Фондовые индексы и их влияние на рынок

Фондовые индексы и их влияние на рынок

Содержание

Введение

Глава 1. Фондовые индексы и их влияние на рынок

.1 Сущность, роль и цели фондовых индексов

.2 Классификация фондовых индексов

.3 Методы расчёта фондовых индексов

Глава 2. Синергетика и нелинейная динамика. Новые подходы к старым проблемам

.1 Нелинейная экономика рынка: многообразие справедливости и фрактальная динамика

.2 Показатели Ляпунова

.3 Хаотические свойства курсов валют

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Знания основных закономерностей поведения хаотических сред позволяют перейти к целенаправленному конструированию искусственных систем, процессы самоорганизации в которых приводили бы к образованию нужных структур. Пока в этом направлении предпринимаются лишь самые первые шаги. Наиболее развитым приложением является создание устройств обработки информации на основе применения хаотических систем. Действие таких устройств базируется на использовании естественной «внутренней» структуры системы и управлении притоком энергии, т. е. фактически на том же принципе, который положен в основу контролирования хаотических систем. Это дает возможность при относительно малых энергетических затратах создать устройства принципиально нового типа, способные запоминать, шифровать и обрабатывать заданную информацию.

Более того, экспериментальные данные свидетельствуют о том, что автоколебания (в том числе хаос) играют важную роль в процессе анализа информации нейроподобными системами. Следовательно, принцип организации памяти необходимо представить как динамический процесс. Такой подход привел к использованию теории динамических систем в проблеме обработки информации и создания систем искусственного интеллекта. Он основан на том факте, что хаотические множества, как правило, содержат бесконечное подмножество седловых (т.е. неустойчивых) предельных циклов. Имеющиеся в настоящее время методы позволяют, в принципе, либо их стабилизировать, либо создать новые циклы, которые не существовали в исходной хаотической системе. Это и является ключом к решению проблемы обработки информации и организации динамической памяти на основе использования диссипативных систем с подавленным хаосом.

Развитие теории динамических систем дает возможность по-новому и с достаточно общей точки зрения подойти к созданию систем обработки и передачи информации. Углубление и дальнейшее обобщение полученных в этой области результатов позволит вплотную приблизиться к решению проблемы искусственного интеллекта.

Теория и практика экстремальных задач, выбор оптимального управления в детерминированных и стохастических условиях, многие подходы математической экономики базируются на фундаментальных идеях функционального анализа, связанных с выпуклостью и мерой.

Целью настоящей курсовой работы является - анализ возможности использования функции Ляпунова для исследования устойчивости нелинейной системы, в частности фондовых рынков.

В соответствии с поставленной целью необходимо решить следующие задачи:

рассмотреть сущность, роль и основные цели фондовых индексов;

изучить классификацию фондовых индексов;

рассмотреть возможные методы расчета фондовых индексов;

рассмотреть особенности экономики рынка с точки зрения нелинейности.

Глава 1. Фондовые индексы и их влияние на рынок

.1 Сущность, роль и цели фондовых индексов

При совершении операций с ценными бумагами важно знать динамику курсов их конкретных видов, правильно оценивать воздействие всех факторов, влияющих на динамику. Оценками финансового положения  <#"698365.files/image001.gif">. Пусть имеется нелинейное уравнение движения в двухмерном фазовом пространстве

Движение будет устойчивым, если функция Ляпунова удовлетворяет следующим требованиям:

. Линии уровня функции Ляпунова замкнуты;

. Функция Ляпунова неотрицательна;

. Скалярное произведение градиента функции Ляпунова и вектораскорости в любой точке отрицательно:

;

Рис. 1 - Функция Ляпунова

В самом деле, скалярное произведение градиента функции Ляпунова и вектора скорости в любой точке своим знаком показывает тупой или острый угол α. Если угол α тупой, то вектор скорости направлен внутрь линии уровня, и траектория движения стремится войти внутрь линии уровня и далее двигаться к началу координат. Если, наоборот, α острый, то траектория стремится от начала координат. Очевидно, что в первом случае система устойчива, а во втором случае - нет.

Данное скалярное произведение есть также полная производная функции Ляпунова по времени.

Теперь дадим формулировку теоремы Ляпунова. Теорема Ляпунова (эскиз формулировки).

Пусть найдется функция  такая, что ее производная вдоль траектории системы  отрицательна, т.е. выражение отрицательно. Тогда система устойчива.

