Интегральные преобразования уравнений матфизики

Интегральные преобразования уравнений матфизики

Содержание

Введение

. Интеграл Фурье

.1 Основные понятия интеграла Фурье

.2 Действительная и комплексная формы интеграла Фурье

.3 Преобразование Фурье

. Преобразование Лапласа

.1 Оригинал, изображение и операция над ними

.2 Основные свойства преобразования Лапласа

.3 Обратное преобразование Лапласа

. Применение интегральных преобразований при интегрировании уравнений математической физики

.1 Применение интегрального преобразования Фурье

.2 Применение интегрального преобразование Лапласа

Заключение

Список использованных источников

Приложение

Введение

интеграл физика фурье лаплас

Многие задачи механики, физики, широкий круг инженерно-технических задач приводят к интегральным преобразованиям.

Преобразование Фурье используется во многих областях науки - в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть обратимый переход от временного пространства в частотное пространство.

Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля, или, в более общем случае, как теорема Планшереля, или, в наиболее общем, как дуализм Понтрягина);

преобразования обратимы, причём обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование;

по теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свёртки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.

Преобразование Лапласа - интегральное преобразование, связывающее функцию F(р)комплексного переменного (изображение) с функцией f (x) действительного переменного (оригинала). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Применение этого метода позволяет решать дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, а также интегро-дифференциальные уравнения типа свёртки.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями.

Актуальность. Класс дифференциальных уравнений в частных производных, решения которых могут быть выписаны в элементарных функциях, весьма узок. Для решения различных физических и технических проблем широко применяются аналитические методы исследования, в частности, методы интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих тот или иной процесс, Интегральные преобразования занимают весьма важное место в арсенале современных методов решения задач математической физики.

Целью работы является исследовать понятия математической физики тесно связанные с интегралом и преобразованием Фурье, преобразования Лапласа, ознакомит интегральными преобразованиями и их применение при интегрировании уравнений математической физики.

Задачи.

·        Исследование преобразование Фурье

·        Исследование преобразование Лапласа

·        Использование свойств Лапласа на практике

·        Показать применение интегральных преобразований при интегрировании уравнения математической физики

Новизна. Интегральные преобразования позволяют найти решения целого ряда задач математической физики, а также упрощенные, приближенные соотношения основных параметров в форме удобной как для аналитических исследований, так и для выбора методов численного анализа. Провести аналитический метод решения интегральных преобразований и их применение при интегрировании уравнений математической физики.

Объект исследования. На конкретной практической задаче произвести оценку его эффективности и актуальности, анализ практической и теоретической значимости полученных результатов.

Предмет исследования. Интегральные преобразования и их применение при интегрировании уравнений математической физики.

Практическая значимость состоит в том, на основании проведенных исследований разработана методические рекомендаций об применении интегральных преобразований при интегрировании уравнений математической физики.

1. Интеграл Фурье

.1Основные понятия интеграла Фурье

Рассмотрим ряд Фурье периодической функции с периодом Т=2π

, (1)

В формуле (1) выразим cosnx и sinnx через показательные функции по известным формулам:

Итак,

,

Подставляя эти значения в формулу (1) и производя соответствующие преобразования, получим:

, (2)

Вводим следующие обозначения:

, , , (3)

Тогда формула (2) примет следующий вид:

или

, (4)

Формула (4) есть комплексная форма ряда Фурье.

В полученной формуле выразим коэффициенты  и  через интегралы на основании формулы (3), тогда

Итак,

, (5)

аналогично,

, (6)

 и  называется комплексными коэффициентами Фурье для функции f (x).

Если функция f (x) периодическая с периодом T=2l, то ряд Фурье будет

. (7)

А ряд Фурье в комплексной форме выражается формулой:

, (8)

где  вычисляется формулой:

, (9)

В формуле (8) выражение  называются гармониками,

Числа  волновыми числами функции f (x).

Совокупность волновых чисел называют спектром. Если откладывать эти числа на числовой оси, то получим совокупность отдельных точек.

Совокупность точек называют дискретным, а соответствующий спектр - дискретным.

Коэффициенты  определяются формулой (9) называют комплексной амплитудой.

В электротехнике и радиотехнике совокупность модулей амплитуд  называют спектром функции f (x).

При изучении рядов Фурье речь шла о представлении действительных периодических функций, определенных на всей числовой прямой (или на отрезке), тригонометрическим рядом вида:

,

где  - константа, обратно пропорциональная длине отрезка разложения.

В этой главе изучается интеграл Фурье, который можно считать обобщением ряда Фурье на случай периодической действительной функции, определенной на всей числовой прямой, при котором операция суммирования по дискретному параметру  заменяется операцией интегрирования по непрерывному параметру .

Интеграл Фурье, впервые введенный в 1822 году Жан Батист Жозеф Фурье в книге «Аналитическая теория тепла» для решения некоторых задач математической физики, в настоящее время широко используется в прикладной математике.

Пусть функция f (x) определена на бесконечном промежутке  и абсолютно интегрируема на нем и пусть функция f (x) разлагается в любом интервале  в ряд Фурье. Тогда имеет место разложение функции f (x) в ряд Фурье любого периода

, (10)

где

 (11)

Подставляя (11) в формулу (10), получим

 (12)

вводим следующие обозначения:

, , ,…, ,

Тогда (12) примет вид:

, (13)

В формуле (13) переходя к пределу при , получим

, (14)

Это и есть интеграл Фурье для функции f (x).

