Построение фазовой картины механической системы с хаотическим поведением
1. Введение
Фазовая картина дает наглядное представление о
движении объектов. На ней четко прослеживаются изменения поведения объекта при
смене параметров его движения.
Целью данной работы является построение фазовой
картины механической системы с сопутствующим изменением параметров движения
одного из объектов. Актуальность работы заключается в том, что графическое
представление процессов значительно облегчает работу с ними. Имея теоретическое
представление возможного результата эксперимента, можно предсказать дальнейшее
поведение системы, а данные, полученные на выходе из программы, будут являться
подтверждением доводов.
В данной работе были рассмотрены два вида удара:
абсолютно упругий и неупругий. При неупругом ударе учитывался материал, из
которого изготовлены объекты, входящие в механическую систему, и
соответствующий ему коэффициент восстановления скорости.
Ключевые слова: механическая система, фазовая
картина, абсолютно упругий удар, неупругий удар, коэффициент восстановления.
Оглавление
1.
Введение
2.
Фазовая картина
3.
Столкновение объектов
3.1
Абсолютно упругий удар
3.2
Неупругий удар
4.
Исследование движения шарика с использованием программного обеспечения
4.1
Абсолютно упругий удар
4.1.1
Платформа неподвижна
4.1.2
Платформа движется равномерно вверх
4.1.3
Платформа движется равноускоренно вверх
4.2
Неупругий удар
4.2.1
Платформа неподвижна
4.2.1.1
Материал: дерево
4.2.1.2
Материал: сталь 12
4.2.1.3
Материал: стекло
4.2.2
Платформа движется равномерно вверх
4.2.2.1
Материал: дерево
4.2.2.2
Материал: сталь
4.2.2.3
Материал: стекло
4.2.3
Платформа движется равноускоренно вверх
4.2.3.1
Материал: дерево
4.2.3.2
Материал: сталь 1
4.2.3.2
Материал: стекло
5.
Листинг программы
5.1
Абсолютный удар
5.2
Неупругий удар
6.
Заключение
7.
Список используемых источников0
2. Фазовая картина
Фазовая плоскость - координатная
плоскость
<#"551072.files/image001.gif">
Другими словами:
, где
- масса шарика- масса платформы
и 
- скорость шарика до и после
соударения соответственно
и 
- скорость платформы до и после
соударения соответственно
В данной работе платформа выбрана в
качестве более массивного объекта так, что ее скорость не изменяется после
столкновения с шариком.
Тогда закон сохранения энергии приобретает
вид:
=
В проекции на единственную имеющуюся
ось Y это уравнение приобретает вид:
1) в первом случае, когда платформа неподвижна:
’ = - -
здесь знак минуса говорит о смене направления движения
) во втором и третьем случае, когда платформа
движется равномерно вверх (2 случай) или равноускоренно вверх (3 случай):
’ = - -
.2 Неупругий удар
В результате неупругого столкновения внутренняя
энергия разлетающихся объектов или же одного из них изменяется, а,
следовательно, изменяется и суммарная кинетическая энергия системы.
Количество энергии, потерянной шариком при
каждом столкновении, называется энергией остаточной деформации, которая в
большей степени характеризуется коэффициентом восстановления скорости K,
определяемым экспериментально.
- =
’
- ’
Если один из объектов является довольно
массивным - как в нашем случае - и при столкновении не изменяет свою скорость,
то коэффициент К определяется по формуле:
’ - =
+
Мы рассматриваем три случая:
) шарик и платформа выполнены из дерева, К =
0.25
) шарик и платформа выполнены из стали, К = 0.30
) шарик и платформа выполнены из стекла, К =
0.88
4. Исследование движения шарика с использованием
программного обеспечения
.1 Абсолютно упругий удар
.1.1 Платформа неподвижна
) график зависимости y=y(t)
2) график зависимости ẏ=
ẏ(y)
4.1.2 Платформа движется равномерно вверх
) график зависимости y=y(t)
4.1.3 Платформа движется равноускоренно вверх
) график зависимости y=y(t)
2) график зависимости ẏ=
ẏ(y)
4.2 Неупругий удар
.2.1 Платформа неподвижна
.2.1.1 Материал: дерево
) график зависимости y=y(t)
2) график зависимости ẏ=
ẏ(y)
4.2.1.2 Материал: сталь
) график зависимости y=y(t)
2) график зависимости ẏ=
ẏ(y)
4.2.1.3 Материал: стекло
