Комп'ютерне моделювання стохастичних процесів (СП) із заданими властивостями

Комп'ютерне моделювання стохастичних процесів (СП) із заданими властивостями

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Одеська Національна Академія Харчових Технологій

Курсова робота

на тему: «Комп'ютерне моделювання стохастичних процесів (СП) із заданими властивостями»

Одеса-2011

Зміст пояснювальної записки

Вступ

. Моделювання СП методом формуючого фільтра (ФФ1), якщо базовим генератором є блок Band Limited White Noise

1.1 Розрахунок формуючого фільтра ФФ1

.2 Ітераційна коригування параметрів формуючого фільтра

. Моделювання СП методом формуючого фільтра (ФФ2),), якщо базовим генератором є блок Random Number

.1 Розрахунок формуючого фільтра ФФ2

.2 Ітераційна коригування параметрів формуючого фільтра

2.3 Схема моделювання випадкового процесу після ітераційного корегування

3. Моделювання та аналіз частотних характеристик ФФ1 і ФФ2

.1 ФФ1

.2 ФФ2

.3 Порівняльний аналіз частотних характеристик формуючих фільтрів (ФФ1 та ФФ2)

Висновки

Список інформаційних джерел

Вступ

В інженерній практиці моделі стохастичних процесів часто використовуються для імітації вхідних впливів на об'єкт. Такі моделі зазвичай представляють у формі випадкового процесу з кількома адитивними складовими. Щоб відтворити таку модель потрібно вміти відтворити кожну її складову. Відтворення детермінованих складових не становить труднощів. Таким чином основним завданням нашого КР є відтворення математичних моделей стохастичних процесів.

Математична модель стохастичного процесу не може бути представлена в явному вигляді. Вона представляється у вигляді математичних моделей статистичних оцінок стохастичного процесу. А саме, математичної моделі щільності ймовірності, кореляційної функції та спектральної щільності. Оцінки, що характеризують стохастичний процес, отримують шляхом спеціальної статистичної обробки експериментальних даних. Оскільки в статистиці обсяг даних (вибірка) завжди обмежений (кінцевий), це призводить до того, що дослідник має справу тільки з вибіркою з генеральної сукупності даних (оцінюється не весь процес, а якась його частина). Це означає, що виробляється наближене визначення шуканих імовірнісних функцій та їх параметрів. Ці наближені значення називають оцінками, а саму процедуру визначення оцінок називають оцінюванням.

1. Моделювання СП методом формуючого фільтра (ФФ1), якщо базовим генератором є блок Band Limited White Noise

.1 Розрахунок формуючого фільтра ФФ1

Заданими властивостями стохастичного процесу в цій роботі є такі характеристики:

)        математичне очікування M=0;

)        середньоквадратичне відхилення Gf=8.1;

)        дисперсія Df=65.61;

)        щільність вірогідності p(x)-нормальний (Гаусовий) закон розподілення;

)        кореляційна функція

, де a=1.1

6)      спектральна щільність

 , де a=1.1

7)      ωmax=3

Для генерації стохастичного процесу (СП) із заданими властивостями використовується метод формуючого фільтру. Його можна подати у вигляді такої структурної схеми для моделювання:

Де БВП - базовий випадковий процес (в ідеалі білий шум), Wфф(p) - передатна функція формуючого фільтру.

Для моделювання стохастичного процесу із заданими властивостями спочатку треба визначити передатну функцію формуючого фільтру Wфф(p).

. (1)

Якщо випадковий процес x(t) має властивості білого шуму, то його спектральна щільність Sx(ω)=a=const. Вона може бути розрахована по формулі

, (2)

де Gx = Gf /2=4.05- середньоквадратичне відхилення процесу x(t),

Δtг =1/(1.1*2.5)=0.36- крок генерації випадкового процесу

Визначимо передатну функцію формуючого фільтру, якщо модель СП №2. Для цього в (1) підставимо вирази для спектральної щільності вхідного x(t) та вихідного f(t) сигналів як комплексні функції, тобто введемо змінну j.

 (3)

Після цього отриману частотну передатну функцію розподілимо на частину з +jω та частину з -jω.

(4)

Бачимо, що

(5)

В операторній формі, після заміни jω=p, передатна функція буде мати такий вид:

 (4)

Така передатна функція нам добре знайома, тому що є типовою динамічною ланкою:

 (5)

 (6)

Випадковий сигнал будемо реалізовувати за допомогою блоку Band-Limited White Noise, який формує процес у виді частотно-обмеженого білого шуму. В параметрах цього блоку можна налаштувати:

Noise power - значення інтенсивності (потужності) білого шуму, що є значенням спектральної щільності на нульовій частоті;

Sample time - значення дискретності часу, або інтервал кореляції через який два виміряних значення стають некорельовані (також визначає верхнє значення частоти процесу);

Seed - початкове значення послідовності випадкових чисел, які використовуються для побудови сигналу.

