Формирование понятия дроби в 5-6 классах
Дипломная работа
По теме: «Формирование
понятия дроби в 5-6 классах»
Введение
Понятие, как множество определяющих его свойств,
фиксированное в мышлении человека, является одной из главных компонент
содержания любого учебного предмета, в том числе - и математики.
Одно из первых математических понятий, с которым ребёнок
встречается в школе, - понятие о числе. Это понятие является одним из базовых
понятий математики, и его усвоение имеет для учащегося большое значение.
В школу обычно ребенок приходит, имея представление о
натуральных числах. В процессе изучения математики понятие о числе постепенно
расширяется. Это связано с практическим применением чисел - измерением величин.
Для этих целей натуральных чисел оказывается недостаточно: не всегда единица
величины укладывается целое число раз в измеряемой величине. Для того чтобы
выразить результат любого измерения, необходимо расширить запас чисел, введя
новые числа, отличные от чисел натуральных. Именно так появляются рациональные
(т.е. дробные) числа, а затем и иррациональные, которые вместе образуют
множество действительных чисел. На этом расширение понятия о числе не
останавливается, а продолжается, поскольку это необходимо для других наук и
самой математики.
Знакомство с понятием дробного числа происходит, как правило,
в начальных классах. Затем понятие дроби расширяется и углубляется. В связи с
этим, учителю необходимо хорошо владеть методами ознакомлении с дробными
числами, обучению действиям, научить видеть взаимосвязи между множествами натуральных
и рациональных чисел, и, в конечном счёте, полноценному усвоению понятия
рационального числа. Понятие дроби и действия с дробями не являются такими
элементарными как представляется математикам и учителям математики. Нередко
действия с дробями вызывают серьезные затруднения даже у старшеклассников и
студентов. Поэтому проблема надёжного и чёткого усвоения понятия дроби и
свойств дробей является актуальной.
В данной работе мы рассмотрим различные подходы к
формированию математического понятия дроби в 5-6 классах, и на основании
выводов, которые будут получены, разработаем систему упражнений, направленную
на формирование этого понятия.
Объект исследования: процесс формирования
математического понятия дроби в 5-6 классах.
Цель работы: разработать методические рекомендации и
систему задач, направленные на формирование понятия дроби в 5-6 классах.
Задачи работы:
1. Изучить математическую, методическую и педагогическую
литературу по данной теме
. Вывить основные подходы к введению понятий дроби и
рационального числа в различных учебниках для 5-6 классов
. Определить особенности формирования математических
понятий в 5-6 классах
. Разработать методические рекомендации и систему
упражнений по формированию понятия дроби.
При проведении исследования использовались следующие методы:
изучение методической и психологической литературы по теме; сравнение различных
учебников по математике.
1.
Психолого-педагогические основы изучения дробей
.1
Возрастные особенности младших подростков
Согласно стандарту общего математического образования,
систематический курс дробей входит в курс арифметики и изучается в пятом и
шестом классах средней школы. Возраст учащихся 5-6 классов колеблется от 10 до
13 лет. Чаще всего этот период относят к подростковому возрасту, некоторые психологи
выделяют его отдельно в, так называемый, младший подростковый возраст. Этот
возраст связан с перестройкой всего организма ребенка - половым созреванием.
Одни дети вступают в подростковый возраст раньше, другие позже (13 лет).
Начиная с этого возраста, весь подростковый период протекает трудно и для
ребенка, и для взрослых.
Подростковый возраст называют переходным. В этом смысле
подросток - полуребенок и полувзрослый: детство уже прошло, но зрелость ещё не
наступила. Переход к взрослости пронизывает все стороны развития подростка: и
его анатомо-физиологическое, и интеллектуальное, и нравственное развитие - и
все виды его деятельности.
Половое созревание зависит от гормональных изменений в
организме. В подростковом возрасте активно вырабатываются и взаимодействуют
друг с другом гормоны роста и половые гормоны, что вызывает интенсивное
физическое и физиологическое развитие. Увеличение роста и веса подростков
разного пола происходит обычно в разном возрасте: пик роста у девочек наступает
в 11-12 лет, у мальчиков среднем на 2 года позднее. Вследствие индивидуальных
особенностей развития организма, дети одного возраста и пола не всегда выглядят
одинаково развитыми.
Изменение роста и веса сопровождается изменением пропорций
тела. Сначала до взрослых размеров дорастают конечности и лишь потом туловище.
Недостаток мышечной массы по сравнению с выросшим скелетом заставляет подростка
ощущать себя неуклюжим, подросток выглядит непропорциональным, угловатым.
Для подростка характерна с виду беспричинная смена настроения
и физической активности. Это связано в первую очередь с тем, что в результате
быстрого роста организма возникают трудности в функционировании сердца, легких,
и как следствие - недостаточное кровоснабжение головного мозга. Для подростков
характерны перепады сосудистого и мышечного тонус, что вызывает быструю смену
физического состояния и настроения. Нередко подростки неадекватно резко
реагируют на внешние воздействия: на замечания взрослых, учителей, сверстников,
на происходящие события. Обладая особенностью взрываться по пустякам, подростки
в то же время часто внешне безразличны к важным событиям.
Существенные изменения происходят в эмоциональной сфере
подростка. Эмоции подростка отличаются большой силой и трудностью в их
управлении. Подростки отличаются большой вспыльчивостью, слабостью
самоконтроля, резкостью в поведении. С этим связано неумение сдерживать себя.
Подросткам свойственно бурное проявление своих чувств: если
они чувствуют малейшую несправедливость к себе, они способны взорваться, хотя
потом могут сожалеть об этом.
Эмоциональные переживания подростков приобретают большую
устойчивость. Нередко чувства подростка бывают противоречивы. Очень важно,
чтобы эти противоречия разрешались в пользу положительных, общественно значимых
чувств.
Особенно заметным в этом возрасте становится рост сознания и
самосознания детей. Последнее находит своё выражение в измерении мотивации
основных видов деятельности: учения, общения и труда. Одним из центральных
новообразований личности младшего подростка является возникновение чувства
взрослости. В понимании подростка стать взрослым означает быть самостоятельным,
выражать и отстаивать свою точку зрения. Последнее нередко влечет за собой
стремление подростка не быть как все, хотя в то же время подросток подражает
всем.
Учение для подростка является главным видом деятельности. И
от того, как учится подросток, во многом зависит его психическое развитие. В
подростковом возрасте происходят существенные сдвиги в развитии мыслительной
деятельности учащихся, главным образом в процессе обучения.
Подростков очень привлекает возможность расширить, обогатить
свои знания. Проникнуть в сущность изучаемых явлений, установить
причинно-следственные связи. Подростки испытывают большое эмоциональное
удовлетворение от исследовательской деятельности. Им нравится мыслить, делать
самостоятельные открытия. Наряду с познавательными интересами существенное
значение при положительном отношении подростков к учению имеет понимание
значимости знаний. Для подростка очень важно осознать, осмыслить жизненное
значение знаний и, прежде всего их значение, для развития личности. Это связано
с усиленным ростом самосознания современного подростка.
Если же подросток не видит жизненного значения знаний, то у
него могут сформироваться негативные убеждения и отрицательное отношение к
существующим учебным предметам. Эмоциональное благополучие во многом зависит
также от оценки его учебной деятельности взрослыми.
В подростковом возрасте появляются новые мотивы учения,
связанные с расширением знаний, с формированием нужных умений и навыков,
позволяющих заниматься интересной работой, самостоятельным творческим трудом.
Учителю необходимо знать эти мотивы, условия их формирования, так как отношения
подростков к учению обусловлено, прежде всего, качеством работы учителя и его отношением
к учащимся.
1.2
Психолого-педагогические особенности учащихся 5-6 классов
дробь математический понятие усвоение
Учащиеся 5 классов обладают достаточно высоким уровнем
развития восприятия: острота зрения, слуха, ориентировка на форму и цвет предмета.
Процесс обучения в средней школе предъявляет новые требования
к восприятию школьника. В процессе восприятия учебной информации необходимы
произвольность и осмысленность деятельности учащихся. Сначала ребёнка
привлекает сам предмет и в первую очередь его внешние яркие признаки. Но дети
уже в состоянии сосредоточиться и тщательно рассмотреть все характеристики
предмета, выделить в нём главное, существенное. Эта особенность проявляется в
процессе учебной деятельности. Они могут анализировать группы фигур,
упорядочивать предметы по различным признакам, проводить классификацию фигур по
одному или двум свойствам этих фигур. У школьников этого возраста проявляется
наблюдение как специальная деятельность, развивается наблюдательность как черта
характера.