К сожалению, не существует общего метода построения функции Ляпунова для произвольной нелинейной системы.

Однако к настоящему времени функции Ляпунова построены практически для всех наиболее важных классов нелинейных систем, встречающихся на практике.

Более того, если построена функция Ляпунова, то через нее удается выразить такие показатели качества переходного процесса как перерегулирование время переходного процесса и т.д.

Один из важнейших классов нелинейных систем, для которых можно построить функцию Ляпунова, это случай наличия единственной нелинейности F(x) в системе, как в методе гармонической линеаризации. Тогда функцию Ляпунова можно выбрать в виде:

В случае линейной системы функцию Ляпунова можно всегда выбрать в виде квадратичной формы.

2.2 Показатели Ляпунова

Показатели Ляпунова играют важную роль в теории гамильтоновых и диссипативных динамических систем. Они дают вычислимую количественную меру степени стохастичности. Помимо этого, существует тесная связь между показателями Ляпунова и другими характеристиками случайности, такими, как энтропия Колмогорова или фрактальная размерность [5].

При вычислении показателей Ляпунова в наиболее простых задачах нелинейной динамики обычно рассматривают систему трех нелинейных дифференциальных уравнений или одного логистического отображения

здесь а - параметр уравнения.

Такое отображение в конечно-разностной форме дает в широком интервале значений параметра не только периодические, но и хаотические решения, отличающиеся по некоторым своим свойствам от соответствующих непрерывных решений. Конечно-разностный вид этого уравнения соответствует временному предоставлению статистических данных: они указываются для определенного временного интервала - квартала, года.

Если в системе - мера начального расстояния между двумя исходными точками для параметра порядка (переменной) h, то спустя малое время t = k расстояние между траекториями  и  (k - порядковый номер итерации), выходящими из этих точек, становится равным [6]

где l - показатель Ляпунова (рис. 1). Расстояние между двумя расчетными соседними траекториями определяется величиной

Аналогичные предположения можно высказать, если обращаться к другим отображениям, в том числе применяемым в анализе фазовых переходов. На рис. 2, а представлены регулярные колебания hd_k (показатель Ляпунова l < 0), на рис. 1, б - возникновение хаотических пульсаций (l > 0).

В отличие от классической динамической теории фазовых переходов Ландау-Халатникова, для которой реализуется одно из двух устойчивых состояний h₁ (или h₂) при возрастании одного из параметров, например, времени последействия, описываемая переменная начинает осциллировать в малой окрестности одной из фаз (рис. 2, а). Для таких движений показатель Ляпунова принимает отрицательное значение.

На рис. 2, б имеет место переход к хаотическому состоянию, что подтверждается положительным значением показателя Ляпунова. Детерминированный хаос имеет место вблизи аттрактора h₂(<0), который был задан начальным значением h₀(<0). На этом рисунке фиксируются небольшие «хаотические флуктуации» параметра порядка, лежащие в пределах, совместимых с сохранением данной фазы (гомофазные флуктуации). В этом случае время жизни детерминированной траектории (t_r) является ограниченным.

На рис. 2, в фиксируется хаотическая динамика параметра порядка, связанная с гетерофазными флуктуациями. Здесь h₁, h₂ - параметры порядка, соответствующие равновесным временным фазам. В этом отношении переменную h_k можно трактовать для данного отображения как некоторый параметр порядка, смысл которого устанавливается при решении конкретных задач в системах со структурными превращениями, в том числе в экономических системах.

Показатель Ляпунова для отображения зависит от параметра a, и он может быть вычислен по формуле

, h_k+1= j(h_k)

Для других отображений возникают многопараметрические зависимости l от других управляющих параметров.

Если анализ ведется на макроэкономическом уровне, то для такой системы можно указать область параметров, в которой решение ведет себя хаотически,- это область детерминированного хаоса l > 0. При l > 0 соответствующий макроэкономический режим является локально неустойчивым и хаотическим; при l = 0 - нейтрально устойчивым; при l < 0 - устойчивым и периодическим.

Рис. 2. Хаос и эволюция «расстояния» между двумя итерациями отображения при заданных отличающихся начальных условиях.

Расстояние между двумя соседними траекториями  и  (k - порядковый номер итерации) определялось величиной hd_k=  a) d₀ = 10^-3, l = -0,22; б) d₀ = 10^-3, l = 0,70; в) d₀ = 10^-8, l = 0,76.