.2 Действительная и комплексная формы интеграла Фурье

Рассмотрим интеграл Фурье функции f (x)то есть формулу (14).

Равенство (14) имеет место для всех точек, где функция непрерывна. В точках разрыва выполняется равенство

 (14^׳)

Преобразуем интеграл, стоящий в правой части равенства (14), раскрывая :

Подставляя это выражение в формулу (14) и вынося  и за знаки интегралов, где интегрирование совершается по переменной t, получим

, (15)

Каждый из интегралов по t, стоящий в скобках, существует, так как функция f (x) абсолютно интегрируема в интервале , а следовательно абсолютно интегрируемы и функции  и .

Рассмотрим частные случаи формулы (15)

. Пусть f (x) - четная функция то есть f (-x) = f (x).

В этом случае  - функция четная, а  - нечетная и получим

,

Формула (15) в этом случае примет вид:

, (16)

. Пусть f (x) - нечетная функция то есть f (-x) = -f (x).

В этом случае  - функция нечетная, а  - четная и получим

,

Формула (15) в этом случае примет вид:

, (17)

В интеграле Фурье (14) в скобках стоит четная функция от , следовательно, она определена и при отрицательных значениях .

На основании сказанного формулу (14) можно переписать так:

, (18)

Рассмотрим, далее выражение, тождественно равное нулю:

Выражение, стоящее слева, тождественно равна нулю потому, что функция от , стоящая в скобках, есть нечетная функция, а интеграл от нечетной функции в пределах от - М до +М равен нулю.

Очевидно, что

,

, (19)

Умножим члены равенства (19) на  и сложим с соответствующими частями равенства (18), тогда получим:

,

, (20)

Правая часть в формуле (20) называется интегралом Фурье в комплексной форме для функции f (x).

Перепишем формулу (20) так:

, (21)

, (22)

В формуле (22)  называется волновым числом, спектр волновых чисел называют непрерывным спектром.

Функцию называют спектральной плоскостью или спектральной функцией.

.3 Преобразование Фурье

В математике и ее приложениях широкое распространение получил метод замены изучаемой функции f (x) некоторым ее преобразованием. Наиболее часто применяются интегральные преобразования.

Пусть функция f (x) определена на (a,b) (в частности, a или b могут быть и ). Интегральным преобразованием функции f (x) называется функция F(u), определяемая равенством

,

где K (x,u) - некоторая фиксированная функция, называемая ядром интегрального преобразования. В этом пункте мы познакомимся с тремя интегральными преобразованиями, которые связаны с представлением функции ее интегралом Фурье и имеют широкое применение в электротехнике и радиотехнике.

Если функция f (x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси и удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном промежутке, то она представима своим интегралом Фурье, то есть в точках непрерывности функции f (x) имеет место равенство

, (23)

, .

Подставляя выражение для  в интеграл Фурье, получим

.

Обозначим

, (24)

, (25)

Функция  называется преобразованием Фурье или образом Фурье функции f (x), а формула (25) - обратным преобразованием Фурье (формула (24) позволяет найти образ Фурье известной функции f (x), а по формуле (25) можно восстановить f (x) по ее образу Фурье ).

Замечание. Функцию  называют также спектральной функцией или спектральной плоскостью функции f (x).

Если функция f (x) задана на промежутке  и абсолютно интегрируема на нем, то ее можно представить интегралом Фурье, предварительно доопределив функцию на всю числовую ось четным или нечетным образом. В этом случае во всех точках непрерывности функции f (x) будут иметь место равенства

,

,

.

Подставляя выражение для  и  в интеграл Фурье, получим

,

.

Обозначим

,

.

, (26)

, (27)

Функции  и  называются соответственно косинус - преобразованием Фурье и синус - преобразованием Фурье функции f (x), а формулы (26) и (27) - обратным косинус - преобразованием Фурье то есть обратным синус - преобразование Фурье соответственно.

2. Преобразование Лапласа

.1 Оригинал, изображение и операция над ними

Определение. Функцией - оригиналом называется любая комплекснозначная функция f (t) действительного аргумента t, удовлетворяющая условиям:

⁰ f (t) интегрируема на любом конечном интервале оси t;

⁰ для всех отрицательных t: f (t)=0;

⁰ f (t) возрастает не быстрее показательной функции, то есть существуют такие постоянные  и , что для всех t имеет место равенство

. (28)

Например, показать, что функция является функцией оригиналом.

В самом деле, функция f (t) локально интегрируема, то есть

.

Условие 2⁰ также выполнимо.

Условие 3⁰ : .

Простейшей функцией - оригиналом является так называемая единичная функция Хевисайда

, (29)

Ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà (åäèíè÷íàÿ ñòóïåí÷àòàÿ ôóíêöèÿ, ôóíêöèÿ åäèíè÷íîãî ñêà÷êà, âêëþ÷åííàÿ åäèíèöà) - êóñî÷íî-ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ <#"721601.files/image108.gif">

Ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â ìàòåìàòè÷åñêîì àïïàðàòå òåîðèè óïðàâëåíèÿ <#"721601.files/image109.gif">, îïðåäåëåííàÿ ðàâåíñòâîì

, (30)

Åñëè F(p) åñòü èçîáðàæåíèå ôóíêöèè f (t), òî ïèøóò òàê:

, (31)

Íàéòè F(p) äëÿ:

. .

