Исследование посадочного удара самолета с шасси на воздушной подушке

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1.   Первый этап

1.1      Физическая постановка задачи

1.2     Математическая постановка задачи

.3       Анализ решения задачи

.4       Обзор методов решения

1.4.1            Метод половинного деления (для уравнения

1.4.2  Метод простой итерации

.4.3    Метод Ньютона

1.5      Выбор метода решения

1.6     Анализ результатов

. Второй этап

.1 Физическая постановка задачи

.2 Математическая постановка задачи

.3 Алгоритм решения (до контакта)

.4 Алгоритм решения (после контакта)

.5 Интерпретация задачи

.6 Анализ результатов

3.  Третий этап

3.1 Физическая постановка задачи

.2 Математическая постановка задачи

.3 Методы решения задачи

.4 Анализ результатов

. Список литературы

ВВЕДЕНИЕ

Пневматические оболочки широко используются в различных сферах деятельности - в строительстве, на транспорте, в медицине.

Часто пневматические оболочки используются в качестве ограждения зон повышенного давления. Например, для судов на воздушной подушке (СВП) область повышенного давления - воздушная подушка - ограждается по бокам пневмоскегами, представляющими собой мягкие пневматические оболочки низкого давления, прикрепленные к жесткому днищу судна.

Статика и динамика пневмоскег изучена в настоящее время далеко не в полной мере. Неисследованными являются вопросы:

·   степень шероховатости опорной поверхности действующая на нормальную силу в пневмоскеге;

·   действие материала пневмооболочки на внешние силы;

·   действие (особенно в динамике) зоны повышенного давления на форму пневмооболочки и т.п.

В данной работе разбиваем задачу на 3 этапа:

) Влияние трения на нормальную силу обжатого пневмоскега.

) Копровый удар (вертикальный, посадочный) самолета с шасси на воздушной подушке.

) Исследование посадочного удара самолета с шасси на воздушной подушке с учетом международных норм летной годности FAR 23. Аппарат приземляется на поверхность (вода) под углом не больше 6-ти градусов.

Согласно нормам FAR 23 максимальная, избыточная перегрузка при посадочном ударе коммерческих самолетов не должна превышать 3х единиц, при грубой посадке характеризуемой максимальной величиной вертикальной скорости -3.

1. Первый этап

1.1 ФИЗИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим пневматическую оболочку, прикрепленную к жесткой платформе. Будем считать, что длина пневмооболочки много больше ее поперечных размеров (рис.1a).

a)                          Y

 Платформа                               X 

                           O  

                                                                         Z                                          

                                                                                     P_АТМ + P₁₁

                                                                     Ратм

                                   Пневмооболочка   

рис. 1

Будем также считать, что различные поперечные сечения пневмооболочки находятся в одинаковых условиях и форма этих сечений по длине (по оси Oz) не меняется, а материал, из которого сделана пневмооболочка, является нерастяжимым. Пусть в оболочку закачена некоторая масса воздуха, а внешнее давление равно атмосферному (рис1.). Будем считать, что в этом случае величина давления в оболочке известна:

абс = PАТМ + P11, (1)

где Pабс - абсолютное давление в пневмооболочке, РАТМ - атмосферное давление, Р11 - избыточное давление в оболочке.

Будем считать заданным:

)длину нити ABCD (l0=0,965).

)координаты точек A и B (из этого следует, что нам известна ширина зоны крепления AB).

)начальное давление внутри пневмооболочки (Р1) и справа от нее (Р2).

)коэффициент трения при соприкосновении с поверхностью.

)величина обжатия пневмооболочки.

Требуется определить центральные углы пневмооболочки (φ1и φ2), радиусы (r1 и r2), координаты центров тяжести (Xo1 и Xo2), длину оболочки (dl) и нормальную силу, а так же осуществить подборку давления при заданном втором давлении. Говоря простым языком, требуется найти геометрию пневмооболочки.

