Модуль неперервності та його властивості

Модуль неперервності та його властивості

Курсова робота

на тему:

„Модуль неперервності та його властивості”

Зміст

Вступ

. Модуль неперервності (першого порядку)

. Приклади модуля неперервності

. Властивості модуля неперервності

.Необхідна і достатня умова рівномірної неперервності

. Класи функцій, що визначаються першими модулями неперервності

Висновки

Список використаних джерел

Вступ

Результати Чебишева і Вейерштрасса є фундаментом теорії наближення функцій як науки і стали потужним стимулом для її подальшого розвитку. Завдяки теореми Вейерштрасса ми бачимо, що для будь-якої неперервної на  функції  має місце рівність:

.

Виникає питання, якою мірою і які властивості функції  впливають на швидкість прямування до нуля послідовності . Виявляється, що  прямує до нуля тим швидше, чим більший степінь гладкості функції. При цьому, грубо кажучи, в класі аналітичних функцій більш гладкими, наприклад на [-1, 1], вважають ті функції, у яких є велика відстань від [-1, 1] до найближчої особливої точки, за аналітичними слідують нескінченно диференційовні. Якщо з двох функцій  і  у функції  існує більше похідних, то вона вважається більш гладкою в порівнянні з . Надалі ми будемо позначати через  клас аналітичних в інтервалі  функцій, через ,  - натуральне, - клас функцій , у кожної з яких існують і належить  абсолютно неперервні всі похідні до -го порядку, і майже скрізь на  похідна  задовольняє нерівність ; при цьому випадку  ми відповідний клас для простоти будемо позначати просто через :

.

Через , як завжди, будемо позначати клас усіх неперервних на  функцій і через  - клас  раз неперервно диференційованих на  функцій.

Якщо дві неперервні функції  і  мають одну й ту саму кількість похідних або ж зовсім їх не мають, то для порівняння степенів їх гладкості будемо користуватися спеціальними характеристиками цих функцій (або, відповідно, їх похідних  і , які називаються «модулями неперервності», і вважати, що з двох функцій гладшою є та, модуль неперервності якої швидше прямує до нуля.

Класи заданих на всій осі періодичних функцій з періодом , як правило, позначаються за допомогою хвильки над відповідним класом і вказівкою в дужках періоду. Так, наприклад, через  і  ми будемо позначати класи всіх -періодичних неперервних або відповідно  разів неперервно диференційовних на всій осі функцій і т. д. Однак, якщо це не викличе непорозумінь, хвилька буде опускатися.

1. Модуль неперервності (першого порядку)

Означення 1.

Для неперервної на  функції  назвемо модулем неперервності першого порядку або ж просто модулем неперервності функцію , означену на  за допомогою наступної рівності:

, (1)

або

, (1')

Згідно з цим означенням модуль неперервності  функції  при кожному фіксованому  вказує величину максимального коливання функції на довільному сегменті довжини , що міститься на .

Звідси, зокрема, випливає, що

, ;

, , (2)

Це означення залишається справедливим також для нескінченного проміжку  за умови, що функція є на ньому рівномірно неперервною.

Зауваження 1.

Нехай  і  - будь-які дві точки на дійсній осі. Так як серед точок виду

знайдеться принаймні одна точка  така, що , то для будь-якої -періодичної неперервної функції  при будь-якому

,

отже, для кожної такої функції  буде постійною при всіх .

Зауваження 2.

Якщо при деякому

де , то в силу періодичності функції  завжди можна вважати, що , випливає, . Звідси видно, що у разі -періодичної функції при дослідженні її модуля неперервності достатньо обмежити значення аргументу цієї функції, розташованими на  або на якому-небудь іншому проміжку довжиною , і перестати враховувати, що функція  є періодичною. На проміжку зміни аргументу функції , меншому за , модуль неперервності -періодичної функції буде, взагалі кажучи, вже відмінним від модуля неперервності функції , що розглядається на всій осі.

2. Приклади модуля неперервності

Приклад 1.

Нехай , . Тоді при кожному

Приклад 2.

Нехай графік функції  має вигляд, зображений на (рис. 1). Тоді графік функції  показано на (рис. 2).

Рис. 1.

Рис. 2.