Энтропия Колмогорова. Энтропия Колмогорова - важнейшая характеристика хаотического движения в фазовом пространстве произвольной размерности.

Термодинамическая энтропия S есть мера беспорядка в данной системе. Простой пример системы, в которой S растет, - молекулы газа, которые вначале помещены в одну половину куба и которым затем внезапно открывается возможность заполнить весь сосуд. Беспорядок в системе нарастает, так как молекулы больше не отделены от другой половины куба. Этот беспорядок связан с ростом нашего незнания о состоянии системы (до того как была убрана перегородка, о расположении молекул мы знали больше).

Более строго, энтропия S, определенная как:

,

где {P_i} - вероятности для системы оказаться в состояниях {i}, есть мера информации, необходимая для определения местоположения системы в некотором состоянии i, т. е. S есть мера незнания о системе.

Итак, энтропия Колмогорова (метрическая энтропия) пропорциональна скорости потери информации о состоянии системы с течением времени и является мерой экспоненциальной скорости разбегания траекторий динамической системы. Определение метрической энтропии - необходимый элемент комплексного анализа на детерминированный хаос, она может быть использована в анализе фазовых переходов в различных системах.

Отметим, что в формуле Г.М. Заславского [4] предельное значение нормировано:

Другими словами, точное предсказание состояний нелинейной системы возможно только на интервале времени t_r, а на временах, больших t_r, возможны лишь статистические предсказания. Для одномерного отображения энтропия Колмогорова равна положительным значениям показателя Ляпунова: K₀ = l > 0.

Вычислив, таким образом, K₀, можно определить время разбегания двух соседних траекторий за время t_r º t_r/t₀. При полной неустойчивости различие в траекториях растет со временем экспоненциально. Для конкретно заданной экономической системы с фазовыми переходами, таким образом, можно определить, будет ли ее движение неустойчивым.

Небольшой сбой с таких траекторий приводит к практически непредсказуемому поведению фазовой траектории, анализ таких явлений чрезвычайно важен для практики, так как начальные условия задаются всегда с ограниченной точностью. Например, курс валюты на торгах задается с ограниченной точностью. Энтропия Колмогорова может служить своеобразным индикатором периодического (квазипериодического) поведения параметра порядка (K₀ = 0), хаотического (K₀ > 0) и случайного (K₀¥®).

Для регулярного движения первоначально близкие точки остаются близкими.

Для хаотического движения первоначально близкие точки расходятся экспоненциально.

Для случайного движения первоначально близкие точки распределяются с равной вероятностью по всем возможным интервалам.

Далее рассмотрим особенности хаотических свойств курсов валют.

.3 Хаотические свойства курсов валют

Одни экономисты считают валютный рынок полностью детерминированным, другие полагают, что он ведет себя совершенно хаотически. Подход, который излагается в данной работе, сочетает в себе особенности как классического детерминистского, так и хаотического описаний поведения рынка [4]. Детерминизм проявляется в существовании трендов, отражающих глобальный порядок, а хаотичность - в наличии локального беспорядка. Их сочетание в реальной жизни всегда кажется непознанным, а потому и непредсказуемыми для большинства являются скачки курсов основных валют, так же как и других макроэкономических переменных. Особенно важно это для экономик регионов, обладающих мощными топливно-энергетическими ресурсами, открытыми относительно внешних связей.

Цель этого раздела - продемонстрировать возможность применения методов нелинейной динамики к анализу хаотических состояний валютного рынка. Для анализа использовались временные зависимости фунта относительно доллара и евровалюты для одного и того же интервала времени, начиная с 6 января 2004 года. Особенность этих временных рядов заключена в том, что временной интервал предоставления курсов - один час.

Здесь не предлагается описание новых торговых стратегий по покупке или продаже валюты или способов надежного прогнозирования валютных рынков, за исключением тех моментов, которые касаются определения времени прогнозирования. Определение времени прогнозирования, установление количественных критериев определенности состояния системы по анализу временных рядов - это то существенно новое, что привносится в экономическую теорию нелинейной динамикой.

Время достоверного прогноза. Две траектории курсов валют, близкие друг к другу в фазовом пространстве в некоторый начальный момент времени, должны экспоненциально расходиться за малое в среднем время, если исходить из того, что рынки валют хаотичны.

Рассуждать о том является ли совместная система четырех валют (евровалюты, фунта и рубля относительно доллара) системой с перемешиванием, если с течением времени (t_r) информация о начальных условиях в них полностью утрачивается можно по наибольшему показателю Ляпунова.

