Теорема Ферма-Ойлера про два квадрати (Різдвяна теорема)

Теорема Ферма-Ойлера про два квадрати (Різдвяна теорема)

НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ М.П.ДРАГОМАНОВА

Кафедра вищої математики

КУРСОВА РОБОТА

з алгебри і теорії чисел

на тему:

Теорема Ферма-Ойлера про два квадрати (Різдвяна теорема)

м. Київ-2013р.

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ 1. Великий математик П’єр Ферма

РОЗДІЛ 2. Теорема Ферма-Ойлера

2.1 Доведення Лагранжа

.2 Доведення Дона Цагира

.3 Єдиність представлення простого числа у вигляді суми двох квадратів

.4 Кількість представлень числа у вигляді суми двох квадратів

ВИСНОВОК

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ВСТУП

Навіщо додавати квадрати цілих чисел? Чому б не додати їх куби або 666-і степені? Ці питання дуже серйозні і встають перед кожним, хто починає вивчати математику. З величезного розмаїття завдань не всі варті пильної уваги. Але задача про суму квадратів заслуговує її найвищою мірою. На жаль, її неможливо пояснити , не розповівши рішення і не заглибившись тим самим в деталі. «Деталі» - це критерій того, які натуральні числа можна представити у вигляді суми квадратів двох цілих чисел.

Математика завжди служила людині інструментом пізнання. Вона є точною та водночас абстрактною наукою, що вивчає кількісні співвідношення і просторові форми. Точність математики означає, що основним методом у математичних дослідженнях є логічні міркування, а результати досліджень формулюються в строгій логічній формі. Абстрактність математики означає, що об'єктами її вивчення є моделі (математичні). Актуальність вивчення даної теми полягає в тому, що вивчення теорем займає ключове місце у пізнанні математики як науки.

Об’єктом дослідження є теорема Ферма-Ойлера про два квадрати.

Предмет дослідження: способи доведення теореми, історія виникнення.

Мета роботи: розглянути різні способи доведень теореми Ферма-Ойлера про два квадрати.

У відповідності до мети роботи було поставлено наступні завдання:

дослідити історію виникнення теореми Ферма-Ойлера

розглянути способи доведення теореми Ферма-Ойлера

Для розв'язання поставлених завдань було використано наступні методи:

вивчення наукової і науково-популярної літератури

систематизація вивченого матеріалу

порівняння різних доведень теореми Ферма-Ойлера

аналіз і синтез

Практичне значення курсової роботи полягає у застосуванні отриманих знань на практиці в подальшому вивченні теорії чисел.

Робота складається із вступу, двох розділів, висновків і списку використаної літератури.

РОЗДІЛ 1. ВЕЛИКИЙ МАТЕМАТИК П’ЄР ФЕРМА

Лише один математик удостоївся того, що ім'я його стало на стільки загальним. Якщо хтось вимовляє слово "ферматист", то це значить, що мова йде про людину, одержиму до безумства якоюсь нездійсненною ідеєю. Але це слово ні в якій мірі не відноситься до самого П'єра Ферма (1601 - 1665), одного з найбільш величних умів Франції. Ферма - людина дивовижної долі: один з найвидатніших математиків всіх часів, він не був, за сучасною термінологією, "професійним" математиком. За професією Ферма був юристом. Він отримав чудову гуманітарну освіту і був видатним знавцем мистецтва і літератури. Все життя він пропрацював на державній службі, останні 17 років був радником місцевого парламенту в Тулузі. До математики його вабила безкорислива і піднесена любов, і саме ця наука дала йому все, що може дати людині любов: захоплення красою, насолоду і щастя. У ті роки не було ще математичних журналів, і Ферма майже нічого не надрукував за життя. Але він багато листувався зі своїми сучасниками, і за допомогою цього листування деякі його досягнення ставали відомими.