Приклад 3.

Нехай , . Тоді для кожного

Приклад 4.

Знайдемо  для функції ,

Для будь-якого  і будь-якого фіксованого  маємо

 (а)

Ця нерівність вірна при будь-якому , і так як для будь-якого фіксованого

то з (а) випливає , .

Знайдемо тепер модуль неперервності для функції  на відрізку .

Нехай , тоді, в силу нерівності

,

отримаємо

 (б)

з іншого боку, беручи ,  будемо мати

 (в)

З аналізу (б) і (в) випливає, що на відрізку

Записавши цей вираз у вигляді

, ,

бачимо, що  співпадає з приростом функції на відрізку довжини , на якому вона зростає найбільш швидко (рис 3).

Рис. 3.

Приклад 5.

Розглянемо функцію , . З одного боку,

З іншого боку, беручи , ,

вибираючи і фіксуючи  так, що ,  і, значить,

, будемо мати

Отримані оцінки дають

Приклад 6.

Розглянемо функцію  на інтервалі . При будь-якому фіксованому , , маємо

при

Таким чином,

Приклад 7.

Нехай при

і нехай  - -періодичного продовження функції  на всю вісь. Тоді, якщо функцію  розглядати на сегменті  довжиною  так, що (рис. 4),

Рис. 4.

то, легко бачити (рис. 5)

Рис. 5.

тобто модуль неперервності функції : в точці  не досягає свого найбільшого значення і, отже, відрізняється від модуля неперервності цієї функції на всій осі.

3. Властивості модуля неперервності

1) ;

2)  є функція, монотонно зростаюча;

3)  є функція неперервна;

4)  є функція напівадитивна в тому сенсі, що для будь-яких  і

, (2)

Доведення

Властивість 1) випливає з означення модуля неперервності.

Властивість 2) випливає з того, що при великих  нам доводиться розглядати  на більш широкій множині значень .

Властивість 3) так як функція  рівномірно неперервна на , то  при , отже, для будь-яких

при , а це і означає, що функція  неперервна.

Властивість 4) випливає з того, що якщо ми число  подамо у вигляді   і , то отримаємо

З нерівності (3) випливає, що якщо , то  тобто

, (4)

З властивості 3) випливає властивість 4).

Насамкінець наведемо наступні зауваження:

Зауваження 3.

Цими чотирма властивостями модуль неперервності повністю визначається в тому сенсі, що будь-яка функція , яка ними володіє, служить модулем неперервності для деякої неперервної функції, а саме, для самої себе: так що для такої функції .

Дійсно, якщо для , , справедливі властивості 1) - 4), то тоді для будь-яких , , маємо  і при довільному

,

тобто .

Тому, надалі модулем неперервності будемо називати будь-яку функцію , яка задовольняє наведеним вище властивостям 1) - 4).

Зауваження 4.

З перерахованих чотирьох властивостей  остання властивість (напівадитивності)  перевірити не завжди легко. Тому становить інтерес наступна достатня умова напівадитивності деякої функції .

Якщо  є незростаючою функцією, то функція  - напівадитивна.

Дійсно, якщо , то

, при

і, випливає,

що й потрібно було довести.

Наведені зауваження дають можливість привести наступні важливі приклади модуля неперервності.

Приклад 8.

Всі функції виду , де  і , є модулями неперервності.

Приклад 9.

При  функція

є модулем неперервності

При  функція

є модулем неперервності.

Крім перерахованих, модуль неперервності володіє ще наступними властивостями, які є наслідками перших чотирьох.

Властивість 5.

При будь-якому натуральному  і

, (5)

а при довільному

 (6)

Дійсно, при  справедливість нерівності (5) тривіальна, а з припущення, що воно вірно при деякому  в силу властивості 4), отримаємо

Звідси випливає, що воно вірно при всіх натуральних .

Якщо ж  - довільне додатне число, то згідно властивості 2) і нерівності (5) будемо мати

Відзначимо, що нерівність , тобто перша частина нерівності (6), є точною у тому сенсі, що в ньому множник  не можна зменшити. Для цього покажемо, що при будь-якому нецілому  існують модулі неперервності , для яких ця нерівність перетворюється в рівність при деякому .