В данном примере был использован метод совмещения траекторий по начальному значению. Полученный ряд является частью хаотического аттрактора. Из рис. 3 следует, что в рассматриваемой системе двух валют (евро и фунт) можно выделить два характерных наклона относительно шкалы времени: первый наклон соответствует времени t_r1 час, второй - t_r2.

Рис. 3 - Увеличение первоначально близкой разницы курсов фунта и евровалюты со временем для начального момента времени 06.01.2004 г. График соответствует 183 ч непрерывного наблюдения

Максимальное расстояние hd ограничено размерами аттрактора, чем и объясняется насыщение, наблюдаемое в конце недельного цикла. Как известно, ожидание определяет «степень разогретости» рынка [6], в то время как формирующиеся ценности в силу конечного капитала определяют ограниченность описываемого аттрактора.

Наибольший показатель Ляпунова в этом случае равен l₁ = 0,12, и время достоверного прогнозирования, как это следует из графика, равно t_r1~14 ч, т.е. соизмеримо с дневным временем продаж. За это время рассматриваемая система забывает начальные условия и выходит на плавно возрастающий уровень разницы курса валют; последнее время равно t_r2~100 ч. Это время соизмеримо с периодом еженедельного (или близкого к нему десятидневного) цикла продаж. Эти выводы, полученные методами нелинейной динамики, отражают реальную ситуацию на торгах валют, когда покупателями и продавцами игра строится по дневному и недельному (десятидневному) циклам.

Эти примеры по валюте в полном объеме отражают достоверность расчетных данных, так как даны с шагом 1 час, а не 1 год, что приводит к определению более обоснованных временных трендов.

Таким образом, объясняется практическая значимость показателей Ляпунова для исследования динамики индексов фондовых рынков.

Заключение

В соответствии с поставленной целью все поставленные перед нами задачи были успешно реализованы. Что позволило нам придти к определенным выводам.

Развитие теории динамических систем внесло много нового в понимание происхождения хаотичности и привело к ряду важнейших открытий. Обоснование эргодической гипотезы Больцмана для определенного класса систем, доказательство сохранения квазипериодического движения при возмущении интегрируемых систем (теорема Колмогорова-Арнольда-Мозера), введение энтропии Колмогорова, подковы Смейла и У-систем Аносова стимулировало развитие новых направлений современной математики и математической физики, отражающих всю глубину проблем, рассматриваемых в нелинейной динамике. В результате было показано, насколько типичным и всеобщим явлением оказывается хаотическое поведение в системах с небольшим числом степеней свободы. Стало очевидным, что хаотические свойства могут проявлять самые разнообразные нелинейные системы, и если хаос не обнаруживается, то, возможно, лишь потому, что либо он возникает в очень малых областях параметрического пространства, либо при нефизических значениях параметров. Таким образом, проблема предсказуемости, первоначально появившись в достаточно сложных системах (таких как гидродинамические или системы статистической механики, фондовые рынки), стала общей для многих направлений современной науки.

В связи с этим в последнее время стало интенсивно развиваться новое направление в нелинейной динамике и синергетике, посвященное проблемам предсказуемости поведения хаотических систем, управления их динамикой и возможности подавления хаоса.

Развитие этих методов, а также знание закономерностей самоорганизации дает возможность в самом прямом смысле вмешиваться в деятельность существующих биосистем и управлять их динамикой.

Развитие теории динамических систем дает возможность по-новому и с достаточно общей точки зрения подойти к созданию систем обработки и передачи информации. Углубление и дальнейшее обобщение полученных в этой области результатов позволит вплотную приблизиться к решению проблемы искусственного интеллекта.

Общего эффективного с инженерной точки зрения метода исследования устойчивости произвольной нелинейной системы не существует.

Теоретическое решение проблемы устойчивости было дано А.М. Ляпуновым в 1891г. Основную роль здесь играет возможность построения специальной скалярной функции векторного аргумента, то есть скалярной функции на фазовом пространстве системы. Эта функция называется функцией Ляпунова.

Согласно последним исследованиям, современные рынки являются нелинейными системами, что очевидно для специалистов. Поэтому их отличают следующие характеристики:

) долговременные корреляции и тренды как результат обратной связи;

) колебания между "справедливыми" состояниями и критическими точками;

) временные ряды прибылей имеют фрактальную структуру, то есть фрагмент каждой траектории будет подобен траектории в целом;

) надежность прогнозов тем более уменьшается, чем более далеким является прогнозируемый момент (сильная зависимость от начальных условий и слабеющая, но долговременная память).

