Элективный курс по математике для классов спортивно-оборонного профиля

В настоящее время невозможно представить спорт и физическую культуру без науки. Правильно организованное физическое воспитание школьника, способствующее укреплению его здоровья, эффективная тренировка спортсмена, результатом которой является рост спортивных рекордов, - это все строится на научных основах.

Цель данной работы – изложение основных методов математической статистики, теории вероятности в доступной для студентов физических факультетов. То есть студентов знающих математику в объеме средней школы.

Наука – это точное знание, собирающее факты, и во всех них присутствуют цифры. При оценке успеваемости учеников учителем, при подсчитывании результатов на соревнованиях и т.д. при всем этом оперируют цифрами и в этом уже есть зачатки науки. Еще более научным является сбор материала, для того чтобы выявить какую-нибудь закономерность, систему, например, при систематизации спортивных рекордов в беге, плавании, конькобежном спорте, привело к установлению общего математического закона. Подсчет количества килограммов, поднимаемых тяжелоатлетами на тренировках, и сопоставление его со спортивными достижениями позволили определить тренировочную нагрузку, которая дает наилучший результат. При анализе индивидуальной тренировочной нагрузки элементами исследуемой совокупности могут быть отдельные значения интенсивности или объема нагрузки, зарегистрированные у конкретного спортсмена в различные периоды времени. Каждый элемент совокупности может обладать рядом признаков, при этом одни признаки могут быть однородными, а другие могут изменяться. Например, элементами совокупности могут быть спортсмены – представители одного вида спорта, одинаковой квалификации, одинакового возраста, но различными могут быть показатели роста, веса, скорости движения и т.д.

Предметом изучения как раз и являются изменяющиеся признаки. Значение, принимаемое данной величиной, в каждом случае зависит от ряда факторов, которые обычно заранее не известны. Закономерности присущие подобным величинам, получили название случайных, изучаются теорией вероятности и математической статистики.

Математическая статистика устанавливает перспективность спортсменов, условия более благоприятные для тренировок и их эффективность. Также статистика помогает сделать объективные и научно обоснованные выводы при анализе спортивной деятельности.

I. Вероятность

Основные понятия

В нашей жизни часто приходится иметь дело со случайными явлениями, то есть ситуациями, исход которых нельзя точно предвидеть, например мы не можем точно сказать при подбрасывании монеты упадет она вверх гербом или цифрой. Аналогично не можем точно сказать, сколько очков выбьет стрелок на соревнованиях. Говоря о случайных событиях в нашем сознании возникает представление о вероятности явления.

Под испытанием в теории вероятностей принято принимать наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного набора условий, который каждый раз должен выполняться при повторении данного испытания. Если то же самое испытание производиться при другом наборе условии, то считается, что это уже другое испытание.

Результаты испытаний можно охарактеризовать качественно и количественно.

Качественная характеристика заключается в регистрации какого-либо явления, которое может наблюдаться или нет при данном испытании. Любое из явлений называется событием.

Событие бывает:

· Достоверное (всегда происходит в результате испытания);

· Невозможное (никогда не происходит);

· Случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).

Например: При подбрасывании кубика невозможное событие - кубик станет на ребро, случайное событие - выпадение какой либо грани.

Когда мы говорим о соблюдении набора условий данного испытания, мы имеем в виду постоянство значений всех факторов, контролируемых в данном испытании. Но при этом может быть большое количество неконтролируемых факторов (например, погода, ветер и т.д.), которые трудно или невозможно учесть. Следовательно, значение неконтролируемых факторов могут быть различными при каждом повторении испытания, поэтому результаты испытания оказываются случайными. Событие может произойти или не произойти.

Теория вероятностей рассматривает именно такие события, при этом предполагается, что испытание может быть повторено любое количество раз.

Например, выполнение штрафного броска в баскетболе есть испытание, а попадание в кольцо – событие. Другой пример события – это выпадение определенного числа очков при бросании игральной кости.

В теории вероятности события обозначаются прописными (заглавными) латинскими буквами: A, B, C, D…

Количественная характеристика испытания выражает значения некоторых величин, которыми интересуются при данном испытании (например, число подтягиваний, время на беговой дистанции). До испытания нельзя сказать чему будет равна данная величина, поэтому она называется случайной.

1. Задачи, использующие формулу сложения и умножения

вероятностей

В этом разделе мы рассмотрим основные правила операций над различными событиями. Дадим определение вероятности и узнаем, как можно применять полученные знания в спортивной области.

1.1 Операции над событиями.

1.Сумма

Событие С называется суммой А+В, которое представляет собой событие, состоящее из появлении хотя бы одного из событий А и В. Сумму также иногда называют объединением событий А и В и обозначают АВ.

Выноска 3 (без границы): B Выноска 3 (без границы): A

2. Произведение

Событие C называется произведением A и B, если оно состоит из всех событий, входящих и в A, и в B. Произведение также называют пересечением и обозначается как АВ.

3.Разность

Разностью событий A-B называется событие C, состоящее из всех э событий, входящих в A, но не входящих в B.

4.Противоположное

Событие называется противоположным событию A, называется событие, состоящее в непоявлении события А. Обозначается противоположное событие символом .

Пример: Противоположными событиями являются промах и попадание при выстреле, или выпадении герба или цифры при одном подбрасывании монеты.

5.События A и B называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания.

Пример: При одном подбрасывании монеты никогда не выпадет одновременно и орел и цифра.

6.События называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного испытания. Принято обозначение: Ø.

7.Достоверное событие

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате данного испытания. Оно обозначается как Е.

Подпись: Е

1.2 Вероятность событий

Рассмотрим некоторое количество испытаний, в результате которых появилось событие А. Пусть было произведено N испытаний, в результате которых событие А появилось ровно n раз. Тогда отношение - называют относительной частотой (частость).