Обмежуючись для означеності випадком  припустимо

(див. рис. 6). Тоді, очевидно,  і, отже, при  знайдемо

Властивість 6.

Для будь-якого  при всіх  будемо мати

 (7)

Дійсно, для будь-якого  маємо

Звідси і випливає нерівність (7).

Рис. 6.

Приклад функції

показує, що стала  в правій частині нерівності (7) не може бути збільшена.

Наведемо наступні два означення.

Означення 2.

Будемо говорити, що задана на сегменті  функція  є опуклою вгору, якщо при довільних  має місце нерівність

 (8)

Означення 3.

Нехай  - довільний модуль неперервності, визначений на деякому сегменті . Назвемо найменшою опуклою вгору мажоранту модуля неперервності  функції , яка визначається за формулою

 (9)

Ця функція служить, очевидно, графіком кривої, що обмежує зверху найменшу опуклу фігуру, яка містить в собі криволінійну трапецію, обмежену зверху кривою знизу - віссю абсцис, а справа - прямою  Вона володіє такими властивостями:

Властивість 7.

а) Функція  є модулем неперервності, так що

   і

б) модуль неперервності  є опуклим вгору і тому

,  (10)

в) при будь-якому  мають місце нерівності

Перша з цих нерівностей є очевидною. Друга випливає з того, що в силу (9) при будь-яких  буде

де точні верхні межі знаходяться за умови .

4. Необхідна і достатня умова рівномірної неперервності

Означення 4

Функція , розміщена на множині , називається рівномірно неперервною на , якщо для будь-якого  існує , такі, що для будь-яких двох точок , , які задовольняють умову

,

виконується нерівність

Теорема 1.

Для того щоб функція , визначена на множині , була рівномірно неперервна на цій множині, необхідно і достатньо, щоб

 (11)

Доведення

Нехай функція  рівномірно неперервна на множині , тоді для будь-якого  існує , таке, що якщо , ,  то

Звідси випливає, що для будь-якого  виконується нерівність

,

тобто якщо , то , що й означає, що . Необхідність умови (11) доведена.

Доведемо достатність умови (11). Виконання умови (11) означає, що для будь-якого  існує таке , що якщо , то

,

при , ,  і , тобто функція  рівномірно неперервна на .

Теорему доведено.

Ми бачили вище, що на відрізку  , тому

і, отже, функція  рівномірно неперервна на цьому відрізку. Модуль неперервності тієї ж функції , але вже розглянутої на всій явній осі, так само як і модулі неперервності ,  і , , не прямують до нуля при , і тому всі ці функції не є рівномірно неперервними на відповідній множині.

. Класи функцій, що визначаються першими модулями неперервності

Користуючись поняттям модуля неперервності, введемо такі класи функцій.

Означення 1.

При кожному фіксованому  класом Гельдера (або Ліпшиця) порядку  називається множина всіх неперервних функцій , модуль неперервності кожної з яких задовольняє умові

 (1)

де  - будь-яка додатна стала, яка не залежить від  і яка, взагалі кажучи, є різною для різних функцій. Цей клас позначається  або .

Через  або  (або ) позначається підклас усіх тих функцій з класу Гельдера (Ліпшиця) порядку , для яких умова (1) виконується при одному і тому ж фіксованому значенні сталої . Очевидно, що якщо  то тоді тим більше

Навпаки, якщо  то при деякому  (може бути, досить великому)

Зауваження 1.

Так як на підставі властивості 6) ніякий модуль неперервності  при  не може бути нескінченно малою більш високого порядку, ніж , то при  нерівність (1) стає неможливою і, отже, не має сенсу розгляд класів  при

З розглянутих нами раніше прикладів видно, що при всіх :

1. , отже, тим більше

2.  при

3.  і в той же час при будь-якому

 де ,

Так як модуль неперервності в теорії наближень відіграє важливу роль лише при достатньо малих значеннях  то ми завжди будемо вважати, що  Тоді для будь-яких  буде .

Звідси випливає, що  при Іншими словами, клас  тим ширше, чим менше порядок .

Серед усіх класів Гельдера порядку  найбільше значення має клас . Цей клас часто називають класом Ліпшиця і позначають через  або

Теорема 1.

