Изучение кинематики и динамики вращательного движения твердого тела

Изучение кинематики и динамики вращательного движения твердого тела

Лабораторная работа

ИЗУЧЕНИЕ КИНЕМАТИКИ И ДИНАМИКИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЁРДОГО ТЕЛА

Введение

Цель работы: проверка уравнений равноускоренного вращательного движения твердого тела и основного закона вращательного движения.

Приборы и принадлежности: лабораторный комплекс ЛКМ-6 с грузами массой в интервале от 50г до 250г, цилиндрами с массой 502.5г, поворотным столиком, градусной шкалой, стойкой для крепления роликов, фотоэлектронным датчиком поворота основной платформы, электронным секундомером.

Кинематика и динамика вращательного движения твердого тела

Механическое движение - простейшая форма движения материи, состоящее в перемещении тел или их частей друг относительно друга в пространстве с течением времени.

Под абсолютно твердым телом подразумевается такое тело, которое можно рассматривать как систему материальных точек, расстояние между которыми не изменяется как при движении тела, так и при воздействии на него внешних сил.

Поступательное движение твердого тела - это такое движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, остается параллельной самой себе. Поступательное движение твердого тела будет прямолинейным, если траектории всех его точек - параллельные прямые линии; криволинейным, если траектории произвольной формы

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором все точки тела описывают окружности в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения, причем центры окружностей лежат на этой оси.

Для кинематического описания вращения твердого тела удобно использовать угловые величины: угловое перемещение Δφ, угловую скорость ω:

и угловое ускорение ε

В этих формулах углы выражаются в радианах. При вращении твердого тела относительно неподвижной оси все его точки движутся с одинаковыми угловыми скоростями и одинаковыми угловыми ускорениями. За положительное направление вращения обычно принимают направление против часовой стрелки.

Рис. 1. Вращение диска относительно оси, проходящей через его центр O

При малых угловых перемещениях Δφ модуль вектора линейного перемещения некоторого элемента массы Δm вращающегося твердого тела выражается соотношением:

Δs = rΔφ,

где r - модуль радиус-вектора (рис. 1.). Отсюда следует связь между модулями линейной и угловой скоростей:

υ = rω,

и между модулями линейного и углового ускорения:

 = a_τ = rε.

Векторы и направлены по касательной к окружности радиуса r. Следует вспомнить, что при движении тела по окружности возникает также нормальное или центростремительное ускорение, модуль которого есть

Разобьем вращающееся тело на малые элементы Δm_i. Расстояния до оси вращения обозначим через r_i, модули линейных скоростей - через υ_i. Тогда кинетическую энергию вращающегося тела можно записать в виде:

Физическая величина зависит от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения. Она называется моментом инерции I тела относительно данной оси:

В пределе при Δm → 0 эта сумма переходит в интеграл. Единица измерения момента инерции в СИ - килограмм-метр в квадрате (кг∙м²). Таким образом, кинетическую энергию твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси, можно представить в виде

Эта формула очень похожа на выражение для кинетической энергии поступательно движущегося тела только теперь вместо массы m в формулу входит момент инерции I, а вместо линейной скорости υ - угловая скорость ω.

Момент инерции в динамике вращательного движения играет ту же роль, что и масса тела в динамике поступательного движения. Но есть и принципиальная разница. Если масса - внутреннее свойство данного тела, не зависящее от его движения, то момент инерции тела зависит от того, вокруг какой оси оно вращается. Для разных осей вращения моменты инерции одного и того же тела различны.

Во многих задачах рассматривается случай, когда ось вращения твердого тела проходит через его центр массы. Положение x_C, y_C центра масс для простого случая системы из двух частиц с массами m₁ и m₂, расположенными в плоскости XY в точках с координатами x₁, y₁ и x₂, y₂ (рис. 2.), определяется выражениями:

Рис. 2. Центр масс C системы из двух частиц

В векторной форме это соотношение принимает вид:

Аналогично, для системы из многих частиц радиус-вектор центра масс определяется выражением

Для сплошного тела суммы в выражении для заменяются интегралами. Легко видеть, что в однородном поле тяготения центр масс совпадает с центром тяжести. Если в однородном поле тяготения твердое тело сложной формы подвесить за центр масс, то оно будет находиться в безразличном состоянии равновесия. Поэтому положение центра масс тела сложной формы можно практически определить путем последовательного подвешивания его за несколько точек и отмечая по отвесу вертикальные линии (рис. 3.).

