Расчет коэффициента эластичности и показателей корреляции и детерминации

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ульяновская государственная сельскохозяйственная академия

Кафедра «Статистика и анализ хозяйственной деятельности»

Контрольная работа

по Эконометрики

Выполнил: студент 2 курса

заочного отделения «Экономического факультета»

по специальности «Финансы и кредит»

с сокращенным сроком обучения

Антонов Леонид Владимирович

Ульяновск, 2009

Задача 1

По территориям Волго-Вятского, Центрально–Черноземного и Поволжского районов известны данные о потребительских расходах в расчете на душу населения, о средней заработной плате и выплатах социального характера (табл. 1).

Таблица 1

Задание:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной парной регрессии.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи факторов с результатом.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

6. Оцените с помощью F- критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп.4,5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 7 % от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости, а = 0,05.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Решение:

1. Постройте поле корреляции и сформулируйте гипотезу о форме связи.

2. Рассчитайте параметры уравнений линейной парной регрессии.

;

.

Получено уравнение регрессии: .

С увеличением средняя заработная плата и выплаты социального характера на 1 руб., то потребительские расходы в расчете на душу населения возрастает в среднем на 0,33 руб.

3. Оцените тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

Тесноту связи оценивают с помощью показателей корреляции и детерминации:

.

Коэффициент детерминации

Это означает, что 69% вариации потребительские расходы в расчете на душу населения объясняется вариацией факторов средняя заработная плата и выплаты социального характера.

4. Дайте с помощью среднего (общего) коэффициента эластичности сравнительную оценку силы связи факторов с результатом.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов измениться в среднем результат, если фактор изменится на 1%. Формула для расчета коэффициента эластичности имеет вид:

.

Таким образом, изменение средней заработной платы и выплат социального характера на 1 % приведет к увеличению потребительских расходов в расчете на душу населения на 0,615 %.

5. Оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество уравнений.

Качество уравнений оцените с помощью средней ошибки аппроксимации:

  = 20,7%

Качество построенной модели оценивается как плохое, так как превышает 8 – 10 %.

6. Оцените с помощью F- критерия Фишера статистическую надежность результатов регрессионного моделирования. По значениям характеристик, рассчитанных в пп.4,5 и данном пункте, выберите лучшее уравнение регрессии и дайте его обоснование.

Оценим качество уравнения регрессии в целом с помощью -критерия Фишера. Сосчитаем фактическое значение - критерия:

.

Табличное значение (k₁=1, k₂=8 ) F_табл.=5,32. Так как , то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитаем - критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Рассчитаем случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции

 :

,

,

.

Фактические значения - статистик:

.

Табличное значение - критерия Стьюдента при  и t_табл.=2,306. Так как , t_a < t_табл. и .

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии  и :  и . Получим, что и .

7. Рассчитайте прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 7 % от его среднего уровня. Определите доверительный интервал прогноза для уровня значимости, а = 0,05.

Найдем прогнозное значение результативного фактора  при значении признака-фактора, составляющем 107% от среднего уровня , т.е. найдем потребительские расходы в расчете на душу населения, если средняя заработная плата и выплаты социального характера составят 953,15 тыс. руб.

 (тыс. руб.)

Значит, если средняя заработная плата и выплаты социального характера составят 953,15 тыс. руб., то потребительские расходы в расчете на душу населения будут 498,58 тыс. руб.

Найдем доверительный интервал прогноза. Ошибка прогноза

,

а доверительный интервал ():

.

Т.е. прогноз является статистически не точным.

8. Оцените полученные результаты, выводы оформите в аналитической записке.

Из полученных результатов я вижу, что с увеличением средняя заработная плата и выплаты социального характера на 1 руб., то потребительские расходы в расчете на душу населения возрастает в среднем на 0,33 руб. При оценки тесноты связи с помощью показателя детерминации я выявил, что 69% вариации потребительские расходы в расчете на душу населения объясняется вариацией факторов средняя заработная плата и выплаты социального характера. С помощью коэффициент эластичности я определил, что изменение средней заработной платы и выплат социального характера на 1 % приведет к увеличению потребительских расходов в расчете на душу населения на 0,615 %. С увеличится на 7 % заработной платы и выплаты социального характера, потребительские расходы в расчете на душу населения будут равны 498,58 тыс. руб., но этот прогноз является статистически не точным.

