Анализ функции фильтрационного сопротивления для неустановившегося притока жидкости (газа) к несовершенной скважине

Министерство общего и профессионального образования РФ

Тюменский Государственный Нефтегазовый Университет

Кафедра РЭНиГМ

Реферат

«Анализ функции фильтрационного сопротивления для неустановившегося притока жидкости (газа) к несовершенной скважине»

Выполнил студент

Группы НГР-96-1

Принял профессор

Телков А. П.

Тюмень 1999 г.        Рассмотрим функция (F) которая есть функ­ция пяти параметров F=F (f₀, r_c, h, x, t*), каждый из которых — безразмерная ве­личина, соответственно равная

                                            (1)

где       r — радиус наблюдения;

x — коэффициент пьезопроводности;

Т — полное время наблюдения;

h — мощность пласта;

b — мощность вскрытого пласта;

z — координата;

t — текущее время.

Названная функция может быть ис­пользована для определения понижения (повышения) давления на забое скважи­ны после ее пуска (остановки), а также для анализа распределения потенциала (давления) в пласте во время работы скважины.

Уравнение, описывающее изменение давления на забое, т. е. при x=h; r=r_c или r=r_c, имеет вид

                                                              (2)

где безразмерное значение депрессии связано с размерным следующим соот­ношением

здесь Q — дебит;

m — коэффициент вязкости;

k — коэффициент проницаемости.

Аналитическое выражение F для оп­ределения изменения давления на за­бое скважины запишем в виде

  (4)

Уравнение (2) в приведенном виде не может использоваться для решения инженерных задач по следующим при­чинам: во-первых, функция (4) сложна и требует табулирования; во-вторых, вид функции исключает  возможность выделить время в качестве слагаемого и свести решение уравнения (2) к урав­нению прямой для интерпретации кри­вых восстановления (понижения) давле­ния в скважинах традиционными мето­дами. Чтобы избежать этого, можно по­ступить следующим образом.

В нефтепромысловом деле при гид­родинамических исследованиях скважин широко используется интегрально-пока­зательная функция. Несовершенство по степени вскрытия пласта в этом случае учитывается введением дополнительных фильтрационных сопротивлений (C₁), взятых из решения задач для установившегося притока. В соответствии с этим уравнение притока записывается в виде

                                                            (5)

Как видно, дополнительные фильтрационные сопротивления являются функ­цией геометрии пласта. Насколько вер­но допущение о возможности использо­вания значений C₁(r_с, h), пока еще ни теоретически, ни экспериментально не доказано.

Для неустановившегося притока урав­нение (2) запишем аналогично в виде двух слагаемых, где в отличие от вы­ражения (5) значения фильтрационных сопротивлений являются функцией трех параметров (r_с, h, f₀)

                                           (6)

Как _ видим, дополнительное слагае­мое R(r_c , h, f₀) в уравнении (6) зависит не только от геометрии пласта, но и от параметра Фурье (f₀). В дальнейшем бу­дем называть это слагаемое функцией фильтрационного сопротивления. Заме­тим, что при h=l (скважина совершен­ная по степени вскрытия) уравнение (2) представляет собой интегрально-по­казательную функцию

                                                               (7)

С учетом равенства (7) решение (6) за­пишем в виде

                           (8)

Разрешая уравнение (8) относительно функции сопротивления и   учитывая уравнение (2), находим

                     (9)

и на основании равенства (7) приведем выражение (9) к виду

 (10)

Численное значение R(r_с,h,fo) рас­считано по уравнению (10) на ЭВМ в широком диапазоне изменения парамет­ров r_c, h, f₀. Интеграл (2) вычислялся методом Гаусса, оценка его сходимости выполнена согласно работе [3]. С уче­том равенства (7) вычисления дополнительно проконтролированы по значени­ям интегрально-показательной функции.

1. Определим поведение Dр в зави­симости от значений параметров  r_с, h, f₀.

Результаты  расчетов значений де­прессии для каждого фиксированного r_c сведены в таблицы, каждая из кото­рых представляет собой матрицу разме­ром 10х15. Элементы матрицы это зна­чения депрессии Dp(r_c) для фиксиро­ванных h и f₀. Матрица построена та­ким образом, что каждый ее столбец есть численное значение депрессии в зависимости от h, .а каждая строка со­ответствует численному значению де­прессии в зависимости от fo (табл. 1). Таким образом,  осуществлен переход от значений безразмерной депрессии Dp(r_c, h, f₀) к относительной депрессии

Dр*_i,j (r_c).

Для удобства построения и иллюст­рации графических зависимостей выпол­нена нормировка матрицы. С этой це­лью каждый элемент i-й строки матри­цы поделен на максимальное значение депрессии в данной строке, что соответ­ствует значению j==15. Тогда элементы новой матрицы определятся выраже­нием

                                                                      (11)

Условимся элементы матрицы назы­вать значениями относительной депрес­сии. На рис. 1 приведен график изме­нения относительной депрессии при фик­сированных значениях h. Характер по­ведения относительной депрессии поз­воляет описать  графики уравнением пучка прямых

Рис. 1. Поведение относительной депрес­сии (r_c=0,0200, h_i=const, f₀) при значениях h, равных: 1— 0,1; 2 — 0,3; 3—0,5; 4 — 0.7;  5 —0,9;  6—1,0.