Рис.3. Определение положения центра масс C тела сложной формы.A₁, A₂, A₃ точки подвеса

Равнодействующая сил тяжести в однородном поле тяготения приложена к центру масс тела. Если тело подвешено за центр масс, то оно находится в состоянии безразличного равновесия.

Любое движение твердого тела можно представить как сумму двух движений: поступательного движения со скоростью центра масс тела и вращения относительно оси, проходящей через центр масс. Примером может служить колесо, которое катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности (рис. 4.). При качении колеса все его точки движутся в плоскостях, параллельных плоскости рисунка. Такое движение называется плоским.

При плоском движении кинетическая энергия движущегося твердого тела равна сумме кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращения относительно оси, проходящей через центр масс тела и перпендикулярной плоскостям, в которых движутся все точки тела:

где m - полная масса тела, I_C - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Рис.4. Качение колеса как сумма поступательного движения со скоростью и вращения с угловой скоростью относительно оси O, проходящей через центр масс

В механике доказывается теорема о движении центра масс: под действием внешних сил центр масс любого тела или системы взаимодействующих тел движется как материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы.

Иллюстрацией этого утверждения может служить рис. 5, на котором изображено движение тела под действием силы тяжести. Центр масс тела движется по параболической траектории как материальная точка, в то время как все другие точки движутся по более сложным траекториям.

Рис.5.Движение твердого тела под действием силы тяжести

Если твердое тело вращается относительно некоторой неподвижной оси, то его момент инерции I можно выразить через момент инерции I_C этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой.

Рис.6. К доказательству теоремы о параллельном переносе оси вращения

Рассмотрим сечение твердого тела произвольной формы, изображенное на рис. 6. Выберем координатную систему XY с началом координат O в центре масс C тела. Пусть одна из осей вращения проходит через центр масс C, а другая через произвольную точку P, расположенную на расстоянии d от начала координат. Обе оси перпендикулярны плоскости чертежа. Пусть Δm_i - некоторый малый элемент массы твердого тела. По определению момента инерции:

Выражение для I_P можно переписать в виде:

Поскольку начало координат совпадает с центром масс C, последние два члена обращаются в нуль. Это следует из определения центра масс. Следовательно,

_P = I_C + md²,

где m - полная масса тела. Этот результат называют теоремой Штейнера (теоремой о параллельном переносе оси вращения).

Модель. Момент инерции:

На рис. 7 изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.

Второй закон Ньютона может быть обобщен на случай вращения твердого тела относительно неподвижной оси. На рис. 8. изображено некоторое твердое тело, вращающееся относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку O.

Рис. 8. Касательная и радиальная составляющие силы действующей на элемент Δm_i твердого тела

Касательная составляющая вызывает тангенциальное ускорение массы Δm_i. Второй закон Ньютона, записанный в скалярной форме, дает

Δm_ia_iτ = F_iτ = F_i sin θ или Δm_ir_iε = F_i sin θ,

где - угловое ускорение всех точек твердого тела.

Если обе части написанного выше уравнения умножить на r_i, то мы получим:

Здесь - плечо силы - момент силы.

Теперь нужно аналогичные соотношения записать для всех элементов массы Δm_i вращающегося твердого тела, а затем просуммировать левые и правые части. Это дает:

Стоящая в правой части сумма моментов сил, действующих на различные точки твердого тела, состоит из суммы моментов всех внешних сил и суммы моментов всех внутренних сил.

Но сумма моментов всех внутренних сил согласно третьему закону Ньютона равна нулю, поэтому в правой части остается только сумма моментов всех внешних сил, которые мы будем обозначать через M. В итоге:

ε = M.

Это и есть основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Угловое ускорение ε и момент сил M в этом уравнении являются величинами алгебраическими. Обычно за положительное направление вращения принимают направление против часовой стрелки.

Возможна и векторная форма записи основного уравнения динамики вращательного движения, при которой величины,, определяются как векторы, направленные по оси вращения.

