Подбор и исследование номиналов элементов схемы

Подбор и исследование номиналов элементов схемы

Исходная схема

Используется в качестве фазовращателя.

Необходимо подобрать номиналы элементов так, чтобы на частоте  сдвиг фазы составлял  и коэффициент передачи цепи максимальным.

1. Расчет номиналов элементов

Исходная схема может быть представлена в виде каскадного соединения трех звеньев, каждое из которых представляет собой элементарный ФНЧ.

Будем подбирать номиналы элементов таким образом, чтобы каждое звено давало фазовый сдвиг равный  на заданной частоте. Тогда при условии развязки каскадно-соединеных звеньев получим суммарный сдвиг фаз на частоте  равный .

Рассмотрим одно звено более подробно.

Определим КЧХ одного звена:

.

Приравниваем ФЧХ на частоте  к значению :

;

;

.

Таким образом, мы получили условие, при котором одно RC звено дает сдвиг фазы  на частоте . При этом можно определить значение АЧХ одного звена на этой частоте:

.

При обеспечении развязки между звеньями значение АЧХ исходной схемы на частоте  определится как:

.

Покажем, что это значение будет являться максимальным.

Каждый каскад можно представить в следующем виде:

Здесь  - входное сопротивление следующего каскада. Сопротивление параллельного соединения двух элементов всегда меньше каждого из сопротивлений элементов в отдельности. Другими словами:

.

А поскольку при подключении к RL звену входного сопротивления  происходит уменьшение сопротивления (оно становится равным ), с которого снимается выходное напряжение, то и коэффициент передачи уменьшается.

В случае же, когда звенья развязаны, входное сопротивление следующего звена значительно превосходит сопротивление , и тогда можно записать:

.

Тогда коэффициент передачи одного звена будет максимальным и практически равен .

Итак, запишем условия, при которых достигаются заданные в задаче условия:

1)       ;

Звенья должны быть развязаны.

Опишем математически условия развязки.

Достаточным условием развязки будет является следующее условие (для случая развязки первого и второго каскадов):

.

Это условие более сильное, чем , поэтому считаем его достаточным для обеспечения развязки.

В итоге опишем алгоритм выбора номиналов элементов:

)        Задаемся величиной ;

)        Рассчитываем :

;

3)      Задаемся величиной ;

4)      Рассчитываем :

;

5)      Задаемся величиной ;

6)      Рассчитываем :

;

Выберем номиналы согласно описанному алгоритму:

)        Задаемся величиной :

;

2)      Рассчитываем :

;

3)      Задаемся величиной :

;

)        Рассчитываем :

;

5)      Задаемся величиной :

;

)        Рассчитываем :

;

Запишем комплексный коэффициент передачи цепи в общем виде.

Для упрощения вводим следующие условные обозначения:

;

;

;

;

.

Тогда можно записать:

Запишем выражение для АЧХ:

.

Запишем выражение для ФЧХ:

.

Для того чтобы убедиться в адекватности подобранных элементов построим графики АЧХ и ФЧХ для выбранных номиналов:

Видим, что сдвиг фаз на заданной частоте  составляет . При этом АЧХ на заданной частоте .

Отсюда делаем вывод о правильности подобранных элементов.

. Анализ цепи спектральным методом

Амплитуда входного сигнала:

Период сигнала:

.

Скважность последовательности:

.

Длительность импульса:

.

Определяем спектральную плотность импульса

Входной импульс

Спектральную плотность  входного импульса  отыскиваем, применяя прямое преобразование Фурье.

Определяем модуль спектральной плотности:

.

Графики модуля спектральной плотности:

Аргумент спектральной плотности:

.

Графики аргумента спектральной плотности:

Определяем амплитудно-частотный и фазочастотный спектры

АЧС:

, где

,

.

ФЧС:

,

.

Построим графики АЧС и ФЧС:

Получим приближение входного сигнала путем сложения 20 ти и 200 первых гармоник.

,

,

Сравним с графиком входного сигнала:

Получившиеся различия объясняются тем, что метод спектров Фурье является приближенным. Сигнал во временной области представляется в виде суммы гармоник с некоторым набором коэффициентов и некоторой постоянной составляющей. Чем больше членов ряда Фурье мы просуммируем, тем более похожим на первоначальный сигнал получиться сигнал в результате суммирования. Таким образом, становится ясно, почему сигнал, полученный при суммировании первых 200 гармоник, имеет большее сходство с реальным сигналом, чем сигнал, полученный при суммировании первых 20 гармоник.

Получение спектра выходного сигнала

Полученное ранее выражение для КЧХ:

, где

;

;

;

;

.

Запишем выражение для АЧХ:

.

Запишем выражение для ФЧХ:

.

Построим графики АЧХ и ФЧХ:

Амплитудный спектр выходного сигнала:

.

Строим график АЧС выходного сигнала (справа входного):

.