) график зависимости y=y(t)
2) график зависимости ẏ=
ẏ(y)
4.2.2 Платформа движется равномерно вверх
.2.2.1 Материал: дерево
) график зависимости y=y(t)
2) график зависимости ẏ=
ẏ(y)
4.2.2.2 Материал: сталь
) график зависимости y=y(t)
2) график зависимости ẏ=
ẏ(y)
4.2.2.3 Материал: стекло
) график зависимости y=y(t)
2) график зависимости ẏ=
ẏ(y)
4.2.3 Платформа движется равноускоренно вверх
.2.3.1 Материал: дерево
) график зависимости y=y(t)
2) график зависимости ẏ=
ẏ(y)
4.2.3.2 Материал: сталь
) график зависимости y=y(t)
2) график зависимости ẏ=
ẏ(y)
4.2.3.2 Материал: стекло
) график зависимости y=y(t)
2) график зависимости ẏ=
ẏ(y)
5. Листинг программы
.1 Абсолютный удар
#include
<iostream>
#include <cstdlib>
#include <complex>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <conio.h>namespace
std;main()
{v [10000]; //массив скоростей шарикаy [10000];
//массив координат шарикаcoord=0; //координата платформыvel=0; //скорость
платформыa; //ускорение шарикаg; //ускорение свободного паденияT;
//максимальное времяt=0; //текущее времяdt=0; //промежутки времениh; //высота,
с которой падает шарикerr; //погрешностьerr2;N; //hmax; //a1; //ускорение
платформыA; //амплитуда колебаний платформыw; //циклическая частота платформыq;
//начальная фазаk; //коэффициент восстановления
g=9.81;=10;=0.001;=0.04;=0.02;=10;[0]=0;[0]=h;=-g;=2;=1.5;=0;*print;=fopen("print.txt","w+");*phase;=fopen("phase.txt","w+");
while (t<=T) //до тех пор, пока не истечет
заданное время, выполняется цикл
{[1]=v[0]+a*dt;[1]=y[0]+v[0]*dt;=vel+a1*dt;
=coord+vel*dt; (fabs(y[0]-coord)<=err && v[0]<0 &&
vel>=0) //если удар
{[1]=-v[0]+vel;
}(fabs(y[0]-coord)<=err2
&& v[0]>0 && vel>0) //если
удар
{[1]=v[0]+vel;
//запись
в
файл(print,
"%f\t %f\n", t, y[1]);(phase, "%f\t %f\n", y[1], v[1]);
}
}
.2 Неупругий
удар
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <complex>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <conio.h>namespace
std;main()
{v [10000]; //массив скоростей шарикаy [10000];
//массив координат шарикаcoord=0; //координата платформыvel=0; //скорость платформыa;
//ускорение шарикаg; //ускорение свободного паденияT; //максимальное времяt=0;
//текущее времяdt=0; //промежутки времениh; //высота, с которой падает
шарикerr; //погрешностьerr2;N; //hmax; //a1; //ускорение платформыA;
//амплитуда колебаний платформыw; //циклическая частота платформыq; //начальная
фазаk; //коэффициент восстановления
int
variant;=9.81;=10;=0.001;=0.04;=0.02;=10;[0]=0;[0]=h;
a=-g;
//значения коэффициента восстановления для
разных материалов=0.88; // материал: стекло=2;=0;=0;
// создаем и открываем файлы*print;
print=fopen("print.txt","w+");*phase;=fopen("phase.txt","w+");
while (t<=T)
//до тех пор, пока не истечет заданное время
// выполняется цикл
{
v[1]=v[0]+a*dt;
y[1]=y[0]+v[0]*dt;=vel+a1*dt;=coord+vel*dt;((fabs(y[0]-coord)<=err)
&& (v[0]<0)) //если
удар
{(-v[0]<vel)
{[1]=vel*(1+sqrt(k))+v[0]*sqrt(k);
}(-v[0]>=vel)
{[1]=vel;
}
}((fabs(y[0]-coord)<=err2)
&& (v[0]>0)) //если
удар
{(v[0]>vel)
{[1]=vel*(1-sqrt(k))+v[0]*sqrt(k);
}(v[0]<=vel)
{[1]=vel;
}
}
//замена начальных данных для
цикла[0]=v[1];[0]=y[1];=t+dt;
//запись в файл
fprintf (print, "%f\t
%f\n", t, y[1]);(phase, "%f\t %f\n", v[1], y[1]);
}
}
6. Заключение
Полученные в ходе моделирования графики
согласуются с предсказаниями, сделанными на основе имеющейся теоретической базы.
Дальнейшее развитие этой темы позволит углубиться в изучение движения объектов,
участвующих в соударении (причем, особый интерес представляет неупругое
столкновение). Усовершенствование программы позволит определять новые величины,
характеризующие соударение.
7. Список используемых источников
1.
Савельев И.В. Курс физики. т.1. Механика. Молекулярная физика. М.: Наука. Гл.
ред. физ.-мат. Лит. 1989. -352с
.
Иродов И.Е. Основные законы механики. 3-е изд., перераб. И доп. - М.: Высш. Шк.
1985. -248с
.
Сивухин Д.В. Общий курс физики. В 5 т. Том I. Механика. 4-е изд., стереот. -
М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. -560с
.
Фейнман Р.Ф. - Лекции по физике
1.