.

Îòñþäà

.

.

Àíàëîãè÷íî

. .

.

.2 Îñíîâíûå ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà

⁰. Ñâîéñòâî ëèíåéíîñòè.

Äëÿ ëþáûõ êîìïëåêñíûõ ïîñòîÿííûõ è

, (32)

2⁰. Òåîðåìà ïîäîáèÿ.

Íàõîäèì èçîáðàæåíèå ôóíêöèè f (at), ãäå a >0

Íàïðèìåð,

Àíàëîãè÷íî,

⁰. Äèôôåðåíöèðîâàíèå îðèãèíàëà.

Åñëè ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿìè - îðèãèíàëàìè è , òî

Äîêàæåì, ÷òî .

 ñàìîì äåëå,

Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ äëÿ îñòàëüíûõ ïðîèçâîäíûõ.

⁰. Äèôôåðåíöèðîâàíèå èçîáðàæåíèÿ.

Äèôôåðåíöèðîâàíèå èçîáðàæåíèÿ ñâîäèòñÿ ê óìíîæåíèþ íà (- t) îðèãèíàëà

.

.3 Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà

Äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ îðèãèíàëà f (t) ïî çàäàííîìó èçîáðàæåíèþ F (p) â ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿõ èñïîëüçóåòñÿ òàáëèöà èçîáðàæåíèé (ñìîòðèòå òàáëèöó 1). Äîïîëíèòåëüíîå ïðèìåíåíèå ñâîéñòâ èçîáðàæåíèé ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî ðàñøèðèòü âîçìîæíîñòè âîññòàíîâëåíèÿ îðèãèíàëà ïî çàäàííîìó èçîáðàæåíèþ.

Òåîðåìà (Ðèìàíà-Ìåëëèíà). Ïóñòü ôóíêöèÿ f (t) îðèãèíàë ñ ïîêàçàòåëåì ðîñòà , à F (p) - åå èçîáðàæåíèå. Òîãäà â ëþáîé òî÷êå t íåïðåðûâíîñòü îðèãèíàëà f (t) ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà Ðèìàíà-Ìåëëèíà ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ê ôîðìóëå  è íàçûâàåòñÿ îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ëàïëàñà.

, (33)

 òî÷êå  ÿâëÿþùèåñÿ òî÷êîé ðàçðûâà 1-ãî ðîäà ôóíêöèè f (t), ïðàâàÿ ÷àñòü ôîðìóëû Ðèìàíà-Ìåëëèíà ðàâíà

, (34)

Íåïîñðåäñòâåííîå ïðèìåíåíèå ôîðìóëû îáðàùåíèÿ äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ îðèãèíàëà f (t) ïî èçîáðàæåíèþ F (p) çàòðóäíèòåëüíî. Äëÿ íàõîæäåíèÿ îðèãèíàëà îáû÷íî ïîëüçóþòñÿ òåîðåìàìè ðàçëîæåíèÿ.

Òåîðåìà (ïåðâàÿ òåîðåìà ðàçëîæåíèÿ). Åñëè ôóíêöèÿ F (p) â îêðåñòíîñòè òî÷êè  ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ðÿäà Ëîðàíà

,

òî ôóíêöèÿ , ÿâëÿåòñÿ îðèãèíàëîì, èìåþùèì èçîáðàæåíèå F (p):

, (35)

Âòîðóþ òåîðåìó ðàçëîæåíèÿ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.

Òåîðåìà (âòîðàÿ òåîðåìà ðàçëîæåíèÿ). Åñëè ðàöèîíàëüíàÿ ïðàâèëüíàÿ íåñîêðàòèìàÿ äðîáü, ïðîñòûå èëè êðàòíûå íóëè çíàìåíàòåëÿ Q (p), òî îðèãèíàë f (t), ñîîòâåòñòâóþùèé èçîáðàæåíèþ F (p), îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé

, (36)

 ÷àñòíîñòè, åñëè çíàìåíàòåëü  ïðîñòûå ïîëþñà, òî ôóíêöèÿ

, (37)

ÿâëÿåòñÿ îðèãèíàëîì, èìåþùèì èçîáðàæåíèå F (p).

Òåîðåìà. Ïóñòü F (p) - ôóíêöèÿ êîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé p, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâàìè:

) ôóíêöèÿ F (p), ïåðâîíà÷àëüíî çàäàííàÿ â ïîëóïëîñêîñòè  è óäîâëåòâîðÿþùàÿ â íåé óñëîâèÿì:

à) F (p) - àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ â ïîëóïëîñêîñòè ;

á) â îáëàñòè  ôóíêöèÿ F (p) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè  ðàâíîìåðíî îòíîñèòåëüíî ;

â) äëÿ âñåõ , ñõîäèòñÿ íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ;

ã) ìîæåò áûòü àíàëèòè÷åñêè ïðîäîëæåíà íà âñþ êîìïëåêñíóþ ïëîñêîñòü .

) àíàëèòè÷åñêîå ïðîäîëæåíèå ôóíêöèè F (p) â ïîëóïëîñêîñòè  óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ëåììû Æîðäàíà.

