Декартовы координаты

Декартовы координаты

Введение

координата декартовый плоскость геометрия

Аналитическая геометрия изучает свойства геометрических объектов при помощи аналитического метода, в основе которого лежит так называемый метод координат, впервые систематически примененный Декартом (французский математик и философ, 1596-1650).

Метод координат представляет собой глубокий и мощный аппарат, позволяющий привлекать для исследования геометрических объектов методы алгебры и математического анализа. Основные понятия геометрии (точки, прямые линии, плоскости) относятся к числу начальных понятий. Вводятся декартовы координаты точки на прямой, на плоскости и в пространстве. Из школьного курса геометрии эти понятия известны, как известны и некоторые сведения о векторах. Обобщим и дополним эти сведения. Векторная величина характеризуется не только своим численным значением, но и направлением. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, скорость и ускорение этой точки действующая на эту точку сила. В отличие от векторных величин рассматриваются скалярные величины, каждая из которых характеризуется только численным значением (площадь, объем, длина). Свойства векторов и операции над ними позволяют получить уравнения прямой, плоскости и изучить их взаимное положение.

Целью настоящей работы является исследование кривых второго порядка. Задачи работы:

) изучение декартовых координат на прямой, на плоскости, в пространстве;

) характеристика основных понятий векторов и действий над ними;

) решение простейших задач методом координат;

) выявление геометрического смысла линейных неравенств с двумя переменными;

) анализ видов кривых второго порядка.

Декартовы координаты на прямой, на плоскости и в пространстве

Прямую линию с указанным на ней направлением, началом отчета и единицей масштаба назовем числовой осью. Каждому действительному числу Х на числовой оси соответствует единственное число, которое называется координатой данной точки.

Здесь числа х₂>х₁>0, х₃<0.

х₃, х₁, х₂, х - координаты точек Q, F, N, M соответственно. Записывают:

Q (х₃), F (x₁), N(x₂), M (x).

Точки F и N ограничивают отрезок FN. Очевидно, его длина | FN | = х₂- х_1. Две взаимно перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой единицей масштаба образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Одна из осей - ось абсцисс Ох, другая - ось ординат Оу.

Рис.

Каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел х, у.

x, у называют координатами точки М и записывают М (х, у).

Рис.

В пространстве декартова прямоугольная система координат представляет собой совокупность трех взаимно перпендикулярных осей с общим началом и одинаковой единицей масштаба. Это ось абсцисс Ох, ось ординат Оу и ось аппликат Оz. Каждая точка пространства М имеет координаты х, у, z. Записывают:

М (х, у, z).

Вектор. Основные понятия. Действия над векторами

Вектором называется направленный отрезок

Будем обозначать вектор либо символом , где точки А и В - начало и конец направленного отрезка, либо символом  (малая латинская буква с чертой).

Для обозначения длины вектора будем использовать символ модуля:

|| - длина вектора ,

|| - длина вектора .

Вектор называется нулевым (или нуль-вектором), если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления, длина его равна числу 0. Записывают: || = 0.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если векторы  и  коллинеарны, то записывают: ||.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Записывают: =.

Понятно, что вектор можно переносить параллельно самому себе в любую точку пространства, т.е. изучаемые в геометрии векторы являются свободными.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях.

Рис.

Рассмотрим векторы, совпадающие с ребрами куба.

Векторы и  коллинеарны, но не равны.

Векторы , , , , компланарны, так как лежат в параллельных гранях.

Векторы , ,  равны: ==.

В квадрате MNKZ векторы , , ,, имеют одинаковые длины, но не равны. Если изменим направление у двух векторов, то можно утверждать, что = и =.

Рассмотрим векторы, совпадающие со сторонами ромба ABCD.

Рис.

Здесь =, но ¹, ¹, хотя длины векторов, совпадающих со сторонами ромба, равны:

|| = || = || = ||.

Линейными операциями над векторами называют сложение векторов и умножение вектора на число.

Суммой + двух векторов  и  называется вектор , идущий из начала вектора  в конец вектора  при условии, что начало вектора  совпадает с концом вектора . Записывают:

=+.

Рис. 1.Рис. 2.

Это правило называется "правилом треугольника" (рис. 1). Для сложения двух векторов можно использовать "правило параллелограмма" (рис. 2): если векторы и  приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то суммой  и  этих векторов является вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, идущей из общего начала векторов  и .