1.2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Для решения задачи возьмем данные, рассмотренные в пункте 1. При выводе уравнений равновесия будем использовать аксиомы механики. Согласно принципу отвердевания, равновесие деформируемого тела не изменится, если тело считать абсолютно твердым. Очевидно, если нить ABCD находится в равновесии, то в равновесии будет находиться и каждый элемент этой нити. Мысленно выделим из нити ABCD элемент длиной l, и будем считать длину выделенного элемента бесконечно-малой. Со стороны отброшенных частей нити на элемент действуют силы T1 и T2; эти силы действуют в соответствии с другой аксиомой механики, которую называют аксиомой связей. По аксиоме связей, любое несвободное материальное тело можно считать свободным, если отбросить связи, наложенные на тело, и заменить их действия реакциями связей. Кроме того, на выделенное тело действует давление воздуха, складывающееся из двух сил: внутренней силы давления со стороны воздуха, находящегося в оболочке, и внешней силы давления со стороны воздуха, находящегося вне оболочки (рис.2).

                                                             T₂                               φ/2         Y₁

                                                                                  φ/2

                              φ/2   

                                                                      P₁^абс

                                                   O              T₁

                                             P

                                                                       P₂^абс

рис.2

Так как длина выделенного элемента бесконечно мала, то можно считать, что форма этого элемента представляет собой дугу окружности неизвестного радиуса и центра. Тогда длина выделенного участка будет равна:

l = rφ. (3)

Внешнее и внутреннее давление действует перпендикулярно l (по радиусу) и, по длине l давления сводятся к силе Р, приложенной в центре элемента и направленной по радиусу (параллельно оси Oy1)

P = (P1абс - P2абс)rφ. (4)

Рассматриваемый элемент считается абсолютно твердым, поэтому действующие на него силы можно перемещать вдоль их линии действия. Линии, по которым действуют силы T1, T2, P, пересекаются в точке О. Такие системы сил называют сходящимися. Твердое тело, на которое действует система сходящихся сил, будет находиться в равновесии, если векторная сумма всех сил будет равна нуль или, что-то же самое, сумма проекций на каждую ось выбранной системы координат будет равна нулю.

Проецируем силы на оси системы координат Ox1y1:

Ox1: , (5)

Ox2: . (6)

Из уравнения (5) получаем T1 = T2, т.е. сила натяжения в рассматриваемом случае постоянна вдоль длины нити. Угол φ мал, т.к. длина l очень мала, значит sinφ ≈ φ. Тогда из уравнения (6) с учетом (4) и (5) имеем:

T = (P1абс - P2абс)r = const. (7)

Из (7) следует, что если избыточное внешнее давление отсутствует, или постоянно вдоль по длине нити, то поперечное сечение пневмооболочки представляет собой круговой элемент.

Так как абсолютное давление определяется по формуле (1), то из (7) для рассматриваемой задачи получаем:

. (8)

В рассматриваемой задаче нить находится под действием трех характерных зон избыточного давления: зоне BC с давлением P1 соответствует радиус r1 (рис.3); зоне обжатия CD, с избыточным нулевым давлением соответствует отрезок прямой CD (или дуга окружности бесконечно-большого радиуса); зоне DA с избыточным давлением (P1 - P2) соответствует радиус r2. При этом r2>r1.

Таким образом, кривая ABCD состоит из фрагментов двух окружностей радиусов r1 и r2 , и прямой CD; в точках C и D происходит скачок давлений, и в этих точках дуги должны гладко сливаться с прямой CD. Гладкий переход возможен только тогда, когда центры дуг окружностей O1 и O2 находятся на одной вертикали соответственно с точками С и D, т.е.

Xo2 = XB,(9)

Xo1 = XC.

Обозначая, через φ1 и φ2 центральные углы дуг из геометрии имеем:

r1(1 - cosφ1) = H + YB, (10)

r2(1 - cosφ2) = H + YA, (11)= XB + r1sinφ1, (12)

Xo2 = XA - r2sinφ2. (13)

Условие растяжимости нити дает еще одно уравнение:

 (14)

где ТЕ - модуль упругости (100000 н/м). При ТЕ→∞ получаем частный случай, условие не растяжимости нити:

r1φ1 + r2φ2 + Xo2 - Xo1 = l0.

