Математика мыльных пузырей
Содержание
Введение
Почему
мыльный пузырь имеет форму сферы?
Сложная
задача для всех математиков
Простейшие
математические задачи с мыльными пузырями
Что
полезного в мыльных пузырях
Заключение
Список
используемой литературы
Введение
На сегодняшний день мыльные пузыри становятся
модными объектами. Из веселого развлечения для детей они превращаются в элемент
технологии праздника и способом украшения крупных праздников. "Сегодня
ФАНТАСТИЧЕСКОЕ ШОУ МЫЛЬНЫХ ПУЗЫРЕЙ является одним из самых дорогих проектов мировой
развлекательной индустрии" - пишут в газетах и журналах. Мы имеем дело с
интереснейшим объектом с точки зрения математики и физики, изучая свойства
которого мы можем не только развлекаться, но и понимать глубже, как устроен
мир, в котором мы живем. Например, известно, что мыльные пузыри также являются
математической иллюстрацией проблемы минимальной поверхности. Несмотря на то,
что с 1884 года известно, что мыльный пузырь имеет минимальную площадь
поверхности при заданном объеме, только в 2000 году было доказано, что два
объединенных пузыря также имеют минимальную площадь поверхности при заданном
объединенном объеме. Эта задача была названа теоремой двойного пузыря.
Следовательно, мыльный пузырь является
уникальным объектом, содержащим внутри неразгаданные загадки физики, химии,
математики. Попробуем приоткрыть тайны мыльного пузыря как математического
объекта.
Почему мыльный пузырь имеет форму сферы?
Существует такая теорема: «Среди всех выпуклых
многогранников трёхмерного евклидова пространства с данными направлениями
граней и с данным объемом наименьшую площадь поверхности имеет многогранник,
описанный вокруг шара». Она была доказана в 1869 году Л. Линделёфом.
Сама сферическая форма пузыря получается за счёт
поверхностного натяжения. Наличие сил поверхностного натяжения делает
поверхность жидкости похожей на упругую растянутую пленку, с той только
разницей, что упругие силы в пленке зависят от площади ее поверхности (то есть
от того, как пленка деформирована), а силы поверхностного натяжения не зависят
от площади поверхности жидкости.
Коэффициент поверхностного натяжения σ
может
быть определен как модуль силы поверхностного натяжения, действующей на единицу
длины линии, ограничивающей поверхность.
Из-за действия сил поверхностного
натяжения в каплях жидкости и внутри мыльных пузырей возникает избыточное
давление Δp.
Если мысленно разрезать сферическую
каплю радиуса R на две половинки, то каждая из них должна находиться в
равновесии под действием сил поверхностного натяжения, приложенных к границе 2πR разреза, и
сил избыточного давления, действующих на площадь πR2 сечения.
Так как пленка мыльного пузыря имеет
две поверхности, то избыточное давление внутри него в два раза больше,:
Условие равновесия для мыльных
пузырей записывается в виде: σ4πR = ΔpπR2
С поверхностью жидкости связана свободная
энергия
<#"701309.files/image004.gif">
где σ -
коэффициент поверхностного натяжения, S - полная площадь поверхности жидкости.
Так как свободная энергия
изолированной системы стремится к минимуму, то жидкость (в отсутствие внешних
полей) стремится принять форму, имеющую минимальную площадь поверхности. А по
теореме Линделефа следует, что мыльный пузырь будет принимать форму сферы.
Сложная задача для всех математиков
Как соединить два мыльных пузыря
так, чтобы суммарная площадь поверхности с площадью перегородки была
наименьшей? Ответ на этот вопрос был дан лишь в 2000 году. Но это только для
двух мыльных пузырей. Тот же вопрос для трех и более пузырей до сих пор
остается открытым. Немногим лучше обстоит дело и в плоском случае. Несмотря на
все достижения математики, геометрия пузырьковых соединений остается очень
сложной задачей.
Интуитивно кажется очевидным, что
решением задачи для двух слипшихся пузырей будут два «слипшихся круга», но
доказать это со всей строгостью математикам удалось лишь в 1993 году.
Аналогичная задача для трех участков заданной площади поддалась математикам
лишь в 2004 году.