П'єру Ферма пощастило з дітьми: син обробив архів батька і видав його. "Я довів багато виключно красивих теорем",- сказав якось Ферма. Особливо багато красивих фактів вдалося йому виявити в теорії чисел, яку, власне, він і заснував. У паперах і в листуванні Ферма було сформульовано чимало чудових тверджень, про які він писав, що має їх доведення. І поступово, рік за роком, таких недоведених тверджень ставало все менше і менше. І нарешті, залишилося тільки одне.

На Різдво 1640 в листі від 25 грудня П'єр Ферма сповіщав знаменитого Мерсенна, друга Декарта і головного посередника в листуванні вчених того часу, про те, що "будь-яке просте число, яке при діленні на чотири дає одиницю, єдиним способом представимо як сума двох квадратів".

У ту пору математичних журналів ще не існувало, інформацією обмінювалися в листах, і як правило, результати лише анонсувалися, але не супроводжувалися детальними доведеннями.

Через майже двадцять років після листа Мерсенну в листі до Каркаві, відправленому в серпні 1659, Ферма відкриває доведення сформульованої вище теореми. Він пише, що основна ідея доведення полягає в методі спуску, який дозволяє з припущення, що для якогось простого числа виду 4n+1 висновок теореми невірний, отримати, що він не вірний і для меншого числа того ж виду і т. д., поки ми не доберемося до числа 5, коли остаточно прийдемо до протиріччя.

Перші доведення, які згодом були опубліковані, знайдені Ойлером між 1742 і 1747 роками. Причому, бажаючи затвердити пріоритет Ферма, до якого він відчував почуття найглибшої поваги, Ойлер придумав доведення, що відповідало описаному вище задуму Ферма.

Віддаючи належне обом великим вченим, цю теорему називають теоремою Ферма-Ойлера.

У паперах Ферма було знайдено доведення цього твердження для n=4 (це єдине докладне доведення теореми з теорії чисел, виявлений в паперах Ферма). Для n=3 теорему Ферма довів Ойлер в 1768 році. Протягом XIX століття для доведення теореми Ферма були зроблені величезні зусилля. Особливих успіхів домігся німецький математик Куммер. Після його робіт теорема Ферма виявилася доведеною для всіх простих n, менших 100, крім 37, 59 і 97. У наш вік теорема Ферма була доведена для простих чисел, менших 100.000, але остаточне рішення так і не було знайдено.

У 1908 році любитель математики Вольфскель заповідав 100.000 марок тому, хто доведе теорему Ферма. Це стало лихом для математиків багатьох країн. Потекли сотні і тисячі листів з доведеннями теореми Ферма. Як правило, вони містили елементарні помилки, але на їх знаходження витрачалися чималі сили багатьох математиків.

Під час Першої світової війни ця премія знецінилася. Потік псевдодоведень скоротився, але не вичерпався. І вже здавалося, що ця проблема перейде через нову грань століть, але все-таки не так давно англійський математик Уайлс "залатав останню дірку" у своєму доведенні цієї великої теореми, з яким він вперше постав перед математичним світом в 1993 році.

Світ визнав: Велика теорема Ферма доведена!

Однак, тим, хто цікавиться математикою, ім'я Ферма говорить дуже багато незалежно від його Великої теореми. Він був, без жодного сумніву, одним з найбільш проникливих розумів свого часу-часу Гігантів. Його по праву вважають основоположником теорії чисел, він вніс величезний внесок у зародження нових напрямків, що визначили подальший розвиток науки: математичний аналіз, аналітичну геометрію. Ми вдячні Ферма за те, що він прочинив для нас світ, сповнений краси і загадковості.

ферма число квадрат лагранж

РОЗДІЛ 2. ТЕОРЕМА ФЕРМА-ОЙЛЕРА

Наступна теорема, безсумнівно, належить до числа вищих досягнень математики XVII-XVIII століть.

Розглянемо кілька перших непарних простих чисел: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,...

Числа 5, 13, 17 представимо у вигляді суми двох квадратів: 5=2²+1², 13=2²+3², 17=1²+4², а інші числа (3, 7, 11, 19) цією властивістю не володіють. Чи можна пояснити цей феномен? Відповідь на це питання дає наступна теорема:

Теорема: Для того, щоб непарне просте число можна було представити у вигляді суми двох квадратів, необхідно і достатньо, щоб воно при діленні на 4 давало в остачі 1.

