,
«-».
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
Запасы
|
|
1
|
3[27]
|
8
|
4[4][-]
|
5[29]
|
0[+]
|
60
|
|
2
|
7
|
3[40]
|
8
|
4[12]
|
0
|
52
|
|
3
|
8
|
4
|
2[39][+]
|
6
|
0[13][-]
|
52
|
|
Потребности
|
27
|
40
|
43
|
41
|
13
|
|
Цикл приведен в таблице (1,5 → 1,3 →
3,3 → 3,5).
Из грузов хij
стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min
(1, 3) = 4. Прибавляем 4 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и
вычитаем 4 из Хij,
стоящих в минусовых клетках. В результате
получим новый опорный план.
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
Запасы
|
|
1
|
3[27]
|
8
|
4
|
5[29]
|
0[4]
|
60
|
|
2
|
7
|
3[40]
|
8
|
4[12]
|
0
|
52
|
|
3
|
8
|
4
|
2[43]
|
6
|
0[9]
|
52
|
|
Потребности
|
27
|
40
|
43
|
41
|
13
|
|
Проверим оптимальность опорного плана. Найдем
предварительные потенциалы ui,
vj. по занятым
клеткам таблицы, в которых ui
+ vj = cij,
полагая, что u1 = 0.
u1 + v1 = 3; 0 + v1 = 3; v1 = 3+ v4
= 5; 0 + v4 = 5; v4 = 5+ v4 = 4; 5 + u2 = 4; u2 = -1+ v2 = 3; -1 + v2 = 3; v2 =
4+ v5 = 0; 0 + v5 = 0; v5 = 0+ v5 = 0; 0 + u3 = 0; u3 = 0+ v3 = 2; 0 + v3 = 2;
v3 = 2
|
v1=3
|
v2=4
|
v3=2
|
v4=5
|
v5=0
|
|
u1=0
|
3[27]
|
8
|
4
|
5[29]
|
0[4]
|
|
u2=-1
|
7
|
3[40]
|
8
|
4[12]
|
0
|
|
u3=0
|
8
|
4
|
2[43]
|
6
|
0[9]
|
Опорный план является оптимальным, так все
оценки свободных клеток удовлетворяют условию ui
+ vj <= cij.
Минимальные затраты составят:
F(x)
= 3*27 + 5*29 + 0*4 + 3*40 + 4*12 + 2*43 + 0*9 = 480
Анализ оптимального плана.
Из 1-го склада необходимо груз направить в 1-й
магазин (27), в 4-й магазин (29)
Из 2-го склада необходимо груз направить в 2-й
магазин (40), в 4-й магазин (12)
Из 3-го склада необходимо весь груз направить в
3-й магазин
На 1-ом складе остался невостребованным груз в
количестве 4 ед.
Оптимальный план является вырожденным, так как
базисная переменная x15=0.
На 3-ом складе остался невостребованным груз в
количестве 9 ед.
Оптимальный план является вырожденным, так как
базисная переменная x35=0.
|
Стоимости
перевозок
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поставщики
|
|
|
Потребители
|
|
|
|
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
|
|
|
A
|
3
|
8
|
4
|
5
|
0
|
|
|
|
B
|
7
|
3
|
8
|
4
|
0
|
|
|
|
C
|
8
|
4
|
2
|
6
|
0
|
|
|
|
Неизвестные
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
5
|
60
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
5
|
52
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
5
|
52
|
|
3
|
3
|
3
|
3
|
3
|
|
|
|
27
|
40
|
43
|
41
|
13
|
|
|
|
Функция
цели
|
|
|
|
|
|
|
|
|
480
|
|
|
|
|
|
|
. Численные методы решения одномерных задач
статической оптимизации
|
1)
Метод золотого сечения в Excel
|
|
|
|
|
|
N
|
a
|
b
|
b-a
|
a+i*c
|
a+k*c
|
F(l)
|
F(m)
|
|
1
|
-2
|
1
|
3
|
-0,854
|
-0,146
|
-0,49384
|
-0,14295
|
|
2
|
-2
|
-0,146
|
1,854
|
-1,29177
|
-0,854
|
-0,48405
|
-0,49384
|
|
3
|
-1,29177
|
-0,146
|
1,145772
|
-0,854
|
-0,58368
|
-0,49384
|
-0,43536
|
|
4
|
-1,29177
|
-0,58368
|
0,708087
|
-1,02128
|
-0,854
|
-0,49989
|
-0,49384
|
|
5
|
-1,29177
|
-0,854
|
0,437772
|
-1,12454
|
-1,02128
|
-0,49658
|
-0,49989
|
|
6
|
-1,12454
|
-0,854
|
0,270543
|
-1,02128
|
-0,95735
|
-0,49989
|
-0,49953
|
|
7
|
-1,12454
|
-0,95735
|
0,167196
|
-1,06067
|
-1,02128
|
-0,49913
|
-0,49989
|
|
8
|
-1,06067
|
-0,95735
|
0,103327
|
-1,02128
|
-0,99682
|
-0,49989
|
-0,5
|
|
9
|
-1,02128
|
-0,95735
|
0,063935
|
-0,99682
|
-0,98177
|
-0,5
|
-0,49992
|
|
10
|
-1,02128
|
-0,98177
|
0,039512
|
-1,00619
|
-0,99682
|
-0,49999
|
-0,5
|
|
11
|
-1,00619
|
-0,98177
|
0,024418
|
-0,99682
|
-0,9911
|
-0,5
|
-0,49998
|
|
12
|
-1,00619
|
-0,9911
|
0,015091
|
-1,00042
|
-0,99682
|
-0,5
|
-0,5
|
|
13
|
-1,00619
|
-0,99682
|
0,009371
|
-1,00261
|
-1,00042
|
-0,5
|
-0,5
|
|
14
|
-1,00261
|
-0,99682
|
0,005791
|
-1,00042
|
-0,99903
|
-0,5
|
-0,5
|
|
15
|
-1,00261
|
-0,99903
|
0,003579
|
-1,00124
|
-1,00042
|
-0,5
|
-0,5
|
|
16
|
-1,00124
|
-0,99903
|
0,002212
|
-1,00042
|
-0,99988
|
-0,5
|
-0,5
|
|
17
|
-1,00042
|
-0,99903
|
-0,99988
|
-0,99956
|
-0,5
|
-0,5
|
|
18
|
-1,00042
|
-0,99956
|
0,000861
|