Òîãäà èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:

, (38)

ãäå t >0 è  îñîáûå òî÷êè (ïîëþñû, ñóùåñòâåííî îñîáûå òî÷êè) ôóíêöèè, ÿâëÿþùåéñÿ àíàëèòè÷åñêèì ïðîäîëæåíèåì F (p) â ïîëóïëîñêîñòü , .

Ïóñòü ôóíêöèÿ f (t) ÿâëÿåòñÿ îðèãèíàëîì ñ ïîêàçàòåëåì ðîñòà  è èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî ýêñòðåìóìîâ. Òîãäà äëÿ íåå ìîæíî çàïèñàòü èíòåãðàë Ôóðüå. Ïðè ýòîì èìååò ìåñòî ôîðìóëà:

,

.

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â èíòåãðàëå Ëàïëàñà ïàðàìåòð , , è äëÿ ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà âûáèðàåòñÿ , òî ìîæíî çàïèñàòü:

, (39)

Ñðàâíèâàÿ ïîëó÷åííûé èíòåãðàë Ëàïëàñà ñ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå, âèäíî, ÷òî èçîáðàæåíèå åñòü ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå äëÿ ôóíêöèè .

3. Èíòåãðàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè â ïðèìåðàõ è çàäà÷àõ

.1 Ïðèìåíåíèå èíòåãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå

Ìåòîäû ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, íå ïðèìåíÿþùèå òåõíèêó èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, íå âñåãäà äåëàþò âîçìîæíûì ïðîâåäåíèå ÷èñëåííîãî àíàëèçà íåîáõîäèìîãî äëÿ ïðàêòè÷åñêîãî èñïîëüçîâàíèÿ ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ. Èíòåãðàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîçâîëÿþò íàéòè ðåøåíèÿ öåëîãî ðÿäà çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, à òàêæå óïðîùåííûå, ïðèáëèæåííûå ñîîòíîøåíèÿ îñíîâíûõ ïàðàìåòðîâ â ôîðìå óäîáíîé êàê äëÿ àíàëèòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé, òàê è äëÿ âûáîðà ìåòîäîâ ÷èñëåííîãî àíàëèçà.

Èíòåãðàëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì (îáðàçîì, òðàíñôîðìàíòîé, èçîáðàæåíèåì) ôóíêöèè f (x) ñ÷èòàþò ôóíêöèþ

, (40)

ïðè÷åì f (t) íàçûâàþò îðèãèíàëîì ñâîåãî îáðàçà F (z). Çäåñü K (z,x) -ÿäðî èíòåãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, èçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ ïåðåìåííûõ z è x.

Ïðè ýòîì åñëè â âûðàæåíèè (40) ñ÷èòàòü èçâåñòíîé ôóíêöèþ F (z), à íåèçâåñòíîé f (t), òî ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ìîæíî ïðåäñòàâèòü ðåøåíèå èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (40) â ñëåäóþùåé ôîðìå:

, (41)

Ôîðìóëà (41) îïèñûâàåò ïðè ýòîì îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå (îáðàùåíèå) èíòåãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (40).

Ïðèìåíåíèå èíòåãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ïîçâîëÿåò ñâåñòè ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ n íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ ñ n-1 íåçàâèñèìûìè ïåðåìåííûìè, ÷òî îáëåã÷àåò ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è. Ïîñëåäîâàòåëüíîå ïðèìåíåíèå èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìîæåò èíîãäà ñâåñòè çàäà÷ó ê ðåøåíèþ îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, òåîðèÿ êîòîðîãî õîðîøî ðàçðàáîòàíà.

Èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå íàä íåêîòîðûì êëàññîì ôóíêöèé f (t) îïðåäåëÿåòñÿ âûáîðîì ÿäðà K (z,x) è ïðîìåæóòêà èíòåãðèðîâàíèÿ (a,b). Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ:

îäíîñòîðîííåå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà

, (42)

ñèíóñ- è êîñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå

,, (43)

êîìïëåêñíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå

, (44)

Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå èãðàåò âàæíóþ ðîëü ïðè ðåøåíèè øèðîêîãî êëàññà çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, ê êîòîðûì îòíîñèòñÿ, íàïðèìåð, êðàåâûå çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.

Åñëè ôóíêöèÿ f (õ) îïðåäåëåíà âñþäó ïðè  è , òî ñóùåñòâóåò êîìïëåêñíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèè f (õ), îïèñûâàåìîå ôîðìóëîé (44). Ôóíêöèÿ f (õ), èíòåãðèðóåìà íà áåñêîíå÷íîì èíòåðâàëå, ïðè ýòîì îáëàäàåò ñâîéñòâàìè:

à) èìååò êîíå÷íîå ÷èñëî ýêñòðåìóìîâ;

á) íåïðåðûâíà âñþäó, êðîìå, áûòü ìîæåò, êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê ðàçðûâà ïåðâîãî ðîäà;

â) èíòåãðàë  ñõîäèòñÿ àáñîëþòíî.

Òîãäà ôîðìóëà îáðàùåíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå èìååò âèä:

, (45)

Âî ìíîãèõ ïðèëîæåíèÿõ òåîðèè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ê çàäà÷àì ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùåå ñâîéñòâî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, êîòîðîå íå òðóäíî ïîëó÷èòü ïóòåì èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì:

, (46)

Ðàññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ðàçðûâíûõ ôóíêöèé. Ïóñòü  ïðè  è èìååò â òî÷êå  ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà (ðèñóíîê 1).