.1 Доведення Лагранжа

Це доведення спирається на наступну лему Вільсона: якщо p - просте число, то число (p-1)!+1 ділиться на p.

Щоб не відволікатись на доведення цього допоміжного факту, покажемо тільки основну ідею цього доведення на прикладі простого числа 13. Для будь-якого числа x, 2x11, знайдеться таке число y, 2y11, що x*y при діленні на 13 дає в остачі 1.

Дійсно, (13-1)!=12!=(2*7)(3*9)(4*10)(5*8)(6*11)*12, і при цьому всі добутки в дужках при діленні на 13 дають в остачі 1, а значить, 12! при діленні на 13 дасть в остачі 12, звідки (для вибраного нами числа 13) слідує твердження леми Вільсона. Із леми Вільсона виокремимо таку дію: якщо p=4n+1, де n- натуральне число, то ((2n)!)²+1 ділиться на p. Дійсно, із леми Вільсона слідує, що (4n)!+1 ділиться на p, і тепер необхідне твердження випливає із наступного рівняння:

(4n)!+1=(2n)!(2n+1)(2n+2)*...*(4n)+1=(2n)!(p-2n)(p-2n+1)*...*(p-1)+1=

=(2n)!(-1)²ⁿ(2n-p)(2n-1-p)*…*(1-p)+1((2n)!)²+1(mod p).

Позначимо (2n)! через m. Розглянемо всі такі пари (r;s) цілих чисел, що 0< r, s< √p, і для кожної пари розглянемо остачу від ділення числа r+ms на p. Оскільки кількість таких пар дорівнює ([√p]+1)²>p, серед них є такі дві пари (r₁;s₁) і (r₂;s₂) , що остачі від ділення на p чисел r₁+ms₁ і r₂+ms₂ рівні.

При цьому число r+ms, де r=r₁−r₂ і s = s₁−s₂, кратне p. Тоді число r²+s²=r²−m²s²+ (m²+1)s² = (r+ms)(r−ms)+(m² + 1)s² також кратне p. Помітимо, що 0 < r2 +s2 < p+p = 2p, єдине кратне p число, яке більше 0, але менше 2p, - саме число p. Отже, r2 +s2 = p.

Теорема доведена.

2.2 Доведення Дона Цагира

Це доведення, належить сучасному математику Д. Цагиру.

Розглянемо перетворення, яке трійці натуральних чисел (x; у; z) співставляє три числа (x’;y’;z’) за наступним правилом:

’=x+2z, у'=z, z'=у-х-z, якщо х<у-z (1)

х'=2у-х, у'=у, z’=х-у+z, якщо y-z<x<2y (2)

х'= х-2у, у'=х-у+z, z'=у в інших випадках (3)

Позначимо це перетворення буквою В: В(х; у; z)=(х'; у'; z').

Досить легко перевірити, що перетворення В зберігає форму х²+4yz. Виконаємо це, наприклад, для випадку (1).

х'²+4у'z'=(х+2z)²+4z(у-х-z)=x²+4xz+4z²+4yz-4xz-4z²=х²-4yz.

В інших випадках перевірка така ж проста. Отже, якщо для якогось числа р є рівняння z²+4yz=р, то воно зберігається і після перетворення В.

Перевіримо, що перетворення В інволютивне, тобто застосоване двічі воно поверне початковий результат. Знову виконаємо це для (1).

Нехай х<у-z, тоді х'=2z+x, у'=z, z'=у-х-z, звідки х'=х+2z>у'-z'=2z+х-у і, означає, що В(х'; у'; z') потрібно розраховувати за правилом (3):

х"=х'-2у'=х+2z-2z=х, у"=х'-у'-z'=x+2z-z+у-x-z=у, z" = у' = z.

В інших випадках все аналогічно.