Сумму трех, четырех и большего числа векторов можно построить по "правилу многоугольника": начало каждого последующего вектора совмещают с концом предыдущего, а суммой всех векторов является вектор, идущий из начала первого вектора в конец последнего.

Рис. 3

На рис. 3 построена сумма четырех векторов +++.

Три вектора в пространстве можно складывать по "правилу параллелепипеда": если на трех векторах , ,, как на ребрах, построить параллелепипед, то его диагональ, выходящая из общего начала данных векторов, и будет их суммой (рис. 4):

=++.

Рис. 4

Произведением × вектора  на число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную ||×||, одинаково с вектором  направленный в случае >0 и противоположно с ним направленный в случае <0. Записывают:

=×.

Когда =0, для любого вектора  произведение × равно нуль-вектору:

×=.

Когда =1, 1×=.

Когда = -1, (-1)×=- - вектор, противоположный вектору .

Итак, при умножении вектора на число получаем вектор, коллинеарный данному. Поэтому, если известно, что =×, где  - число, имеем два коллинеарных вектора  и. Иначе говоря, равенство =× является условием коллинеарности векторов  и.

Для примера рассмотрим векторы, совпадающие со сторонами треугольника АВС: =, =.

Рис.

Требуется выразить через векторы  и  вектор , где О - точка пересечения медиан треугольника.

Известно, что точка О пересечения медиан треугольника делит отрезок медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому =2/3×, где точка D - середина стороны СВ.

Но вектор =1/2×=1/2×; =-1/2×.

В треугольнике САD вектор =+= -1/2×+.

Искомый вектор =-2/3(-1/2+)= 1/3×-2/3×.

Итак, =1/3×-2/3×. Заметим, что разность векторов  и  можно рассматривать как сумму вектора  и вектора, противоположного вектору :

-=+(-1)× =+(-).

В нашем примере из треугольника САD можно получить вектор =-=1/2×-.

Если вектор  умножить на число 1/||, получим так называемый единичный вектор вектора  (или орт вектора ), который обозначается ₀. Итак, орт вектора или единичный вектор вектора

₀=1/||×=/||; |₀|=1.

Принято единичные векторы на координатных осях Ох, Оу, Оz обозначать , ,  соответственно.

Линейные операции над векторами обладают теми же свойствами, что и линейные операции над матрицами. Укажем некоторые из них:

) +=+ - перестановочный закон сложения;

) +(+)=(+)+ - сочетательный закон сложения;

) ×(×) = (×)× - сочетательный закон умножения на число;

) ×(+)=×+×;

) (+)×=×+× - распределительные законы.

Рассмотрим координаты вектора, для чего перенесем вектор  параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. Пусть конец вектора - точка М.

Координатами вектора назовем координаты его конечной точки.

Рис. 5

Рис. 6

Так как координатами точки на плоскости являются два числа х и у, то на плоскости вектор  задается двумя координатами.

Записывают: =(х, у) (рис. 5).

В пространстве вектор  задается тремя координатами х, у и z.

Записывают: =(х, у, z) (рис. 6).

Нетрудно показать, что при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.

Если даны координаты векторов  и  =(х₁, у₁, z₁), =(х₂, у₂, z₂) и

=+; =-; =×,

то координаты векторов , ,  легко находятся:

=(х₁+х₂; у₁+у₂; z₁+z₂),

=(x₁-x₂; y₁-y_2; z₁-z₂),

=(×х₁; ×у₁; ×z₁).

На рис. 5 и рис. 6 видно, что длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

||=||=.

В плоском случае достаточно считать третью координату z равной нулю.

Если вектор  ограничен двумя точками, координаты которых заданы: т. А (х₁, у₁, z₁), т. В (х₂, у₂, z₂), то легко найти координаты самого вектора .

Рис. 7

На рис. 7 видно, что вектор  можно получить как разность векторов  и , где т. О - начало координат:

=-,

=(х₁, у₁, z₁)_{, =}(х₂, у_2, z₂).

Тогда координаты вектора  равны разности соответствующих координат конца и начала вектора:

=(х₂-х₁; у₂-у₁; z₂-z₁).

Расстояние между точками А и В вычислим как длину вектора :

|АВ|=||=.

Углом между векторами  и  назовем наименьший угол, на который надо повернуть один вектор до совпадения его с другим.

Рис.

Записывают ()=.

Покажем угол между вектором  и координатной осью Ох, например. Обозначим этот угол через . Пусть =.

Рис.

Очевидно, что cos==.

Обозначим через , ,  углы между вектором  и координатными осями Ох, Оу, Оz соответственно. Тогда

cos=, cos=, cos=.