В 5 классах перестаивается характер учебной деятельности.
Причем не только усложняется сама учебная деятельность: увеличивается
количество учебных предметов, вместо одного учителя с классом работает уже
несколько учителей, у которых различные требования, стили ведения урока,
отношения к учащимся.
В 5 классе ученики переходят к систематическому изучению
наук. А это требует от психической деятельности более высокого уровня: глубоких
обобщений и доказательств, понимания более сложных абстрактных отношений между
объектами, формирование отвлеченных понятий. Процесс формирования понятия -
постепенный процесс, на первых стадиях которого важную роль играет чувственное
восприятие объекта.
В этом возрасте способность школьника к запоминанию
возрастает, память перестраивается, переходя от доминирования механического
запоминания к смысловому. При этом перестраивается сама смысловая память. Она
приобретает опосредованный характер, обязательно включается мышление. Поэтому
необходимо учащихся учить рассуждать, чтобы процесс запоминания базировался на
понимании предлагаемого материала.
Заодно с формой меняется и содержание запоминания. Становится
более доступным запоминание абстрактного материала.
Процесс овладения знаниями, умениями, навыками требует
постоянного и эффективного самоконтроля учащихся, что возможно только при
достаточно высоком уровне развития произвольного внимания.
Ученик 5 класса может управлять своим вниманием. Он хорошо
концентрирует внимание в значимой для него деятельности. Поэтому для более
успешного обучения математике, необходимо поддерживать интерес школьника к
изучению этого предмета. При этом целесообразно на уроках использовать
наглядные средства обучения: таблицы, схемы, картинки. Процесс обучения будет
проходить более эффективно, если на уроках демонстрировать связь изучаемого
материла с жизнью, применение новых знаний на практике.
В процессе учебной деятельности учащийся получает много
описательных сведений. Это требует от него постоянного воссоздания образов, без
которых невозможно понять и усвоить учебный материал, т.е. воссоздающее
воображение учащихся 5 классов с самого начала обучения включено в
целенаправленную деятельность, способствующую его психическому развитию.
При развитии у ребёнка способности управлять своей умственной
деятельностью воображение становится всё более управляемым процессом.
У школьников 5-6 классов воображение может превратиться в
самостоятельную внутреннюю деятельность. Они могут проигрывать в уме
мыслительные задачи с математическими знаками, оперировать значениями и смыслами
языка, соединяя две высшие психические функции: воображение и мышление.
Все указанные выше особенности создают основу для развития
процесса творческого мышления учащихся 5 классов, в котором большую роль играют
специальные знания учащихся.
При изучении математики большое значение имеет формирование
теоретического мышления, которое определяет способность устанавливать
максимальное количество смысловых связей в окружающем мире. Школьник
психологически погружён в реальности предметного мира, образно-знаковых систем.
В 5 классах у учащихся начинает формироваться формальное
мышление. Школьник этого возраста уже может рассуждать, не связывая себя с
конкретной ситуацией.
Опираясь на вышесказанное, можно сделать следующий вывод, что
наиболее существенную роль в формировании положительного отношения подростка к
учению, в том числе и к математике, играют научная содержательность материала,
его связь с жизнью (возможность применить на практике). Для более эффективного
обучения можно использовать проблемный метод обучения, организовать поисковую
познавательную деятельность, которая даст возможность переживать радость
самостоятельных открытий, что само по себе заинтересует подростка. Успех - еще
один мотив для изучения чего-то нового. Учитель должен помнить, что знание и
учёт индивидуальных особенностей учащихся, их познавательных потребностей
необходимы для организации успешного обучения и умственного развития учащихся.
.3
Особенности формирования математических понятий в 5-6 классах
Всякое понятие, в том числе и математическое, является
абстракцией от множества конкретных объектов, которые описываются им. В понятии
отражаются устойчивые свойства изучаемых объектов, явлений. Эти свойства
повторяются у всех объектов, которые объединяются понятием. Но каждый реальный
объект имеет некоторые другие свойства, присущие только ему. Различие в
несущественных свойствах только оттеняет, подчёркивает существенные.
Если в начальных классах обучение ведётся в основном на
наглядно образном уровне мышления, то в 5-6 классах более глубоко развивается
словесно-логическое мышление. Содержанием такого мышления являются понятия,
сущность которых уже не внешние, конкретные, наглядные признаки предметов и их
отношения, а внутренние, наиболее существенные свойства предметов и явлений и
соотношения между ними.
Все понятия, изучаемые в начальных классах, в дальнейшем
переосмысливаются на более высоком теоретическом уровне (переменная, уравнение,
фигура и др.) или углубляются и обобщаются (понятие о числе, алгоритмы
арифметических действий, законы арифметических действий и др.).
Не всегда есть возможность и необходимость формировать
определения по конструкции: 1) указывается род; 2) указываются те признаки,
которые отличают этот вид (определяемое понятие) от других видов ближайшего
рода. Учащихся учат на наглядно-интуитивной основе понимать значение
существенных и несущественных признаков для раскрытия сути определяемого
понятия, то есть достаточно сформировать правильное представление. В курсе
математики 5-6 классов это часто достигается с помощью поясняющих описаний -
доступных для учащихся предложений, которые вызывают у них один наглядный
образ, и помогают усвоить понятие. Здесь не ставится требование сведения нового
понятия к ранее изученным понятиям. Усвоение должно быть доведено до такого уровня,
чтобы в дальнейшем, не вспоминая описания, ученик мог узнать объект,
относящийся к данному понятию. Пример, поясняющие описания многоугольника,
многогранника, расстояния, симметрий, натурального числа и др.
Большинство детей 5-го класса воспринимает объяснительный
текст учебника, формулировки определений и правил вполне однородными - им
трудно найти определяемое и определяющее понятие, указание на математические
свойства математического объекта. Именно этим в значительной степени
объясняются трудности в заучивании и верном воспроизведении теоретических
положений, правил действий: все слова ученику кажутся одинаково важными (или
одинаково неважными?), а потому заучивание происходит чисто механически, и
потеря или замена остаются им незамеченными.
Главное в работе с определениями в 5-6 классах - показывать
учащимся отличие определений от других предложений, выделенных в учебнике
жирным шрифтом; учить их анализировать конструкцию определений; индуктивным
методом формировать определения основных понятий.
Если учащиеся в 5-6 классах получат необходимые навыки в
работе с определениями, будут понимать простые логические рассуждения и
отличать логические конструкции различных математических предложений, то они
смогут изучать курс математики старших классов более осознано.
Определения рассматриваются в простейшем варианте через род и
вид. Формирование понятия доказательства опирается на реальные жизненные
представления о необходимости обоснования, её убедительности рассуждений. Этот
начальный этап постепенно сменяется представлениями о доказательстве,
адекватном математике.
Проанализировав учебники для 5-6 классов, увидим, что
аксиоматические определения отсутствуют, геометрические понятия в большинстве
своём определяются через конструирование, алгебраическим понятиям, в основном,
даются определения-соглашения, поясняющее описание.
1.4
Психологические особенности усвоения дробей
Психологические трудности, возникающими у учащихся при
изучении дробей изучали С.И. Шохор-Троцкий [29], Н.А. Менчинская 14], З.М.
Мехтизаде [19] и А.С. Пчелко[22].
Однако, несмотря на то, что трудности, возникающие перед
учащимися при изучении дробей, общеизвестны, в психологической литературе
вопрос об усвоении этого раздела арифметики до сих пор не получил достаточного
освещения.
Трудности усвоения школьниками операций с дробями
объясняются, например, тем, что правила и способы действия, с которыми
знакомятся учащиеся при изучении дробей, вступают в определенные противоречия с
теми правилами и способами действия, которые ими были прочно усвоены при
изучении целых чисел. Об этом писали Н.А. Менчинская, З.М. Мехтизаде и А.С.
Пчелко. «Значительную трудность для понимания дроби, - указывает А.С. Пчелко, -
представляет неодинаковый характер изменения дробного числа при изменении
числителя и знаменателя. При увеличении числителя дробь увеличивается - это
аналогично целым числам и это сравнительно легко воспринимается учащимися. Но
при увеличении знаменателя дробное число уменьшается - это непривычно для
ребят. Это находится даже в некотором противоречии с опытом детей в области
целых чисел».
Одной из причин формального усвоения операций с дробями Н.А.