Также при большом количестве повторений испытания частость событий мало изменяется и стабилизируется около определенного значения, а при не большом количестве повторений она может принимать различные значения. Поэтому интуитивно ясно, что при большом количестве повторений испытания частость события будет стремиться к определенному числовому значению. Такое значение принято называть вероятностью события А и обозначают Р(А).

В математике неограниченное число поворений принято записывать в виде предела при N стремящегося к бесконечности:

Так как n всегда больше либо равно N, то вероятность заключена в интервале: .

В некоторых случая вероятности событий могут быть легко определены исходя из условий испытаний. Пусть испытание имеет n возможных исходов, то есть событий, которые могут появиться в результате данного испытания. При каждом повторении возможно появление только одного из данных исходов (то есть все n исходов несовместны). Кроме того по условиям испытания нельзя сказать какие исходы появляются чаще других, то есть все исходы являются равновозможными. Допустим теперь что при n равновозможных исходах интерес представляет событие А, которое появляется только при m исходах и не появляется при остальных n-m исходах. И принято говорить, что в данном испытании имеется n случае, из которых m благоприятствуют появлению события А.

В таком случае вероятность можно вычислить, как отношение числа случаев благоприятствующих появлению события А (т.е. m), к общему числу всех исходов n:

Данная формула представляет собой определение вероятности по Лапласу, которое пришло из области азартных игр, где теория вероятности применялась для определения перспективы выигрыша.

1.3 Основные формулы комбинаторики

Для того чтобы определить вероятность нужно знать количество исходов, а также количество благоприятных исходов. Если количество испытаний мало, то можно вручную перебрать все исходы и выявить среди них благоприятные. Что делать в том случае, если количество испытаний велико?

В таком случае приходят на помощь следующие формулы.

Теорема о перемножении шансов:

Пусть имеется, k групп элементов, причем каждая группа элементов содержит определенное количество элементов, например 1-ая содержит n₁ элемент, 2-ая группа n₂ элементов, тогда i-я группа содержит n_i элементов. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, равняется

Данную формулу можно применить к решению следующей задачи: Сколько существует пятизначных натуральных чисел.

Решение: Как известно всего 10 цифр. Представим пятизначное число, как *****, где вместо первой звездочки можно подставить все цифры кроме 0, так как если подставим 0, то получим четырехзначное число (нам надо пятизначное). Вместо второй звездочки можно подставить 10 цифр, аналогично вместо оставшихся можно подставлять любую из 10 цифр. Таким образом, у нас имеется 5 групп элементов, первая группа содержит 9 элементов, а оставшиеся 4 группы содержать по 10 элементов. Тогда используя формулу найдем количество пятизначных чисел:

Теорема: о выборе, с учетом порядка

Общее количество выбора k элементов из n элементов с учетом порядка определяется формулой:

и называется числом размещений из n элементов по k элементов.

Решим задачу: В областных соревнованиях по футболу участвует 8 команд. Требуется определить сколькими способами можно составить группу, состоящую их 4 команд.

Другими словами нам нужно выбрать 4 футбольных команды из 8 команд, т.е:

Теорема: выбор без учета порядка

Общее количество выборок в схеме выбора k элементов из n без возвращения и без учета порядка определяется формулой

и называется числом сочетаний из n элементов по k элементов.

1.4 Основные правила вычисления вероятностей

Приведем основные правила, позволяющие определить вероятность появления сложного события, состоящего из более простых событий, вероятность которых нам известна.

1.Вероятность достоверного события равна единице:

P(E)=1.

2. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Р(А₁+ А₂+…+ А_n)=Р(А₁)+ Р(А₂)+…+ Р(А_n).

Эти два равенства являются аксиомами, то есть не требуют доказательства. На основе этих равенств строится вся теория вероятностей. Приведенные ниже формулы можно вывести при помощи этих аксиом.

3. Вероятность невозможного события равна 0:

P(Ø)=0.

4.Вероятность противоположного события равна:

Р(Ā)=1-Р(А)

5.Вероятность объединения произвольных событий равна сумме их вероятностей без вероятности произведения событий

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).

В общем случае данная формулы выглядит так:

Определение. Событие А В называются независимыми, если Р(АВ)=Р(А)Р(В).

На практике часто путают независимые и несовместные события, это разные понятия. Другими словами можно сказать, если события связаны независимыми экспериментами, то и сами события будут независимыми.

Решение задач

Пример 1. Применим теперь полученные знания для решения задач

Монету бросают два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится герб.

Решение. Для начала переберем все возможные исходы: ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ. Здесь, например ЦГ означает, что при первом бросании появилась цифра, а при втором – герб. Других исходов не существует. Следовательно получаем, что n=4 (количество исходов) . Найдем теперь благоприятные исходы: герб появляется в следующих случаях ГГ, ГЦ, ЦГ, то есть m=4. Таким образом:

Пример 2.

Какова вероятность того, что из шести отмеченных чисел в карточке «Спортлото» (игра из 49) k чисел будут выигрышными.

Решение. Пусть событие А – среди отмеченных чисел к чисел выигрышные. Эксперимент состоит в том, что случайным образом отмечаются 6 чисел из 49. Поэтому равновозможными событиями будут наборы из шести отмеченных чисел. Так как для определения произойдет или не произойдет событие А порядок чисел не существенен, то в качестве равновозможных событий можно рассматривать наборы 6 чисел из 49. Следовательно общее число исходов будет определяться как . Событие А состоит из наборов 6 чисел среди которых к – выигрышные, а 6-к проигрышные. Набор из к выигрышных чисел можно выбрать способами, а набор 6-k проигрышных чисел (мы выбираем уже из 49-6=43 билетов), можно выбрать способами. Тогда набор из k выигрышных и 6-k проигрышных чисел можно выбрать способами, следовательно вероятность равна:

Пример 3. Три стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, для другого 0,7, для третьего 0,93. Найти вероятность того, что: а) хотя бы один из стрелков попадет в мишень; б) только один из стрелков попадет в мишень; в) ни один из стрелков не попадет в мишень.