Вопрос о форме кластера,
охватывающего четыре или больше участков плоскости заданной площади и делающий
суммарный периметр наименьшим, до сих пор остается открытым. Конечно, эту
задачу можно попытаться решить на компьютере (см. рисунок ниже), но никогда
нельзя быть абсолютно уверенным в том, что компьютер нашел самую реалистичную
структуру. Кто знает, может быть существует кластер очень хитрой геометрии с
еще меньшим суммарным периметром, который компьютер просто «не заметит»?
Еще более удивительна история поиска
минимальных поверхностей в трехмерном пространстве - то есть таких замкнутых
фигур, которые, охватывая N заданных объемов, имеют наименьшую площадь
поверхности (опять же, тут учитываются как наружные стенки, так и внутренние
перегородки). Интуиция подсказывает, что для N = 1 это будет просто сфера, для
N = 2 - как бы два слипшихся мыльных пузыря, для N = 3 - три пузыря, слипшихся
в виде равностороннего треугольника (если соединить между собой центры трех
сфер) и т. д. Однако доказать это математически строго оказывается еще более
трудным занятием, практически невозможным.
Например, строгое доказательство
того, что при заданном объеме сфера действительно обладает минимальной площадью
среди всех поверхностей, было дано в 1884 году. Задача для N = 2 была решена
только в 2000 году. Задача для N = 3 до сих пор остается нерешенной; более
того, придется ждать еще сотню лет для получения строгого доказательства.
Для тех, кто в математике плохо
разбирается, всё это может показаться чрезвычайно странным. Откуда вообще в
такой простой задаче, как, например, нахождение минимальной поверхности с двумя
пузырями, могут возникнуть такие сложности?
Здесь две причины. Первый состоит в
том, что в самой формулировке задачи нет и намека на гладкость решения.
Изначально попросту неизвестно, будет наш мыльный пузырь с гладкой поверхностью
или поверхность будет бесконечно изломанной и запутанной. Лишь во второй
половине XX века, после развития такой области в математике, как геометрическая
теория меры, удалось строго доказать, что, при соединении двух мыльных пузырей
их искомые наименьшие по площади поверхности обязаны быть гладкими.
Вторая причина: для двух пузырей
можно придумать несколько разных вариантов их взаимного расположения. Какой
именно вариант будет обладать минимальной поверхностью, без явных подробных
вычислений сказать нельзя.
Отдельно стоит сказать, почему
обсуждение этих сугубо математических вопросов появились в научных журналах по
физике. Пузырчатые системы часто встречаются в природе. Это не только сами
мыльные пузыри, но и разнообразные пены, пористые среды и даже живые организмы.
Во всех этих системах поверхность пузыря обычно обладает специфической формой
энергии - поверхностным натяжением. Минимизация общей поверхности в этом случае
означает минимизацию полной поверхностной энергии при разбиении объема на
заданные части. Именно поэтому задачи с наименьшими площадями при
соприкосновении мыльных пузырей встречаются и в природе.
Простейшие математические задачи с
мыльными пузырями
Задача №1. На какое наибольшее число
частей могут разделить пространство поверхности кубического каркаса и мыльного
пузыря?
Решение: Как мы уже выяснили,
мыльный пузырь в геометрии - это шар. Поэтому условие задачи сводится к тому,
что мы ищем наибольшее число частей при разделении пространств куба и сферы.
Сфера и куб могут делить
пространство на следующие части:
часть, находящаяся вне сферы и куба
(она одна);
часть, находящаяся как внутри сферы,
так и внутри куба;
части, находящиеся внутри куба, но
вне сферы (если такие части существуют, то в каждую такую часть войдет как
минимум один трехгранный угол куба, то есть таких частей будет не более восьми,
т.к. у куба восемь вершин);
части, находящиеся внутри сферы, но
вне куба (таких частей не больше граней куба, то есть не больше шести);
Итак, число частей не больше, чем
1+1+8+6 = 16. Если мыльный пузырь касается всех ребер кубического каркаса, то
частей ровно 16.
Задача №2. Мыльный пузырь надули в
конусообразную емкость. Боковая поверхность конуса, описанного вокруг мыльного
пузыря, имеет площадь, равную полуторной площади поверхности мыльного пузыря.
