№ варианта
|
20
|
Объект управления
|
Механизм перемотки ленты
|
Параметры объекта
|
|
Требования к качеству
переходного процесса
|
s = 0 % с.
|
Измеряемые переменные
|
Угловая скорость ведомого
барабана (если система наблюдаема). Если нет, добавить силу натяжения ленты.
|
Вопросы, подлежащие
разработке
|
Записать модель в форме
структурной схемы, передаточной функции и уравнений состояния. Синтезировать
систему, обеспечивающую заданную скорость движения пленки и заданное качество
переходных процессов по ее натяжению (перерегулирование по выходной
переменной s%, время переходного процесса (0.9-1.1)tп).
Проверить результаты моделированием. Исследовать работу системы с наблюдателем.
|
Дополнительные требования к
системе и процедуре проектирования
|
Использовать наблюдатель
полного порядка. Принять точку линеаризации м/с.
|
1. Модель
механизма перемотки ленты
Обозначим: - угловые скорости рулонов , - сила натяжения ленты , - движущий момент, приложенный к
первому рулону , - тормозной момент, приложенный ко второму рулону , - ширина ленты , - толщина ленты , - плотность материала ленты , - модуль упругости, - расстояние между осями , - радиусы рулонов , - моменты инерции рулонов , - коэффициенты трения.
При предположении, что радиусы рулонов меняются много медленнее, чем
угловые скорости и сила натяжения ленты, общая динамическая модель механической
системы может быть записана в форме следующей системы дифференциальных
уравнений:
где величина определяет жесткость обратной связи.
Система управления должна обеспечить заданную линейную скорость движения
ленты и заданный режим выхода на эту
скорость. Будем считать момент трения постоянным.
Линеаризацию модели и запись ее в отклонения необходимо провести для
режима установившегося движения ленты со скоростью .
1.1 Модель в
форме структурной схемы
При предположении, что радиусы рулонов меняются много медленнее, чем
угловые скорости и сила натяжения ленты, общая динамическая модель механической
системы может быть записана в форме следующей системы дифференциальных
уравнений:
(1)
где .
Моменты инерции для цилиндров:
, .
Для цилиндра .
Тогда , .
Первое уравнение системы (1) можно представить в виде структурной схемы,
изображенный на рис. 2, второе уравнение - на рис. 3, а третье - на рис. 4.
"Склеив" эти три схемы получим структурную схему объекта
управления (см. рис.5).
Рис. 5
1.2 Модель в форме передаточной функции
Если сопоставить при нулевых начальных условиях, то, используя систему (1),
будем иметь следующую систему уравнений:
Если вход обозначим, выход , а возмущение , то будем иметь следующие
передаточные матрицы:
.
Для определения , , и воспользуемся системой уравнений (2). Тогда, выразив и из первого и второго уравнений
системы и подставив их в третье, получим:
Выразим в третьем уравнении :
Подставим из третьего уравнения во второе и, упростив его и умножив
второе уравнение на , получим следующую систему уравнений:
Тогда
.
1.3 Уравнения состояния
Модель в форме уравнений состояний:
.
Здесь - матрица переменных состояния
- матрица входов управления
- матрица возмущающих воздействий
- матрица выходных сигналов
- матрицы коэффициентов
Воспользуемся общей динамической моделью механической системы:
Разрешим уравнения относительно старших производных:
Обозначим:
,,,,,
Тогда
,,,,,
2. Синтез
системы
2.1
Определение желаемого характеристического уравнения и коэффициентов обратных
связей
Для данной системы воспользуемся законом управления вида:
. (3)
В данном случае - скорость перемотки ленты. Нам необходимо обеспечить
перемотку ленты со скоростью , при этом . Т.к. в имеющихся программных обеспечениях нельзя
смоделировать и посмотреть результат для двумерной по входу системе, по этому
для моделирования и дальнейших расчетах можно принять, что , где Тогда система перемотки ленты будет
описываться следующими уравнениями:
Перейдем к лапласовым изображениям функций:
(4)
Найдем передаточные функции , , преобразовав систему:
(5)
Решив (5), получим:
, (6)
. (7)
Из (6) и (7) находим, что характеристическое уравнение системы:
. (8)
Здесь
Нам нужно, чтобы в установившемся режиме скорость вращения ленты была
равна заданной, т.е.:
;
. (9)
Из курса теории автоматического управления известно, что длительность
переходного процесса определяется корнем характеристического уравнения. Кроме
того, длительность переходного процесса обратно пропорциональна вещественной
части ближайшего к мнимой оси корня [2]:
;,
где - время переходного процесса. В данной системе необходимо
обеспечить , поэтому нужно, чтобы .