Менчинская называет несвоевременно ранее сообщение учащимся названий дробей
(когда учащиеся еще не знают, как образуется та или иная дробь). Название дроби
должно вводиться в неразрывной связи с процессом ясного осознания детьми, как
образовалась дробь. При таком подходе, полагает автор, удастся избежать
смешения названия дроби. Обосновывается это тем, что для большинства детей
младшего школьного (равно как и дошкольного) возраста любая доля, любая часть
целого - это половина. Для ребенка, по её мнению, не является существенным факт
неравенства этих самых «половин», например при разламывании шоколада, хотя всем
ясно, что понятия «больше» и «меньше» они усвоили хорошо. Дети часто так и
говорят - «твоя половина больше, чем моя».
По-видимому, главные причины низкого качества усвоения
понятия дроби (а также и последующих затруднений, с которыми сталкиваются
учащиеся при его изучении) заключаются в механическом заучивании, в
недостаточном внимании к осознанному восприятию понятия, установлению
взаимосвязи между множествами изученных и вновь введенных чисел, выявлению
общих и особенных характеристик этих множеств. В свое время А.Н. Колмогоров
обратил на это внимание: «на понятии действительного числа без всякого
упоминания об измерении конкретных величин (длин, площадей, промежутков времени
и т.д.). Поэтому на разных ступенях обучения с разной степенью смелости
проявляется одна и та же тенденция: возможно скорее разделаться с введением
чисел и дальше уже говорить только о числах и соотношениях между ними».
Н.А. Менчинская изучала ступени изучения материала при
усвоении понятия дроби учениками 5-го класса. Ею были выделены следующие этапы
формирования понятия дробь:
. Дробление предметов даже без названия результата;
. Отражение процесса дробления в представлении и в речи;
. Решение задач с помощью отвлеченных дробных чисел.
Оказывается, что для успешного освоения операций с дробями,
необходимо переводить их через эти три последовательные ступени. При введении
понятия дроби еще в начальной школе нужно обеспечить совмещение двух аспектов
его изучения:
) умение видеть равные доли на рисунке (чертеже)
) умение самостоятельно образовывать доли, расчленяя
целое на части.
Только после того, как у детей будет накоплен достаточный
опыт в делении на равные доли реальных предметов, можно переводить их на более
высокие ступени. То есть вначале устранять момент «личного» действия при
образовании дроби, сохраняя зрительное восприятие равных долей, а затем
исключать и этот момент восприятия, предлагая учащимся мысленно представить
процесс образования дроби.
Особую трудность, по мнению Н.А. Менчинской составляет
понятие «знаменатель» «Фактически в знаменателе раскрывается своеобразие дробного
числа в отличие от целого» - справедливо указывает автор.
Так, учащиеся с легкостью сравнивают дроби с равными
знаменателями, перенося навыки сравнения из области целых чисел, они с
легкостью поясняют свои действия, нередко, указывая, во сколько раз одна дробь
превосходит другую. В то же время, те же дети испытывают трудности при
сравнении дробей с разными знаменателями, путаются в пояснении своих действий.
Случается, что при сложении и вычитании дробей, школьники складывают и вычитают
знаменатели. Ошибки подобного рода не возникают, если школьники с самого начала
осмыслили своеобразие понятия «знаменатель». Разумно предлагается при изучении
дробей опираться на знание именованных чисел, их раздробления и превращения.
При этом знаменатель - это наименование частей.
Чтобы преодолеть указанные трудности, при обучении учащихся
арифметическим действиям, в том числе и действиям с дробями, важно
последовательно формировать процесс получения результата-то есть, устанавливать
ассоциации по смежности.
Например, получив задание разделить 3 полоски на 4 равные части,
ученик сначала рассуждает так: «В одной полоске 
, в трех полосках их всего 
, 12 разделить на 4 будет 3, значит 
». Затем прибегает к более короткому пути рассуждения: «Делил на 4
- это был знаменатель, и было 3 полоски, всего будет ». И, наконец, рассуждение сокращается до
одного звена: «3 на 4 нацело не делится, будет ».
Указанные трудности говорят о том, что учащиеся не осознают
нахождение части от числа и умножение как одну и ту же операцию, они в равной
мере не осознают как одну и ту же операцию нахождение числа по его дроби и
деление. Различные термины скрывают от них единство содержания понятий,
обозначаемых этими терминами. Это происходит всегда, если и умножение дробей и
решение задач на нахождение части целого вводится только с помощью алгоритма.
Учащиеся не проходят все ступени по формированию ассоциаций, поскольку знают
четкий алгоритм, следовательно, не могут сопоставить и обобщить эти две
операции.
Еще одно распространенное затруднение в изучении дробей это
умножение и деление. «Ученику приходится делать весьма значительные усилия
мысли, чтобы постигнуть, что умножение называется иногда делением; что не
всегда от умножения число увеличивается; что умножить число - это не всегда
значит «взять его слагаемым несколько раз»», - писал методист С.И.
Шохор-Троцкий. Позже Н.А. Менчинская высказывает мнение о том, что никак нельзя
считать правильным то положение, когда у детей при изучении целых чисел
формируются представления об умножении как об увеличении, а о делении как об
уменьшении. В дальнейшем это приводит к неверному переносу ассоциаций в область
дробей. При этом Н.А. Менчинская указывает, что при изучении целых чисел
учитель должен придавать особое значение случаям умножения и деления на 0 и 1,
которые не приводят к привычному и ожидаемому увеличению и уменьшению числа.
При выполнении этих операций всегда полезно задать вопрос: «Как изменилось
число?»
Еще одна проблема - это отождествление операций нахождения
наибольшего общего делителя и сокращения дробей, а также наименьшего общего
кратного и приведения дробей к общему знаменателю. Исследованием причин, по
которым учащиеся не различают операции нахождения НОД и НОК, занималась З.М.
Мехтизаде, которая обратила внимание на то, что «при овладении этими двумя
схожими операциями, учащиеся раньше всего овладевают ими в тех звеньях, которые
являются общими для этих двух операций, и с большим трудом в той части, где
требуется применение различных дифференцированных друг от друга способов
действия. Если в одном случае, в общих звеньях этих операций, актуализируются
или воспроизводятся одни и те же системы ассоциаций, то в другом случае, т.е. в
различных звеньях, требуется перестройка ранее образованной системы ассоциаций.
Именно эта перестройка системы ассоциаций и затрудняет учащихся». Ошибки,
которые порождаются наличием двух сходных правил, основаны на
«правилосообразных» связях. В данном случае путаница происходит еще и по
причине схожести названия операций, редко когда внимание учащихся верным
образом акцентируется на последнем слове, чаще эти аббревиатуры воспринимаются
абракадаброй. Важным моментом является своевременное сравнение таких правил,
построение системы упражнений, постепенно отражающей сходство и различие
операций. Н.А. Менчинская предлагает использовать принцип варьирования
существенных признаков для составления систем упражнений при изучении
материала. То есть задания должны изменяться не столько по уровню сложности,
сколько по их положению во всем учебном материале. Наличие контрпримеров при
построении системы упражнений обязательно.
Поэтому необходимо максимально облегчить учащемуся освоение
понятия «дроби» и действий с ними, применяя достижения психологической науки.
Н.А. Менчинская занималась исследованием ошибок, которые допускают учащиеся при
обучении, и сумела типизировать ошибки. В ее трудах много практических советов,
направленных не только на преодоления уже полученных ошибок, но и для их
предотвращения. Оказывается, числа, подобранные в примерах нередко провоцируют
возникновение, так называемых описок. Некоторые комбинации чисел провоцируют на
выполнение определенной операции, в этом случае происходит ослабление остроты сознания
и «настоящий» знак действия остается не замеченным. Следовательно,
психологические основы возникновения ошибок и разумного построения системы
упражнений должны быть изучены каждым педагогом.
Таким образом, система упражнений при изучении дробей должна
отвечать как методическим задачам, так и учитывать психологические основы
слухового восприятия формулировок и зрительного восприятия комбинаций чисел.
Важно сформировать у учащихся умение выделять существенные и несущественные
признаки объектов и действий над ними, и обязательно учитывать и
психологические особенности восприятия материала. Уверенное представление о
дроби возникает только тогда, когда учащийся самостоятельно проходит все
ступени по формированию этого понятия, то есть при изучении дробей необходим
творческий метод обучения. Сознательное оперирование осуществляется при верно
построенной системе ассоциаций и полной связи между условием задачи и ее
ответом.
1.5
Исторический очерк
В жизни человеку приходилось не только считать предметы, но и
измерять величины. Люди встретились с измерениями длин, площадей земельных
участков, объемов, массы тел. При этом случалось, что единица измерения не
укладывалась целое число раз в измеряемой величине. Например, измеряя длину
участка шагами, человек встречался с таким явлением: в длине укладывалось
десять шагов, и оставался остаток меньше одного шага. Появление дробей связано
у многих народов с делением добычи на охоте. В связи с этой необходимой работой
люди стали употреблять выражения: половина, треть, два с половиной шага. Откуда
можно было сделать вывод, что дробные числа возникли как результат измерения
величин.