Решение. Пусть событие А - первый стрелок попал в мишень, тогда P(A)=0,6;

Событие В - второй стрелок попал в мишень, тогда Р(В)=0,7;

Событие С – третий стрелок попал в мишень, тогда Р(С)=0,93 .

В данной задаче все события являются независимые, так как стреляют, не зависимо друг от друга.

а) Пусть событие S – хотя бы один из стрелков попадет в мишень. Вспомним определение суммы событий: Событие С называется суммой А+В, которое представляет собой событие, состоящее из появлении хотя бы одного из событий А и В.

Данное определение можно применить и к большему числу событий. Следовательно событие S=А+В+С. ТО есть нам нужно найти Р(А+В+С). А так как все события независимые, то применяя формулу суммы и произведения независимых событий получаем:

Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС)=0,99.

б)Пусть событие S – только один из стрелков попадет в мишень. Данное событие можно представить как сумму следующих событий: . Рассмотрим подробно событие , но для начала вспомним определение произведения событий: Событие C называется произведением A и B, если оно состоит из всех событий, входящих и в A, и в B. Итак событие значит, что первый игрок попадет а два других промажут, аналогично рассматриваются два других слагаемых. Данные слагаемые является несовместным, так как появление одного из них исключает появление двух других. Значит можно применить формулу суммы несовместных событий, а затем формулу произведения независимых событий:

P()=P()+P()+P()=

=P(А)Р()Р()+Р()Р(В)Р()+Р()Р()Р(С)

Вспомним как вычисляется вероятность противоположного события: Р(Ā)=1-Р(А)

Применив данную формулу, вычислим вероятность и в итоге получим, что

P()=0,1438.

в) Составим отрицание к событию рассматриваемому в пункте а). Если событие S – хотя бы один из стрелков попадет в мишень, то тогда - ни одни из стрелков не попадет в мишень. Следовательно для решении данной задачи требуется найти Р(). Вычислим при помощи формулы противоположного события:

Р()=1- Р()=1-0,99=0,01.

Задачи для самостоятельного решения:

1.1

Из всех участников всероссийского турнира по легкой атлетике наудачу выбирают одного. Пусть событие А состоит в том, что выбранный участник соревнуется в беге на 100м, B – победитель чемпионата России, С – является мастером спорта. Описать события: ĀB, АĀС, А\( АВ). Справедливы ли следующие отношения: АСВ,

АĀС=А.

1.2

Игральный кубик бросается дважды, найти вероятность того, что сумма выпавших очков не превосходит 4.

1.3

Известно, что среди 40 участников имеются 10 мастеров спорта. Среди всех участников случайным образом выбрали первую пятерку, найдите вероятность, что в этой пятерке присутствуют ровно 2 мастера спорта.

1.4

На карточках написаны буквы: А, З, И, К, Л, Т, У, У, Ф, Ь. Вынимают наугад одну карточку за другой и раскладывают в том порядке в каком они были вынуты. Найти вероятность того, что на карточках будет написано слово ФИЗКУЛЬТУРА.

1.5

Во всероссийском дне бега каждому участнику присваивался определенный четырехзначный номер. И была проведена акция всем тем у кого на номере встречаются два раза цифра 7 получают в подарок кружку. Определите сколько кружек должен приготовить спорткомитет.

1.6

Хоккейная команда состоит из 30 человек, среди которых имеется 14 больных игроков. Все больничные карточки кто-то украл и кабинета доктора и ни один больной хоккеист не сознается в том, что он болен, так как все хотят играть. Найти вероятность, что в стартовой пятерке игроков два окажутся больными.

1.7

Из 30 экзаменационных вопросов студент знает 20. Какова вероятность того, что он правильно ответит на два вопроса из двух?

1.8

Из колоды карт (52 карты) наугад вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что это будет тройка, четверка и туз.

1.9

В лотерее 100 билетов, среди них один выигрыш во 100 р, 3 выигрыша по 50 р, 6 выигрышей по 20 р и 15 по 3 р. Найти вероятность какого-нибудь выигрыша при покупке трех билетов. Что вероятнее: выиграть не менее 50 р или не более 50 р при покупке одного лотерейного билета?

1.10

Даны вероятности p=P(f), q=P(B), r=P(AB). Найдите вероятность следующих событий: P(AB), P(ĀB).

1.11

Брошены 6 игральных костей. Найдите вероятности следующих событий: а) на всех выпавших гранях появится одинаковое число очков; б) ровно на трех гранях появится 6 очков; в) хотябы на трех гранях появится не менее трех очков.

1.12

Какое наименьшее число костей надо бросить, чтобы наивероятнейшее число выпадений шестерки было равно 5?

1.13

Вероятность безотказной работы прибора равна 0.7. Для повышения надежности этот прибор дублируется несколькими такими же приборами (если один откажет, то начинает работать другой). Сколько дополнительно приборов надо взять, чтобы повысить надежность работы до 0.99?

1.14

Два равносильных игрока играют в шахматы. Ничьи во внимание не принимаются. Что вероятнее: а) выиграть три партии из четырех или четыре партии из шести; б) выиграть не менее трех партий из четырех или не менее четырех партий из шести?

1.15

В связи с распадом футбольной команды из 30 человек, руководством было принято решение 15 человек отправить играть в московскую команду, 8 человек в Пермскую команду и 7 человек в Киров. Места распределялись случайным образом. Какова вероятность того, что два друг попадут в один город.