Для того щоб функція  при  необхідно і достатньо, щоб вона була абсолютно неперервною і щоб  майже всюди

 задовольняла нерівність

Доведення

Необхідність

Нехай  тобто нехай  Покажемо, що в такому випадку функція  абсолютно неперервна. Справді, візьмемо довільне  і будь-яку сукупність елементарних непересічних відрізків  таких, що не перетинаються

Так як

то функція  дійсно є абсолютно неперервною на  і, отже, має майже всюди скінченну похідну , яка задовольняє (в тих точках , де вона існує) нерівності

Достатність

Нехай - абсолютно неперервна функція і майже всюди  Покажемо, що в такому разі  Дійсно, так як  абсолютно неперервна, то вона є неозначеним інтегралом від своєї похідної і, отже, при всіх  і  таких, що  отримаємо

А це і означає, що , тобто

Означення 2.

Кажуть, що неперервна функція  задовольняє умові Діні-Ліпшиця, якщо

 при  (2)

Легко бачити, що якщо при будь-якому  , то

, тобто будь-яка функція , що належать будь-якому класу Гельдера, обов'язково задовольняє умові Діні-Ліпшиця. Те, що протилежне твердження невірно, видно, наприклад, з розгляду функції

для якої  і яка задовольняє умові Діні-Ліпшиця і в той же час не належить ніякому класу

Природним узагальненням класів Гельдера є так звані класи

Означення 3.

Нехай  - будь-яка функція, що є модулем неперервності, і  - стала. Тоді через  позначимо клас усіх неперервних функцій , для кожної з яких

 (3)

а через  - множину всіх функцій, кожна з яких, при будь-якому  належить класу .

У множині диференційовних функцій важливу роль відіграють класи функцій, які визначаються в такий спосіб.

Означення 4.

Позначимо при фіксованому натуральному  через

      і т. д. класи функцій , кожна з яких має абсолютно неперервні похідні до  порядку і у яких -та похідна належить відповідно класам       Крім того, при  будемо вважати, що

У випадку, якщо нам буде бажано вказати проміжок , на якому заданий який-небудь клас функцій, ми, наприклад, замість  і т. д. будемо писати   і т. д., а у випадку, якщо функції даного класу є ще -періодичними і ми цей факт хочемо підкреслити, то будемо такий клас позначати через   і т. д.

Висновки

У курсі математичного аналізу клас неперервних функцій є одним з найважливіших, і його теорія є дуже багатою результатами. В свою чергу модуль неперервності займає важливе місце в класі неперервних функцій.

Згідно з означенням модуль неперервності  функції  при кожному фіксованому  вказує величину максимального коливання функції на довільному сегменті довжини , що міститься на .

Звідси, зокрема, випливає, що

, ;

, ,

Це означення залишається справедливим також для нескінченного проміжку  за умови, що функція є на ньому рівномірно неперервною.

Чотирма головними властивостями модуля неперервності модуль неперервності повністю визначається в тому сенсі, що будь-яка функція , яка ними володіє, служить модулем неперервності для деякої неперервної функції, а саме, для самої себе: так що для такої функції .

Дійсно, якщо для , , справедливі властивості 1) - 4), то тоді для будь-яких , , маємо  і при довільному

,

тобто .

Також у цій роботі ми розглядали й інші властивості і означення модуля неперервності, рівномірну неперервність, класи функцій, що визначаються першими модулями неперервності, які є не менш важливими в класі неперервних функцій.

модуль неперервність рівномірний

Список використаних джерел

1. Ахнезер Н.И Лекции по теории аппроксимации. - М.: Наука, 1965. - 352 с.

. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. - М.: Физматгиз, 1961. - 1189 с.

. Дзядик В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. - М.: Наука, 1977. - 453 с.

. Корнейчук Н. П. Точные контакты в теорию приближения - М.: Наука. Гл. ряд. физ.-мат. лит., 1987. - 424 с.

. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ, I том, «Высшая школа» 30л., М.: 1970. - 387 с.

. Степанец А. И. Методы теории приближения. - К.: Ин-т. Математики НАН Украины, 2002. - ч. І. - 477 с.

. Степанец А.И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. - К.: Наук. Думка, 1981. - 264 с.