В дальнейшем будем считать, что нить растяжима.

Объединяя уравнения (8), (10), (11), (12), и (13), а также уравнения (2) и (3), получаем систему из 7 нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных φ1, φ2, r1, r2, P1 и S:

P1r1 + P1f(Xo2 - Xo1) = (P1 - P2)r2, (15.1)

r2(1 - cosφ2) = H + YA, (15.2)

r1(1 - cosφ1) = H + YB, (15.3)

(15) Xo1 = XB + r1sinφ1, (15.4)

Xo2 = XA - r2sinφ2, (15.5)

 (15.6)

(РАТМ + Р1)(S0L)n = (PАТМ + P2)(SL)n , n=1,4 (15.7)

Проанализируем систему (15). Если площадь S, ограниченная ABCD и AB, определяемая уравнением (16), известна, то при заданном P11 из последнего уравнения системы (15) легко определить давление в оболочке (это будет показано ниже) P1 . Вместе с тем давление P11 не входит в первые 6 уравнений системы (15). Это позволяет разделить задачу. В самом деле, если считать P1 заданным, решим первые 6 уравнений системы и далее, используя уравнение (16), построим процедуру определения P1 исходя из необходимого удовлетворения уравнения (15.7).

1.3 АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Первые шесть уравнений имеют вид:

P1r1 + P1f(Xo2 - Xo1) = (P1 - P2)r2; (a)

r2(1 - cosφ2) = H + YA; (б)(1 - cosφ1) = H + YB; (в) (17)

Xo1 = XB + r1sinφ1; (г)

Xo2 = XA - r2sinφ2 (д)

 (е)

После исключения Xo1 и Xo2 получаем:

φ1 + XA - r2sinφ2 - XB - r1sinφ1 + r2φ2 = l0

Выражая из уравнения (17 б, в)

 ,

и подставляя выражения r1 и r2 в уравнения, имеем:

 (I)

Получили систему (I), состоящую из двух нелинейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными j1 и j2.

Обозначим первое уравнение системы (I) за f1(φ1,φ2) = 0, а второе за f2(φ1,φ2) = 0. Затем дифференцируем функции f1 и f2 по φ1 и φ2. Полученные производные подставляем в уравнения на шаге:

.

Проведенный анализ системы показал, что аналитического решения построить не удается. Поэтому решение задачи осуществляется численно.

Численное решение задачи организовано следующим образом. Задавая начальное приближение избыточного давления в пневмооболочке P1(1) и, решая нелинейную систему (I), определяем геометрические характеристики поперечного сечения (j1, j2, r1, r2, Xo1, Xo2, dl, N). Далее, по найденным геометрическим характеристикам, определяем площадь поперечного сечения по формуле:

. (16)

и используя, на основании закона сохранения массы воздуха, предварительно закаченного в пневмооболочку, уравнение:

(PАТМ + P1)(S0L)n=(PАТМ + P2)(SL)n (2)

(где n - показатель адиабаты (для воздуха n=1,4), L - длина оболочки, S0,S - площади, ограниченные нитью ABCD и платформой AB в начальном и исследуемом состоянии) находим откорректированное значение P1(2) . Если разность по абсолютной величине между P1(1) и P1(2) меньше некоторого числа d, где d - заданная величина, то значения, полученные при этом решении, будем считать конечными. Если условие не выполняется, то решаем все заново с новым значением P1(1) и т.д.