Задача 8

По группе 10 заводов, производящих однородную продукцию, получено уравнение регрессии себестоимости единицы продукции у (тыс. руб.) от уровня технической оснащенности х (тыс. руб.):

у = 20 + . Доля остаточной дисперсии в общей составила 0,19

Задание:

Определите:

а) коэффициент эластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондов составляет 200 тыс. руб.

б) индекс корреляции;

в) F- критерий Фишера. Сделайте выводы.

Решение:

а) коэффициент эластичности, предполагая, что стоимость активных производственных фондов составляет 200 тыс. руб.

х = 200 тыс. руб.

.

Таким образом, изменение технической оснащенности на 1% приведет к снижению себестоимости единицы продукции на 0,149 %.

б) индекс корреляции:

Уравнение регрессии:

  = 23,5/10 = 2,35

Это означает, что 99,6 % вариации себестоимости единицы продукции объясняется вариацией уровня технической оснащенности на долю прочих факторов приходится лишь 0,40%.

в) F- критерий Фишера. Сделайте выводы.

F_табл. = 4,46

F_табл. < F_факт; Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.

Задача 13

По заводам, выпускающим продукцию А, изучается зависимость потребления электроэнергии У (тыс. кВт. Ч) от производства продукции - Х₁ (тыс.ед.) и уровня механизации труда – Х₂ (%). Данные приведены в табл.4.2.

Задание

1. Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабах.

2. Определите показатели частной и множественной корреляции.

3.Найдите частные коэффициенты эластичности и сравните их с Бэтта коэффициентами.

4. Рассчитайте общие и частные F – критерии Фишера.

Решение:

1. Постройте уравнение множественной регрессии в стандартизованном и натуральном масштабах.

Линейное уравнение множественной регрессии у от х₁ и х₂ имеет вид:

.

Для расчета его параметров применим метод стандартизации переменных, построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе:

Расчет - коэффициентов выполним по формулам:

Т.е. уравнение будет выглядеть следующим образом:

.

Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем b₁ и b₂, используя формулы для перехода от к b.

Значение a определим из соотношения:

2. Определите показатели частной и множественной корреляции.

Линейные коэффициенты частной корреляции здесь рассчитываются по рекуррентной формуле:

Если сравнить значения коэффициентов парной и частной корреляции, то приходим к выводу, что из-за слабой межфакторной связи (r_x1x2=0,39) коэффициенты парной и частной корреляции отличаются значительно.

Растет линейного коэффициента множественной корреляции выполним с использованием коэффициентов и :

Зависимость у от х₁ и х₂ характеризуется как тесная, в которой 63 % вариации потребления электроэнергии определяется вариацией учетных в модели факторов: производства продукции и уровня механизации труда. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 37 % от общей вариации y.

3.Найдите частные коэффициенты эластичности и сравните их с Бэтта коэффициентами.

Для характеристики относительной силы влияния х₁ и х₂ на y рассчитаем средние коэффициенты эластичности:

С увеличением производства продукции на 1 % от его среднего потребления электроэнергии возрастает на 0,29 % от своего среднего уровня; при повышении среднего уровня механизации труда на 1 % среднее потребления электроэнергии увеличивается на 0,006% от своего среднего уровня. Очевидно, что сила влияния производства продукции на среднее потребление электроэнергии оказалась больше, чем сила влияния среднего уровня механизации труда.

4. Рассчитайте общие и частные F – критерии Фишера.

Общий F-критерий проверяет гипотезу H₀ о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи (R² = 0):

F_табл. = 9,55

Сравнивая F_табл. и F_факт., приходим к выводу о необходимости не отклонять гипотезу H₀ и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Частные F-критерий – F_х1. и F_х2 оценивают статистическую значимость присутствия факторов х₁ и х₂ в уравнении множественной регрессии, оценивают целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого фактора, т.е. F_х1 оценивает целесообразность включения в уравнение фактора х₁ после того, как в него был включен фактор х₂. Соответственно F_х2 указывает на целесообразность включения в модель фактора х₂ после фактора х_1.

Низкое значение F_х2 (меньше 1) свидетельствует о статистической незначимости прироста r²_yx1 за счет включения в модель фактора х₂ после фактора х_{1. следовательно,} подтверждается нулевая гипотеза H₀ о нецелесообразности включения в модель фактора х_2.

