Критерии принятия оптимальных решений

Критерии принятия оптимальных решений

Введение

Вся наша жизнь пронизана проблемами. Каждый человек ежедневно сталкивается с необходимостью принятия решений. Их так много и принимают их так часто, что в большинстве случаев это просто не осознается. Только наиболее важные и трудные решения как-то выделяются и становятся предметом анализа. При этом основной подход всегда один: собирается точная, надежная и адекватная информация, а затем делается выбор среди возможных решений. Принятие решений - это важная функция управления, являющаяся умением, которым должен овладеть каждый человек, работающий как в бизнесе так и науке. Принятие неоптимальных решений в жизненных и производственных ситуациях уменьшает значительную долю возможностей и ресурсов. И чем сложнее ситуация, тем больше потери.

Одним из возможных типов задач при принятии решения являются, так называемые, состязательные задачи, в которых решение принимает не одно лицо, а два или большее число лиц. Например, одно лицо покупает сахар и хочет получить максимальную прибыль, но оно понимает, что его прибыль зависит не только от того, сколько сахара будет куплено, но и от того, сколько сахара купит его конкурент. При этом либо оба лица стремятся "выиграть" (максимизировать свои целевые функции), либо одно лицо не стремится этого сделать (игры с природой). Решению подобных состязательных задач посвящена теория игр. Стороны или лица, принимающие решения в состязательных задачах, называются игроками.

Метод решения

неопределенность критерий оптимальное решение

Неопределенность задачи мы связываем с неизвестным для нас поведением противника и исходим из того, что противник разумный и предпринимает те действия, которые для нас являются наименее выгодными. Рассмотрим другой вид неопределенности, связанный с недостаточной информацией об условиях операции. Условия проведения операции не зависят от сознательного противодействия противника, а зависят от объективной реальности, называемой «природой», поведение которой неизвестно и не содержит сознательного противодействия нашим планам. В задачах такого рода труднее обосновать решение, которое даст лучший результат. Для этого существуют 4 критерия, которые позволяют нам выбрать самую выгодную стратегию. Та стратегия, на которую укажут большинство критериев, и будет являться оптимальной.

Пусть у нас m стратегий А1, А2, Аm. Об обстановке, в которой будет происходить операция можно сделать n предположений П1, П2, Пn - стратегии природы. Аij - наши выигрыши от применения i стратегии в предположении обстановки операции Пj

Игрок А может отбросить ту стратегию, которая даёт меньшие выигрыши по сравнению с другой. Противник П не разумный, анализировать и отбрасывать свои стратегии не может.

Матрица рисков

Риск это разность между результатом, который можно получить если знать состояние природы и результатом, который будет получен при применении j-той стратегии природы.

)        Критерий Лапласа

В основе этого критерия лежит "принцип недостаточного основания".

Если нет достаточных оснований считать, что вероятности того или иного спроса имеют неравномерное распределение, то они принимаются одинаковыми. Для решения задачи для каждого решения подсчитывается сумма всех стратегий и делится на вероятность появления этой стратегии, выбирается то решение, при котором величина этого выигрыша максимальна

)        Критерий Вальда

В соответствии с критерием Вальда в качестве оптимальной выбирается стратегия, гарантирующая выигрыш не меньший, чем "нижняя цена игры с природой". Правило выбора решения в соответствии с критерием Вальда можно интерпретировать следующим образом: матрица решений дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов каждой строки. Выбрать надлежит тот вариант, в строке которого стоит наибольшее значение этого столбца. Выбранное таким образом решение полностью исключает риск. Это означает, что принимающий решение не может столкнуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Какие бы условия не встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже W. Это свойство заставляет считать критерий Вальда одним из фундаментальных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще всего как сознательно, так и неосознанно. Однако в практических ситуациях излишний пессимизм этого критерия может оказаться очень невыгодным.

Применение этого критерия может быть оправдано, если ситуация, в которой принимается решение, характеризуется следующими обстоятельствами:

о вероятности появления состояния Vj ничего не известно;

с появлением состояния Vj необходимо считаться;

реализуется лишь малое количество решений;

не допускается никакой риск.

3)      Критерий Гурвица

Согласно критерию Гурвица выбирается такая стратегия, которая занимает некоторое промежуточное положение между крайним пессимизмом и оптимизмом:

где a - коэффициент пессимизма, выбираемый в интервале [0,1].

Правило выбора согласно этому критерию следующее: матрица решений дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наименьшего и наибольшего результатов для каждой строки. Выбирается тот вариант, в строках которого стоят наибольшие элементы этого столбца.

При a = 1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда (пессимиста), а при a = 0 - в критерий азартного игрока. Отсюда ясно, какое значение имеет весовой множитель a. В технических приложениях правильно выбрать этот множитель бывает так же трудно, как правильно выбрать критерий. Поэтому чаще всего весовой множитель a = 0.5 принимается в качестве средней точки зрения.

Критерий Гурвица предъявляет к ситуации, в которой принимается решение, следующие требования:

о вероятности появления состояния ничего не известно;

с появлением состояния необходимо считаться;

реализуется лишь малое количество решений;

- допускается некоторый риск.