Эти формулы определяют направляющие косинусы вектора и полностью задают направление вектора в пространстве. Направляющие косинусы вектора удовлетворяют условию:

cos²+cos²+cos²=1.

Это равенство легко получить, учитывая, что длина вектора

=.

В школьном курсе рассматривается еще одна операция над векторами - скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначают скалярное произведение векторов и  символами

× или (,).

Таким образом, по определению

×=××cos,

где  - угол между векторами  и .

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

.

. (+)×=×+×

. Если векторы  и  взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю (и наоборот), т. е. ^×=0.

Условие ×=0 поэтому и называют условием перпендикулярности векторов.

. ×=. Отсюда получают правило для вычисления длины вектора:

=

Если известны координаты векторов  и , то легко показать, что скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат векторов, т. е. если =(х₁, у₁, z₁) и =(х₂, у₂, z₂), то

×=х₁×х₂+у₁×у₂+z₁×z₂

Условие перпендикулярности тогда примет вид:

^x₁×x₂+y₁×y₂+z₁×z₂=0

Пусть, например, даны векторы = (2, -1, 2), = (1, 0, 4), = (3, 4, -1).

Найдем скалярные произведения

×= 2 × 1 + (-1) × 0 + 2 × 4 = 10,

×=2 × 3 + (-1) × 4 + 2 × (-1) = 0,

×= 1 × 3 + 0 × 4 + 4 × (-1) = -1.

Мы обнаружили, что векторы  и  образуют прямой угол.

Используя определение скалярного произведения, можно вычислить угол между векторами по формуле

.

Простейшие задачи метода координат

При решении чисто геометрических задач используются формулы и правила, позволяющие вычислить длину отрезка или вектора, расстояние между точками, угол между векторами или осями, найти точку, делящую данный отрезок.

Рассмотрим эти задачи.

. Расстояние между точками

А (х₁, у₁, z₁) и В(х₂, y₂, z₂):

=.

Эта же формула позволяет вычислить длину вектора.

. Деление отрезка в данном отношении

Пусть в пространстве даны две точки М₁ и М₂. Говорят, что точка М делит отрезок М₁М₂. в отношении , если

Точка М делит отрезок М₁М₂ в отношении .

Точка N делит тот же отрезок М₁М₂ в отношении .

Видимо, при мы получим середину отрезка.

Если известны координаты начала М₁ и конца М₂ отрезка, то координаты точки М, делящей отрезок М₁М₂ в отношении , находят по формулам:

,  ,

где т. М₁(х₁, у₁, z₁), т. М₂(х₂, у₂, z₂), т. М(х, у, z).

Координаты середины отрезка получают при :

Например, если т. А(-2, 3, 4), т. В(0, 1, -2), то координаты середины отрезка АВ получим из формул:

z=

Итак, точка С(-1, 2, 1) является серединой отрезка АВ.

. Угол между векторами вычисляется по формуле

cos .

. Условие перпендикулярности двух векторов: х₁×х₂+у₁×у₂+z₁×z₂=0.

. Условие коллинеарности двух векторов:

Если векторы коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны.

Пример № 1.

Даны три вершины параллелограмма: А(4;2), В(5;7), С(-3;4). Найти четвертую вершину D, противолежащую вершине В.

Рис.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством диагоналей параллелограмма: диагонали его, пересекаясь, делятся точкой пересечения пополам.

Пусть точка М - точка пересечения диагоналей параллелограмма АВСD.

Тогда точка М - середина отрезка АС; координаты точки М найдем из формул:

Итак, т. М(.

Но точка М является серединой и отрезка ВD. Поэтому верны равенства:

 и .

; .

Из этих равенств находим координаты вершины D(-4, -1).

Проверить правильность решения можно, построив все вершины параллелограмма.

Рис.

Рис.

Пример № 2.

Найти центр тяжести треугольника, зная координаты его вершин: А(1;4), В(-5;0), С(-2;-1). Центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения медиан, которая делит отрезок любой медианы в отношении 2:1, считая от вершины.

Точка М делит отрезок СD в отношении =2, а точка D - середина стороны АВ. ;

Середина стороны АВ - точка D(-2;2). Координаты точки М найдем, рассматривая отрезок СD.  

Итак, центр тяжести треугольника лежит в точке М(-2,1).

Построим все точки и убедимся, что решение верно.

Пример № 3.