Найти высоту конуса, если радиус пузыря равен 
.
Решение. Введем для удобства угол а
между высотой и образующей конуса (рис. 18). Найдем для высоты, радиуса
основания и образующей конуса выражения
,
,
.
Площадь боковой поверхности конуса
равна
.
По условию задачи имеем уравнение
,
откуда для 
получается
квадратное уравнение
; 
;
решая его, имеем для 
два значения:
, 
,
которым отвечают два условия
поставленной задачи:
, 
.
Ответ: , .
Математика и физика в мыльных
пузырях. Задачи
Задача №3. Два мыльных пузыря с
радиусами кривизны R1 и R2 (R1 > R2) посажены друг на друга так, как
показано на рисунке. Каков радиус кривизны плёнки между ними? Какой угол
образуют между собой плёнки в месте контакта?
Решение. Давления по разные стороны
плёнки различаются на величину дополнительного давления с кривизной поверхности
раздела сред: 
В состоянии равновесия плёнки
давление слева на неё и давление справа одинаково, то есть
,
где 
- избыточное давление, создаваемое
поверхностью с радиусом кривизны R1; 
- избыточное давление, создаваемое
поверхностью с радиусом кривизны R; 
- избыточное давление, создаваемое
поверхностью с радиусом кривизны R2 (как показано на рисунке).
Поскольку плёнки имеют две
поверхности - наружную и внутреннюю - практически одного радиуса кривизны, так
как толщина мыльной плёнки пренебрежимо мала, то избыточное давление 
. Поэтому
Откуда
, 
.
Система трёх плёнок находится в
состоянии равновесия под действием сил поверхностного натяжения.
Следовательно, силы поверхностного натяжения в любой точке поверхности
соприкосновения пузырей уравновешивают друг друга и равны между собой. Это
возможно только в том случае, если углы между силами составляют углы α =
120º.
Ответ: α =
120º.
Задача (интерференция света в
мыльном пузыре). Тонкая плёнка при освещении белым светом кажется в отражённом
свете зелёной, если на неё смотреть перпендикулярно. Как будет меняться окраска
плёнки, если увеличивать угол падения?
Решение. Выполним расчёт оптической
разности хода световых лучей в тонких плёнках при падении параллельных лучей.
Пусть на плоскопараллельную
прозрачную плёнку с показателем преломления 
и толщиной 
из среды с
показателем преломления 
под углом 
падает
плоская монохроматическая волна. На поверхности плёнки в точке О луч разделится
на два: частично отразится от верхней поверхности плёнки, а частично
преломится. Преломлённый луч, дойдя до точки С, частично преломится в среду 
, а частично
отразится и пойдёт к точке В (дальнейший ход луча не рассматриваем). Вышедшие
из плёнки лучи 1 и 2 когерентны, если оптическая разность их хода мала по
сравнению с длиной когерентности падающей волны. Если на их пути поставить
собирающую линзу, то они сойдутся в одной из точек фокальной плоскости линзы
(или на сетчатке глаза) и дадут интерференционную картину.
Для расчёта оптической разности хода
необходимо знать расстояние 
, проходимое световой волной в среде
1 с показателем преломления и расстояние 
, проходимое
волной в веществе плёнки (среда 2) с показателем преломления . При
отражении от оптически более плотной среды следует учитывать изменение фазы
колебаний в световой волне, то есть потерю полуволны.
В 
В 
С учётом закона преломления 
оптическая
разность хода волн равна:
=
При прочих равных условиях результат
интерференции в отражённом свете зависит от толщины плёнки, угла падения лучей
волны на плёнку, относительного показателя преломления вещества плёнки, а так
же от соотношения показателей преломления вещества плёнки и сред, окружающих
её.
Обычно на одной (реже на двух) из
поверхностей происходит так называемое отражение с «потерей» полуволны, поэтому
оптическую разность хода определяют как 
Как следует из полученного выше
соотношения, оптическая разность хода при уменьшении угла падения α увеличивается,
при этом увеличивается длина волны λ, для которой наблюдается
интерференционный максимум (максимум смещается к красному концу спектра). При
увеличении угла падения максимум смещается к фиолетовому концу спектра: с
ростом угла падения окраска будет меняться от зелёной до голубой, синей,
фиолетовой.