 ñîîòâåòñòâèè ñ (44) ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèè f (õ)

.

Íàéäåì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå îò ïðîèçâîäíîé

Îáîçíà÷èâ ñêà÷êè ôóíêöèè f (õ) è åå ïðîèçâîäíûõ â òî÷êå  ÷åðåç , ôîðìóëó (46) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå

.

 ïðèëîæåíèÿõ ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå, òàê êàê âûïîëíåíèå óñëîâèé, ãàðàíòèðóþùèõ ñóùåñòâîâàíèÿ îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ÿâëÿåòñÿ åñòåñòâåííûì. Ïðè ýòîì ïîëåçíóþ ðîëü èãðàåò ïîíÿòèå ñâåðòêè.

Ñâåðòêîé  ôóíêöèé f (õ) è g (õ), çàäàííûõ íà èíòåðâàëå , íàçûâàåòñÿ èíòåãðàë âèäà , òî åñòü

, (47)

Êîìáèíàöèÿ ôóíêöèé (47) âñòðå÷àåòñÿ ñòîëü ÷àñòî, ÷òî åå ìîæíî ñ÷èòàòü îäíîé èç îñíîâíûõ îïåðàöèé àíàëèçà.

Êîãäà ñóùåñòâóåò ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèé f (õ) è g (õ) è ñîîòâåòñòâóþùèå îáðàòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ñâåðòêå ìîæíî ïðèäàòü âèä:

, (48)

Äåéñòâèòåëüíî, ïîäñòàâëÿÿ â ïðàâóþ ÷àñòü ôîðìóëû (47) ïðåäñòàâëåíèå  â âèäå îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå â ñîîòâåòñòâèè ñ (45), áóäåì èìåòü , îòêóäà, ñ÷èòàÿ äîïóñòèìîé ïåðåñòàíîâêó ïîðÿäêà èíòåãðèðîâàíèÿ, íàõîäèì

.

Çàìåíÿÿ â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà âòîðîé èíòåãðàë ÷åðåç , ñîãëàñíî (44), ïîëó÷àåì ôîðìóëó (48).

Ðàññìîòðèì çàäà÷ó Êîøè äëÿ îäíîðîäíîé áåñêîíå÷íîé ñòðóíû . Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñòðóíà ñîâåðøàåò ìàëûå ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ ïðè îòñóòñòâèè âíåøíèõ ñèë

, , , (49)

, , (50)

Ïðèìåíèì ê óðàâíåíèþ è íà÷àëüíûì óñëîâèÿì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî ïåðåìåííîé õ .

Âîñïîëüçîâàâøèñü ñâîéñòâîì (46), áóäåì èìåòü .

Òîãäà óðàâíåíèå (49) ïðèìåò âèä

, (51)

Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ ïðè ýòîì çàïèøóòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

 (52)

.

Òàêèì îáðàçîì, ïðèìåíåíèå èíòåãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âðåìåííî âêëþ÷àåò îäíó èç íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ.  äàííîì ñëó÷àå ïðèõîäèì ê íåîáõîäèìîñòè ðåøåíèÿ îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (51) ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå , ãäå, âîîáùå ãîâîðÿ, . Èñïîëüçóÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ (52), ïîëó÷èì ñèñòåìó äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíûõ

Òîãäà ,  è, ñëåäîâàòåëüíî,

, (53)

×òîáû íàéòè ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è, íåîáõîäèìî ïðèìåíèòü ê (53) îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå.

.

, , òî

.

Íåòðóäíî òàêæå óáåäèòüñÿ, ÷òî

.

Îòñþäà ñëåäóåò

.

Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èì ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è. Íàì èçâåñòíî, ÷òî ýòà ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Äàëàìáåðà.

Ïðèìåð 1. Ïóñòü â áåñêîíå÷íîé ñðåäå  ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ òåïëî. Èçâåñòíî íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû f (õ). Èñòî÷íèêè òåïëà îòñóòñòâóþò. Íàéòè ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè.

Ðåøåíèå. Çàïèñûâàåì óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè , , , ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì . Íà áåñêîíå÷íîñòè äîëæíû âûïîëíÿòñÿ óñëîâèÿ ,  ïðè .

Ïðèìåíÿåì ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå (51) ê óðàâíåíèþ. Ó÷èòûâàÿ óñëîâèÿ íà áåñêîíå÷íîñòè, ïîëó÷àåì

, (54)

ãäå  îáðàç Ôóðüå ôóíêöèè . Ïðåîáðàçîâàíèå íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ ïðèâîäèò ê ñîîòíîøåíèþ ; îáðàç Ôóðüå ôóíêöèè f (õ). îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (54) ñ ó÷åòîì ïðåîáðàçîâàííîãî íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ èìååò âèä

, (55)

Íàõîäèì , ïðèìåíèâ ê (55) îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå:

, (56)

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ (56) âîñïîëüçóåìñÿ èíòåãðàëîì. Òîãäà

è ïî òåîðåìå ñâåðòêè íàõîäèì

.

,

çàïèñûâàåì îêîí÷àòåëüíî ðåøåíèå çàäà÷è

.

Ïðèìåð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè , , , óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì íà÷àëüíûì è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì:

 ïðè .

Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó çàäà÷à ðàññìàòðèâàåòñÿ íà ïîëóîãðàíè÷åííîé ïðÿìîé ñ êðàåâûì óñëîâèåì , ïðèìåíÿåì ñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå (43). Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ó÷åòîì ãðàíè÷íîãî óñëîâèÿ ïîëó÷àåì îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå

Åñëè ÷àñòíîå ðåøåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå ïðåîáðàçîâàííûì íà÷àëüíîìó è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì, îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé

, (57)

Ïðèìåíÿåì ê (57) îáðàòíîå ñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå:

è îêîí÷àòåëüíî çàïèñûâàåì ðåøåíèå

Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ

1. ,, ,

.

. ,, ,

, .

. ,, ,

.

3.2 Ïðèìåíåíèå èíòåãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà

Ïóñòü èìååòñÿ ëèíåéíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíîé ôóíêöèè . Åñëè ïðèìåíèòü ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ê ïåðåìåííîé t,òî ïîëó÷èòñÿ îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå íà îáðàç  ôóíêöèè . Çàòåì íà îáùåå ðåøåíèå ïîëó÷åííîãî óðàâíåíèÿ íàêëàäûâàþòñÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ èñõîäíîé çàäà÷è. Íàêîíåö, èñêîìîå ðåøåíèå  íàõîäèòñÿ îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ëàïëàñà. Ïðèìåíåíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà óäîáíî ïðè ðåøåíèè êðàåâûõ çàäà÷ â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè.

Ïðèìåð 1. Ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè (0,0) è (L,0) íàòÿíóòà ñòðóíà. Êîëåáàíèÿ åå âûçâàíû òåì, ÷òî ñòðóíå áûëà ïðèäàíà ôîðìà ñèíóñîèäû , è èç ýòîãî ñîñòîÿíèÿ â ìîìåíò t=0 ñòðóíó îòïóñòèëè. Íàéäèòå ñìåùåíèå òî÷åê ñòðóíû âî âðåìåíè.

Ðåøåíèå. Çàïèñûâàåì óðàâíåíèå ñòðóíû , è óñëîâèÿ . Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà ñ ó÷åòîì íà÷àëüíûõ óñëîâèé ïîëó÷èì îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå

.

Åãî îáùåå ðåøåíèå

ïðè çàäàííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ ïðèâîäèòñÿ ê ÷àñòíîìó ðåøåíèþ:

.

Ïðèìåíÿÿ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà, çàïèñûâàåì ðåøåíèå çàäà÷è:

.

Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì íåîäíîðîäíîå âîëíîâîå óðàâíåíèå

, , ,

ñ äîïîëíèòåëüíûìè óñëîâèÿìè

, ,

 îãðàíè÷åíà ïðè .

Ïðèìåíÿåì ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ñ èñïîëüçîâàíèåì íà÷àëüíûõ óñëîâèé:

.

Íàõîäèì îáùåå ðåøåíèå

.

Èç óñëîâèÿ îãðàíè÷åííîñòè ðåøåíèÿ ïðè  íàõîäèì , à èç óñëîâèÿ  - ïîñòîÿííóþ , â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷àåì ÷àñòíîå ðåøåíèå

.

Ïðèìåíÿÿ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà, íàõîäèì ðåøåíèå çàäà÷è

.

ãäå  ôóíêöèÿ Õåâèñàéäà.

Ïðèìåð 3. Íàéäåì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè:

, , ,

Ñ íà÷àëüíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè

, , .

Ðåøåíèå. Ïðèìåíåíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà ñ èñïîëüçîâàíèåì íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ  ïðèâîäèò ê íîâîìó óðàâíåíèþ , îáùåå ðåøåíèå êîòîðîãî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå

, (58)

ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè , , ãäå îáðàç ôóíêöèè , îáðàç ôóíêöèè . Ñ ó÷åòîì ýòèõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íàõîäèì ÷àñòíîå ðåøåíèå (58):

.

Ïðèìåíÿåì îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà:

.

Âû÷èñëÿåì èíòåãðàë ñ ïîìîùüþ âû÷åòîâ. Ïîëþñû ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè îïðåäåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèÿ  è ðàâíû , .

Âû÷åò â òî÷êå  ðàâåí íóëþ, à â òî÷êå  îí ðàâåí:

.

Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ôóíêöèÿ  òàêîâà, ÷òî èíòåãðàë ïî ïîëóîêðóæíîñòè áåñêîíå÷íî áîëüøîãî ðàäèóñà, çàìûêàþùåé â ïîëóïëîñêîñòè  êîíòóð èíòåãðèðîâàíèÿ, ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ïî òåîðåìå î âû÷åòàõ ïîëó÷àåì:

, ,

è, ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèå çàäà÷è áóäåò èìåòü âèä:

.

Ïðèìåð 4. Íàéòè îðèãèíàë ïî èçîáðàæåíèþ .

Ðåøåíèå. Íàéäåì îðèãèíàë íåïîñðåäñòâåííî ñ ïîìîùüþ ñâîéñòâ ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà è òàáëèöû èçîáðàæåíèé. Ïîñêîëüêó

,

, ,

òî íà îñíîâàíèè ôîðìóëû Äþàìåëÿ èìååì

.

Ïðèìåð 5. Íàéòè îðèãèíàë ïî èçîáðàæåíèþ .

Ðåøåíèå. Èç òàáëèöû èçîáðàæåíèé èìååì .

Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî ëèíåéíîñòè è èíòåãðèðîâàíèÿ îðèãèíàëà, íàõîäèì:

.

Ïðèìåð 6. Íàéòè îðèãèíàë ïî èçîáðàæåíèþ .

Ðåøåíèå. Ôóíêöèÿ  ÿâëÿåòñÿ àíàëèòè÷åñêîé â òî÷êå  èìååò âèä:

Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïåðâîé òåîðåìå ðàçëîæåíèÿ ïðè  èìååì

.

Ïðèìåð 7. Íàéòè îðèãèíàë, ñîîòâåòñòâóþùèé èçîáðàæåíèþ

.

Ðåøåíèå. Ïðåäñòàâèì F (p) â âèäå ñóììû ýëåìåíòàðíûõ äðîáåé:

Íàõîäèì êîýôôèöèåíòû:

.

Òîãäà ïî âòîðîé ðàçëîæåíèÿ íàéäåì îðèãèíàë:

Ïðèìåð 8. Íàéòè îðèãèíàëà ïî èçîáðàæåíèþ .

Ðåøåíèå. Ôóíêöèÿ F (p) ïðàâèëüíàÿ ðàöèîíàëüíàÿ íåñîêðàòèìàÿ äðîáü, äëÿ êîòîðîé òî÷êè  ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûìè ïîëþñàìè. Òàê êàê

äëÿ

;

- äëÿ

;

äëÿ

,

òî ïî âòîðîé òåîðåìå ðàçëîæåíèÿ ïîëó÷èì:

.

Ïðèìåð 9. Íàéòè îðèãèíàë ïî èçîáðàæåíèþ .

Ðåøåíèå. Ôóíêöèÿ F (p) â òî÷êàõ  è  èìååò ïîëþñû âòîðîãî ïîðÿäêà.

Ñëåäîâàòåëüíî, âî âòîðîé òåîðåìå ðàçëîæåíèÿ íàõîäèì:

Ïðèìåð 10. Íàéòè îðèãèíàë ïî èçîáðàæåíèþ .

Ðåøåíèå. Àíàëèòè÷åñêèì ïðîäîëæåíèåì ôóíêöèè F (p) â ëåâóþ ïîëóïëîñêîñòü  ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ , óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì ëåììû Æîðäàíà è èìåþùàÿ äâå îñîáûå òî÷êè - ïîëþñû ïåðâîãî ïîðÿäêà  è .

Ïîýòîìó ïðè  è  ïî òåîðåìå 4 èìååì:

.

Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ

. ;

. ;

. ;

. ;

. ;

. ;

. .

Çàêëþ÷åíèå

Ïðîàíàëèçèðîâàâ äàííóþ òåìó ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî èíòåãðàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ ìîùíûì ñðåäñòâîì ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîçâîëÿþò âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ñâåñòè óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ê îáûêíîâåííîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ èëè â îáùåé ñèòóàöèè óìåíüøèòü â óðàâíåíèè ÷èñëî ïåðåìåííûõ, ïî êîòîðûì áåðóòñÿ ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå.

Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå åñòåñòâåííî âîçíèêàåò âî ìíîãèõ çàäà÷àõ òåîðåòè÷åñêîãî è ïðèêëàäíîãî õàðàêòåðà. Âåçäåñóùíîñòü ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå áóäåò â äàëüíåéøåì ïðîäåìîíñòðèðîâàíà åãî ïðèìåíèìîñòüþ ê ïîñòðîåíèþ ýôôåêòèâíûõ àëãîðèòìîâ. Âî ìíîãèõ ïðèëîæåíèÿõ áûâàåò óäîáíî ïðåîáðàçîâàòü äàííóþ çàäà÷ó â äðóãóþ, áîëåå ëåãêóþ. Áëàãîäàðÿ øèðîêîìó ïðèìåíåíèþ ìåòîäà Ôóðüå è ñõîäíûõ ñ íèì àíàëèòè÷åñêèõ ìîæíî ïîâòîðèòü ñ ïîëíûì îñíîâàíèåì òî, ÷òî ëîðä Êåëüâèí ñêàçàë â 1867 ãîäó: «Òåîðåìà Ôóðüå íå òîëüêî ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ñàìûõ èçÿùíûõ ðåçóëüòàòîâ ñîâðåìåííîãî àíàëèçà, íî è äà¸ò íàì íåçàìåíèìûé èíñòðóìåíò â èññëåäîâàíèè ñàìûõ òðóäíûõ âîïðîñîâ ñîâðåìåííîé ôèçèêè».

Ïðèìåíåíèå ìåòîäîâ, èñïîëüçóþùèõ ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà íàøëî øèðîêîå ïðèìåíåíèå â ðåøåíèè ðàçëè÷íûõ çàäà÷ ýëåêòðîòåõíèêè, ãèäðîäèíàìèêè, ìåõàíèêè, òåïëîïðîâîäíîñòè, ðàäèîòåõíèêè, à òàêæå è ðÿäà äðóãèõ îáëàñòåé íàóêè è òåõíèêè, ïîòîìó ÷òî îíî ïîçâîëÿåò ìèíèìèçèðîâàòü è óïðîñòèòü âû÷èñëåíèÿ ñëîæíûõ çàäà÷ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèé òèïà ñâ¸ðòêè.