1.4
ОБЗОР МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ

1.4.1 Метод половинного деления (для уравнения)

            Y

                                                                                    C₀                            A

    0                                      B                              C                                                                                                            X

рис.3

Это один из надежных методов решения нелинейных уравнений. Он состоит в следующем. Допустим, что нам удалось найти отрезок [A , B] , в котором расположено искомое значение корня x=C, т.е. A<C<B (рис.3). В качестве начального приближения корня С0 принимаем середину этого отрезка, т.е. . Далее исследуем значение функции F(x) на концах отрезков [A , C0] , [C0 , B] , в точках A , C0 , B . Тот из них, на концах которого F(x) принимает значения разных знаков, содержит искомый корень, поэтому его принимаем в качестве нового отрезка. Вторую половину отрезка [A , B] на которой знак F(x) не меняется, отбрасываем. В качестве первой итерации корня принимаем середину нового отрезка и так далее. Таким образом, после каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, т.е. после n итераций он сокращается в 2n раз.

1.4.2 Метод простой итерации

Для решения системы

Пусть нам дана система нелинейных алгебраических уравнений

φ1=¦1(φ1,φ2)

φ2=¦2(φ1,φ2).

Для нахождения корней φ1 и φ2 этой системы часто пользуются методом простой итерации

φ1(n+1)=¦1(φ1(n),φ2(n)),

φ2(n+1)=¦2(φ1(n),φ2(n)), где n=0,1,2,…

Надо заметить, что если процесс итерации сходится, то предельные значения

φ1=limφ1(n),

n®¥

φ2=limφ2(n).

n®¥

обязательно являются корнями системы.

Для решения уравнения

Для его использования исходное уравнение записывается в виде:

 = F(x).

Пусть известно начальное приближение корня x=c0. Подставляя это значение в правую часть уравнения получаем, новое приближенение:

1 = F(c0).

Далее, подставляя каждый раз, новое значение корня в уравнение получаем последовательность значений (рис.4):

+1 = F(cn), n = 1,2,…

Достаточным условием сходимости метода простой итерации является условие:

             Y   

                                               N₂   

                                     N₁  

                    N_{0                                   С2}    

                                      C₁   

            O     C₀                                                                      X 

рис.4

1.4.3 Метод Ньютона

Для решения системы

Рассмотрим систему нелинейных алгебраических уравнений

¦1(φ1,φ2)=0,

¦2(φ1,φ2)=0.

Для решения этой системы можно воспользоваться методом последовательных приближений. Допустим, что у нас есть начальные приближения φ10 и φ20, тогда (φ1-φ10) и (φ2-φ20) - погрешности решения. Предполагая, что функции f1 и f2 непрерывно дифференцируемы в некоторой выпуклой области, разложим левую часть уравнений по степеням, ограничиваясь линейными членами

.

Решая эту систему линейных уравнений, найдем новое приближение (j11,j21) и повторим всю эту процедуру снова до тех пор, пока погрешности решения не будут удовлетворять заданному условию:

, где d - заданная величина и n=0,1,2,…

.5 ВЫБОР МЕТОДА РЕШЕНИЯ

Для решения системы уравнений (I) выбран метод Ньютона. Метод Ньютона обладает быстрой сходимостью и, несмотря на то, что этот метод чувствителен к начальному приближению, во многих случаях можно обеспечить его сходимость правильно подобрав начальное приближение.

Для решения уравнения (2) был выбран метод деления отрезка пополам, т.к. этот метод прост в реализации и обладает устойчивой сходимостью при варьировании начального приближения.

Выбранные методы решения реализованы в виде программы на ЭВМ, выполненной на языке программирования PASCAL. Программа составлена в форме двух блоков: внутреннего и внешнего. Внутренний блок - решение системы уравнений, определяющей геометрию пневмооболочки; внешний блок - решение уравнения, в котором происходит подбор одного из давлений.

Исходными данными программы являются: длина поперечного сечения пневмооболочки, координаты точек крепления и соприкосновения с поверхностью, коэффициент трения, величина обжатия, начальное давление в пневмооболочке и давление в подушке, начальные приближения геометрии. В результате решения программа выдает значения углов, радиусов, координат центров тяжести, внешней нагрузки, длины дуги, давление в пневмооболочке.

.6 АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

По изложенной методике и реализующей ее программе были приведены систематические расчеты удлиненной пневматической оболочки. Определялась форма поперечного сечения пневмооболочки, а так же осуществлялась подборка давления при заданном втором давлении. По полученным результатам мы получили форму поперечного сечения пневмооболочки показанную на рисунке 5. Данная форма получена при различных коэффициентах трения.