Рис.1.1 Параметри блоку Band-Limited White Noise

Значення Sample time в цьому блоці визначає найбільшу частоту у спектрі вихідного сигналу. Вона дорівнює величині (у герцах), яка є оберненою до значення параметру Sample time. Тому останній не може дорівнюватися нулю.

Для вдалого моделювання стохастичного процесу із заданими властивостями слід правильно визначити крок генерації БВП Δtг. Під кроком генерації у блоці Band-Limited White Noise будемо вважати значення Sample time.

Крок моделювання Δt=0.36 тоді крок запису dt=0.36 у файл для обробки. Крок моделювання задається у вкладці Simulation parameters →Fixed step size. А крок запису у блоці To File SP.

Рис.1.2 Запис кроку моделювання Δt у Simulation parameters та кроку запису dt у To File SP

Для моделі СП №2 формуючий фільтр:

,

де , . Так як Df=Gf2=10.62=65,61, то,а T=1/1.1=0.91.

Noise power - значення 3.9366;

Sample time - значення Δtг = 0.36;- значення 1.

Рис.1.3 Схема моделювання випадкового процесу якщо БВП є блок Band Limited White Noise

Інтервал часу моделювання треба змінити, якщо кількість пересічень СП з лінією математичного очікування буде менше ніж 25, або значно більше 50.

Рис.1.4 Графічне зображення випадкового процесу

Файл запису назвемо Случайный процесс кр.sp, а крок запису встановимо dt = 0.36.

Рис. 1.5 Результати оцінювання найпростіших характеристик випадкового процесу

Бачимо, що оцінка математичного очікування Mх=-0.08856та суттєво відрізняється від заданого. Тому потребує корегування.

Оцінка середньоквадратичного відхилення Gх=10.96 відрізняється від заданого на

.

Якщо відхилення між заданим та отриманим значенням характеристики (або параметра) не перевищує 5%, то вважається, що результат досягнуто. Оскільки у нас перевищує 5% , то змінюємо параметр k. Так як Gf <Gx

то ми зменшуемо k. Нехай запишем k=5.75 а, потім знімем характеристики у прогамі IDsoft

Рис. 1.6 Результати оцінювання найпростіших характеристик випадкового процесу після зміни k

Бачимо, що оцінка математичного очікування

Mх=-0.01819 та суттєво відрізняється від заданого. Тому потребує корегування.

Оцінка середньоквадратичного відхилення Gх=7.967 і відрізняється від заданого на

.

Отже, наше відхилення між заданим та отриманим значенням характеристики (або параметра) не перевищує 5%, тому результату досягнуто.

На другому кроці роботи з програмою IDsoft проводиться структурна ідентифікація моделей автокореляційної функції (АКФ) та спектральної щільності (СЩ) СП. По графікам оцінок АКФ та СЩ вибираємо із пропонованих семи типових, такі моделі АКФ та СЩ, які б були максимально схожі на них. В цьому випадку це модель №2.

Рис. 1.7 Ідентифікація автокорреляційної функції та спектральної щільності

На третьому кроці роботи з програмою IDsoft проводиться параметрична ідентифікація моделей АКФ та СЩ. ЇЇ ціль - визначення параметрів моделей. Параметр дисперсії вже ми маємо Df=63.47. А значення параметру α буде знайдено завдяки оптимізаційній процедурі, яка дозволяє моделі АКФ описати її оцінку максимально точно. Початкове наближення слід вводити рівним заданому значенню оптимізуємого параметру.

Результати оптимізації: αо=1.273. Воно відрізняється від заданого на .

Рис. 1.8 Параметрична ідентифікація автокорреляційної функції та спектральної щільності

Оскільки отримане значення не повинно пере вищувати 5% ,то ми для зміни αо змінюємо параметр Т. Через те що α< αо ми збільшуємо Т, і тоді воно дорівнює Т=0.95, при цьому залишимо параметр k без змін.

Рис. 1.9 Параметрична ідентифікація автокорреляційної функції та спектральної щільності при зміні параметра Т

Результати оптимізації: αо=1.107. Воно відрізняється від заданого на , що не перевищує 5%, тому результату отримано.

.2 Ітераційна коригування параметрів формуючого фільтра

генератор фільтр формуючий моделювання

Ми бачимо, що крім математичного очікування всі параметри мають розбіжності не більше 5% після змін. Тому корегування проводимо тільки не для зміни математичного очікування, а для дисперсії та параметра α.