4)      Критерий Сэвиджа

Суть этого критерия заключается в нахождении минимального риска. При выборе решения по этому критерию сначала матрице функции полезности (эффективности) сопоставляется матрица рисков:

элементы которой отражают убытки от ошибочного действия, т.е. выгоду, упущенную в результате принятия i-го решения в j-м состоянии. Затем по матрице выбирается решение по пессимистическому критерию Вальда, дающее наименьшее значение максимального сожаления.

В соответствии с критерием Сэвиджа в качестве оптимальной выбирается такая стратегия, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагополучной ситуации:

Здесь величину W можно трактовать как максимальный дополнительный выигрыш, который достигается, если в определённом состоянии вместо одного варианта выбрать другой, оптимальный для этого внешнего состояния, вариант.

Соответствующее критерию Сэвиджа правило выбора следующее: каждый элемент матрицы решений вычитается из наибольшего результата max Wij соответствующего столбца. Разности образуют матрицу рисков. Эта матрица пополняется столбцом наибольших разностей. Выбирается тот вариант, в строке которого стоит наименьшее значение.

Задача

Коммерческое предприятие заключило договор на централизованную поставку овощей из теплиц на сумму 10 000 руб. ежедневно. Если в течение дня овощи не поступают, магазин имеет убытки в размере 20 000 руб. от невыполнения плана товарооборота. Магазин может осуществить самовывоз овощей фермера. Для этого он может сделать заказ в транспортном предприятии, что вызовет дополнительные расходы в размере 500 руб. Однако опыт показывает, что в половине случаев посланные машины возвращаются без овощей. Можно увеличить вероятность получения овощей от фермера до 80%, если предварительно посылать туда своего представителя, что требует дополнительных расходов в размере 400 руб. Существует возможность заказать дневную норму овощей у другого надежного поставщика - плодоовощной базы по повышенной на 50% цене. Однако в этом случае, кроме расходов на транспорт (500 руб.), возможны дополнительные издержки в размере 300 руб., связанные с трудностями реализации товара, если в тот же день поступит и централизованная поставка от фермера. Какой стратегии надлежит придерживаться магазину, если заранее неизвестно, поступит или не поступит централизованная поставка?

Решение

Перечислим все возможные стратегии.

А1 - ожидать поставку, не принимая дополнительных мер,

А2 - послать к поставщику свой транспорт,

А3 - послать к поставщику представителя и транспорт,

А4 - заказать поставку у плодоовощной базы.

П1 - поставка своевременная,

П2 - поставки нет.

Всего возможно 8 ситуаций:

Составим платежную матрицу:

Теперь оценим стратегии по 4-м критериям.

)        Критерий Лапласа

P=  (выбираем вероятность появления каждого события)

ах - среднее значение выигрыша стратегии х

а1=  (-10000-20000) = -7500 |суммарное значение для каждой |

а2=  (-10500-15500) = -6500 |стратегии, деленное на вероятность|

а3=  (-10900-12900) = -5950

а4=  (-25800-15500) = -10325

Критерий показал на оптимальную стратегию А3, при которой предприятию необходимо посылать в теплицы машины и своего представителя.

2)      Критерий Вальда

Заполняем столбец Min W

 - минимальный выигрыш максимален

W=max{-20000,-15500,-12900,-25800}= -12900

Выбираем max значение из столбца Min W |

Критерий показал на оптимальную стратегию А3, при которой предприятию необходимо посылать в теплицы машины и своего представителя.

)        Критерий Гурвица

æ = 0,4 | выбираем коэффициент пессимизма|

ах - промежуточное решение, из которых выбирается max

а1=0,4(-20000)+0,6(-10000)= -14000

а2=0,4(-15500)+0,6(-10500)= -12500

а3=0,4(-12900)+0,6(-10900)= -11700

а4=0,4(-25800)+0,6(-15500)= -19620

Теперь выбираем наибольшее значение для самого правого столбца.

Критерий показал на оптимальную стратегию А3, при которой предприятию необходимо посылать в теплицы машины и своего представителя.

Составим матрицу рисков и добавим столбец:

каждый элемент платежной матрицы вычитается из наибольшего результата max Wij соответствующего столбца

Теперь выберем минимальное значение из столбца Max.

W=min{Max}=900

Критерий показал на оптимальную стратегию А3, при которой предприятию необходимо посылать в теплицы машины и своего представителя.

Вывод

Все критерии показали оптимальную стратегию А3, при которой магазину необходимо посылать в теплицы машины и своего представителя. Такая стратегия обеспечит магазину наименьшие расходы на покупку овощей - в сумме 12900 д.е.

Литература

неопределенность критерий оптимальное решение

1.   Дж.Нейман , O.Моргенштерн . Теория игр и экономическое поведение. -М.: ИИЛ, 1970.

2.       Л.С.Костевич, А.А.Лапко. Теория игр. Исследование операций. -Минск : Выcшая школа, 1982.

3.   В.И. Бодров, Т.Я. Лазарева, Ю.Ф. Мартемьянов. Математические методы принятия решений