где k_i — угловой коэффициент прямой, который определяется h и от индекса j не зависит.

Анализ зависимости поведения де­прессии Dp^*_i,j от f₀ для всех r_c >0,01 показывает, что графики этой зависимости можно описать уравнением пучка прямых для любого значения h. Для r_c< 0,01 в графиках зависимости появляются начальные нелинейные уча­стки, переходящие при   дальнейшем уменьшении параметра f₀ (или же при увеличении его обратной  величины 1/f_oj) в прямые для всех значений h<l,0

(рис. 2). При h=l,0 поведение депрес­сии строго линейно. Кроме того, протя­женность нелинейного участка для раз­ных r_c при h=const различна. И чем меньше значение безразмерного ради­уса r_c , тем больше протяженность не­линейного участка (рис. 2).

2. Определим поведение R(r_c, h, f₀) и ее зависимость от безразмерных па­раметров r_c, h, f₀.

Значения R(r_c, h, f₀) рассчитаны для тех же величин параметров r_c, h, f₀. ко­торые указаны в пункте 1, обработка результатов также аналогична. Переход от безразмерной функции сопротивле­ния R(r_c, h, f₀) к относительной R^*_i,j (r_c) осуществлен согласно выражению

.                                                                             (13)

Анализ поведения R^*_i,j (r_c) и резуль­таты обработки расчетного материала, где установлена ее зависимость от па­раметров r_c, h, f₀, частично приведены на рис, 2 (кривые даны пунктиром).

При г_c >0,01 для любого h_i R^*_i,j (r_c) уже не зависит от f_0i .

Из анализа данных расчета и графи­ков рис. 2 следует: при r_c<0,01 в по­ведении R^*_i,j (r_c) для всех h<l,0 на­блюдается нелинейный участок, перехо­дящий с некоторого значения f₀ (точка С на графике) в прямую линию, парал­лельную оси абсцисс. Важно отметить,

что для одного и того же значения r_c абсцисса точки перехода нелинейного участка в линейный для R^*_i,j (r_c) имеет то же самое значение, что и абсцисса точек перехода для графиков зависи­мости Dp^*_i,j (r_c) от ln(l/f_0i ) (линия CD). Начиная с этого момента, R^*_i,j (r_c) для данного r_c при дальнейшем наблюдении зависит не от времени, а только от h_i • И чем выше степень вскрытия, т. е. чем совершеннее скважина,. тем меньше бу­дет значение R^*_i,j (r_c) И при h=l (сква­жина совершенная по степени вскры­тия) функция сопротивления равна ну­лю. Очевидно, нелинейность Dp^*_i,j (r_c) связана с характером поведения функ­ции сопротивления, которая, в свою оче­редь, зависит от параметра Фурье. От­метим также, что в точке С (рис. 2) численное значение функции сопротив­ления становится равным значению фильтрационных сопротивлений (C₁(r_c, h)) для притока  установившегося ре­жима.

Рис. 2. Поведение относительной депрес­сии и относительной функции фильтрационного сопротивления   (r_c=0,0014,  h=const, f₀) при h, равных: 1,1'—0,1; 2,2'— 0,3; 3,3'—0,5;  4,4'—0,7;   5,5'— 0,9; 6,6'— 1,0.

1. Депрессия на забое несовершенной по степени вскрытия скважины для всех r_c < 0,01 имеет два явно выражен­ных закона изменения: а) нелинейный, который обусловлен зависимостью функ­ции сопротивления от времени и соот­ветствует неустановившемуся притоку сжимаемой жидкости (газа); б) линей­ный, который соответствует квазиустановившемуся притоку и не связан с функцией сопротивления.

2. Величина R(r_c, h, f₀) для неуста­новившегося притока качественно опи­сывает С₁(r_c, h) для установившегося, и ее численное значение при любом вскры­тии пласта всегда меньше численного значения С₁(r_c, h) при установившемся притоке.

3. Полученное аналитическое реше­ние для неустановившегося притока сжимаемой жидкости (газа) к несовер­шенной скважине в бесконечном по про­тяженности  пласте  преобразовано в прямолинейную анаморфозу, которая позволяет эффективно интерпретировать кривые восстановления забойного дав­ления.

4. Выбор  fo, дающего   значения Dp^*_i,j(r_c)=1, не влияет на протяжен­ность нелинейного участка, соответст­вующего неустановившемуся движению, на графики зависимости Dp^*_i,j(r_c) от ln(1/f_0i).

ЛИТЕРАТУРА

1. Т е л к о в В. А. Приток к точечному стоку в пространстве и к линии стоков в полу бесконечном пласте. НТС. Вып. 30, Уфа, 1975.

2. Л е о н о в В. И„ Телков В. А., Каптелинин Н. Д. Сведение задачи неустановившегося притока   сжимаемой жидкости (газа) к несовершенной скважи­не к решению уравнения пьезопроводности. Тезисы докладов на XIII научно-техниче­ском семинаре по гидродинамическим ме­тодам исследований и контролю процессов разработки нефтяных месторождений. Пол­тава, 1976.

3. Б а х в а л о в Н. С. Численные мето­ды. Изд-во «Наука», М., 1974.