1.
Из
истории возникновения дробей и операций над ними.
Обыкновенные дроби известны человечеству с незапамятных времен.
Еще в Древнем Египте дроби использовались при решении задач прикладного
характера. Тогда еще не было сформировано понятие дроби, поэтому использовались
дроби конкретного вида - 
, так называемые аликвотные дроби. При решении задач ответ
записывался не в виде обыкновенной дроби 
, а в виде суммы аликвотных дробей. Для облегчения таких записей
были составлены таблицы представления дробей в виде суммы аликвотных дробей.
При сложении дробей имеющих разные знаменатели, египтяне умножали их на
вспомогательные числа. В Древнем Вавилоне использовалась шестидесятеричная
система счисления. Существовали таблички с правилами арифметических действий, как
с натуральными числами, так и с дробями. [9, 23]
Одним из дошедших до наших дней
древнеегипетских папирусов является папирус древнеегипетского писца Ахмеса
«Райнда», представляющий собой сборник из 84 задач прикладного характера. Одна
из этих задач звучит так: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми».
Современный школьник предложит такое решение: разрезать каждый
хлеб на 8 частей каждому человеку дать по одной части от каждого хлеба. Но если
резать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов. Египтяне решали
бы эту задачу так. Дробь 
записывали в виде долей: 
. Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и
восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезаем пополам, два хлеба - на 4 части
и один хлеб - на 8 долей, после чего каждому даем его часть. Всего при
египетском методе решения делается лишь 17 разрезов. Таким образом, египетский
вариант решения этой задачи почти в 3 раза экономичнее.
При столь давнем использовании обыкновенных дробей,
десятичные дроби стали выделяться из них значительно позже. Появление
десятичной записи числа связано в первую очередь с относительной простотой
арифметических действий с ними. В начале XIV века десятичные дроби
ввёл в рассмотрение персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин
аль-Каши в трактате «Ключ арифметики». В XV веке они были принесены в Византию.
Спустя полтора столетия десятичные дроби были заново открыты в Западной Европе.
Автором первого печатного сочинения о десятичных дробях был Симон Стевин,
изложивший правила действия с ними в книге «Десятина». [30]
1.
Запись
дробей.
Народы прошли через многие варианты записи дробей, пока не
пришли к современной записи.
Как отмечалось выше, в Древнем Египте использовали, за редким
исключением, аликвотные дроби. Поэтому в записи этих дробей использовали
иероглиф 
, что означало «один»,
например 
, 
.
Наиболее часто встречающиеся дроби имели специальные символы,
например:
, 
, 
.
Вначале в записи дробей не использовалась дробная черта.
Черта дроби появилась лишь только в 1202 году у итальянского математика
Леонардо Пизанского. Он ввел слово «дробь», а название компонентов дроби -
«числитель» и «знаменатель» ввел в 13 веке Максим Плануд - греческий
монах, ученый, математик.
Современную систему записи дробей создали в Индии. Только там
писали знаменатель сверху, а числитель снизу, и не писали дробной черты.
Впервые записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.
Десятичные дроби стали выделяться Средневековой Европе в
связи с повсеместным использованием десятичной системы счисления. Общепринятая
запись с десятичной точкой, разделяющей целую и дробную части, возникла лишь в
начале XIII века. В России и нескольких других странах для разделения целой и
дробной частей используется десятичная запятая.
2.
Сравнительный анализ методических подходов к изучению темы «Дроби»
2.1
Методика изучения темы «Обыкновенные дроби» в учебниках по методике
преподавания математики
Курс математики 5-6 классов представляет
собой органическую составную часть всей школьной математики. Поэтому основным
требованием к его построению является структурирование содержания на единой
идейной основе, которая, с одной стороны, является продолжением и развитием
идей, реализованных при обучении математике в начальной школе, и, с другой
стороны, служит последующему изучению математики в старших классах.
Учебный материал распределен таким
образом, что при изучении числовых множеств систематически используется
геометрический и алгебраический материал.
Первым расширением понятия числа является
введение дробных чисел в курс математики 5 класса. Следующий этап расширения
понятия числа происходит в 6 классе - вводятся отрицательные числа. Как уже
было выше сказано, дробные числа стали использоваться достаточно давно, намного
раньше, чем отрицательные числа, поэтому должны легче усваиваться учащимися.
Изучение в 5 классе десятичных дробей опирается на имеющиеся у учащихся
сведения о натуральных числах, об обыкновенных дробях и некоторых их преобразованиях,
а также на знакомство учащихся с метрической системой мер.
Знания об обыкновенных дробях, полученные
в начальной школе повторяются и обобщаются в 5 классе. В дальнейшем эти знания
расширяются: учащиеся знакомятся с такими вопросами, как доля единицы;
изображение дробей на координатном луче; правильные и неправильные дроби;
основное свойство дроби, которое позволяет сокращать дроби, приводить дроби к
одинаковому знаменателю или числителю, сравнивать дроби; представление
натурального числа в виде дроби.
С формирования понятия обыкновенной дроби
начинается работа с десятичными дробями. Это обусловлено тем, что изучение
десятичных дробей без предварительного ознакомления с обыкновенными дробями
вызывает различного рода трудности. Например, не зная, что такое половина
числа, учащиеся не могут представить десятую, сотую доли числа; десятичная
дробь не воспринимается учащимися как результат деления целого на равные части
и взятие нескольких таких частей. [18]
Введение понятия нового числа связывается
с происхождением этих чисел, с их возникновением. Необходимость введения
дробных чисел возникла при измерении величин. Но не только практика людей
вызывает к жизни новые числа, развитие самой математики также требует
расширения понятия числа.
В практике преподавания основным методом
изучения новых чисел, в частности дробных, являются пояснения, которые
опираются на знания, жизненный опыт учащихся.
Поясняющие описания не заменяют
определений, понятий, а лишь показывают целесообразность их введения.
Согласно программе и учебнику по
математики формирование понятия дроби начинается с умения получать доли при
делении какой-либо величины на несколько равных частей. Учащиеся должны уметь
называть и показывать доли отрезка, круга, прямоугольника и других предметов.
На базе целесообразно подобранных
упражнений, на основе жизненного опыта учащихся, что является мотивировкой
введения понятия дроби, дается описание нового числа. Далее приводятся примеры
обыкновенных дробей, и дается форма записи обыкновенной дроби.
Уделяется внимание в учебниках получению
дроби, возникновению дроби в связи с необходимостью более точного измерения и
деления натуральных чисел.
Большое значение в изучении дробей имеет
использование графического метода, в частности координатного луча. Ученики
выполняют ряд упражнений, с помощью которых формируются умения отмечать на луче
точку, соответствующую данной дроби, и, наоборот, называть дробь
соответствующую отмеченной на луче точке. Координатный луч широко используется
также для сравнения дробей и для изучения основного свойства дроби. Подобного
рода задания формируют умения сопоставлять числа и точки на координатном луче.
[18]
2.2
Сравнительный анализ методики формирования понятия дроби в учебниках математики
для 5-6 классов
Одной из целей обучения учащихся является
развитие навыков работы с книгой. Многие учащиеся с большим трудом могут
самостоятельно по книге изучать новый материал, это связано в первую очередь с
тем, что они по разным причинам не в состоянии отделить главное от
второстепенного. Тем не менее, самостоятельная работа учащегося с учебником
необходима. В соответствии с этим возникает необходимость написания учебников
на языке, доступном большинству учащихся данной возрастной категории.
В рамках нашей работы мы рассмотрели
подходы к формированию понятия дроби, которые используются в некоторых
учебниках федерального комплекта. Так же рассмотрели учебники, которые не
входят в федеральный комплект, но которым тоже стоит уделить определенное
внимание.
.2.1
А.П. Киселев «Арифметика»
Первый учебник по арифметике этого автора
вышел в 1884 году. [8] А в 1938 году он был утвержден в качестве учебника
арифметики для 5-6 классов средней школы. В свое время этот учебник считался
эталонным учебником арифметики. Но и в настоящее время из него можно много чего
почерпнуть учителям математики. В данном учебнике хорошо продуман
объяснительный текст и примеры, на которых разобран излагаемый материал. Но в
этом пособии отсутствуют задания для самостоятельной работы учащихся. Последнее
связано с тем, что в школах использовался комплект: учебник и сборник задач, в
котором были собраны задачи по темам учебника.