При изучении поступательного движения тел вводится понятие импульса тела. Аналогично, при изучении вращательного движения вводится понятие момента импульса.

Моментом импульса вращающегося тела называют физическую величину, равную произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения. Момент импульса обозначается буквой L:

 = Iω.

Поскольку уравнение вращательного движения можно представить в виде:

Окончательно будем иметь:

Это уравнение, полученное здесь для случая, когда I = const, справедливо и в общем случае, когда момент инерции тела изменяется в процессе движения.

Если суммарный момент M внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L = Iω относительно данной оси сохраняется: ΔL = 0, если M = 0. Следовательно, L = Iω = const.

Это и есть закон сохранения момента импульса. Иллюстрацией этого закона может служить неупругое вращательное столкновение двух дисков, насажанных на общую ось (рис. 9).

Рис. 9. Неупругое вращательное столкновение двух дисков. Закон сохранения момента импульса:

I₁ω₁ = (I₁ + I₂)ω

Закон сохранения момента импульса справедлив для любой замкнутой системы тел. Он выполняется, например, при движении планет по эллиптическим орбитам вокруг Солнца (второй закон Кеплера).

Уравнение вращательного движения тела можно записывать не только относительно неподвижной или равномерно движущейся оси, но и относительно оси, движущейся с ускорением.

Основное уравнение динамики вращательного движения не изменяет своего вида и в случае ускоренно движущихся осей при условии, что ось вращения проходит через центр массы тела и что ее направление в пространстве остается неизменным. Примером может служить качение тела (обруч, цилиндр, шар) по наклонной плоскости с трением (рис. 10).

Рис. 10. Качение симметричного тела по наклонной плоскости

Ось вращения O проходит через центр масс тела. Моменты силы тяжести и силы реакции относительно оси O равны нулю. Момент M создает только сила трения: M = F_трR.

Уравнение вращательного движения:

где ε - угловое ускорение катящегося тела, a - линейное ускорение его центра масс, I_C - момент инерции относительно оси O, проходящей через центр масс.

Второй закон Ньютона для поступательного движения центра масс записывается в виде:

ma = mg sin α - F_тр.

Исключая из этих уравнений F_тр, получим окончательно:

Из этого выражения видно, что быстрее будет скатываться с наклонной плоскости тело, обладающее меньшим моментом инерции. Например, у шара а у сплошного однородного цилиндра

Следовательно, шар будет скатываться быстрее цилиндра.

Теория метода

Задачей данной лабораторной работы является экспериментальная проверка основного закона динамики вращательного движения твердого тела.

Рис. 11. Схема установки ЛКМ-6: 1 - цилиндры, 2 - нить с платформой, 3- грузик, 4 - тормоз, 5 - шкала, 6 - табло измерения времени, 7 - тумблер переключения единиц измерения времени, 8 - кнопка ручного секундомера, 9 - кнопка «готов», 10 -тумблер режимов работы «однокр», «цикл», 11 - тумблер заданного угла поворота столика (1- поворот на 2π, 2 - поворот на 4π), 12 - тумблер «сеть», 13 - ролики-блоки.

Упражнение 1. «Проверка кинематического уравнения равноускоренного вращательного движения»

вращательный твердый тело кинематический

Порядок выполнения работы:

Соберите установку согласно рис.11.

. Закрепите положение вращающегося столика с помощью тормоза 4.

. Установите на столике цилиндры 1 с массой М =502,5 г на расстоянии 10 см от оси вращения

. Зацепите нить 2 с платформой для грузиков с одного конца за штырь на шкиве вращающегося столика с радиусом шкива r =1,2см, намотайте нить на шкив примерно на 1,5 оборота и перекиньте нить с держателем для грузиков через блоки 13 согласно рис.11.

. Установите грузик 3 массой 50г на платформе.

. Включите установку в сеть 220 В и установите тумблер работы прибора на «сеть» (12 на рис.11).

. Установите тумблер 11 в положение 1, что соответствует углу поворота столика на угол φ, равный 2π.

7. Установите тумблер 10 в положение «однокр».

. Освободив тормоз 4 поверните столик так, чтобы риска диска - указателя оказалась напротив нулевого деления шкалы 5 и вновь зафиксируйте положение стола тормозом 4.

