Методика проведения статистической обработки результатов экспериментальных исследований
1. Статистическая
обработка результатов экспериментальных исследований
Цель работы: освоение методики проведения статистической обработки
результатов экспериментальных исследований.
. Исходные результаты
экспериментальных исследований преобразуют в вариационный ряд, располагая в
порядке возрастания:
,73; 3,83; 3,87; 3,88; 3,93; 3,94;
3,99; 4,02; 4,08; 4,08; 4,13; 4,18; 4,52; 4,52; 4,54; 4,56; 4,60; 4,61; 4,62;
4,62; 4,63; 4,68; 4,74; 4,79; 4,79; 4,82; 4,83; 4,85; 4,87; 4,98; 5,02; 5,16;
5,31; 5,31; 5,44; 5,50; 5,83.
. Определяют ширину интервала по
формуле Стерджеса:
(1)
RN
и R1 - крайние члены вариационного ряда, соответственно равные
максимальному и минимальному значениям исследуемой величины.
N
- объем испытаний.
. Определяют границы
интервалов:
- 3,73 … (3,73 +DR)=4,07
- 4,07 … 4,41
- 4,41 … 4,75
- 4,75 … 5,09
- 5,09 … 5,43
- 5,43 … 5,77
- 5,77 … 6,11
. Интервальный
вариационный ряд:
Таблица 1
|
№ интервала
|
Границы интервалов RjH-RjB
|
Середина интервала Rj
|
Эмпирические частоты
|
Rjnj
|
R2jnj
|
|
|
|
nj
|
nj'
|
nj''
|
|
|
|
1
|
3.73 - 4.07
|
3,5
|
8
|
21%
|
21
|
28
|
98
|
|
2
|
4,07 - 4,41
|
4,24
|
5
|
13,2%
|
34,2
|
21,8
|
92,4
|
|
3
|
4,41 - 4,75
|
4,58
|
11
|
28,9%
|
63,1
|
50,4
|
230,8
|
|
4
|
4,75 - 5,09
|
4,92
|
8
|
21%
|
84,1
|
39,4
|
193,8
|
|
5
|
5,09 - 5,43
|
5,26
|
3
|
7,9%
|
92
|
15,8
|
83,1
|
|
6
|
5,43 - 5,77
|
5,6
|
5,3%
|
97,3
|
11,2
|
62,7
|
|
7
|
5,77 - 6,11
|
5,94
|
1
|
2,6%
|
99,9
|
5,9
|
35,3
|
|
|
У
|
38
|
99,9%
|
|
172,5
|
796,1
|
j - интервальная частота
(относительная), определяемая для k-ого интервала по исходному вариационному ряду с учетом его
границ;
nj' - относительная частота
(2)
nj''
- накопленная частота
(3)
Рис. 1. Графическая интерпретация
вариационного ряда
- гистограмма, 2 - полигон частот, 3
- выравнивающая кривая N-распределения
Рис. 2. Кумулятивная
кривая (эмпирическая функция распределения)
. Вычисляют оценки
числовых характеристик:
Математическое ожидание:
(4)
Среднеквадратическое
отклонение:
(5)
Коэффициент вариации:
(6)
6. Проверка однородности
результатов наблюдения с использованием критерия Ирвина:
; 
(7)
RN
и RN-1 -
последний (максимальное значение) и предпоследний члены исходного вариационного
ряда;
R1
и R2 - первый (минимальное значение) и второй члены вариационного
ряда;
лn,б - критическое значение критерия Ирвина при объеме испытаний n=30 и уровне значимости б=0.05.
; 
-
результаты экспериментальных исследований однородны.
. Расчет эмпирического
значения «хи-квадрат» критерия:
Таблица
2
№
инт. Границы интервалов RjH-RjB Эмпирические
частоты nj Нормированные аргументы Вероятность
Рj Теоретическая частота njт 
|
|
|
Z1
|
Z2
|
|
|
|
|
1
|
3.73 - 4.07
|
8
|
-1,37
|
-0,8
|
0,1956
|
7,43
|
0,04
|
|
2
|
4,07 - 4,41
|
5
|
-0,8
|
-0,22
|
0,1319
|
5,01
|
0,02*10-3
|
|
3
|
4,41 - 4,75
|
11
|
-0,22
|
0,36
|
0,2277
|
8,63
|
0,65
|
|
4
|
8
|
0,36
|
0,93
|
0,1832
|
6,96
|
0,16
|
|
5
|
5,09 - 5,43
|
3
|
0,93
|
1,51
|
0,1107
|
4,21
|
0,35
|
|
6
|
5,43 - 5,77
|
2
|
1,51
|
2,08
|
0,0467
|
1,77
|
0,03
|
|
7
|
5,77 - 6,11
|
1
|
2,08
|
2,66
|
0,0149
|
0,57
|
0,32
|
|
|
|
|
|
|
|
У=ч2=1,55
|
Нормированные аргументы вычисляют:
; 
(8)
Вероятность:
(9)
Теоретические частоты:
(10)
. Проверка гипотезы о
нормальном распределении исследуемой величины.