По заданию перерегулирование по выходной переменной должно составлять 0
%. Следовательно, корни характеристического уравнения должны быть вещественными
отрицательными.
В ходе подбора корней характеристического уравнения мною было выяснено,
что в данной системе немалую роль играют нули передаточной функции. Поэтому пришлось сместить правее, чем
предполагалось. В результате опытов было выяснено, что желаемая динамика
системы будет достигнута при
.
Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид:
. (10)
Решая систему, состоящую из уравнений (8), (9) и (10), находим:
механизм передаточный моделирование программный
2.2 Проверка
результатов синтеза системы моделированием в программном пакете Classic 3.01
Схема набора данной системы представлена на рис. 6.
Рис. 6
Переходный процесс по натяжению ленты представлен на рис. 7.
Рис. 7
Качество переходного процесса представлено на рис. 8.
Рис. 8
3. Исследование
работы системы с наблюдателем
3.1 Оценка
системы на наблюдаемость
В данной системе доступны измерению не все переменные состояния объекта.
Поэтому в систему управления необходимо ввести подсистему (алгоритм) оценивания
состояния объекта. Для данной системы в качестве такого алгоритма воспользуемся
наблюдателем Калмана, который описывается уравнением:
Найдем определитель матрицы А: система обратима [2], тогда для оценки наблюдаемости системы
можно воспользоваться матрицей . Т.к. нашему измерению доступна только, то матрица С равна .
Тогда . Откуда . Следовательно, , а, значит, система вполне
наблюдаема.
(11)
Т.к. динамика наблюдателя должна быть "быстрее", чем у системы,
то разместим полюса в точках , , . Характеристическое уравнение наблюдателя примет вид: (12).
Сравнив уравнения (11) и (12), получаем, что
3.3 Проверка
результатов синтеза наблюдателя моделированием в программном пакете Classic 3.01
Система с наблюдателем:
Сила натяжения ленты (переходный процесс при выходе на заданную
скорость):
Качество переходного процесса по натяжению ленты:
Скорость движения ленты при выходе на заданное значение:
Заключение
В результате проделанной работы была найдена рациональная модель системы
автоматического управления процессом перемотки ленты с заданными параметрами. В
данной системе использован принцип управления по отклонению и, из-за
невозможности измерять все необходимые переменные, синтезирован наблюдатель
Калмана. Все характеристики системы удовлетворяют техническому заданию: время
переходного процесса ( с) и перерегулирование () по натяжению ленты при выходе
системы на заданную скорость перемотки. Все расчеты и вычисления в ходе работы
были проделаны в программном пакете Mathcad 11 Enterprise Edition,
моделирование - в Classic версия
3.01. Вследствие этого, был приобретен опыт работы с пакетами прикладных
программ и системами автоматизированного проектирования систем управления.
Важным итогом курсовой работы является получение навыков самостоятельной
исследовательской работы.
Список
литературы
1. Воронин А.В. Проетирование и исследование системы
управления динамическими объектами (методические указания к выполнению курсовой
работы ) - Томск:РотапринтТПУ,2002;
2. Малышенко А. М. Лекции по курсу теории автоматического
управления