1.16

Для победы игроку необходимо забросить один мяч в кольцо. Найти вероятность того, что команда выиграет, если можно кинуть мяч всего четыре раза, вероятности попадания которых равны 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
2. Задачи, использующие формулу полной вероятности и формулу

Бейеса

2.1 Условная вероятность

Определение. Условной вероятностью события А, при условии, что произошло событие В, называется отношение вероятностей P(АВ) к Р(В) и обозначается Р(А/В):

Условная вероятность обладает следующими свойствами:

1. если то Р(А/В)=1

2. если Ø, то Р((А+В)/С)=Р(А/С)+Р(В/С)

2.2 Формула полной вероятности

Определение. Пусть задано некоторое вероятностное пространство (Ω, F, P). Тогда совокупность событий А₁, А₂, …, А_nназывается полной группой событий, если выполняются следующие условия:

а) А₁ А₂ …,А_n=Ω;

б) А_i A_j=Ø, ;

г) Р(А_к)>0.

Пусть дано событие А, оно может наступить при появлении одного из несовместных Событий В₁, В₂,…, В_n, которые образуют полную группу. Нам также известны вероятности , , …, . Как можно найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает теорема:

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появлении одного из несовместных событий В₁, В₂,…, В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятности каждого из этих событий на собственную условную вероятность:

P(А)=.

Эту формулу также называют формулой полной вероятности.

2.3 Формула Бейеса

Составим задачу: Пусть дано событие А, оно может наступить при появлении одного из несовместных Событий В₁, В₂,…, В_n, которые образуют полную группу. Так как нам заранее не известно, какое событие наступит, их называют гипотезами. Допустим, что произведено испытание в результате, которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить как изменились вероятности гипотез, в связи с тем что событие А уже наступило. Другими словами определим следующие условные вероятности:

, , …, .

Определить данные вероятности можно при помощи формулы Бейеса:

Заменив P(А)= получим:

Решение задач.

Задача 1. Бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что выпало число очков, больше трех (событие А), если известно, что выпала четная грань (событие В)?

Решение. Событию В соответствует выпадение чисел 2,4,6. Событию А выпадение чисел 4, 5, 6. Событию АВ – 4, 6. Поэтому используя формулу условной вероятности получи:

Задача 2. Для контроля продукции лыжной фабрики из трех партий лыж взята на проверку одна деталь. Какова вероятность выявления бракованной продукции, если в одной партии 2/3 лыж бракованные, а в двух других все доброкачественные?

Решение. Пусть событие В= «Взятая деталь бракованная», А_к= «деталь берется из к-ой партии», тогда вероятность Р(А_к)=1/3, где к=1; 2; 3.

Пусть в первой партии находятся бракованные лыжи, значит , тогда в двух других парий нет бракованных лыж, то есть: . Применяя формулу полной вероятности получим:

P(B)=.

Задача 3. Прибор состоит из двух узлов; работа каждого узла необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы) в течении времени t первого узла равна p₁, второго р₂. Прибор испытывался в течении времени t, в результате чего обнаружено, что он отказал. Найдите вероятность того, что отказал первый узел, а второй исправен.

Решение. Пусть событие В= «прибор отказал», событие А₁= «Оба узла исправны», А₂= «первый узел отказал, а второй испарвен», А₃= «первый узел исправен, а второй узел отказал», А₄= «Оба узла отказали». Эти события образуют полную группу событий. Найдем их вероятности:

Р(А₁)=р₁р₂

Р(А₂)=(1-р₁)р₂

Р(А₃)=р₁(1-р₂)

Р(А₄)=(1-р₁)(1-р₂).

Так как наблюдалось событие В, то:

Р(В/А₁)=0,

Р(В/А₂)= Р(В/А₃)= 1.

Применяя формулу Бейеса получим:

Задачи для самостоятельного решения

2.1.

Среди N экзаменационных билетов n «счастливых». Студенты подходят за билетами один за другим. У кого больше вероятность взять счастливый билет: у того, кто подошел первым, или у того, кто подошел вторым? Какова вероятность взять «счастливый» билет у последнего студента?

2.2.

15 экзаменационных билетов содержат по 2 вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может ответить толь- ко на 25 вопросов. Определить вероятность того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на два вопроса из одного билета или на один вопрос из первого билета и на указанный дополнительный вопрос из другого билета.

2.3.

В техникуме n студентов, из которых nk , k = 1, 2, 3 , человек учатся k -й год. Среди двух наудачу выбранных студентов оказалось, что один из них учится больше второго. Какова вероятность того, что этот студент учится третий год?

2.3

Из чисел 1, 2, …, n одно за другим выбирают наугад два числа. Какова вероятность тго, что разность между первыми выбранным числом и вторым будет не меньше m?

2.4

Во время испытаний было установлено, что вероятность безотказной работы прибора при отсутствии повреждений равна 0,99, при перегреве – 0,95, при вибрации – 0,9, при вибрации и перегреве – 0,8. Найти вероятность P1 отказа этого прибора во время работы в жарких странах (вероятность перегрева – 0,2, вибрации – 0,1) и вероятность P2 отказа во время работы в передвигающейся лаборатории (вероятность перегрева – 0,1, вибрации – 0,3), если считать перегрев и вибрацию независимыми событиями.

2.5

По каналу связи передают символы A , B , C с вероятностями 0,4; 0,3; 0,3 соответственно. Вероятность искажения сим- вола равна 0,4, и все искажения равновероятны. Для увеличения надежности каждый символ повторяют четыре раза. На выходе восприняли последовательность ВАСВ. Какова вероятность того, что передали АААА, ВВВВ, СССС?

2.6

На наблюдательной станции установлены 4 радиолокатора различных конструкций. Вероятность обнаружения целей с помощью первого локатора равна 0,86, второго 0,9, третьего 0,92, четвертого 0,95. Наблюдатель наугад включает один из локаторов. Какова вероятность обнаружения цели?

2.7

Вероятность того, что двое близнецов будут одного пола 0,64, а вероятность рождения в двойне первым мальчика 0,51. Найти вероятность того, что второй из близнецов будет мальчиком, при условии, что первый из них мальчик.