1.Нормальная сила определяется давлением Р в оболочке и шириной зоны контакта с поверхностью. И то другое связано с формой пневмооболочки. Следовательно, нормальная сила непосредственно влияет на ее форму.

Далее проанализируем влияние силы трения, а так же модуля упругости на нормальную силу обжатого пневмоскега.

.Влияние силы трения на нормальную силу.

В нашем случае наблюдается две тенденции:

1) Сила трения (Fтр) и избыточное давление (Pизб) действуют в одну сторону (положительная ось). У нас давление в оболочке растет, а ширина зоны контакта с поверхностью падает. Причем ширина зоны контакта падает интенсивней, чем растет давление. Следовательно, нормальная сила, определяемая по формуле:

 = Pdl

падает с ростом силы трения.

2) Сила трения (Fтр) и избыточное давление (Ризб) действуют в разные стороны (отрицательная ось). В нашем случае происходит скачкообразное изменение положения равновесия.

Все эти аспекты показаны на рисунках 6,7 и 8.

На этих графиках показана зависимость нормальной силы от силы трения. Пик (на рис.6,7) - это и есть скачкообразное изменение положения равновесия.

.Влияние модуля упругости на нормальную силу.

При увеличении модуля упругости (ТЕ) происходит некоторое изменение геометрических характеристик пневмооболочки. Увеличивается зона контакта с поверхностью и снижается внутреннее давление (т.е. увеличивается объем оболочки). В результате чего внешняя сила становится меньше. И наоборот, при уменьшении модуля упругости увеличивается нормальная сила.

2. Второй этап

2.1 ФИЗИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Исследуем приземление самолета с шасси на воздушной подушке.

Рассмотрим пневматическую оболочку, прикрепленную к жесткой платформе самолета. Будем считать, что длина пневмооболочки много больше ее поперечных размеров.

Будем также считать, что различные поперечные сечения пневмооболочки находятся в одинаковых условиях и форма этих сечений по длине (по оси Oz) не меняется, а материал, из которого сделана пневмооболочка, является нерастяжимым (на первом этапе). Пусть в оболочку закачена некоторая масса воздуха и давление внутри подушки - Рвп, а внешнее давление, равно атмосферному - Ратм. Будем считать, что в этом случае величина давления в балоне известна - Рб.

Начальные условия: H0, 0, Рвп0, Рб0, r10, r20, φ10, φ20 .

Геометрические и массовые данные: S0, BB’, m.

Параметры состояния: Ратм, ρатм .

Имея такие исходные данные, нам необходимо вычислить максимальную избыточную перегрузку возникающую при посадочном ударе коммерческого самолета, максимальная величина вертикальной скорости которого равна -3м/с. По результатам программы нужно построить график зависимости Н, Н, hзазора от времени. Т.е. проследить как изменяются эти переменные в различный момент времени, а так же получить их численные результаты.

самолет перегрузка удар пневмоскег

2.2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Общие уравнения.

1. Уравнение движения платформы:

.

Оболочка не обжата.

1. Уравнение расходов.

W- объем воздушной подушки (ВП), W = W(t). Давление в ВП мало отличается от атмосферного (Ратм ~ 100000 , 0 < Рвп < 3000…10000  на порядок меньше)

Масса воздуха в ВП:

Уравнение расходов воздуха в ВП: .

 - плотность воздуха в воздушной подушке.

 - погонная расходно-напорная характеристика вентилятора (определяется экспериментально, ).

В первом приближении для всего аппарата:

 (линейная зависимость)

 (“аккорд-201”)

При длине подушки L = 5м

(погонный расход) = - 0,00034286 + 2,4.

 - погонный расход истечения воздуха через зазоры ВП.

 - отстояние нижней точки скега до земли.

Связь между давлением и плотностью в ВП - баротропная, адиабатическая.

 (n = 1.4).

Откуда

(*) .