Проверить, что четырехугольник, вершины которого находятся в точках А(5; 2; 6;), В(6; 4; 4), С(4; 3; 2) и D (3; 1; 4), есть квадрат.

Квадратом является четырехугольник, у которого стороны взаимно перпендикулярны и длины сторон равны.

Запишем координаты векторов, совпадающих со сторонами:

=(6-5; 4-2; 4-6)=(1; 2; -2)

=(4-6; 3-4; 2-4)=(-2; -1; -2)

=(3-4; 1-3; 4-2)=(-1; -2; 2)

=(5-3; 2-1; 6-4)=(2; 1; 2)

Проверим, выполняется ли условие перпендикулярности для каждой пары смежных сторон-векторов.

=1×(-2)+2×(-1)+(-2)×(-2)=-2-2+4=0, что и доказывает, что ^.

=(-2)×(-1)+(-1)×(-2)+(-2)×2=2+2-4=0, т. е. ^.

=(-1)×2+(-2)×1+2×2=0, т. е. ^.

=2×1+1×2+2×(-2)=0, т. е. ^.

Мы установили, что стороны четырехугольника взаимно перпендикулярны. Покажем, что и длины сторон его равны.

,

Итак, АВСD - квадрат. Заметим, что построением эту задачу не проверить, так как точки заданы не на плоскости, а в пространстве.

Уравнение линии. Прямая на плоскости

Одним из важнейших в аналитической геометрии является вопрос об уравнении линии на плоскости.

Всякая линия есть множество точек плоскости, координаты которых должны быть связаны некоторым условием. Это условие записывается в виде уравнения.

Определение. Уравнение F(х, у)=0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.

В этом случае говорят: уравнение F(х, у)=0 определяет эту линию.

Пример № 4.

Показать, что уравнение х²+у²=r² определяет окружность.

Окружностью называется множество точек плоскости, расстояние каждой из которых до данной точки постоянно. Пусть М(х, у) - любая точка плоскости. Расстояние этой точки от начала координат

Тогда уравнению х²+у²=r² удовлетворяют только те точки, для которых r, т. е. точки, лежащие на окружности радиуса r с центром в начале координат. Если же точка не лежит на окружности, то расстояние r.

Итак, уравнению х²+у²=r² удовлетворяют координаты любой точки окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности. Значит, уравнение х²+у²=r² определяет окружность при любом r>0.

Очевидно, уравнение (х-х₀)²+(у-у₀)²=r² определяет окружность с центром в точке С(х₀, у₀) радиуса r>0.

Например, уравнение х²+(у+1)²=1 определяет окружность радиуса r=1 с центром в точке С(0; -1).

Простейшей линией является прямая на плоскости. Рассмотрим различные виды уравнения прямой.

1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀(х₀,у₀) перпендикулярно данному вектору = (А; В).

Рис.

Чтобы вывести уравнение прямой, возьмем на ней любую точку М(х, у), которая может по прямой перемещаться.

В любом случае вектор , ограниченный данной точкой М₀(х₀,у₀) и произвольной точкой М(х, у), всегда лежит на прямой и поэтому перпендикулярен данному вектору (А; В). Найдем координаты вектора  и запишем условие перпендикулярности векторов  и .

^ÞА × (х - х₀) + В × (у - у₀) = 0.

Полученному уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой и не могут удовлетворять координаты точки, не лежащей на прямой (тогда условие перпендикулярности не будет выполняться).

А × (х - х_о) + В × (у - у₀) = 0 (1)

- уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Вектор (А; В) называют нормальным вектором.

В уравнении (1) раскроем скобки:

А × х + В × у + (-А × х₀ - В × у_о) = 0

Обозначим число - А × х₀ - В × у₀ = С. Уравнение прямой примет вид:

А × х + В × у + С = 0 (2)

Его называют общим уравнением прямой, а коэффициенты при х и у задают нормальный вектор .

Заметим, что уравнение прямой - уравнение первой степени с двумя переменными. Поэтому в аналитической геометрии прямую линию называют линией первого порядка.

. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀(х₀, у₀) параллельно данному вектору =(m; n).

Рис.

Пусть М(х, у) - любая точка прямой. Тогда векторы  и  всегда коллинеарны. Запишем условие коллинеарности векторов ; у-у₀) и =(m; n):

 (3)

уравнение прямой, параллельной вектору =(m; n).

3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М₁(х₁, у₁) и М₂(х₂, у₂)

Рис.

Для любой точки М(х, у) прямой векторы =(х - х₁; у - у₁) и = (х₂ - х_1; у₂ -у₁) всегда коллинеарны, а потому

 (4)

искомое уравнение.

. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Выведем уравнение прямой, проходящей через точку М₀(х_0, у₀) под углом  к оси абсцисс Ох.

Угол  между прямой и осью Ох называют углом наклона прямой, а угловым коэффициентом k прямой называют тангенс угла  наклона этой прямой, т. е. k =tg.

Рис.

Для любой точки М(х, у) прямой отношение равно , поэтому  или у-у₀=k×(х-х₀).

Получили уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀(х₀, у₀) в заданном направлении

у-у₀ = k × (х-х₀) (5)

Здесь  - угловой коэффициент прямой. Угол наклона

Если точка М₀ - точка пересечения прямой с осью ординат Оу, то ее координаты х₀= 0, у₀= b. Уравнение принимает вид: у-b=k×x, или

уравнение прямой с угловым коэффициентом, b - начальная ордината прямой.

Рис.

. Угол между прямыми

Пусть даны две прямые своими общими уравнениями:

А₁×х+В₁×у+С₁=0 и А₂×х+В₂×у+С₂=0

Так как = (А₁; В₁) и  - нормальные векторы данных прямых, то угол  между прямыми равен углу между нормальными векторами и .

Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом:  и , то угол  между ними удобнее вычислять по формуле:

доказательство которой легко усматривается из рисунка:

Рис.

Если прямые перпендикулярны, то 1 + k₁ × k₂ = 0 и .

Если прямые параллельны, то

k₁ = k₂.

Пример № 5

Проверить, что четыре точки А(-2;-2), В(-3;1), С(7;7) и D(3;1) служат вершинами трапеции, и составить уравнение высоты, опущенной из вершины А.

В трапеции две стороны параллельны, а две - нет. Составим уравнения каждой из четырех сторон по формуле (4).

Уравнение АВ:

 или у+2=-3(х+2).

Уравнение ВС: ,

 или у-1=.

Уравнение CD:

 или у-7=.

Уравнение DА: ,

 или у-1=.

Сравним угловые коэффициенты полученных прямых; они равны для прямых ВС и DA: .

ВС и DA - основания трапеции, АВ и СD - боковые стороны ее.

Высота трапеции перпендикулярна основанию, и угловой коэффициент прямой, совпадающей с высотой, равен . Составим уравнение прямой, проходящей через точку А(-2,-2) с угловым коэффициентом k= по формуле (5):

у+2= или 5х+3у+16=0.

Построением убедимся в правильности решения.

Рис.

Обзор кривых второго порядка

Прямая на плоскости является линией первого порядка, так как определяется уравнением первой степени с двумя переменными. Рассмотрим кривые второго порядка, то есть линии, определяемые в декартовых координатах уравнениями второй степени. Установлено, что таких линий всего четыре: окружность, эллипс, гипербола и парабола.

В п. 4 было получено уравнение окружности с центром С(х₀, у₀) и радиусом r:

(х-х₀)² + (у-у₀)² = r² (7)

Из этого уравнения можно получить так называемое общее уравнение окружности: x²+y²+m×x+n×y+p=0. Заметим, что коэффициенты при х² и у² в уравнении окружности одинаковы. Если же в уравнении коэффициенты при х² и у² будут разными по величине, но одного знака, то такое уравнение будет определять эллипс.

Простейшее (каноническое) уравнение эллипса имеет вид:

 (8)

Чтобы построить такой эллипс, отметим точки пересечения эллипса с осями координат: А₁(a, 0), А₂(-а, 0), В₁(0, b), В₂(0, -b), называемые вершинами эллипса. Расстояние между вершинами |А₁А₂|=2а и |В₁В₂|=2b называют осями, а числа а и b - полуосями эллипса (а>0, b>0). Из уравнения (8) эллипса видно, что эллипс - фигура, симметричная относительно обеих осей и начала координат. Для точного построения эллипса используем определение:

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F₁ и F₂, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Фокусы F₁(c, 0) и F₂(-c, 0) построим, учитывая,

что  (при а>b).

По определению сумма  остается постоянной для любой точки М(х, у) эллипса.

Рис.

Если центр симметрии эллипса расположен в точке С(х₀, у₀) и оси симметрии параллельны координатным осям, то уравнение эллипса:

 (9)

Рис.

В школьном курсе гипербола рассматривается как график обратной пропорциональной зависимости .