Задача 21

Модель денежного и товарного рынков:

R_t = a₁ + b₁₂Y_t + b₁₄M_t + e₁, (функция денежного рынка);

Y_t = a₂ + b₂₁R_t + b₂₃I_t + b₂₅G_t + e₂ ( функция товарного рынка);

I_t = a₃ + b₃₁R_t + e₃ (функция инвестиций),

где R - процентные ставки;

Y - реальный ВВП;

M - денежная масса;

I - внутренние инвестиции;

G - реальные государственные расходы.

Решение:

 R_t = a₁ + b₁₂Y_t + b₁₄M_t + e₁,

 Y_t = a₂ + b₂₁R_t + b₂₃I_t + b₂₅G_t + e₂

 I_t = a₃ + b₃₁R_t + e₃

 С_t = Y_t + I_t + G_t

Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает четыре эндогенные переменные (R_t, Y_t, I_t, С_t) и две предопределенные переменные ( и ).

Проверим необходимое условие идентификации для каждого из уравнений модели.

Первое уравнение:

R_t = a₁ + b₁₂Y_t + b₁₄M_t + e₁.

Это уравнение содержит две эндогенные переменные  и  и одну предопределенную переменную . Таким образом,

,

т.е. выполняется условие . Уравнение сверхидентифицируемо.

Y_t = a₂ + b₂₁R_t + b₂₃I_t + b₂₅G_t + e₂.

Оно включает три эндогенные переменные Y_t, I_t и R_t и одну предопределенную переменную G_t. Выполняется условие

.

Уравнение идентифицируемо.

Третье уравнение:

I_t = a₃ + b₃₁R_t + e₃.

Оно включает две эндогенные переменные I_t и R_t. Выполняется условие

.

Уравнение идентифицируемо.

Четвертое уравнение:

С_t = Y_t + I_t + G_t.

Оно представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в идентификации нет.

Проверим для каждого уравнения достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели.

В соответствии с достаточным условием идентификации ранг матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, должен быть равен числу эндогенных переменных модели без одного.

Первое уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы не равен нулю:

.

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Второе уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы не равен нулю:

.

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Третье уравнение. Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Ранг данной матрицы равен трем, так как определитель квадратной подматрицы  не равен нулю:

Достаточное условие идентификации для данного уравнения выполняется.

Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицируемы. Приведенная форма модели в общем виде будет выглядеть следующим образом:

R_t = a₁ + b₁₁Y_t + b₁₃M_t + b₁₅G_t + b₁₆G_t + u₁

Y_t = a₂ + b₂₁R_t + b₂₃I_t + b₂₅G_t + b₂₆G_t + u ₂

I_t = a₃ + b₃₁R_t + b₃₃I_t + b₃₅G_t + b₃₆G_t + u ₃

С_t = a₄ + b₄₁R_t + b₄₃I_t + b₄₅G_t + b₄₆G_t + u ₄

Задача 26

Имеются данные об урожайности культур в хозяйствах области:

Задание:

1. Обоснуйте выбор типа уравнения тренда.

2. Рассчитайте параметры уравнения тренда.

3.Дайте прогноз урожайности культур на следующий год.

Решение:

1. Обоснуйте выбор типа уравнения тренда.

Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравнивание временного ряда. Для этого применяют следующие функции:

Ø   линейная

Ø   гипербола

Ø   экспонента

Ø   степенная функция

Ø   парабола второго и более высоких порядков

Параметры трендов определяются обычными МНК, в качестве независимой переменной выступает время t=1,2,…,n, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда y_t. Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации .

Сравним значения R² по разным уровням трендов:

Полиномиальный 6-й степени - R² = 0,994

Экспоненциальный - R² = 0,975

Линейный - R² = 0,970

Степенной - R² = 0,864

Логарифмический - R² = 0,829

Исходный данные лучше всего описывает полином 6-й степени. Следовательно, для расчета прогнозных значений следует использовать полиномиальное уравнение.

2. Рассчитайте параметры уравнения тренда.

y = - 0,012*531441 + 0,292*59049 – 2,573*6561 +10,34*729 – 17,17*81 + 9,936*9 + 62,25 =

= - 6377,292 + 17242,308 – 16881,453 + 7537,86 - 1390,77 + 89,424 + 62,25 = 282,327

3.Дайте прогноз урожайности культур на следующий год.

Урожайность картофеля, ц/га в 9-ом году приблизительно будет 282 ц/га.