Таким образом, переливы цвета
связаны как с изменением толщины плёнки вследствие стекания жидкости вниз под действием
силы тяжести и испарения воды, так и с изменением угла падения световых лучей
на плёнку. Даже если бы толщина плёнки всё время оставалась бы одинаковой, мы
всё равно наблюдали бы «переливы» цвета из-за движения пузыря.
Задача (объединение двух пузырей).
Обсудить задачу безусловно стоит,
хотя бы для того, чтобы выяснить, каким образом два объединенных пузыря и
получившийся третий «заботятся» о том, что связанная энергия с ними понизилась.
Задача состоит в том, чтобы найти
связь между радиусами R1 и R2 двух объединяющих пузырей и радиусом R3 пузыря,
который образовался после объединения. Будем исходить из следующего
утверждения: сумма числа молекул газа в первом пузыре и числа молекул во втором
равна числу молекул газа в образовавшемся третьем:
Полное число молекул газа в пузыре
радиусом R определяется известной формулой:
Воспользовавшись определением N и
ранее записанным условием сохранения числа молекул газа, получаем следующую
связь:
Задача №7. В сосуд с подвижным
поршнем заключён мыльный пузырь радиусом r. Медленным вдвиганием поршня воздух
в сосуде сжимают так, что радиус пузыря уменьшается вдвое. Найдите давление
воздуха вне пузыря в цилиндре в этот момент, если давление воздуха вне пузыря в
исходном состоянии равно р.
Решение. Для удобства рассуждений
будем считать процесс сжатия воздуха изотермическим. Для решения задачи будем
использовать закон Бойля-Мариотта для воздуха в объёме шара
.
Определим параметры газа. Обозначим
первоначальное давление в сосуде 
, а конечное 
. Начальное
давление в мыльном пузыре было равно
,
после сжатия стало
Объём мыльного пузыря в начальном
состоянии
,
объём пузыря после сжатия становится
равным
Так как отношение объёмов
,
то давление также увеличивается в 8
раз
Искомое давление в сосуде равно
Ответ: 
Что полезного в мыльных пузырях
Строение мыльных пузырей позволяет
понять процесс удаления грязи с помощью мыльной воды. Гидрофильная часть
моющего вещества взаимодействует с водой, проникает в воду и увлекает с собой
частицу загрязняющего вещества, присоединенную к гидрофобному концу.
В метеорологии и аэронавтике
прототип мыльного пузыря - аэростат (воздушный шар) - используется для
разведки погоды и увлекательных воздушных путешествий. В оболочке мыльного
пузыря находится горячий воздух, который (как известно) обладает меньшей
плотностью, чем холодный и собственно, поэтому пузырь способен подниматься
вверх. По такому же принципу взлетает в небо аэростат.
Мыльная плёнка, натянутая на
каркасы, может принимать самый невероятный, казалось бы, вид. Этим свойством
широко пользуются архитекторы и конструкторы. Площадь пленок, натянутых на
каркас, всегда минимальна, т.к. это соответствует минимуму поверхностной
энергии. При проектировке зданий крыши макетов выполняются в виде каркасов.
Расчет проверяется с помощью мыльных пленок, которые формируются на этих
рамках. Архитекторы и конструкторы знают, что натянувшаяся плёнка подскажет им
самую экономичную и устойчивую конструкцию покрытия при минимальном расходе
материала.
В горной промышленности с помощью
пузырьков, но воздушных, проводят флотацию: процесс обогащения горных руд.
Пузырьки в растворе обволакивают частички руды и поднимают её на поверхность, а
пустая порода остаётся на дне.
Живые клетки тоже в некоторых
процессах сродни мыльным пузырям (палочки и колбочки в сетчатке глаза упакованы
по принципу уменьшения площади поверхности; процесс заморозки биологических
мембран происходит также, как замораживание мыльного пузыря).
Исследователи из Центра радиоволн и
молекулярной оптики (Centre de Physique Moleculaire Optique et Hertzienne,) в
Бордо (Франция) обнаружили, что вихри, определенным образом созданные в мыльных
пузырях, ведут себя аналогично более масштабным атмосферным явлениям, таким как
циклоны и ураганы. Мыльные пузыри дали возможность промоделировать факторы,
управляющие траекторией поведения ураганов.