(Δ)

Из (*)

Тогда еще раз учитывая (*)

Подставляем в (Δ)

Или, окончательно

1. Система уравнений оболочки до контакта (квазистатика).

В первом приближении считаем, что до контакта оболочка характеризуется только двумя зонами: зоной действия давления со стороны ВП и внешней зоной, где действует атмосферное давление.

Тогда форма поперечного сечения оболочки представляет собой две дуги окружности неизвестного радиуса и центра.

Касательные внешние силы отсутствуют, следовательно

(3.1)  

(3.1) - условия постоянства сил натяжения по длине поперечного сечения оболочки.

(3.2)

(3.3)

(3.2),(3.3) - геометрические условия склейки дуг.

(3.4)

(3.4) - линейная связь между внутренними силами и удлинением поперечного сечения оболочки.

 - раскройная длина поперечного сечения.

 - приведенный модуль упругости материала.

Уравнение для давления в оболочке выводится из условия постоянства массы закаченного в оболочку воздуха в предположении его адиабатического состояния.

(3.5)

 - начальное, избыточное давление в оболочке, когда она представляет собой круговой сегмент (задается).

 - начальная площадь поперечного сечения (задается).

 - текущее давление в оболочке.

 - текущая площадь поперечного сечения.

В необжатом состоянии:

Т.о. система уравнений необжатой (до контакта) оболочки имеет вид:

,

,

(3) ,

 ,

 .

1   и 2. (уравнения движения и расхода) - дифференциальные, поэтому систему нелинейных алгебраических уравнений целесообразно представить в дифференциальном виде.

Дифференцируя все уравнения по t имеем:

3.1)

3.2)

.3)

.4)

.5)

С учетом уравнений (1) и (2) получается система из 7 дифференциальных уравнений. Её надо привести к нормальному виду.

 нет производных в правой части (нормальный вид).

Последовательность

В нормальном виде система дифференциальных уравнений 8 порядка:

1)   

2)     

ВВ’ - задается (для “аккорда-2001” ВВ’=1,9м)

3)      

где

Уравнение (3) в виде, не готовом для интегрирования

= 1,= 0,= ,= ,= 0,= 0,= .

) = - r1,= r1 - r2,= Рб - Рвп,= 0,= - Рб,= 0,= 0.

) = 0,= 0,

a33 = sinφ1,= r1 cosφ1,= sinφ2,

a36 = r2 cosφ2,

b3 = 0.

) = 0,= 0,

a43 = 1 - cosφ1,= r1sinφ1,= - (1 - cosφ2),= - r2sinφ2,

b4 = 0.

) = 0,

a52 = - ,

a53 = φ1,

a54 = r1,=  ,= r2,= 0.

8)

a61 = 0,

a62 = ,

a63 = ,

a64 = ,

a65 = ,

a66 = ,

b6 = 0.

Алгоритм решения (до контакта).

Исходные данные:

H0, , Рвп0, Рб0, r10, r20, φ10, φ20 - начальные условия.

H0 = 1м,

 = 1м,

Н = -3м/с,

Рб0 = 1000Н/м2,

Ризб = Рвп = 0,

r1 = r2 = 0.21м,

φ1 = φ2 = 2.3рад,

ТЕ = 100000Н/м2.

Геометрические данные и массовые данные: S0, BB’, m.

m = 270 кг/м,

ВВ’ = 1.9м,

S0 = 0.123375236м2,

L0нат = 0,96629434м.

Параметры состояния:

Ратм = 100000Н/м2,

ρатм = 1,25кг/м3.

Интегрируется система дифференциальных уравнений методом Эйлера:

 Hi+1 = Hi +∆t

 Hi+1 = Hi +∆t

 = с1 Рвпi+1 = Рвпi + c1i∆t

 = с2 Рб i+1 = Рб i + с2i∆t

 = c3 r1i+1 = r1i + c3i∆t

 = c4 φ1i+1 = φ1i + c4i∆t

 = c5 r2i+1 = r2i + c5i∆t

 = c6 φ2i+1 = φ2i + c6i∆t

где с1,c2,c3,…,c6 - результаты решения системы линейных алгебраических уравнений:

a11 + а12 + а13 + a14 + a15 + a16 = b1,

……………………………………………………

……………………………………………………

…………………………………………………… + a62 + а63 + a64 + a65 + a66 = b6.