2.8

Некоторая деталь производиться на двух заводах. Известно, что объем продукции первого завода в к раз превышает объем второго. Доля брака на первом заводе 0,3, на втором 0,2. Наугад взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь выпущена первым заводом?

2.9

Среди женщин – избирателей 70% поддерживают кандидата А, а среди мужчин 60%. Используя данные переписи, согласно которым доля женщин избирателей составляет 55%, оценить вероятность победы на выборах кандидата А.

2.10

Трое сотрудников фирмы выдают соответственно 30%, 50%, 20% всех изделий, производимой фирмой. У первого брак 2%, второго 5%, третьего 1%. Какова вероятность, что случайно выбранное изделие дефектно?
3. Случайные величины

Изучение случайных величин требует связи этих величин с определенными событиями, которые заключаются в попадании случайной величины в некоторый интервал и для которых определены вероятности. Другими словами необходимо связать случайную величину с полем данного испытания.

Для лучшего понимания рассмотрим пример. При бросании кости могли появиться цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, так как это зависит от многих случайных величин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; и числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 – есть возможные значения этой величины.

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Будем обозначать случайные величины прописными (заглавными) буквами: X, Y, Z, а их возможные значения соответствующими строчными буквами x, y, z. Если величина Х имеет три значения то они будут обозначены так: х₁, х₂, х₃ .

3.1 Дискретные и непрерывные случайные величины

Обычно рассматриваются два типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Рассмотрим следующий пример: Число мальчиков пошедших в секцию бальных танцев среди 100 пришедших туда людей есть случайная величина, которая может принимать следующие значения 0, 1, 2, …, 100. Эти значения отделены друг от друга промежутками, в которых нет возможных значений Х . таким образом в этом примере случайная величина принимает отдельные изолированные значения.

Приведем второй пример: расстояние, которое пролетит диск при метании, есть величина случайная. Действительно величина зависит от многих факторов, например от ветра, температуры и других факторов, которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а;b).

В данном примере случайная величина может принять любое из значений промежутка (а;b). Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины.

Уже из сказанного можно заключить о том, что целесообразно будет различать случайные величины, принимающие лишь отдельные изолированные значения, и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Еще примерами непрерывных случайных величин могут быть спортивный результат в беге или прыжках, рост и масса тела человека, сила мышц и другие.

3.2 Закон распределения вероятностей дискретной случайной

величины

Для задания дискретной случайной величины не достаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, в виде формулы и графически.

При табличном задании первая строка содержит возможные значения, а вторая – их вероятности :

Х	x₁	x₂	…	x_n
p	p₁	p₂	…	p_n

Сумма вероятностей второй строки таблицы равнеа единице:

Если множество возможных значений Х бесконечно, то ряд сходится и его сумма равна единице.

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (х_i; p_i), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

3.3 Биноминальное распределение

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна р, тогда вероятность не появления q=1-p. Рассмотрим в качестве дискретной случайной величины Х число появления события А в этих испытаниях.

Найдем закон распределения величины Х. Событие А в n испытаниях может появиться либо не появиться, Следовательно Х может принимать следующие значения х₁=0, х₂=1, х₃=2, и так далее. Вероятность данных значений можно найти используя формулу Бернулли:

Биноминальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Данный закон назван биноминальным потому, что правую часть равенства можно рассматривать, как общий член разложения бинома Ньютона.

Напишем биноминальный закон в виде таблицы:

Х	n	n-1	…	k	…	0
p			…		…

3.4Распределение Пуассона

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Для определения вероятности к появлений события А используют формулу Бернулли. Если n велико то пользуются формулой ЛапласаЮ однако эта формула непригодна, если вероятность события мала (p<0.1). В этих случаях (n велико, а р – мало). Используют формулу Пуассона:

Где .

Эта формула выражает закон распределения Пуассона вероятностей массовых и редких событий. Имеются специальные таблицы, пользуясь которыми можно найти значения , если нам известны и к.

3.5 Математическое ожидание и дисперсия

Как известно закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Также для решения многих задач не нужно знать распределения случайной величины, а достаточно знать лишь некоторые обобщающие числовые хараткеристики этого распределения.

Одной из таких характеристик является математическое ожидание. Для более наглядного определения рассмотрим подход к этому понятию на конкретном примере.

Пусть имеется дискретная случайная величина Х, которая может принимать значения х₁, х₂, …, х_n. Вероятности которых соответственно равны р₁, р₂, …, р_n. Тогда математическое ожидание М(Х) случайной величины Х определяется равенством:

Если дискретная случайная величина Х принимает счетное множество всевозможных значений, то

Причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно.

Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной

М(С)=С.

2. Постоянный сомножитель можно выносить за знак математического ожидания

М(СХ)=СМ(Х).

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий

М(ХУ)=М(Х)М(У).

4. Математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании

М(Х)=np.

Для непрерывных случайных величин дисперсию можно найти по следующей формуле:

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайно величины вокруг ее среднего значения. Например в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена. Именно такие задачи решает дисперсия.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от ее математического ожидания. Дисперсия обозначается, как D(x)

D(Х)=M[X-М(Х)]².

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей формулой:

Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания

D(Х)=M(X)²-[М(Х)]².

Свойства дисперсии:

1. Дисперсия постоянной величины С равна 0

D(С)=0.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат

D(СХ)=С² D(Х).

3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин

D(Х+У)=D(X)+D(У).

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий

D(Х-У)=D(X)+D(У).

5. дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна n произведению числа испытаний на вероятности появления и не появления события в одном испытании:

D(Х)=npq.

Для оценки рассеяния всевозможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и другие величины.

Средним квадратическим отклонением величины Х называют квадратный корень из дисперсии

3.6 Вероятность попадания в заданный интервал

Очень часто интересует вопрос: какова вероятность, того что изучаемый признак находится в заданных границах. Например, вероятность того, что результат в беге на 100 м для группы испытуемых окажется в пределах 11,5 – 12,5 с.