А тепер припустимо, що р - просте число виду 4n+1. Тоді, по перше, рівняння x²+4yz=р можна розв’язати хоча б двома способами: х=1, у=п, z=1 або x=y=1, z=п. І, по друге, це рівняння має скінченну кількість розв’язків. Якщо припустити, що з поміж його розв’язків нема таких, при яких у=z (бо якщо такі існують, то і доводити нема чого: р=х²+(2у)²), ми отримаємо, що перетворення В розбиває всі рішення на пари ((х; у; z); В(х; у; z)), якщо тільки (х; у; z) не дорівнює В(х; у; z). Розглянемо існують такі пари чи, як кажуть, що перетворення B має нерухомі точки.

Не важко зрозуміти, розглянувши формули (1)-(3), що нерухомі точки у В- ті, для яких х=у. Але при х=у>1 розв’язків у рівняння x²+4уz=р немає (так як р не ділиться на у). Отже, є тільки одна не рухома точка (1; 1; п). Із всього сказаного випливає, що кількість розв’язків рівняння х²+4уz=р непарна: нерухома точка (1; 1; п), а інші розв’язки розбиваються на пари.

Проте, є ще одне перетворення, позначимо його J, яке y і z міняє місцями: J(x; y; z)=(х; z; у). Воно, звичайно, також інволютивне. Розглянемо, такі трійки (із наших розв’язків рівняння x²+4yz=р) воно залишає на місці, тобто які ті (x; у; z), що (х; у; z)=(х; z; у).

Раніше було сказано, що y не дорівнює z.

Але тоді і нерухомих точок немає! Отже, всі розв’язки розбиваються на пари. Тобто кількість розв’язків парна! Але тільки що ми стверджували, що кількість розв’язків не є парною. Виходить протиріччя. Значить, має існувати рішення рівняння x²+4yz=р, де у=z, тобто р - сума двох квадратів. Теорема доведена.

2.3 Єдиність представлення простого числа у вигляді суми двох квадратів

За теоремою Ферма-Ойлера будь-яке просте число р, яке при діленні на 4 дає остачу 1, можна представити у вигляді суми двох квадратів. Залишилось довести, що таке представлення єдине з точністю до порядку множників.

Теорема: ніяке просте число не може бути представлено у вигляді суми квадратів двох цілих чисел суттєво різними способами (тобто отримуючи їх один з одного через перестановку множників) способами.

Доведення: Якби просте число p мало два суттєво різних представлення, p = a² + b² = c² + d², то розклади p=(a+bi)(a-bi)=(c+di)(c-di) являють собою протиріччя. Можна обійтись в доведенні теореми і без комплексних чисел. Припустимо, що просте число p двома суттєво різними (тобто різними не тільки порядком множників) способами розкладено на суму квадратів натуральних чисел: p=a²+b²=c²+d².

Тоді і Звідси, a²c²=(-b²)(-d²)(mod p), тобто число a²c²-b²d² кратне p. (Якщо міркування з порівняннями за модулем p незвичні і через це сумнівні, можна отримати те ж саме, розглядаючи рівняння a²c²b²d²=a²(c²+d²)-(a²+b²)d²).)

Оскільки число p просте, із подільності добутку (ac+bd)(ac-bd) на p слідує, що один із множників кратний p. Якщо число ac+bd кратне p, то скористаємося формулою (1):

p²=(ac+bd)²+(ad-bc)².

Якщо то протиріччя очевидне, так як перший доданок (ac+bd)² кратний p² і тому не менший p². Якщо ж ad-bc=0, то ad=bc. Оскільки як числа a і b, так і числа c і d взаємно прості, маємо a = c і d = b.

Випадок, коли ac-bd кратне p, можна розглянути аналогічно, скориставшись формулою

²=(ac-bd)²+(ad+bc)².

Звідси, просте число неможна двома суттєво різними способами представити у вигляді суми квадратів двох натуральних чисел. Число, єдиним чином можна представити у вигляді суми квадратів двох натуральних чисел, не завжди є простим: 10=1²+3², 25=3²+4². Легко сформулювати умови, при яких число має єдине представлення у вигляді суми двох квадратів.