Строим график ФЧС выходного сигнала (справа входного):

Объясним полученные результаты:

Как видно из полученных результатов, исследуемая цепь обладает фильтрующими свойствами. Для постоянной составляющей индуктивности - провода (обладают нулевым сопротивлением), поэтому постоянная составляющая полностью проходит на выход. С ростом частоты гармоник индуктивности имеют все большее сопротивление, напряжение падает именно на индуктивностях, сигнал на выход не проходит.

Получение выходного сигнала

Получим приближение выходного сигнала путем сложения 20 ти и 200 первых гармоник.

,

,

Анализируя полученные результаты, отмечаем, что графики  и  практически совпадают. Это объясняется тем, что в первых 20 ти гармониках выходного сигнала сосредоточена большая часть энергии. Также отмечаем, что в выходном сигнале по сравнению с входным сглажены резкие перепады. Это объясняется тем, что на выходе отсутствуют высокие частоты, отвечающие как раз за резкие перепады.

Для заданной скважности определим значение периода, при котором отношение мощностей выходного и входного сигналов максимально

При заданной скважности  найдем зависимость отношения мощностей выходного и входного сигналов от периода поступающих на вход импульсов.

Приближенное значение мощности можно определить следующим образом:

,

.

Используя ранее полученное выражение для коэффициентов АЧС входного  и выходного сигналов, учитывая что ,  получаем зависимость .

Построим график этой функции.

Рассмотрим затухание при малых значениях периода. При малых Т расстояние между спектральными составляющими входной последовательности будет большим и не одна из них не попадет в полосу пропускания цепи кроме постоянной составляющей.

Теперь объясним затухание при больших значениях периода Т. При увеличении периода расстояние между спектральными составляющими входной последовательности будет уменьшаться. При этом все большее количество гармоник попадает в полосу пропускания цепи, при этом  растет. Очевидно, что максимум этой функции будет достигаться при , когда все гармоники входного сигнала полностью проходят на выход, при этом:

.

Проведем моделирование

АЧХ и ФЧХ:

Результаты совпали с теоретическими.

Сигналы на входе и выходе

Спектр на входе

Спектр на выходе

Результаты совпали с теоретическими.

. Анализ цепи операторным методом

электрический цепь амплитудный спектр

Определение передаточной функции, переходной и импульсной характеристик.

Используя формулу для , предварительно заменив в ней , записываем выражение для ,

,

, где

;

;

;

;

.

Используя формулу для , предварительно заменив в ней , записываем выражение для ,

, где

;

;

;

;

.

Определяем переходную характеристику (ПХ)  как обратное преобразование Лапласа для функции .

 - операторное изображение единичной функции Хэвисайда.

.

Полюса определяем численными методами в MathCAD:

;

;

;

.

Искомая ПХ:

.

Построим график ПХ.

Отмечаем, что в отклике на единичную функцию перепад сгладился. Это связано с тем, что на выходе спроектированного фазокорректора отсутствуют высокие частоты, отвечающие как раз за резкие перепады.

Найдем импульсную характеристику (ИХ)  как производную от переходной:

.

Оценим время установления:

.

Операторное изображение входного и выходного сигналов

Исходный сигнал  можно представить в виде суммы функций

, .

, где

,

.

Сначала определим операторное изображение сигнала .

.

Теперь, используя теорему о смещении, находим операторное изображение сигнала

.

.

Используя теорему о суммировании, определим операторное изображение исходного сигнала.

.

Операторное изображение выходного сигнала:

,

, где

;

;

;

;

.

Получим выражение для выходного сигнала.

Поскольку исходный импульс можно представить в виде суммы двух функций

,

то реакцию цепи  на заданный импульс можно представить в виде суммы реакций на отдельные составляющие заданного импульса:

.

Первое слагаемое  есть ничто иное как переходная характеристика (ПХ) умноженная на :

.

Поскольку , то второе слагаемое  можно записать, зная , следующим образом:

.

Таким образом, итоговое выражение для выходного сигнала имеет следующий вид:

.

Построим графики  для двух случаев длительности исходного импульса:

 и .

.

Дадим пояснения физическим процессам, происходящим в цепи. В момент прихода импульса ток в цепи равен нулю. Из-за индуктивностей ток нарастает плавно без скачков. Причем для случая  переходные процессы успевают пройти в большей мере, чем для случая , ток достигает большей величины (а значит и выходное напряжение). По окончанию импульса, когда на входе напряжение становится равным нулю, ток экспоненциально убывает, и по истечению переходных процессов напряжение на выходе становится равным нулю. Отметим также, что для случая  длительность входного импульса намного меньше времени переходных процессов, это приводит к тому, что реакция на данный импульс имеет сходство с импульсной характеристикой.

Вывод

Вывод: в ходе работы были подобраны номиналов элементов цепи, удовлетворяющие заданным условиям. Были изучены: спектральный метод анализа цепей, получены спектры входного и выходного сигналов, восстановлен выходной сигнал; операторный метод анализа цепей, получены переходная и импульсная характеристики цепи, найдена реакция цепи на заданные импульсы длиной  и . Все теоретические результаты были подтверждены практическим экспериментом.