На каждом шаге интегрирования (метод Гаусса с выбором главного элемента).

Интегрирование проводится до момента времени, когда зазор становиться нулевым, т.е.

 = 0 => H = r1 - r1cosφ1

С момента времени, соответствующего  = 0, начинается второй этап.

На втором этапе оболочка становится обжатой и структура уравнения оболочки (группа уравнений (3)) меняется.

r2sinφ2 = b0 - r1sinφ1 ( 9 )

r1(1 - cosφ1) = r2(1 - cosφ2) (10 )

r1φ1 + r2φ2 = l0 (11)

Объединяя уравнения (8), (9), (10), (11), а также уравнение (2), получаем систему пяти нелинейных алгебраических уравнений относительно неизвестных r1, r2, φ1, φ2 и Рб.

(Рабс + Рб0)S0 = (Рабс + Рб)S,

(Рб - Рк)r1 = Рбr2,

r2sinφ2 = b0 - r1sinφ1, (12)

r1(1 - cosφ1) = r2(1 - cosφ2),φ1 + r2φ2 = l0.

Проанализируем систему (12). Если площадь S, ограниченная ACB и AB, найдена, то при заданном Рб0 из первого уравнения (12) легко определяется давление в оболочке Рб. Вместе с тем, давление Рб0 не входит в последние четыре уравнения системы (12). Это позволяет упростить решение задачи. В самом деле, если считать давление Рб заданным, то первое уравнение можно выделить из системы и решать его относительно начального давления в оболочке Рб0 после нахождения величин r1,r2, φ1, φ2 из оставшихся четырех уравнений системы.

Алгоритм решения (после контакта).

Обжатая оболочка.

Система уравнений примит вид:

(Рб - Рвп) r1 = Рбr2,

r2(1 - cosφ2) = H,(1 - cosφ1) = H,φ1 + r2φ2 +XA -XB - r2sinφ2 - r1sinφ1 -l0нат - = 0

(Ратм + Рб)S n = (Ратм + Рб0)S0n.

При обжатии оболочки площадь воздушной подушки изменится:

 = BB’ + 2(XA - r2sinφ2).

Первое и второе уравнения остаются без изменений, остальные меняются следующим образом.

Третье уравнение:

2(1 - cosφ2) = H =>

a31 = 0,= 0,= 0,= 0,

a35 = 1 - cosφ2,= r2sinφ2,

b3 = .

Четвертое уравнение:

1(1 - cosφ1) = H =>

a41 = 0,= 0,

a43 = 1-cosφ1,= r1sinφ1,

a45 = 0,

a46 = 0,

b4 = .

Пятое уравнение:

φ1 + r2φ2 + XA - XB - r2sinφ2 - r1sinφ1 - l0нат -  = 0= 0,= -  ,

a53 = φ1 - sinφ1,= r1(1 - cosφ1),= φ2 - sinφ2 -,

a56 = r2(1 - cosφ2),5 = 0.

Вертикальная сила рассчитывается по следующей формуле:

= Рвп(BB’ + 2r1sinφ1) + 2Рбал(XA - XB - r2sinφ2 - r1sinφ1).

Шестое уравнение:

(Ратм + Рб)S n - (Ратм + Рб0)S0n = 0.

.= 0,= S n,= ,= ,= ,= ,= .

2.3 ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАДАЧИ

Из вышесказанного можно сделать вывод, что данная задача разбивается на два этапа. Первый этап - необжатая оболочка, >0. Второй этап - обжатая оболочка, <0. Данная задача решается с помощью компьютерного языка программирования PASCAL. В результате решения первого этапа задачи, мы получаем числовые характеристики: H, , Рвп, Рб, r1, r2, ny (избыточная перегрузка), φ1, φ2, а также момент времени t, которые, в свою очередь являются начальными данными для второго этапа. По окончании второго этапа получаем характеристики для обжатой оболочки. По результатам первого и второго этапов, необходимо построить график зависимости H, ,  , ny от времени. На графике можно проследить тенденцию роста или спада избыточной нагрузки. Если она будет превышать 3 единицы, то данный проект не будет удовлетворять международным нормам летной годности FAR 23.