Для этого пользуются функцией Лапласа:

P[x₁<(X-μ)<x₂]=Ф()-Ф().

Решение задач

Задача 1. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 р. и десять выигрышей по 1 р. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца лотерейного билета.

Решение. Напишем возможные значения Х: х₁=50; х₂=1; х₃=0. Вероятности этих возможных значений равны: р₁=0,01; р₂= 0,1; р₃=1-(0,01+0,1)=0,89.

Напишем исходный закон распределения:

Х	50	10	0
p	0,01	0,1	0,89

Контроль: 0,01+0,1+0,89=1

Решение. По условию n=5000, р=0,0002, к=3. Найдем :

=np=1

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна:

Задача 3. Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:

Х	1	2	5
p	0,3	0,5	0,2

Решение. Найдем математическое ожидание:

Найдем всевозможные значения квадрата отклонения:

Напишем закон квадрата отклонения:

[Х-М(Х)]²	1,69	0,09	7,29
p	0,3	0,5	0,2

По определению:

Используя формулу D(Х)=M(X)²-[М(Х)]² можно найти дисперсию гораздо быстрее:

Задачи для самостоятельного решения

3.1

Вероятность поражения мишени при одном выстреле 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 75 раз.

3.2

Линия связи, имеющая к каналов связывает два города, где n абонентов, каждый из которых пользуется телефоном в среднем 5 минут в час. Найти вероятность безотказного обслуживания абонентов.

3.3

В лотерее 40000 билетов, ценные выигрыши попадают на 3 билета. Определить: а) вероятность получения хотя бы одного выигрыша на 1000 билетов; б) сколько необходимо приобрести билетов, чтобы вероятность выигрыша была не менее 0,5.

3.4

Найти математическое ожидание дискретной случайно величины Х заданной законом распределения:

А)

Х	-4	6	10
P	0,2	0,3	0,5

Б)

Х	0,21	0,54	0,61
p	0,1	0,5	0,4

3.5

Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения

Х	4	6	х
p	0,5	0,3	р

Найти х и р, если М(Х)=8

3.6

Дискретная случайная величина имеет только 2 возможных значения х и у, причем x<y. Вероятность того что Х примет значение х 0,6. Найти закон распределения величины Х, если математическое ожидание и дисперсия известны: М(Х)=1,4, D(X)=0.24.

II Статистика.

Определение: Простой гипотезой будем называть любое предположение, однозначно определяющее распределение выборки Х.

Пусть даны r распределителей P₁, …, P_r и пусть нам известно что Х есть выборка одного из этих распределений. Задача состоит в том, чтобы определить, к какому именно Р относится Х.

Определение: Нулевой называют выдвинутую гипотезу.

1.Проверка гипотезы о разности двух средних значений

Проверка гипотезы о разности между двумя средними арифметическими – одна из наиболее часто встречающихся задач исследовательской работы.

Рассмотрим следующий пример: Две группы велосипедистов использовали в соревновательном периоде два различных метода силовой подготовки. Первая группа весь объем силовых упражнений распределила на весь сезон. Вторая группа тот же объем использовала во второй половине сезона, а в первой совсем не применяла силовых упражнений. Эффективность методов тренировки оценивалась по приросту результатов на дистанции 500 м с места, которые оказались следующими (в секундах):

Первая группа (Х₁): 1,0; 2,1; 1,2; 1,9; 0,9; 0,8; 2,0; 0,8; 1,5; 2,0.

Вторая группа (Х₂): 0,8; 1,0; 1,3; 0,7; 0,7; 0,4; 0,9; 1,4; 1,5; 1,5.

Рассчитаем средние арифметические для каждой группы:

Таким образом, средний прирост спортивного результата в первой группе на 0,4 сек. Выше, чем во второй. Следует отметить, что по исходным данным группы были однородны. Очевидно, разность между средними арифметическими не говорит о том, что один метод тренировки эффективнее, чем другой. Даже если бы обе группы использовали одинаковые методы тренировки, средние арифметические почти наверняка были бы разными, так как прирост результатов зависти не только от методов тренировки, но и определяется некоторыми другими факторами, например, питанием спортсменов, занятостью в учебе или работе, болезнями и т.п. При не большом числе испытуемых эти факторы могли бы сложится более благоприятно, для какой то одной группы. Следовательно, задача состоит в том, чтобы установить, можно ли объяснить различие в среднем приросте результата случайностью или оно отражает тот факт, что один метод тренировки эффективнее, чем другой.

На языке математической статистики эта задача формулируется следующим образом. Прирост результатов для испытуемых первой группы рассматривается как случайная выборка из генеральной совокупности с параметрами и . Аналогично для второй группы существует генеральная совокупность с параметрами и . Требуется проверить нулевую гипотезу о том, что =. В математической статистике доказывается, что

где .

Если величина t окажется слишком большой, то нулевая гипотеза должна быть отвергнута, как малоправдоподобная. В этом случае надо взять альтернативную гипотезу Н₁: ≠

Составим порядок применения t-критерия для проверки гипотезы о разности между двумя генеральными средними:

1. Проверить гипотезу о нормальности распределения наблюдений в каждой группе.

2. Рассчитать для каждой группы

3. Проверить гипотезу .

4. Рассчитать стандартную ошибку разности между средними арифметическими.

5. Рассчитать величину критерия t. Сравнить полученное значение с граничным при выбранном уровне значимости и степеней свободы.

6. если нулевая гипотеза отвергнута, то построить доверительный интервал для разности между генеральными средними.

Пример. Применим t-критерий для проверки гипотезы H₀: =, к данным примера приведенного в начале параграфа.

1. проверить гипотезу о нормальности распределения можно позже, когда будут описаны соответствующие критерии.