Мыльные пузыри - идеальная модель
для изучения турбулентности в газовых оболочках планет, так как по своим
физическим параметрам отношение толщины мыльной пленки к диаметру пузыря
эквивалентно отношению толщины атмосферы к диаметру планеты. Постановка
эксперимента французских ученых очень простая. Половина мыльного пузыря,
находящегося при комнатной температуре 17°C, с радиусом в разных вариациях
эксперимента от 8 до 10 см, нагревалась с помощью специального колечка,
охватывающего экватор пузыря. Тепло конвективным образом распространялось от
экватора к полюсам, создавая градиент (разность) температур ΔT. Облучая
изучаемый объект белым светом, исследователи наблюдали интерференционную
картину, из которой видно, что при наибольшей разности температур между
экватором и полюсом происходило зарождение вихря, подобного атмосферному
циклону - это видно на рисунке.
Также мыльные пузыри используются в
нефтеперерабатывающей промышленности. Чтобы превратить нефть в различные
материалы, необходимые человечеству, ее приходится перерабатывать. Для
эффективной переработки нефти российские ученые предлагают использовать мицеллы
- по сути, мыльные пузыри. Эти и другие исследования ПАВ поддерживаются
российскими и международными грантами. Ученые московского Института химической
физики РАН одни из первых выяснили, что если в уже очищенную нефть добавить
воды и поверхностно-активные вещества, то в нефти образуются стабильные
"мыльные пузыри", наполненные водой. Оказалось, что в этих пузырьках,
которые ученые назвали "мицеллами", могут происходить различные
химические реакции. Ученые сконструировали такие "микрореакторы" для
окислительной переработки углеводородного сырья. Так называемое жидкофазное
окисление углеводородов позволяет превратить нефть в органические кислоты,
эфиры, мономеры. Именно из этих веществ потом получают полимеры, красители,
лекарства и многое другое.
И, наконец, даже когда пузырь
лопается, это тоже идёт на пользу науке. Изучая лопающиеся пузырьки, ученые,
пришли к пониманию процессов кавитации - образовании в капельной жидкости
полостей, заполненных газом, паром или их смесью (так называемых кавитационных
пузырьков, или каверн). Когда такое происходит в воде, давление меняется очень
резко, отчего может разрушиться даже металл, скажем, трубопровод.
Заключение
Несмотря на большое количество
разного рода сведений о мыльных пузырях, обязательно найдутся «белые пятна»,
требующие дальнейших исследований. Есть много других, не рассмотренных в данной
работе, задач о мыльных пузырях, экспериментальных и теоретических. Причем в
изопериметрических задач строго доказанные теоремы о наименьших площадях для
трех и более объединившихся мыльных пузырей оказались бы полезными. Мыльный
пузырь как объект исследования в математике и физике помог бы изучить множество
явлений в природе через абстрактные модели.
Список используемой литературы
математика мыльный
пузырь задача
Блинов
Л. Молекулы-русалки “Наука и жизнь”, №4,1989
Гегузин
Я.Е. Пузыри - М.: Наука, 1985.
Гигантские
мыльные пузыри. УСТРОЙСТВО ДЛЯ ВЫДУВАНИЯ МЫЛЬНЫХ ПУЗЫРЕЙ патент РФ № 2139119
“Известия
науки”, портал http://www.inauka.ru ,редакция газеты "Известия", 2002
Перельман
Я. “Занимательная физика”, Москва, 1967г.
Мякишев
Г. Я., Буховцев Б.Б. «Физика 11»
Пузыри
на морозе. “Наука и жизнь”, №2,1982.
Шварц
А., Перри Дж., Берн Д ж., Поверхностно-активные вещества и моющие средства, М.,
1960
Лущекина
О.Б., школа № 307, г. Москва “Шоу мыльных пузырей, или куда может завести
работа над проектом”, газета “Физика”, №22 2004г.
<http://demonstrator.narod.ru/experiments/bubble.html>
<http://demonstrator.narod.ru/experiments/bubble.html>
<http://www.afizika.ru/skorost>