Для цього додаємо постійну складову -0.01819, а також у блоках Transfer Fcn змінюємо параметр Т:

1.10 Схема моделювання випадкового процесу після ітераційного корегування

Після цього отримуємо остаточний результат, де всі характеристики і параметри відрізняються від заданих не більше ніж на 5%:

Рис.1.11. Результати оцінювання найпростіших характеристик випадкового процесу після ітераційного корегування

2. Моделювання СП методом формуючого фільтра (ФФ2),), якщо базовим генератором є блок Random Number

Блок Random Number забезпечує формування сигналів, значення яких в окремі моменти часу є випадковою величиною, що розподілена по нормальному закону із заданими параметрами.

У вікні настройки цього блоку можна встановити такі параметри:

Mean - середнє значення генерованого процесу;

Variance - середньоквадратичне відхилення від цього середнього;

Initial seed - початкове значення бази для ініціалізації генератору послідовності випадкових чисел; при фіксованому значенні цього параметру генератор завжди виробляє одну і ту ж послідовність;

Sample time - значення дискретності часу.

Отже генерований блоком Random Number випадковий процес має такі властивості, які відрізняють його від процесів з особливостями білого шуму. Тому для моделювання СП із заданими властивостями нам спочатку потрібно розрахувати ще один формуючий фільтр.

При цьому оберемо модель № 1 з таблиці 1, якою будуть описані властивості генерованого блоком Random Number випадкового процесу:

.1 Розрахунок формуючого фільтра ФФ2

Рис. 2.1 Схема моделювання випадкового процесу якщо БВП є блок Random Number

Рис.2.2 Графічне зображення випадкового процесу

Рис. 2.3 Результати оцінювання найпростіших характеристик випадкового процесу

Рис.2.4 Ідентифікація автокорреляційної функції та спектральної щільності

Рис. 2.5 Параметрична ідентифікація автокорреляційної функції та спектральної щільності

Рис. 2.5 Висновок ідентифікації випадкового процесу

Характеристика білого шуму:=0,9774=0,9554

α= 8.125

Спектральна щільність на вході:

(7)

 (9)

 (10)

(11)

Із заданим формуючим фільтром проводимо комп’ютерне моделювання стохастичного процесу в середовищі Simulink. Для цього необхідно скористатися наступними блоками: Random Number, Transfer Fcn, Scope.

Рис.2.6. Схема моделювання випадкового процесу з ФФ2

Рис.2.7. Графічне зображення випадкового процесу з ФФ2

Результат моделювання слід записати в файл з розширенням sp. Для цього необхідно використати блок To File SP, який знаходиться в бібліотеці crtsp. Запис у файл необхідний для того, щоб отримані результати могли використовуватися в програмі статистичної обробки даних.

Рис.2.8. Схема моделювання випадкового процесу з ФФ2 у блок To File SP

Рис. 2.9 Результати оцінювання найпростіших характеристик випадкового процесу при ФФ2

Рис.2.10 Ідентифікація автокорреляційної функції та спектральної щільності

Рис. 2.11 Параметрична ідентифікація автокорреляційної функції та спектральної щільності

Рис. 2.12 Висновок ідентифікації випадкового процесу

.2 Ітераційна коригування параметрів формуючого фільтра

Ми бачимо, що крім математичного очікування всі параметри мають розбіжності більше 5% . Тому корегування проводимо для дис- персії та параметра α. Для цього додаємо постійну складову -0.06528, а також у блоках Transfer Fcn змінюємо параметр Т=0.98 та у блоці Gain змінюємо параметр k=2.8:

2.3 Схема моделювання випадкового процесу після ітераційного корегування

Після цього отримуємо остаточний результат, де всі характеристики і параметри відрізняються від заданих не більше ніж на 5%:

Рис.2.14. Результати оцінювання найпростіших характеристик випадкового процесу після ітераційного корегування

Рис.2.15 Ідентифікація автокорреляційної функції та спектральної щільності після ітераційного корегування

Рис. 2.11 Параметрична ідентифікація автокорреляційної функції та спектральної щільності після ітераційного корегування

3. Моделювання та аналіз частотних характеристик ФФ1 і ФФ2

.1 ФФ1

Для початку реалізуємо таку схему моделювання:

Схема для порівняння вхідного і вихідного сигналів ФФ1

Експериментальний опис:

На вхід ланки будемо подавати з допомогою блоку Sine Wave будемо подавати по черзі з різною частотою синусоїдальний сигнал одиничної амплітуди коливань і з початковою фазою, яка дорівнює нулю.

Таблиця 1.

На прикладі ω=0.1 покажемо, як розраховуються значення в таблиці

Розрахуємо період коливань Т по формулі:

 (3.1)

Далі з графіка визначаємо амплітуду А та :

Рис. 3.1.2 Графік значення амплітуди і .

Амплітуда А= 0.6

=79-65=14 / Після цього визначаємо φ:

 (3.2)

З іншими значеннями ω робимо те саме.