3. . Граничное значение при 5 процентном уровне значимости и числе степеней свободы для большей дисперсии f₁=9 и меньшей f₂=9 равно 4,03. Так как полученное значение критерия меньше граничного, то нулевая гипотеза не отвергается, то есть выборки взяты из генеральных совокупностей с равными дисперсиями.

4. Так как число наблюдений в группах равное, то стандартная ошибка разности равна:

Число степеней свободы в данном примере f=10+10-2=18. Граничное значение при 5-процентном уровне значимости и 18 степенях свободы равно 2,01. Так как полученное значение критерия t меньше граничного, гипотеза о равенстве генеральных средних не отвергается. Таким образом не смотря на то, что средний результат средних приростов в двух группах различный, нет оснований говорить, что один из методов лучше, чем другой. Полученное различие может быть объяснено случайностью.

2 Посторенние линии регрессии для корреляции

Во многих задачах требуется установить и оценить зависимость изучаемой случайной величины У от одной или нескольких других величин. Так например может интересовать зависимость между спортивным результатом конькобежца и его аэробными возможностями, зависимость между силой мышц и скоростью их сокращения.

В некоторых случаях можно установить функциональную зависимость. При исследованиях в области спорта чаще всего приходится сталкиваться с корреляционной зависимостью, при которой каждому значению зависимой переменной соответствует ряд распределения зависимой переменной, и с изменением первой положение этих рядов закономерно изменяется.

Корреляционные зависимости могут быть представлены, как и в табличной форме так и в виде графической зависимости. Для этого каждой клетке корреляционной таблицы нужно равномерно распределить соответствующие указанной цифре число точек. Для построения первичного поля корреляции в обычной системе координат наносятся точки с координатами (Х;У) в соответствии с исходными данными.

В исследовательской работе корреляционные величины встречаются очень часто. Обычно величина У зависит от большого количества аргументов: Х₁; Х₂; …; Х_m. В случае линейной функции эту зависимотсть можно записать в виде:

У=а+b₁X₁+b₂X₂+…+b_mX_m.

Например, результат конькобежца определяется не только аэробными возможностями организма, но также силой и скоростью сокращения мышц, техникой бега, волевыми качествами и т.д. Если анализировать все аргументы, то получится функциональная зависимость.

При изучении корреляционных зависимостей между двумя признаками обычно решаются следующие задачи:

1. Установление формы связи между функцией У и аргументом Х, то есть описание закона изменения величины условных средних в связи с изменением Х. Эта задача решается путем нахождения уравнения регрессии.

2. Оценка тесноты связи между У и Х. Решение этой задачи требует ответов на два вопроса:

a. Есть ли вообще между Х и У корреляционная зависимость, т.е. наблюдается ли закономерное изменение условных средних в связи с изменением Х?

b. Если корреляционная зависимость существует, то в какой степени она отличается от функциональной?

Для решения данной задачи могут использоваться различные модели. Наиболее часто используется регрессионная и корреляционная модель.

Регрессионная модель предполагает, что зависимая переменная У является случайной величиной, а значения независимой переменной задаются экспериментатором произвольно. Например, исследуя зависимость скорости мышечного сокращения от величины поднимаемого груза, можно наметить, какие грузы должен поднимать испытуемый.

Корреляционная модель предполагает, что обе переменные – случайные величины.

Простейшей формой связи между двумя переменными является линейная зависимость вида У=а+bX. Параметр а носит название начальной ординаты. Параметр b носит название коэффициента регрессии, он характеризует наклон прямой линии.

Расчет параметров уравнения регрессии производится по методу наименьших квадратов:

Для выполнения этого учловия параметры находят из решения системы уравнений:

Которое можно представить в виде готовых формул:

Уравнение регрессии служит для анализа формы связи между двумя признаками.

III Математические методы

1 Дерево решений

Дерево решений используют, когда нужно принять несколько решений в условиях неопределенности, когда каждое решение зависит от исхода предыдущего или исхода испытаний. Составляя “дерево” решений нужно нарисовать “ствол” и “ветви”, отражающие структуру проблемы. Располагаются “деревья” слева направо. “Ветви” обозначают возможные альтернативные решения, которые могут быть приняты, и возможные исходы, возникающие в результате этих решений.

Квадратные “узлы” обозначают места, где принимаются решение, круглые “узлы” - появление исходов. Так как принимающий решение не может влиять на появление исходов, ему остается лишь вычислять вероятность их появления.

Когда все решения и их исходы указаны на “дереве”, просчитывается каждый из вариантов, и в конце проставляется его денежный доход. Все расходы, вызванные решением, проставляются на соответствующей “ветви”.

Рассмотрим пример: "Играть ли в гольф?" Чтобы решить задачу, т.е. принять решение, играть ли в гольф, следует отнести текущую ситуацию к одному из известных классов (в данном случае - "играть" или "не играть"). Для этого требуется ответить на ряд вопросов, которые находятся в узлах этого дерева, начиная с его корня.

Первый узел нашего дерева "Солнечно?" является узлом проверки, т.е. условием. При положительном ответе на вопрос осуществляется переход к левой части дерева, называемой левой ветвью, при отрицательном - к правой части дерева. Таким образом, внутренний узел дерева является узлом проверки определенного условия. Далее идет следующий вопрос и т.д., пока не будет достигнут конечный узел дерева, являющийся узлом решения. Для нашего дерева существует два типа конечного узла: "играть" и "не играть" в гольф.

В результате прохождения от корня дерева (иногда называемого корневой вершиной) до его вершины решается задача классификации, т.е. выбирается один из классов - "играть" и "не играть" в гольф.

Любая модель, представленная в виде дерева решений, является интуитивной и упрощает понимание решаемой задачи. Результат работы алгоритмов конструирования деревьев решений легко интерпретируется пользователем. Это свойство деревьев решений не только важно при отнесении к определенному классу нового объекта, но и полезно при интерпретации модели классификации в целом. Дерево решений позволяет понять и объяснить, почему конкретный объект относится к тому или иному классу.