Графический метод
Рис. 3. Проверка
гипотезы N-распределения случайной величины графическим методом
Аналитический метод
Проверяем гипотезу N-распределения исследуемой величины с использованием критерия
«хи-квадрат» К. Пирсона выполняют исходя из условия:
(11)
.55<7.8
Гипотеза верна.
. Определяют
доверительные интервалы для статических параметров:
Для математического
ожидания:
(12)
Для
среднеквадратического отклонения:
(13)
Для
коэффициента вариации:
(14)
- аргумент (квантиль)
нормированного нормального распределения, взятый при надежности Р=1-б/2 и
равный 1,645.
Вывод:
В процессе выполнения
работы было установлено, что результаты лабораторных испытаний образцов - балок
из цементобетона 20х20х60 см на растяжение при изгибе яаляются однородными.
Распределение может быть апроксимировано нормальным законом распределения
случайно величины Гаусса.
2. Расчет числа
приложений нагрузок от воздушных судов на отдельных участках аэродромных
покрытий
аэродромный
статический покрытие нагрузка
Цель работы: определение числа приложений эксплуатационных нагрузок от ВС на
заданном участке (ИВПП или РД) с учетом вероятностного характера их
распределения.
Исходные данные:
Тип ВС - ТУ-204
Мвзл=850 кН
кгл=0.95
Ра=1.40 МПа
кd=1.25
nгл=2
ат=0.7 м
bn=1.40 м
Вк=7.82 м
Врд=22.5 м
. Вычисляю статистические параметры,
характеризующие распределение проходов колес главных опор ВС по ширине
отдельного элемента аэродрома.
Математическое ожидание:
; (15)
где Вк -
ширина колеи шасси ВС;
.
Среднеквадратическое
отклонение:
, (16)
где ВРД -
ширина РД.
.
. Определяем ширину bn расчетной полосы движения для
четырехколесной опоры:
bn=ат+D (17)
где D - диаметр круга, равного по площади отпечатку колеса;
ат =0,70 м -
колея тележки шасси.
; (18)
, (19)
где М - максимальная
взлетная масса ВС;
nгл
и nк - соответственно число главных опор и количество колес на главной
опоре шасси;
кгл -
коэффициент, учитывающий долю взлетной массы, приходящейся на главные опоры;
кd и гf
- коэффициенты динамичности и разгрузки.
,
,
bn=0.89+0.339=1.229
м
. Вычисляем вероятности
воздействия нагрузок от колес главных опор ВС в конкретных сечениях покрытия
участков аэродрома по формуле:
Р(Х)=Р(Х1 ≤
Х ≤ Х2)=Ф(Z2)
- Ф(Z1) (20)
где Ф(Z2) - Ф(Z1)
- интегралы вероятностей, определяемые по таблицам N-распределения;
X
- расстояние от продольной оси симметрии;
Х1 и Х2
- абсциссы, определяющие ширину расчетной полосы движения;
; (21)
Z1
и Z2 - нормированные аргументы;
; (22)
Табл. 4
|
№ п/п
|
Расстояние от продольной оси симметрии Х, м
|
Абсциссы полосы движения
|
Нормированные аргументы
|
Интегралы вероятностей
|
Вероятность Р(Х)
|
|
|
Х1
|
Х2
|
Z1
|
Z2
|
Ф(Z1)
|
Ф(Z2)
|
|
|
1
|
2,75
|
2,14
|
3,37
|
-4,82
|
-1,48
|
0
|
0,0694
|
0,0694
|
|
2
|
3,14
|
2,52
|
3,75
|
-3,77
|
-0,43
|
0,0001
|
0,3336
|
0,3335
|
|
3
|
3,52
|
2,91
|
4,14
|
-2,72
|
0,0027
|
0,7324
|
0,7297
|
|
4
|
3,91
|
3,30
|
4,52
|
-1,67
|
1,67
|
0,0475
|
0,9525
|
0,905
|
|
5
|
4,30
|
3,68
|
4,91
|
-0,62
|
2,72
|
0,2676
|
0,9973
|
0,7297
|
|
6
|
4,68
|
4,07
|
5,30
|
0,43
|
3,77
|
0,6664
|
0,9999
|
0,3335
|
|
7
|
5,07
|
4,45
|
5,68
|
1,48
|
4,82
|
0,9306
|
1
|
0,0694
|
Рис. 4. Диаграмма
распределения вероятностей на участке РД.