Аналітичний опис:

Передатна функція . (3.3)

Частотна передатна функція . (3.4)

Помножимо чисельник і знаменник на комплексне спряжене до знаменника число, то отримуємо такий результат

Тоді дійсна частотна функція буде така

. (3.6)

А уявна частотна функція така

. (3.7)

Знайдемо амплітудно-частотну характеристику

та фазочастотну характеристику

 (3.9)

Визначення АЧХ: схему моделювання:

Рис. 3.1.3 Схема моделювання АЧХ

В блоці Look-up Table записуємо значення амплітуди (А) з таблиці:

В параметрах моделювання записуємо:

В результаті отримуємо:

Рис. 3.1.4 Графік АЧХ

Визначення ФЧХ:

Рис. 3.1.5 Схема моделювання ФЧХ

В блоці Look-up Table записуємо значення зсув фаз (φ) з таблиці:

В параметрах моделювання записуємо:

В результаті отримуємо

Рис. 3.6 Графік ФЧХ

3.2 ФФ2

Для ФФ2 використовуємо такий же метод, як і для ФФ1, тобто складаємо таблицю для знаходження частотних характеристик. Визначення значень в таблиці аналогічні ФФ1.

Схема для порівняння вхідного і вихідного сигналів ФФ2

Таблиця 2:

Для отримання АЧХ в блоці Look-up Table записуємо значення амплітуди (А) з таблиці:

В параметрах моделювання записуємо:

Аналітичний опис:

Передатна функція

 (3.10)

Частотна передатна функція

. (3.11)

Помножимо чисельник і знаменник на комплексне спряжене до знаменника число, то отримуємо такий результат

Тоді дійсна частотна функція буде така

. (3.13)

А уявна частотна функція така

 (3.14)

Знайдемо амплітудно-частотну характеристику

 (3.15),

та фазочастотну характеристику

,

де λ=8.125 k=2.8 ,T=0.98

Для отримання AЧХ реалізуємо таку схему моделювання

Рис. 3.2.7 Схема моделювання АЧХ

Рис. 3.2.8 Графік АЧХ

Для отримання ФЧХ реалізуємо таку схему моделювання:

В блоці Look-up Table записуємо значення зсуву фаз (φ) з таблиці:

В результаті отримуємо графік ФЧХ, який має вигляд:

Рис. 3.2.10 Графік ФЧХ

3.3 Порівняльний аналіз частотних характеристик формуючих фільтрів (ФФ1 та ФФ2)

Порівняємо амплітудно-частотні характеристики. Для цього зобразимо ці графіки в одній системі координат за такою схемою моделювання:

Рис.3.3.1 Схема АЧХ для ФФ1 і ФФ2

В результаті маємо графік:

Рис.3.3.2 Графіки АЧХ ФФ1 і ФФ2

Ми бачимо, що графіки за своїм характером схожі, тільки ФФ2 має більші значення, ніж ФФ1, а тому його АЧХ знаходиться на графіку вище.

Рис.3.3.3 Схема ФЧХ для ФФ1 і ФФ2

В результаті маємо графік:

Рис. 3.3.4 Графіки ФЧХ ФФ1 і ФФ2

Висновок

В курсовій роботі нам необхідно було відтворити такий процес, щоб його характеристики були близькі до заданих, з використанням математичних моделей його оцінок. Для цього ми використовуємо базовий випадковий процес (БВП). Хочу відзначити, що в якості БВП вимагається застосовувати нормальний випадковий процес з властивостями близькими до властивостей “білого шуму”, тобто розподілення потужності по всьому діапазону частот повинно бути рівномірним. Дана робота була розділена на три етапи. Ми моделювали випадковий процес методом формуючого фильтру. На першому етапі формуючий фільтр був розрахований аналітично. Складність цього етапу полягала в основному в ітераційному коригуванні параметрів ФФ. На другому етапі ми отримували стохастичний процес із заданою спектральною щільністю. Хочу відмітити, що це досить таки тривала процедура, оскільки розрахована передатня функція формуючого фільтра є наближеною і тому, щоб домогтися бажаних результатів, необхідно проводити деяке коригування параметрів ФФ. Порівнявши всі отримані результати можна сказати, що кожний метод має свої недоліки та переваги, але так як на практиці ми стикаємося з системами високої складності, найбільш раціонально було б використати метод машинного експерименту.

Список інформаційних джерел

Марков А. А., Замечательный случай испытаний, связанных в цепь, в его кн.: Исчисление вероятностей, 4 изд., М., 1924;

Слуцкий Е. Е., Избранные труды, М., 1960;

Колмогоров А. Н., Об аналитических методах в теории вероятностей, «Успехи математических наук», 1938, в. 5, с. 5-41;

Хинчин А. Я., Теория корреляции стационарных стохастических процессов, там же, с. 42-51.