. Нажмите кнопку «готов» и отпустите тормоз. Система начнет движения, при этом таймер начнет отсчитывать время движения.

. Запишите время вращения столика в табл. 1.

. Повторите измерения еще два раза, занесите данные в табл.1.

. Установите тумблер 11 в положение 2, что соответствует углу поворота 4π.

13. Проведите измерения времени вращения для угла поворота 4π, повторив выполнение пунктов начиная с 8, занесите данные в табл. 1.

. Для каждого угла поворота по среднему значению времени вращения t_ср

t_{ср = (}t_{1 +} t_{2 +} t_{3) /3}

вычислите угловое ускорение по формуле ε = 2φ /t_ср ². Результаты расчетов занесите в табл.1. Убедитесь в том, что 2φ₁ /t²_ср1 ≈ 2φ₂ /t²_ср2.

Упражнение 2. «Проверка основного закона вращательного движения твердого тела»

Проверка состоит в установлении пропорциональности между угловым ускорением ε и моментом вращающей силы М, а также обратной зависимости ускорения ε от момента инерции тела I (формула основного закона вращательного движения). Если пренебречь действующей силой трения, то вращающий момент силы будет равен (m₀ + m)gr, где m₀ -масса платформы на нити, m - масса грузика на нити, r-радиус шкива. Момент инерции поворотного стола I₀= 2,88*10^-3 кг*м². Момент инерции стола с цилиндрами I = I₀ + 2 I_ц, где I_ц зависит от расстояния от осей цилиндров до оси вращения.

Порядок выполнения работы:

1. Закрепите положение вращающегося столика с помощью тормоза 4.

. Установите на столике цилиндры 1 с массой М =502,5 г на расстоянии 10 см от оси вращения

. Зацепите нить 2 с платформой для грузиков с одного конца за штырь на шкиве вращающегося столика с радиусом шкива r =1,2см, намотайте нить на шкив примерно на 1,5 оборота и перекиньте нить с держателем для грузиков через блоки 13 согласно рис.5.

. Установите грузик 3 массой 50г на платформе с нитью.

. Включите установку в сеть 220 В и установите тумблер работы прибора на «сеть» (12 на рис.11).

. Установите тумблер 11 в положение 2, что соответствует углу поворота столика на угол φ, равный 4π.

7. Установите тумблер 10 в положение «однокр».

. Освободив тормоз 4 поверните столик так, чтобы риска диска - указателя оказалась напротив нулевого деления шкалы 5 и вновь зафиксируйте положение стола тормозом 4.

. Нажмите кнопку «готов» и отпустите тормоз. Система начнет движения, при этом таймер начнет отсчитывать время движения.

. Запишите время вращения столика в табл. 2.

. Повторите измерения еще два раза, занесите данные в табл.2.

. Переместите цилиндры на расстояние 4 см от оси вращения.

. Повторите измерения согласно пунктам 8-11 и занесите результаты измерений в табл.2.

. Замените грузик массой 50г, установленный на платформе с нитью, на грузик массой 20г.

. Приведите систему в состояние готовности.

. Повторите измерения согласно пунктам 8-11 и занесите результаты измерений в табл.2.

. Для каждого измерения по среднему значению времени вращения t_ср

t_{ср = (}t_{1 +} t_{2 +} t_{3) /3}

вычислите угловое ускорение по формуле ε = 2φ /t_ср ². Результаты расчетов занесите в табл.2.

. Проведите анализ зависимости углового ускорения от момента вращающей силы и момента инерции сложного твердого тела.

Таблица 2

Список литературы

1. Александров Н.В., Яшкин Л.Я. Курс общей физики. Механика. - М.: Просвещение, 1978.

2. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики, Т.I. - М.: Высшая школа, 1973.

3. Лабораторный практику по общей физики. / Под. ред. Гершензона и Малова Е.М. - М.: Просвещение, 1985.

4. Савельев И.В. Курс общей физики. Механика и молекулярная физика. - М.: Наука, 1986.

5. Савельев И.В. Курс физики, т. I. - М.: Наука, 1973.

6. Салецкий А.М., Слепков А.И. Динамика твердого тела. Лабораторный практикум. - М.: издательство физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, 1997.

7. Хайкин С.Э. Физические основы механики. - М.: Наука, 1971.