.4 АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

В конечном итоге по результатам программы мы получили следующие данные. Они приведены в таблице.

3. Третий этап

3.1 ФИЗИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Исследуем приземление самолета с шасси на воздушной подушке под углом 60 к поверхности.

3.2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ.

Разбиваем всю воздушную подушку (пневмоскег) на 10 равных сечений и рассматриваем каждое сечение для каждого момента времени. В результате для каждого сечения получилась система из десяти дифференциальных уравнений. Результатом решения задачи должны будут быть графики описывающие зависимость: давление внутри подушки, угловая скорость, давление внутри баллона, объема подушки, площади сечения, центральные углы и радиусы от времени. Сечения связаны между собой объемом и давлением внутри подушки.

Система уравнений принимает следующий вид:

1)

)

)

)

)  i=1,10

)

)

)

)

)

)

)  (=9.81)

) = 1,= 0,= ,= ,= 0,= 0,= .

) = - r1i,= r1i - r2i,= Рб - Рвп,= 0,= - Рб,= 0,= 0.

) = 0,= 0,= 0,= 0,= 1-cosi,= -,= .

) = 0,= 0,

a43 = 1-cosφ1i,

a44 = -,= 0,= 0,= .

) = 0,= -  ,

a53 = φ1i - sinφ1i,= r1i(1 - cosφ1i),

a55 = φ2 i- sinφ2i -,= r2i(1 - cosφ2i),= 0.

) =062=Vn

a63 =0,

a64 =0,

a65 =0,

a66 =0 ,

b6 =

)

)

.3 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ.

Интегрируется система дифференциальных уравнений методом Эйлера:

 Hi+1 = Hi +∆t

 Hi+1 = Hi +∆t

 = с1 Рвпi+1 = Рвпi + c1i∆t

 = с2 Рб i+1 = Рб i + с2i∆t

 = c3 r1i+1 = r1i + c3i∆t

 = c4 φ1i+1 = φ1i + c4i∆t

 = c5 r2i+1 = r2i + c5i∆t

 = c6 φ2i+1 = φ2i + c6i∆t

где с1,c2,c3,…,c6 - результаты решения системы линейных алгебраических уравнений:

a11 + а12 + а13 + a14 + a15 + a16 = b1,

……………………………………………………

……………………………………………………

…………………………………………………… + a62 + а63 + a64 + a65 + a66 = b6.

На каждом шаге интегрирования (метод Гаусса с выбором главного элемента).

Интегрирование проводится до момента времени, когда воздушная подушка полностью не опустится на поверхность.

Исходные данные:

Геометрические данные и массовые данные: S0, BB’, m.

m = 270 ,

ВВ’ = 1.9м,

S0 = 0.123375236м2,

L0нат = 0,96629434м.

Параметры состояния:

Ратм = 100000,

ρатм = 1,25

3.4 АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ

Решая данную систему уравнений на компьютерном языке программирования PASCAL, получаем следующие результаты:

1) Зависимость давления в баллоне от времени.

) Зависимость давления в воздушной подушке от времени.

1) Высота.

1) Угол.

1) Угловая скорость.

1) Центральные радиусы и углы.

) Перегрузка = 0,8

Полученные результаты не противоречат ограничениям системы (краевым условиям):

§  Центральные радиусы и углы не могут быть отрицательными.

§  0 < Pвп < 3000…10000

§  перегрузка не должна превышать 3х единиц

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Воронков И.М. Курс теоретической механики - М.: ГИФМЛ. 1961

.Меркин Д.Р. Введение в механику гибкой нити - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1980.

.Турчак Л.И. Основы численных методов - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1987.