В реальности мы никогда не знаем всех переменных, с определенностью включенных в систему, и опираемся только на неполные экспериментальные данные и нечеткий эмпирический анализ. В экономических временных рядах, подобных ценам фондового рынка, кроме всего перечисленного выше, еще и смешиваются устойчивые и турбулентные состояния. Ну и, конечно, рынки подвергаются влиянию плохо измеряемых сил.

Согласно исследованиям, финансовые рынки США, Англии и Германии имеют фрактальную размерность между 2 и 3. Японский рынок более сложен и обладает фрактальной размерностью 3,05. Это значит, что для описания первых трех рынков достаточно 3-х переменных, а японский нужно моделировать в четырехмерном пространстве. Ожидания рынка определяют степень его разогретости, а ценности рынка - пределы аттрактора. Это первые две переменные. Рыночная ликвидность акций, видимо, представляет собой третью переменную, определяющую нелинейную динамику рынка.

Рынок есть сложная динамическая система, которая развивается, чтобы выжить. Неопределенность и сложность факторов, ее определяющих, позволяет ей не быть скупленной одним инвестором, после чего она перестала бы существовать. Так что надо отдать должное рынку как организму - он преуспевает в борьбе за выживание. Его задача - обеспечить ликвидность акций, а вовсе не в том, чтобы установить справедливые цены или гарантировать стабильность некой торговой системы. Как и у любой нелинейной системы, все циклы рынка сходны в глобальных характеристиках и отличны в деталях. Например, любой бычий (тенденция курса к повышению) или медвежий (тенденция к понижению) рынок состоит из падающих и растущих цен на протяжении подъема и спада бизнес-цикла. Однако причины и обстоятельства этих колебаний индивидуальны у каждого цикла. Поэтому важно понимать, что рыночный аттрактор связан со своеобразием бизнес-цикла, а не с торговлей как таковой.

Для инвесторов это означает, что всегда есть возможности для извлечения прибыли, но нет системы, которая могла бы это гарантировать.

Общего эффективного с инженерной точки зрения метода исследования устойчивости произвольной нелинейной системы не существует.

Теоретическое решение проблемы устойчивости было дано А.М. Ляпуновым в 1891г. Основную роль здесь играет возможность построения специальной скалярной функции векторного аргумента, то есть скалярной функции на фазовом пространстве системы. Эта функция называется функцией Ляпунова.

Показатели Ляпунова играют важную роль в теории гамильтоновых и диссипативных динамических систем. Они дают вычислимую количественную меру степени стохастичности. Помимо этого, существует тесная связь между показателями Ляпунова и другими характеристиками случайности, такими, как энтропия Колмогорова или фрактальная размерность.

фондовый индекс валюта ляпунова

Список использованной литературы

1. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. М.: Мир, 1988. C. 240.

. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. C. 528.

. Быстрай Г.П. Методы синергетики в анализе структурных сдвигов в промышленности: разработка унифицированных моделей и алгоритмов анализа устойчивости текущих состояний в условиях внешнего и внутреннего управления // Вестник кибернетики. Тюмень: Изд-во ИПОС СО РАН, 2003. Вып. 2. С. 71-88.

4. Методы нелинейной динамики в построение прогноза изменения некоторых показателей в топливной энергетике (Наталья Петрова. Современная картина динамики рынков, "Экономические стратегии", 2003, №2, стр. 106-111)

5. Bystrai G.P. Dinamic Chaos in Macroeconomics: The Problem of Formalized Description: Conf. «Evolutionary Econ. and Chaos Theory», Amsterdam, May 6-8, 1993. Amsterdam, 1993. P. 17-18.

6. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991.

. Быстрай Г.П., Студенок С.И., Иванова С.И. Детерминированный хаос при фазовых переходах I рода в системе жидкость - пар // ТВТ. 2003. Т. 41, № 4. С. 579.

. Быстрай Г.П. Детерминированный хаос при химических реакциях в межфазном слое при высоких температурах // ТВТ. 2004. Т. 42, № 1. C. 81.

. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. М.: Мир, 2000.

. Быстрай Г.П., Николаева Е.В., Журкина А.В. и др. Валютные рынки: математическое моделирование хаотических состояний. Препринт. Екатеринбург: УрО РАН, 2001. 63 с.

. Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. М.: Мир, 1999.