В учебнике перед введением понятия дроби
рассматриваются арифметические действия с натуральными числами, признаки
делимости натуральных чисел и разложение чисел на простые множители.
Непосредственно перед введением понятия дроби рассматриваются единицы измерения
величин и их взаимосвязь, что облегчает понимание понятия доли на начальном
этапе изучения. Прежде чем ввести понятие дроби, автор сначала рассматривает понятие
доли единицы - на примере долей различных единиц измерения. Так, например,
сантиметр - сотая часть метра, минута - шестидесятая доля часа. После этого
рассматривается понятие дробного числа: «одна доля или собрание нескольких
одинаковых долей единицы называется дробью».
Далее материал излагается в такой
последовательности: изображение дроби, получение дробных чисел при измерении,
получение дробных чисел при делении целого числа на равные части, равенство и
неравенство дробных чисел. Правильные и неправильные дроби, обращение целого
числа в неправильную дробь, обращение смешанного числа в неправильную дробь,
обращение неправильной дроби в смешанное число. Далее рассматриваются
арифметические действия с обыкновенными дробями. Рассмотрим подробнее основные
моменты.
Изображение дроби. В тексте учебника
дважды объясняется правило записи обыкновенной дроби: сначала «…пишут число,
показывающее, сколько долей содержится в дроби; под ним проводят черту; под
чертой ставят другое число, показывающее, на сколько равных долей разделена
единица, от которой взята дробь». Затем «число, стоящее над чертой, называют
числителем дроби; оно показывает число долей, из которых составлена дробь.
Число, стоящее под чертой, называется знаменателем дроби; оно показывает, на
сколько равных частей была разделена единица». На наш взгляд, такое повторение
целесообразно проводить, потому что ученики часто путаются как при назывании
членов дроби, так и при объяснении, что показывает каждый из этих членов. На
этом этапе у учеников формируется представлении о дроби как о совокупности
долей: взято столько-то частей из такого-то количества (долей единицы).
Получение дробных чисел при измерении
рассматривается с целью сформировать представление о том, что дробное число
также может получиться при измерении величин.
Необходимость рассматривать дробь как
результат деления целых чисел возникает при делении, например, «5 кг хлеба на 8
равных частей». Здесь достаточно подробно объясняется, как можно выполнить это
действие и делается вывод о том, что «всякую долю можно рассматривать не только
как собрание нескольких одинаковых долей единицы, но и как одну долю нескольких
целых единиц».
При рассмотрении условия равенства и
неравенства дробных чисел, автор учебника опирается на осознание учащимися
того, что дробное число можно представить как величину, например, длину
отрезка. Отметим, что лишь при объяснении сравнения дробей в учебнике
используются средства наглядности в виде рисунка, представленного ниже.
Основное свойство дроби рассматривается с
помощью моделирования, при котором изменяются числитель и (или) знаменатель.
Наряду с основным свойством дроби - увеличением (уменьшением) числителя и
знаменателя в одно и то же число раз, рассматриваются увеличение (уменьшение)
только числителя и увеличение (уменьшение) только знаменателя. Делаются выводы
о поведении величины в каждом случае. На наш взгляд это целесообразно проводить
с учащимися, поскольку это способствует развитию абстрактного мышления
учащихся, развивает способность анализировать ситуацию.
Десятичные дроби вводятся как доли,
получаемые при делении единицы на 10, 100, 1000 и вообще на такое число равных
частей, которое выражается единицей с одним или несколькими нулями. Десятичная
запись таких дробей базируется на том факте, что в цифровом изображении целого
числа из двух рядом стоящих цифр правая всегда означает единицы в 10 раз
меньшие, нежели левая. То есть и для дробей условились использовать такую же
запись. Для того чтобы разделить целую и дробную части, условились использовать
запятую. После рассмотрения нескольких примеров выводится правило перевода
обыкновенной дроби, имеющей знаменатель 10, 100 и т.д., в десятичную запись,
т.е. без знаменателя.
В учебнике представлено замечание
«приписывание нулей справа или слева десятичной дроби (написанной без
знаменателя) не изменяет её величины», которое, на наш взгляд имеет большое
значение при последующем изучении десятичных дробей, когда станет целесообразно
отбрасывать лишние нули или приписывать недостающие. Далее рассматривается
сравнение десятичных дробей и арифметические действия с десятичными дробями.
Правила сложения и вычитания десятичных
дробей основаны на том же правиле поразрядного выполнения действия, что и
правила сложения и вычитания натуральных чисел.
В данном учебнике отдельно рассматривается
связь между переносом запятой влево или вправо и изменением величины десятичной
дроби. То есть ученики одновременно учатся умножать и делить десятичную дробь
на 10, 100 и т.д., что особенно важно уметь делать при решении некоторых задач.
Основные достоинства учебника: Весь
материал учебника излагается чётко и небольшими порциями. Изучение каждого
нового понятия, закономерности или действие мотивируется необходимостью
применения его на практике или показывается практическая значимость введенного
понятия, свойства, закономерности. В учебнике большое количество замечаний и
выводов, которые позволяют находить более короткие пути решения некоторых
задач.
Недостатки: При большом объёме
объяснительного текста, практически отсутствует опора на наглядность. Ученикам
с недостаточно хорошо развитым уровнем абстрактного мышления может быть сложно
сформировать правильное представление о понятии дроби.
.2.2
«Математика», Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов
Данный учебник [12] в 1988 году получил
премию на Всесоюзном конкурсе учебников математики, идея построения материала в
этом учебнике отличалась от предыдущих учебников. Учебники для 5 и для 6 класса
имеют одинаковую структуру. Каждый из них состоит из двух глав, которые делятся
на параграфы, а параграфы - на пункты. Каждый пункт содержит небольшой
теоретический материал, который рассчитан на 2-4 урока, и систему упражнений,
как по теме, так и на повторение. Учебник 5 класса содержит большое количество
цветных иллюстраций, в отличие от него, учебник 6 класса оформлен более строго
- это готовит учащихся к учебникам для старших классов.
При введении понятия обыкновенной дроби
рассматривается задача о делении арбуза на равные части (доли). Определение
понятия дроби конструируется из формы записи дроби и названий и значений её
частей. Таким образом, понятие дроби вводится как совокупность нескольких
равных частей целого (предмета). В качестве целого можно взять единичный
отрезок - таким образом, мы получаем возможность отмечать дроби на координатном
луче. При этом формируется представление о том, что любой дроби можно поставить
в соответствие отрезок, имеющий соответствующую длину, то есть формируется
понятие дроби как числа, имеющего своё место на числовом луче. В учебнике
приведено достаточное количество упражнений, направленных на формирование
понятия дроби как части целого. Причем на начальном этапе большое внимание
уделяется наглядному представлению дроби, как части геометрической фигуры.
При объяснении сравнения дробей, дробь
рассматривается как часть целого и как часть единичного отрезка, что так же
способствует осознанию, что дробь не только часть, но и число на числовом луче.
Затем показано, что дробь это не только часть целого, дробное число может
получиться в результате деления двух чисел. Если деление нацело невозможно, то
частное представляет собой дробное число.
При изложении вышеперечисленных тем авторы
опираются на средства наглядности: большое количество иллюстраций, на которых
дроби рассматриваются как части фигур, какого-то предмета, часть единичного
отрезка. Это способствует осознанию того, что дробь от целого, это величина,
которая зависит от величины и формы целого.
После того как сформировано представление
о дроби как части целого, на примере «разделить поровну 5 одинаковых апельсинов
между тремя братьями» вводится понятие смешанного числа как суммы целого числа
(предмета) и дроби (части предмета).
Авторы учебника сначала рассматривают
сумму и разность правильных дробей. Сложение (вычитание) смешанных чисел
определяется через раздельное сложение (вычитание) целых и дробных частей.
Отметим, что в данном учебнике рассматриваются лишь действия с дробями,
имеющими одинаковые знаменатели.
Десятичные дроби вводятся как частный случай обыкновенных дробей:
«любое число, знаменатель которого выражается единицей с одним или несколькими
нулями, можно представить в виде десятичной записи, или, как иначе, в виде
десятичной дроби. Если дробь правильная, то перед запятой пишут цифру 0.
Например, вместо 
пишут 0,57 (читают: «0 целых 57 сотых»). Значит 57 см = м = 0,57 м. После запятой числитель дробной части должен иметь
столько же цифр, сколько нулей в знаменателе». При достаточно подробном
объяснении алгоритма перевода обыкновенной дроби в десятичную запись нет
обоснования такой формы записи. При объяснении алгоритма сравнения десятичных
дробей приводится правило «если в конце десятичной дроби приписать нуль или
отбросить нуль, то получится дробь, равная данной», обоснование справедливости
которого в учебнике отсутствует.