Алгоритм конструирования дерева решений не требует от пользователя выбора входных атрибутов (независимых переменных). На вход алгоритма можно подавать все существующие атрибуты, алгоритм сам выберет наиболее значимые среди них, и только они будут использованы для построения дерева.

Точность моделей, созданных при помощи деревьев решений, сопоставима с другими методами построения классификационных моделей (статистические методы, нейронные сети).

2 Игры

В практике часто встречаются конфликтные ситуации. Игра – это упрощенная модель конфликта. В отличии от конфликта игра ведется по четким правилам. Для решения конфликтов разработан специальный аппарат – теория игр. Для задания игры необходимо определить:

1. варианты действий игроков

2. объем информации каждого игрока о поведении противника

3. выигрыш, к которому приводит совокупность действий игроков.

Игра в которой участвуют два игрока называется парной. В игре где участвуют более двух игроков называется множественной.

Игра в которой выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, называют игрой с нулевой суммой (антагонистической игрой)

Естественным обобщением матричных игр являются бесконечные антагонистические игры (БАИ), в которых хотя бы один из игроков имеет бесконечное количество возможных стратегий. Мы будем рассматривать игры двух игроков, делающих по одному ходу, и после этого происходит распределение выигрышей. При формализации реальной ситуации с бесконечным числом выборов можно каждую стратегию сопоставить определённому числу из единичного интервала, т.к. всегда можно простым преобразованием любой интервал перевести в единичный и наоборот.

Введём определения и обозначения : [0; 1] – единичный промежуток, из которого игрок может сделать выбор;

х – число (стратегия), выбираемое игроком 1;

y – число (стратегия), выбираемое игроком 2;

М_i(x,y) – выигрыш i-го игрока; G (X,Y,M₁,M₂) – игра двух игроков, с ненулевой суммой, в которой игрок 1 выбирает число х из множества Х, игрок 2 выбирает число y из множества Y, и после этого игроки 1 и 2 получают соответственно выигрыши M₁(x, y) и M₂(x, y). Пусть, далее, G (X,Y,M) – игра двух игроков с нулевой суммой, в которой игрок 1 выбирает число х, игрок 2 – число y, после чего игрок 1 получает выигрыш М(x, y) за счёт второго игрока.

Большое значение в теории БАИ имеет вид функции выигрышей M(x, y). Так, в отличии от матричных игр, не для всякой функции M(x, y) существует решение. Будем считать, что выбор определённого числа игроком означает применение его чистой стратегии, соответствующей этому числу. По аналогии с матричными играми назовём чистой нижней ценой игры величину

V₁ = M(x, y) или V₁ = M(x, y),

а чистой верхней ценой игры величину

V₂ = M(x, y) или V₂ = M(x, y),

Для матричных игр величины V₁ и V₂ всегда существуют, а в бесконечных играх они могут не существовать.

Естественно считать, что, если для какой-либо бесконечной игры величины V₁ и V₂ существуют и равны между собой (V₁ = V₂ = V), то такая игра имеет решение в чистых стратегиях, т.е. оптимальной стратегией игрока 1 есть выбор числа x_oÎX и игрока 2 – числа y_oÎY, при которых M(x_o, y_o) = V, в этом случае V называется ценой игры, а (x_o, y_o) – седловой точкой в чистых стратегиях.

Пример 1. Игрок 1 выбирает число х из множества Х = [0; 1], игрок 2 выбирает число y из множества Y = [0; 1]. После этого игрок 2 платит игроку 1 сумму

M(x, y) = 2х² - y².

Поскольку игрок 2 хочет минимизировать выигрыш игрока 1, то он определяет

(2x² - y²) = 2х² - 1,

т.е. при этом y = 1. Игрок 1 желает максимизировать свой выигрыш, и поэтому определяет

(M(x, y)) = (2х² - 1) = 2-1 = 1,

который достигается при х = 1.

Итак, нижняя цена игры равна V₁ = 1. Верхняя цена игры

V₂ = ((2х² - y²)) = (2 - y²) = 2-1 = 1,

т.е. в этой игре V₁ = V₂ = 1. Поэтому цена игры V = 1, а седловая точка (1;1).

3 Линейное программирование

Программирование- это процесс распределения ресурсов.

Математическое программирование- это использование математических методов и моделей для решения проблем программирования. Если цель исследования и ограничения на ресурсы можно выразить количеством в виде линейных зависимостей между переменными, то соответствующий раздел математического программирования называется линейным программированием.

Литература

1. Теория вероятностей и математическая статистика: / В.Е. Гмурман; М.: Высшая школа – 1999 г. – 479с.

2. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: / В.Е. Гмурман; М.: Высшая школа – 2002 г. – 404 с.

3. Задачи и упражнения по теории вероятностей: / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров; М.: Высшая школа – 2002 г. – 445 с.

4. Теория вероятностей: / Е.С. Венцель; М.: Наука – 1964 г. – 572 с.

5. Математическая статистика. Оценка параметров. Проверка гипотез: / А.А. Боровнов; М.: Наука – 1984 г. – 469 с.

6. Элементы высшей математики для школьников: /Д.К. Фадеев; М.: Наука – 1987 г. 335 с.

7. Математические методы в экономике. Учебно-методическое пособие. 3-е издание: / Г.И. Просветов; М.: РДЛ – 2007 г. – 160 с.

8. Теория вероятностей в примерах и задачах: Учебное пособие / М.А. Матальский, Т.В. Романюк – Гордно: ГрГУ; 2002 г.-248 с.

9. Основы математической статистики: Учебное пособие для ин-ов физ.культ./ Под ред. В.С. Иванова – М.: Физкультура и спорт; 1990 г.- 176 с.

10. Математико – статистические методы в спорте. М., Физкультура и спорт; 1974 г. – 151 с.

Элективный курс по математике для классов спортивно-оборонного профиля