Рассмотрим более общий случай гиперболы, начав с ее определения:

Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний каждой из которых от двух данных точек есть величина постоянная. Простейшее (каноническое) уравнение гиперболы имеет вид:

 (10)

Как видно, коэффициенты при х² и у² имеют разные знаки.

Числа а и b (а>0 и b>0) называются полуосями гиперболы.

Точки А₁(а,0), А₂(-а,0), В₁(0,b) и В₂(0,-b) называют вершинами гиперболы.

Построим прямоугольник со сторонами, проходящими через вершины А₁, А₂, В₁, В₂ параллельно координатным осям. Диагонали этого прямоугольника называют асимптотами гиперболы. Очевидно, уравнения асимптот

 и

Через вершины А₁(а, 0) и А₂(-а, 0) проведем теперь две симметричные относительно координатных осей ветви гиперболы так, чтобы по мере удаления от центра симметрии - точки О(0,0) - они приближались бы к асимптотам, но не пересекали бы их.

Рис.

Если же центр симметрии гиперболы расположен в точке С(х₀, у₀) и оси симметрии параллельны координатным осям, то уравнение гиперболы имеет вид:

,

Укажем, что гипербола является и графиком дробно-линейной функции .

Параболу в школьном курсе рассматривают как график квадратного трехчлена у=ах²+bх+с.

Выделяя из квадратного трехчлена полный квадрат, это уравнение легко привести к виду

(х-х₀)²=±2р×(у-у₀) (11)

Здесь точка С(х₀, у₀) - вершина параболы, ось симметрии параллельна Оу. Коэффициент р(р>0) называют параметром параболы. Знак плюс перед коэффициентом 2р соответствует параболе, ветви которой направлены вверх, знак минус - вниз.

Рис.

Можно рассмотреть параболу с осью симметрией, параллельной оси Ох. Ее уравнение имеет вид

(у-у₀)² = ±2р × (х-х₀). (12)

Рис.

Отметим, что уравнение параболы содержит квадрат только одной переменной: либо х (формула 11), либо у (формула 12).

Дадим определение, которое часто фигурирует как определение параболы. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной прямой и от данной точки.

Заключение

В основу метода координат положены две идеи:

-    введение переменной величины.

Переменная - величина, которая принимает различные значения. Чаще всего обозначается буквами латинского алфавита: х, у, z и т.д.

Аргумент функции - независимая переменная. Это произвольный элемент из области определения. Обозначается обычно буквой х латинского алфавита. Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом используют запись у = f (х);

-    использование прямолинейных (декартовых) координат.

Возьмем две взаимно перпендикулярные координатные прямые Ох и Оу с равными единичными отрезками. Точка пересечения координатных прямых О называется началом координат, координатная прямая Ох - осью абсцисс, а Оу - осью ординат. Т.о., мы задали систему координат. Плоскость, на которой задана система координат, называется координатной плоскостью.

Возьмем точку А координатной плоскости и проведем через нее прямые l₁ и l₂, параллельные координатным осям. Абсциссой точки А называется число, которое соответствует точке пересечения прямой l₁ и оси абсцисс. Ординатой точки А называется число, которое соответствует точке пересечения прямой l₂ и оси ординат. Упорядоченная пара (х; у) называется координатами точки А в прямоугольной декартовой системе координат.

В заключение обзора кривых второго порядка отметим, что эти линии часто встречаются в различных вопросах естествознания. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной из этих линий. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы широко используется в инженерном деле. В частности, оптические свойства параболы используется при конструировании прожекторов, антенн, телескопов. Такие термины, как «эллиптическая орбита», «эллипсоид инерции», «параболическая траектория», «параболическое зеркало» и т.д., убеждают в широком применении кривых второго порядка.

Список использованной литературы

.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - 2-е изд. - М., 2004.

.Беклемишева Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре / Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чубаров. - 2-е изд. - М., 2007.

.Бугров Я.С. Высшая математика. Задачник / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. - 2-е изд. - М., 2010.

.Бугров Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. - 2-е изд. - М., 2004.

.Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. - 2-е изд. - М., 2008.

.Декарт Р. Избранные произведения.  М., 1950.

.Ильин В.А. Линейная алгебра / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. - 2-е изд. - М., 2011.

.Кривич М., Ольгин О. Мастерские науки. - 2-е изд. - М., 2004.

.Кузнецов Б.Т. От Галилея до Эйнштейна. - 2-е изд. - М., 2006.

.Лятоер Д.А. Декарт.  М., 1975.

.Меркулов И.П. Гипотетико-дедуктивная модель и развитие научного знания. - 2-е изд. - М., 2010.