Основные достоинства учебника: При объяснении практически каждой
новой темы авторы опираются на жизненный опыт учащихся и на иллюстрации.
Показывается практическое применение каждого из вводимых понятий. В Учебнике
достаточное количество иллюстраций для формирования понятия дроби как части
целого и как результата деления натуральных чисел.
Недостатки: В учебнике многие правила и алгоритмы даны без
обоснования, что не позволит учащемуся до конца понять, почему нужно
действовать так, а не иначе. Например, при введении понятия десятичной дроби
нет обоснования предложенной формы записи.
.2.3
И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович «Математика»
Отличительная особенность этого учебника
[6] в том, что объяснительный материал дается через систему упражнений, в
результате выполнения которых ученики могут самостоятельно сформулировать
вывод.
Тема «Обыкновенные дроби» начинается
иначе, нежели в других учебниках математики. Сначала напоминается алгоритм
деления с остатком, его компоненты и свойство остатка. Как логическое
продолжение этой темы дробь вводится как результат деления натуральных чисел.
Рассматриваются несколько задач, которые и подводят к формулированию
определения обыкновенной дроби.
. Кусок проволоки длиной 1 м
разрезали на 2 равные части. Какова длина одной части?
Ответ в этой задаче 5 дм, потому что 1
(м):2=10 (дм):2=5 (дм).
. Кусок проволоки длиной 1 м
разрезали на 3 равные части. Какова длина одной части?
Авторы предлагают эту задачу решить тем же
способом, что и предыдущую: перейти к более мелким единицам измерения.
м=10 дм, 10:3=3 (1 ост);
м=100 см, 100:3=33 (1 ост);
м=1000 мм, 1000:3=333 (1 ост);
После чего автор делает вывод: «во всех случаях
получаем остатки, но ведь в условии задачи сказано, что проволоку разрезали, и ничего
не осталось».
«Как же можно записать результат такого деления? В русском языке
есть известное вам слово треть, которое используется, чтобы обозначить
результат деления целого на три равные части. Разрезав кусок на три равные
части, мы получили три куска, длиною в треть метра каждый. В математике треть
записывают в виде дроби: 
.»
После этого авторы говорят, как называются верхняя и нижняя часть
дроби. И в заключение для закрепления изученного материала предлагается
следующая задача:
3. Кусок проволоки длиной 2 м
разрезали на 3 равные части. Какова длина одной части?
После этого даётся вывод, который должны
были сделать сами учащиеся, ответив на вопросы: как можно записать частное от
деления натуральных чисел? каким компонентам деления соответствуют числитель и
знаменатель дроби?
После учащимся предлагается учебное задание пропедевтическое к
основному свойству дроби, выполняя которое ребята приходят к выводу, что
отрезки длиной 
м и 
м равны, а значит, равны и дроби и 
. Здесь авторы не называют это свойство,
но уточняют, что обязательно будут использовать его в дальнейшем при выполнении
арифметических действий с дробями.
После этого дробь рассматривается как одна или несколько равных
долей и обобщаются два способа получения дроби. В этом пункте учебника
приведены несколько заданий, в которых нужно указать, какая часть изображенной
фигуры закрашена, какая не закрашена.
Далее рассматриваются вопросы отыскания части от целого и целого
по его части. Рассматривается основное свойство дроби, с применением рисунков.
Основные достоинства учебника: При объяснении практически каждой
новой темы авторы опираются на жизненный опыт учащихся и на иллюстрации.
Показывается практическая необходимость введения многих понятий. В учебнике
достаточное количество иллюстраций для формирования понятия дроби как результата
деления натуральных чисел и как части целого. В объяснении в учебнике даются
полные обоснования, для чего необходимо рассматривать данный материал,
рассматривается большое количество упражнений. Некоторые задания сформулированы
так, что позволяют готовить учащихся к самостоятельным выводам.
Недостатки: Именно это можно считать недостатком, потому что
большие тексты сами по себе отталкивают учеников. Основная идея учебника -
развитие познавательной активности учащихся, однако полнота изложения полностью
удовлетворяет эту познавательную активность и лишает учеников стимулов к
самостоятельным размышлениям и поиску информации.
2.2.4
Э.Р. Нурк, А.Э. Тельгмаа «Математика»
В этом учебнике [21] перед введением
понятия дроби рассматриваются две задачи:
. посчитать количество учащихся в классе,
количество мальчиков и девочек - решение выражается натуральным числом;
. измерить ширину класса, используя
линейку 1 м - возможно решение не будет выражаться натуральным числом.
Понятие дроби вводится на простейших
примерах: одна вторая (половина), одна третья, одна четвертая - с этими словами
ученики уже сталкивались в жизни. Далее приводится форма записи дробного числа,
также даются названия и определения частей дроби. Так же рассказывается о том,
что дробные числа, так же как и натуральные можно изображать на числовом луче.
В учебнике ученикам предлагается
самостоятельно выполнить исследовательскую работу, результатом которой будет
вывод правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями. При определении
понятий правильной и неправильной дробей используются числовые примеры,
практически отсутствует наглядность, при изложении материала авторы единицу
рассматривают как отрезок длины 1. Сложение и вычитание дробей с равными
знаменателями тоже иллюстрируются на примере суммы или разности длин отрезков.
При введении понятия десятичной дроби
предлагается решить такую задачу: выразить 3 м 572 мм в метрах. В решении этого
задания даётся обоснование расположения десятичных знаков, проводится аналогия
с принципом записи натурального числа: «каждая последующая единица слева
направо в 10 раз меньше по сравнению с предыдущей». После разбора нескольких
примеров приводится алгоритм перевода обыкновенной дроби в десятичную, в
котором авторы обращают особое внимание учащихся на запись числителя
обыкновенной дроби. «Но - внимание! - он должен содержать столько знаков,
сколько нулей в знаменателе».
При рассмотрении правила сравнения
десятичных дробей, на примере показывается возможность отбрасывания или
приписывания нулей справа от десятичной дроби.
Основные достоинства учебника: При
объяснении практически каждой новой темы авторы в качестве наглядной схемы
используют числовой луч. Показывается практическая значимость каждого из
вводимых понятий. Практически все свойства и алгоритмы имеют обоснование или
выводятся из конкретных примеров.
Недостатки: Использование в качестве
наглядной схемы только числового луча позволяет рассматривать дробь лишь как
число или как длину отрезка. Но не формирует наглядное представление о дроби
как о части целого предмета, например апельсина. Это представление можно
сформировать лишь при решении задач, но т. к. в объяснительном тексте учебника
дробь не рассматривается как часть величины, то провести аналогию при решении
задачи невозможно.
.2.5
Н.Б. Истомина «Математика»
В основе учебника Н.Б. Истоминой [7] лежат
идеи развивающего обучения. Вместо объяснительных текстов, которые учащиеся,
как правило, не читают, присутствует диалог двух ребят Маши и Миши, позволяющий
активизировать мыслительную деятельность на уроках. Многие задачи в учебнике
решаются двумя способами в игровой форме. Нередко ученику предлагается
придумать свой способ решения.
Введение понятия дроби начинается с
рассмотрения дроби как части целого: «какую часть фигуры закрасили на
рисунке?». При этом на рисунке закрашена лишь одна из равных частей фигуры.
Далее вводится определение дроби следующим образом: «В математике принято для
обозначения частей использовать два натуральных числа, разделенных чертой: а/b. Такую запись называют
обыкновенной дробью. Число под чертой показывает, на сколько равных частей
разделили целое. Это число называют знаменателем дроби. Число над чертой
показывает, сколько таких частей взяли. Это число называют числителем дроби».
Само определение обыкновенной дроби в этом
учебнике устроено по сравнению с другими учебниками иначе: сначала определяется
знаменатель дроби, затем числитель (в других учебниках наоборот).
На этапе закрепления понятия дроби как
части целого рассматриваются несколько различных заданий, целью которых является
показать учащимся, что можно по-разному целое делить на равные части. Ко многим
заданиям даны подсказки или рекомендации по их выполнению. На наш взгляд это
сделано как с целью помощи слабым ученикам, которые могут испытывать
затруднения при решении, так и с целью показать всем учащимся алгоритм решения
различных видов задач. В рекомендациях по решению многих задач имеется схема, в
которой целое представляется в виде отрезка, который разбит на заданное
количество равных частей. Применение схем при решении задач усиливает
наглядность и облегчает их понимание.