Ñ ýòîé öåëüþ êàæäûé ðàçäåë ìîåé ðàáîòû ïîñòðîåí ñëåäóþùèì îáðàçîì:

 ïåðâîì ðàçäåëå, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ èíòåãðàë Ôóðüå, â äèïëîìíîé ðàáîòû ðàññìàòðèâàåòñÿ îñíîâíûå ïîíÿòèÿ èíòåãðàëà Ôóðüå, äåéñòâèòåëüíàÿ è êîìïëåêñíàÿ ôîðìû èíòåãðàëà Ôóðüå, ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå.

Âòîðîé ðàçäåë íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà, â ýòîì ðàçäåëå òàêæå ðàññìàòðèâàþòñÿ îðèãèíàë, èçîáðàæåíèå è îïåðàöèè íàä íèìè, îñíîâíûå ñâîéñòâà ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà, îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà.

Òðåòüåì ðàçäåëå äèïëîìíîé ðàáîòû, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ èíòåãðàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè â ïðèìåðàõ è çàäà÷àõ ïðèâåäåíû ïîñòàíîâêà çàäà÷è äëÿ êàæäîãî òèïà, àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷, à òàêæå ïðèìåðû ñ ðåøåíèÿìè è çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ

Ñïèñîê èñïîëüçîâàííûõ èñòî÷íèêîâ

1. Áàáè÷ Â.Ì, Êàïèëååâ Ì.Á., Ìèõëèí Ñ.Ã. Ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. - Ìîñêâà: Íàóêà, 1964. - 584 ñ.

. Ïèñêóíîâ Í.Ñ Äèôôåðåíöèàëüíîå è èíòåãðàëüíîå èñ÷èñëåíèå äëÿ âòóçîâ (òîì âòîðîé). - Ìîñêâà: Íàóêà, 1966. - 512 ñ.

. Òèõîíîâ À.Í., Ñàìàðñêèé À.À. Óðàâíåíèÿ Ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.- Ìîñêâà: Íàóêà, 1972.- 734 ñ.

. Òèò÷ìàø Ý.×. Ââåäåíèå â òåîðèþ èíòåãðàëîâ Ôóðüå.- Ëåíèíãðàä: ÎÃÈÇ, 1948.- 409 ñ.

. Ñåìåí÷óê Í.Ï., Ñåíäåð Í.Í. Ðÿäû Ôóðüå. Èíòåãðàë Ôóðüå. Ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå. - ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå Áðåñò: ÁðÃÓ, 2011.- 42 ñ.

. Âëàäèìèðîâ Â.Ñ. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. - 5 èçä., Ìîñêâà: Ïðîñâåùåíèå, 1988.- 216 ñ.

. Âëàäèìèðîâ Â.Ñ. Îáîáùåííûå ôóíêöèè â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.- 2 èçä., Ìîñêâà: Ïðîñâåùåíèå, 1979.- 147 ñ.

. Ãîäóíîâ Ñ.Ê., Çàëîòàðåâà Å.Â. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî óðàâíåíèÿì ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.- Íîâîñèáèðñê: Íàóêà, 1974.- 544 ñ.

. Çîðè÷ Â.À. Ìàòåìàòè÷åñêèé àíàëèç.- Ìîñêâà: Ôèçìàòëèò, 1984.- 14 ñ.

. Ìèõëèí Ñ.Ã. Êóðñ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.- Ìîñêâà: Íàóêà, 1968.- 74 ñ.

. Î÷àí Þ.Ñ. Ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. - Ìîñêâà: Âûñøàÿ øêîëà, 1965.- 35 ñ.

. Õ¸ðìàíäåð Ë. Àíàëèç ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè.- Ìîñêâà: Íàóêà, 1986. - 406 ñ.

. Àðàìàíîâè÷ È.Ã. Ôóíêöèè êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî. Îïåðàöèîííîå èñ÷èñëåíèå. Òåîðèÿ óñòîé÷èâîñòè.- Ìîñêâà: Ïðîñâåùåíèå, 1968.- 228 ñ.

. Âèíåð Í. Èíòåãðàë Ôóðüå è íåêîòîðûå åãî ïðèëîæåíèÿ.- Ìîñêâà: ÃÔÌË, 1963.- 600 ñ.

. Ëåðå Æ. Îáîáùåííîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà.- Ìîñêâà: Ìèð, 1969.- 111 ñ.

. Àðàìàíîâè÷ È.Ã., Ëåâèí Â.È. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.- Ìîñêâà: Íàóêà, 1969.- 55 ñ.

. Çëîòàðåâ È.Ä. Ïðèìåíåíèå ìåòîäà, óïðîùàþùåãî îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ïðè èññëåäîâàíèè äèíàìèêè êîëåáàòåëüíûõ ñèñòåì.- Îìñê: ÎìÃÓ, 2004.- 99 ñ.

18. Âëàäèìèðîâà Â.Ñ. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî óðàâíåíèÿì ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. - Ì., Íàóêà, 2003 - 415ñ.

. Ôàðëîó Ñ. Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. - Ì., Íàóêà, 1977 - 386ñ.

. Øàðìà Ä.Í., Ñèíãõ Ê. Óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ äëÿ èíæåíåðîâ. - Ì., Íàóêà, 2002-108ñ.

Ïðèëîæåíèå À.

Òàáëèöà 1. Òàáëèöà èçîáðàæåíèé

Ðàçìåùåíî íà Allbest.ru