. Определяем расчетное
число приведенных нагрузок от ВС
Ud=365*n*no*Ui*P(x)max,
(23)
где n - срок службы покрытия = 20 лет,
no
- число спаренных осей,
Ui
- количество взлетов-посадок,
Ud=365*20*1*80*0.905=528520.
. Коэффициент,
учитывающий число приложений колесных нагрузок воздушных судов за проектный
срок службы покрытия:
(24)
Вывод:
Расчетное значение коэффициента,
учитывающего число приложения нагрузок, ku=1.046 в
незначительной степени отличается от эмпирического коэффициента ku=1 (СНиП 2.05.08-85, стр. 48, чертеж 3).
3. Определение
статического коэффициента условий работы жестких аэродромных покрытий
Определение коэффициента
вариации предельного изгибающего момента плиты.
1. Определение предельного
изгибающего момента в плите:
;
(25)
где 
МПа - математическое ожидание прочности цементобетона на растяжение при изгибе
(см. ф. (4));
t
= 0,28 м - среднее значение толщины плиты;
Ud
=528520 - число приложений нагрузок (см. ф. (23)).
2. Определение дисперсии Dmu:
; (26)
где SR2,
St2,
Su2.
- среднеквадратические отклонения величин R,
t, U.
Па2,
м2,
.
,
(27)
;
, (28)
Н/м;
Н.
3. Коэффициент вариации
предельного изгибающего момента:
, (30)
.
Определение коэффициента
вариации изгибающего момента в плите, возникающего от воздействия температуры.
1. Определение изгибающего
момента в плите, от воздействия температуры:
;
(31)
где б=0,0001 -
коэффициент линейного расширения бетона;
t
= 0,28 м - среднее значение толщины плиты;
Еd = 3,24*104 МПа - модуль упругости бетона;
А=80С -
среднее значение амплитуды колебания температуры на поверхности покрытия.
2. Определение дисперсии Dmt:
; (32)
где St2,
SEb2,
SА2. - среднеквадратические отклонения величин t, Eb и А.
м2,
Па2
,
(33)
Па;
, (34)
м2;
, (35)
Н.
3. Коэффициент вариации
предельного изгибающего момента:
, (36)
Определение коэффициента
вариации изгибающего момента в плите, возникающего от воздействия нагрузки.
1. Определение изгибающего
момента в плите, от воздействия температуры:
; (37)
где Fd=0.126 МН (см. ф. (19));s
= 80 МН/м3 - коэффициент постели.
2. Определение дисперсии Dmd:
; (38)
где SFd2,
SEb2,
St2,
Sks - среднеквадратические отклонения величин Fd, t,
Eb и ks.
Н2,
Па2,
м2,
(Н/м3)2
,
(39)
м/Н;
, (40)
м;
, (41)
Н/м2.
, (42)
м2.
3. Коэффициент вариации
предельного изгибающего момента:
, (43)
Определение статического
коэффициента условий работ kp
,
(44)
где 
-
коэффициент вариации изгибающих моментов в плите от воздействия
эксплуатационных нагрузок:
,
(45)
p
=1,22 при заданном уровне надежности P =0.89 - квантиль, определяется по таблице функции распределения
нормированного нормального распределения.
Вывод:
Расчетное значение
коэффициента условий работы жестких покрытий kp=0.767 в
незначительной степени отличается от эмпирического коэффициента гс=0,8
(СНиП 2.05.08-85, стр. 22, табл. 31), который зависит от географического
расположения и группы участка покрытия.
Литература
1. Степушин А.П.,
Сабуренкова В.А. Основы научных исследований в аэропортостроении / МАДИ. - М.,
2000 - 117 с.
2. СНиП 2.05.08.85.
Аэродромы. - М.: ЦИТП Госстрой СССР, 1985. - 59 с.
. Методические
указания к практическим работам по основам научных исследований в
аэропортостроении /МАДИ. - М., 2003 - 37 с.