Понятия правильных и неправильных дробей
так же вводится при помощи задачи.
«По какому признаку можно разбить дроби на три группы 
?».
Вывод алгоритмов перевода неправильной дроби в смешанное число и
смешанного числа в неправильную дробь осуществляется при помощи выполнения
серии заданий, в результате чего одновременно выводятся, запоминаются и
применяются эти алгоритмы.
Основные достоинства учебника: Изложение материала ведется в
игровой форме, где-то ставится задача и требуется её решить, где-то
представлены несколько решений, и нужно обосновать каждое из них. То есть
способ изложения материала в учебнике нацелен на развитие мышления учащихся. Ко
многим заданиям прилагаются поясняющие схемы, или краткие схемы условия, что
способствует выработке алгоритмов решения определенного типа задач.
Недостатки: Вся теоретическая информация распределена по всему
учебнику, а не записана отдельными блоками, что значительно увеличивает время
поиска нужных теоретических сведений в учебнике.
2.2.6
«Арифметика» С.М. Никольский, М.К. Потапов и др.
Все действия с обыкновенными дробями в учебниках этого
авторского коллектива изучаются в 5 классе. [1; 2] Этому в учебнике посвящена
глава «Обыкновенные дроби», ей предшествует тема «Делимость натуральных чисел».
При введении понятия дроби рассматриваются задачи, решая
которые приходится целое делить на несколько равных частей. Понятие дроби
вводится как одна или несколько равных долей целого. Здесь же вводится термин
«рациональное число». Наглядные геометрические модели автор практически не
использует, а использует известные учащимся единицы измерения веса, длины,
времени, в том числе квадратные и кубические единицы измерения длины.
Деление отрезка, длина которого равна единице,
последовательно на 2, 4, 8 частей, приводит к основному свойству дроби, которое
формулируется как в словесной, так и в буквенной форме. Здесь же авторы вводят
операцию сокращения дробей, при этом оговаривается, что при сокращении дроби
можно находить наибольший общий делитель числителя и знаменателя, при этом
задания формулируются несколькими способами: «сократите дробь», «укажите все
общие делители и НОД числителя и знаменателя дроби, сократите дробь»,
«определите, сократима ли дробь». Задания последнего типа формируют связь между
изученными алгоритмом нахождения НОД чисел и операцией сокращения дроби. Кроме
того, авторы уделяют внимание представлению натурального числа в виде дроби.
Далее рассматриваются задачи на нахождение части числа и
числа по его части. Эти задачи решаются в два приема:
) отыскание величины, которая приходится на одну долю;
) отыскание величины, которую надо найти в соответствии с
вопросом (требованием) задачи.
На конкретных примерах демонстрируется, как дроби с разными
знаменателями можно представить в виде дробей с одинаковыми знаменателями.
Авторы уточняют, что при приведении дробей к общему знаменателю лучше всего
приводить их к наименьшему общему знаменателю. На примере двух дробей
рассматриваются задания, направленные на формирование навыков приведения дробей
к заданному знаменателю, к знаменателю, равному произведению знаменателей и к
наименьшему общему знаменателю.
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями иллюстрируется с
помощью рисунка. Правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями
формируется на наглядно-интуитивной основе. Сравнение дробей с разными
знаменателями сводится к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями путем
приведения их к общему знаменателю.
Сравнение дробей с одинаковыми числителями в теоретической
части параграфа не рассматривается, но такие задания есть. Более того, авторы
предлагают задания на сравнение с единицей (№815), половиной (№816) и
дополнений до единицы (№817). Но эти задания отмечены как задания повышенной
трудности.
Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями вводится
на наглядно-интуитивной основе - сложение частей отрезка длины 1. Наряду со
словесной формулировкой правила дается его буквенная формулировка в виде
равенства:
.
Сложение дробей с разными знаменателями сводится к сложению
дробей с одинаковыми знаменателями путем приведения их к общему знаменателю.
Правило дается как в словесной, так и в буквенной формулировке:
.
Справедливость законов сложения для положительных рациональных
чисел обосновывается с опорой на их справедливость для натуральных чисел.
Тема вычитания дробей начинается с определения разности двух
дробей: «Разностью двух дробей называют дробь, которая в сумме с вычитаемым
дает уменьшаемое». Авторы оговаривают то, что пока будет рассматриваться только
случай, когда уменьшаемое больше вычитаемого. Но авторы уточняют, что в
дальнейшем будут введены отрицательные дроби, которые позволят находить
разность любых дробей.
Далее авторы формулируют утверждение: «Разность двух дробей с
общим знаменателем есть дробь с тем же знаменателем, числитель которой равен
разности числителей уменьшаемого и вычитаемого:
»,
доказательство этого утверждения основывается на определении
разности.
Правило умножения обыкновенных дробей дается без каких-либо
обоснований, авторы формулируют его как аксиому или как определение (при этом
авторы никак не характеризуют это утверждение - ни как аксиому, ни как
определение): «Произведение дробей есть дробь, числитель которой равен
произведению числителей, а знаменатель - произведению знаменателей этих дробей:
».
Из этого правила выводится правило умножения натурального
числа на дробь. Законы умножения формулируются позже, но в наборе заданий к
этому пункту имеются задания как на умножение натурального числа на дробь, так
и на умножение дроби на натуральное число. Здесь же вводятся понятия обратной
дроби и взаимно обратных чисел. Справедливость переместительного и
сочетательного законов умножения и распределительного закона для дробей
обосновывается с опорой на их справедливость для натуральных чисел.
При объяснении правила деления дробей авторы действуют так
же, как и в случае разности дробей. Вначале вводится определение - что называют
частным дробей: «Частным двух дробей называют дробь, которая при умножении на
делитель дает делимое». Затем дается формула, по которой можно найти частное
дробей:
.
Эта формула обосновывается с опорой на определение частного.
После этого дается словесная формулировка правила деления дроби на дробь.
Используя правило деления дроби на дробь и тот факт, что
любое натуральное число можно представить в виде дроби со знаменателем 1,
авторы показывают, что обыкновенную дробь можно получить как частное от деления
натуральных чисел, а черту дроби можно рассматривать как знак деления.
Только после этого выводится правило деления дроби на
натуральное число - как частный случай деления на дробь.
Поскольку к этому моменту учащиеся знакомы и с умножением и с
делением рациональных чисел, авторы имеют возможность обосновать правила
отыскания части целого и целого по его части умножением или делением на дробь,
соответствующую этой части.
Десятичные дроби изучаются в конце 6-го класса. К этому
моменту все действия с обыкновенными дробями уже изучены и повторены. Понятие
десятичной дроби и все операции над десятичными дробями сначала вводятся только
для положительных чисел.
Понятие десятичной дроби вводится так же, как и в учебнике И.И.
Зубаревой и А.Г. Мордковича, с точки зрения позиционной записи натурального
числа. Но здесь вся теория изложена автором, организация самостоятельной
деятельности учащихся автором не предусматривается. Система упражнений содержит
задания для представления десятичной дроби в виде обыкновенной и обратные
задания, причем некоторые задания сформулированы так: «Запишите в виде
десятичной дроби по образцу: 
». Справедливость поразрядного сложения и вычитания доказывается
при помощи перевода в обыкновенную дробь.
Далее авторы рассматривают перенос запятой вправо у десятичной
дроби и формулируют правило: «Чтобы десятичную дробь увеличить в 10, 100, 1000
и т.д. раз, т.е. умножить на 10, 100, 1000 и т.д., надо в записи дроби
перенести запятую вправо на 1, 2, 3 и т.д. цифры, приписав при необходимости
нули справа». На примере проверяется справедливость правила, если записать в
виде обыкновенной дроби. Аналогичным образом сформулировано правило для
переноса запятой влево.
Умножение десятичных дробей обосновывается изменением произведения
в зависимости от изменения сомножителей. Так же на примере проверяется справедливость
умножения «в столбик» по правилам умножения обыкновенных дробей.
Вычисление частного двух десятичных дробей связывается с
вычислением частного двух равных им обыкновенных дробей. После чего на примерах
иллюстрируется правило деления десятичных дробей «уголком».
Основные достоинства учебника: изучение
алгоритмов действий с обыкновенными и десятичными дробями осуществляется
последовательно и систематично. Необходимость введения понятия дроби
связывается с жизненными потребностями. Хорошо показываются взаимосвязи между
различными понятиями. Различные понятия и их свойства в учебнике
рассматриваются достаточно строго, что характерно для математической науки.