2.4 Кількість представлень числа у вигляді суми двох квадратів

В III столітті нашої ери грецький математик Діофант не тільки знав, що число 65 можна представити двома способами, але і пояснював це тим, що 65 являється добутком чисел 13 і 5, кожне з яких - сума двох квадратів. Комплексних чисел Діофант не знав, інакше він неодмінно записав би розклад 5=(2+ i)(2-i), 13=(3+2i)(3-2i) і продовжив би свої пояснення наступним чином:

=(2+i)(3+2i)(2-i)(3-2i)=(4+7i)(4-7i)=

=4²+7²=(2+i)(3-2i)(2-i)(3+2i)=(8-i)(8+i)=8²+1².

По різному групуючи множники, отримуємо два різних розклади!

Наступний приклад- число 25. 25- найменше число, двома способами представляємо у вигляді суми квадратів двох цілих чисел. Обидва ці розклади легко отримати, по різному групуючи множники:

=(2+i)² (2-i)²=(3+4i)(3-4i)=3²+4²=(2+i)(2-i)(2+i)(2-i)=5^*5=5²+0².

Останній приклад - число 5746. Як ми добре знаємо, будь-якому представленню 5746=a²+b² відповідає розклад 5746=(a+bi)(a-bi) на спряжені множники. Тому розкладемо дане число спочатку на прості натуральні, а потім на прості гаусові множники:

=2*13²*17= (1+i)(1-i)(3+2i)²(3-2i)²(4+i)(4-i).

Тепер ми маємо із декількох цих множників скласти a+bi, так щоб добуток інших множників дорівнював a-bi. Це нескладно зробити:

+bi=(1+i)(3+2i)²(4+i)=-45+61i, a-bi=(1-i)(3-2i)²(4-i)=-45-61i.

При цьому, 45²+61²=2025+3721=5746. Легко знайти ще два варіанти:

+bi=(1+i)(3+2i)(3-2i)(4+i)=39+65i або a+bi=(1+i)(3-2i)²(4+i)=75-11i.

Вони приводять до представлень 39²+65²=1521+4225=5746 і 75²+11²=5625+121=5746. Ніяких інших представлень немає.

Аналогічно можна знайти число представлень у вигляді суми двох квадратів будь-якого натурального числа

де p₁, ..., p_r

- попарно різні прості числа, кожне з яких дає остачу 1 при діленні на 4, - число, не маюче простих дільників окрім тих, які дають остачу 3 при діленні на 4. А саме, якщо Q не являється точним квадратом, то n не представимо у вигляді суми двох квадратів; якщо ж Q - точний квадрат, то, застосувавши необхідну кількість разів теорему 2, отримаємо: кількість представлень числа n у вигляді суми двох квадратів дорівнює кількості представлень числа у вигляді суми двох квадратів. Формулу для цієї кількості знайшов німець Петер Густав Лежен Дирихле (1805-1859).

Отже, кількість представлень числа m у вигляді суми квадратів двох цілих чисел дорівнює [((a₁ + 1)*...*(a_r + 1) + 1)/2]. (Якщо кількість співмножників дорівнює О, то добуток вважається рівним 1. Представлення, які відрізняються порядком доданків, не відрізняються.

ВИСНОВОК

В курсовій роботі було розглянуто відому теорему Ферма-Ойлера (різдвяну теорему), а також основні способи її доведення. Даний матеріал має важливе значення для розв’язання задач з теорії чисел.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1.      Бухштаб А.А. Теория чисел. - М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1960. -375 с.

2.      Сендеров В.А., Спивак А.В. Суммы квадратов и целые гауссовы числа. - М.:Квант, 1999. -22 с.

.        Тихомиров В.М., Теорема Ферма-Эйлера о двух квадратах. - М.: Квант, 1991. -12с.

.        Тихомиров В.М. Великие математики прошлого и их великие теоремы. - М.: МЦНМО, 2003. -16 с.