-1,0001
|
-0,99988
|
-0,5
|
-0,5
|
|
19
|
-1,00042
|
-0,99988
|
0,000549
|
-1,00021
|
-1,0001
|
-0,5
|
-0,5
|
2) Метод золотого сечения С#
using
System;
using
System.Collections.Generic;System.Linq;System.Text;System.IO;ConsoleApplication1
{Program
{double fg(double x)
{mf = x / (1 + (x * x));mf;
}void Main(string[] args)
{double e = 0.001; // точностьgold =
((1 + Math.Sqrt(5)) / 2); // пропорция "Золотого Сечения"
a = -2, b
= 1; // начало и конец отрезка
double
x1 = 0, x2
= 0; // точки деления
double
y1 = 0, y2
= 0; // значение целевой функции в точках деления
double
f;
int
n = 0; // число
итераций
do
{++;= b - ((b - a) / gold);= a + ((b
- a) / gold);= fg(x1);= fg(x2);(y1 >= y2) { a = x1; } else { b = x2; }.WriteLine("Процесс
вычисления №" + n
+ "отрезок от а до б (" + a
+ " : " + b + ")
значение функции на интервале: " + y1
+ " : " + y2);
f = b - a;
} while (Math.Round(f, 3) >=
e);.WriteLine("Точка минимума: " + (x1+x2)/2);.WriteLine("Значение
функции
в
точка
минимума:
" + (y1+y2)/2);.WriteLine("Результат
получен за: " + n
+ " итераций.");
Console.ReadKey();
}
}
}
Процесс вычисления №1отрезок от а до б (-2 :
-0,145898033750316) значение функции на интервале: -0,493846095040953 :
-0,142857142857143
Процесс вычисления №2отрезок от а до б
(-1,29179606750063 : -0,145898033750316) значение функции на интервале:
-0,48404770824998 : -0,493846095040953
Процесс вычисления №3отрезок от а до б
(-1,29179606750063 : -0,583592135001262) значение функции на интервале:
-0,493846095040953 : -0,43532816449453
Процесс вычисления №4отрезок от а до б
(-1,29179606750063 : -0,854101966249684) значение функции на интервале:
-0,499889109598277 : -0,493846095040953
Процесс вычисления №5отрезок от а до б
(-1,12461179749811 : -0,854101966249684) значение функции на интервале:
-0,496571787514389 : -0,499889109598277
Процесс вычисления №6отрезок от а до б
(-1,12461179749811 : -0,957427527495584) значение функции на интервале:
-0,499889109598277 : -0,499527196176926
Процесс вычисления №7отрезок от а до б
(-1,06075308874148 : -0,957427527495584) значение функции на интервале: -0,499131624599642
: -0,499889109598277
Процесс вычисления №8отрезок от а до б
(-1,02128623625221 : -0,957427527495584) значение функции на интервале:
-0,499889109598277 : -0,499997581281123
Процесс вычисления №9отрезок от а до б
(-1,02128623625221 : -0,981819383762934) значение функции на интервале:
-0,499997581281123 : -0,499915850312333
Процесс вычисления №10отрезок от а до б
(-1,00621124003028 : -0,981819383762934) значение функции на интервале:
-0,499990414844916 : -0,499997581281123
Процесс вычисления №11отрезок от а до б
(-1,00621124003028 : -0,991136243808359) значение функции на интервале:
-0,499997581281123 : -0,499980183587142
Процесс вычисления №12отрезок от а до б
(-1,00621124003028 : -0,996894379984858) значение функции на интервале:
-0,499999948697475 : -0,499997581281123
Процесс вычисления №13отрезок от а до б
(-1,00265251616136 : -0,996894379984858) значение функции на интервале:
-0,499998245698987 : -0,499999948697475
Процесс вычисления №14отрезок от а до б (-1,00265251616136
: -0,99909379229243) значение функции на интервале: -0,499999948697475 :
-0,499999794510766
Процесс вычисления №15отрезок от а до б
(-1,0012932046 : -0,99909379229243) значение функции на интервале:
-0,499999582445798 : -0,499999948697475
Процесс вычисления №16отрезок от а до б
(-1,00045310385378 : -0,99909379229243) значение функции на интервале:
-0,499999948697475 : -0,499999998907395
Процесс вычисления №17отрезок от а до б
(-1,00045310385378 : -0,999613003107567) значение функции на интервале:
-0,499999998907395 : -0,499999962543859
Процесс вычисления №18отрезок от а до б
(-1,0001322139227 : -0,999613003107567) значение функции на интервале:
-0,499999995630448 : -0,499999998907395
Процесс вычисления №19отрезок от а до б
(-1,0001322139227 : -0,999811323991623) значение функции на интервале:
-0,499999998907395 : -0,499999991098662
Точка минимума: -0,999872608515135
Значение функции в точка минимума:
-0,499999995003028
Результат получен за: 19 итераций.