Недостатки: В некоторых местах изложение
материала кажется чересчур строгим математически для младшего школьного
возраста. Практически отсутствует опора на наглядность.
Заключение
Учителю необходимо владеть различными способами введения
дроби и рационального числа, знать правила выполнения действий над
рациональными числами, свойства этих действий не только для того, чтобы
математически грамотно ввести понятие дроби и обучать школьников выполнять
действия, но и, что не менее важно, видеть взаимосвязи множества рациональных с
множеством натуральных чисел, без понимания которых нельзя решить проблему преемственности
в обучении математики в начальных и последующих классах школы.
Осваивая понятие «обыкновенная дробь», ученик должен
поупражняться в подсчете числа равных долей, на которые разделено целое, и
числа взятых долей.
Дроби есть числа, поэтому уже на перовом этапе нужно дать
ученику возможность сравнивать, пользуясь только наглядностью, полученные дроби
с целыми числами, например с 1, и дробь с дробью.
С введением разнообразных заданий, опирающихся на
формирование дроби как рационального числа, сравнительной работы при решении
задач на нахождение дроби от числа и числа по его дроби, опираясь на смысл
понятия дроби, подбором заданий творческого характера повысится активность,
заинтересованность учащихся, качество работ, что позволит надёжно и прочно сформировать
понятие дроби в 5-6 классах.
В результате разработки темы нашей дипломной работы:
«Формирование понятия дроби в 5-6 классах» все задачи, сформулированные в
начале работы, выполнены. Поставленная цель - разработать методические
рекомендации и систему задач, направленные на формирование понятия дроби в 5-6
классах - достигнута.
Отметим, что предложенные методические рекомендации, задачи и
упражнения для действительно хорошего усвоения сложного понятия - дроби -
являются одними из возможных способов достижения прочных знаний по выбранной
теме. Предложенные упражнения и задачи можно дополнять более сложными или,
наоборот, более простыми. То есть методические рекомендации будут окончательно
выработаны учителем при работе с конкретным классом, учениками.
Библиография
1. Арифметика
[Текст]: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К.
Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2000. -
255 с.: ил.
2. Арифметика
[Текст]: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. Учреждений
/ С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - 2-е изд. -
М.: Просвещение, 2001. - 270 с.: ил.
3. Арифметика. Задания для учащихся 6 класса [Текст] / Л.В.
Кузнецова, С.С. Минаева, С.Б. Суворова, А.В. Шевкин. - М.: Галс Плюс, 1994. -
126 с.: ил.
4. Волков,
Б.С. Психология подростка [Текст]: Учебное пособие. / Б.С. Волков. - М.:
Академический проект; Гаудемус, 2005. - 208 с.
5. Жохов,
В.И. Преподавание математики в 5 и 6 классах [Текст]: По учебникам: Математика
/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд: Методические
рекомендации для учителя / В.И. Жохов. - 3-е изд. - М.: Мнемозина, 2001. - 156
с.: ил.
7. Истомина,
Н.Б. Математика. 5 кл. [Текст]: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Н.Б.
Истомина. - Смоленск: Ассоц. XXI век, 2001. - 240 с.
8. Киселев,
А.П. Арифметика [Текст] / А.П. Киселев. - М.: Физматлит, 2002. - 168 с.
. Кузичева,
З.А. Практические занятия по истории математики [Текст]: Учебно-методическое
пособие для студентов математического факультета / З.А. Кузичева. - М.: МГПУ,
2004. - 51 с.
10. Лебег
А. Об измерении величин. Пер. с франц. с предисловием А.Н. Колмогорова.
[Электронный документ] / А. Лебег. - (http://publ.lib.ru/ARCHIVES/L/LEBEG_Anri_Leon/_Lebeg_A._L..html).
20.05.10
11. Макарова,
Л.С. Использование визуальных задач на начальном этапе изучения обыкновенных
дробей и процентов в 5-6 классах [Текст]: Выпускная квалификационная работа ГОУ
ВПО МГПУ; науч. рук. Кирюшкина О.В. / Л.С. Макарова. - М., 2007. - 137
с. - Библиогр.: С. 135-137.
12. Математика
[Текст]: Учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 2 (Дробные числа)
/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков и др. - М.: Мнемозина, 2006. - 157
с.: ил.
. Математика
[Текст]: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений. В 2 ч. Ч. 1 (Обыкновенные
дроби) / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков и др. - М.: Мнемозина, 2006.
- 153 с.: ил.
14. Менчинская,
Н.А. Очерки психологии обучения арифметике [Текст] / Н.А. Менчинская. - 2-е
изд., перераб. - М.: Гос. учеб.-пед. изд-во м-ва просвещения РСФСР. - 1950. -
120 с.
. Меркулова,
А.М. Управление поисково-эвристической деятельностью учащихся на уроках
математики в 5-6 [Текст]: Выпускная квалификационная работа ГОУ ВПО МГПУ; науч.
рук. Зубарева И.И. / А.М. Меркулова. - М., 2005. - 77 с. - Библиогр.:
С. 76-77.
16. Методика
и технология обучения математике. Курс лекций [Текст]: пособие для вузов / Н.Л.
Стефанова, Н.С. Подходова, В.В. Орлов и др; под ред. Н.Л. Стефановой, Н.С.
Подходовой. - М.: Дрофа, 2005. - 416 с.: ил.
. Методика
преподавания математике в средней школе: Общая методика [Текст]: Учеб. пособие
для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов
/ В.А. Оганесян, Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканин и др. - М.: Просвещение, 1975 -462
с.: ил.
18. Методика
преподавания математики в средней школе [Текст]: Частная методика: учеб.
пособие для студентов пед. ин-тов по физ-мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев,
Г.В. Дорофеев и др; под ред. В.И. Мишина. - М.: Просвещение, 2005. - 416 с.:
ил.
. Мехтизаде,
З.М. Психологический анализ основных трудностей в усвоении учащимися V класса раздела о
делимости чисел и операций с дробями [Текст] / З.М. Мехтизаде // Вопросы
психологии обучения арифметики. Труды института психологии / Под ред. Н.А.
Менчинской. - М.: Известия АПН РСФСР, 1955. - Вып. 71. - С. 113-148.
20. Мухина,
В.С. Возрастная психология [Текст]: Учеб. для вузов / В.С. Мухина. - М.:
Академия, 1997. - 456 с.
21. Нурк,
Э.Р. Математика. 5 кл. [Текст]: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Э.Р.
Нурк, А.Э. Тельгмаа. - 4-е изд. - М.: Дрофа, 1999. - 304 с.: ил.
. Пчелко,
А.С. Методика преподавания арифметики в начальной школе [Текст] / А.С. Пчелко.
- 2-е изд. - М., 1947. - 432 с.
23. Рыбников,
К.А. История математики [Текст]: Учебник / К.А. Рыбников. - М.: Изд-во МГУ,
1994. - 496 с.
24. Саранцев,
Г.И. Методика обучения математике в средней школе [Текст]: Учеб пособие для
студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов / Г.И. Саранцев. - М.: Просвещение,
2002. - 224 с.: ил.
25. Талызина,
Н.Ф. Педагогическая психология [Текст]: Учеб. для студ. сред. пед. учеб.
заведений. - 3-е изд., стереотип. - М.: Академия, 2003. - 288 с.
. Токмакова,
М.Р. Реализация принципов психологической теории деятельности при изучении
обыкновенных и десятичных дробей в 5-6 классах [Электронный ресурс]: Выпускная
квалификационная работа ГОУ ВПО МГПУ; науч. рук. Рязановский А.Р. / М.Р.
Токмакова. - М., 2009. - 77 с. - Библиогр.: С. 72-76.
27. Фридман, Л.М. Теоретические основы методики обучения
математике школе [Текст]: пособие для учителей, методистов и педагогических
высших учебных заведений / Л.М. Фридман. - М.: Моск. Псих.-соц. ин-т: Флинта,
1998. - 224 с.
28. Чекмарев,
Я.Ф. Методика преподавания математики в 5-6 классах восьмилетней школы [Текст]
/ Я.Ф. Чекмарев. - М.: Учпедгиз, 1962. - 412 с.
29. Шохор-Троцкий,
С.И. Методика арифметики [Текст]: Пособие для учителей средней школы / С.И.
Шохор-Троцкий; Под ред. Синакевича. - 5-е изд., перераб. - М.; Л.: Гос. учеб.
пед. изд-во, 1935. - 344 с.
. Энциклопедия
для детей. В …т. [Текст] / глав. ред. М.Д. Аксёнова. - М.: Аванта+, 2002.-Т.
11. Математика. - 688 с.: ил.