Статистические наблюдения по валовому региональному продукту автономных образований России

Решение

1. Количество групп равно 1+ 3,322lg30 = 1 + 3,322 х 1,48 = 4,4

Принимаем число групп =5

Величина интервала равна (356139 – 2030,7) / 5 = 70821,7

Сгруппируем предприятия по размеру Валового регионального продукта (ВРП) в группы с интервалами 2030,7–72852,4; 72852,4–143674,1; 143674,1–214495,8; 214495,8–285317,5; 285317,5–356139.

2. Расчеты по каждой группе произведем в таблицах 3–5

Показатели по группам

Таблица 3. Группа №1

Таблица 4. Группа №2

Таблица 5. Группа №5

В основном, все регионы находятся в 1-й группе, но наибольшее количество ВРП производится в регионах, относящихся ко 2-й группе. Тем не менее, Хантымансийский а.о., при стоимости 1/5 основных фондов и удельном весе численности населения 5,6%, произвел валового регионального продукта в размере 25,2% от выборки.

Сводные данные приведем в таблице 6.

Таблица 6. Сводная группировка

3. Зависимость валового регионального продукта от стоимости основных фондов – прямо пропорциональна, от численности занятого населения – обратно пропорциональна и зависит от природных богатств региона.

4. Полученная группировка нестандартна, так как отсутствуют 3,4 группы, но тем не менее, основное количество объектов исследования находится в 1-й группе, максимальные общие показатели находятся во 2-й группе, но при этом 5-я группа, несмотря на единственный объект, является лидером по всем показателям.

Задание №3

1. Определим нижнюю и верхнюю интервальные границы для каждой группы и составим рабочую таблицу, куда сведем первичный статистический материал:

Таблица 7. Рабочая таблица

Средняя арифметическая взвешенная:

Хср = 1031463,4 / 30 = 34382,1

Для определения показателей вариации вариационного ряда составим промежуточную таблицу на основе группировочной таблицы.

Таблица 8. Промежуточная таблица

Размах вариации:

R =Xmax – Xmin=356139 – 2030,7 = 354108,3

Среднее линейное отклонение (взвешенное):

L =Σ (Х-Хср) F / n = 800000,4/30 = 266666,8 млн. руб.

Среднее квадратическое отклонение:

δ = √3831998298,68 = 61903,14

Дисперсия:

δ² = 114959948960,66 / 30 = 3831998298,68

2. При построении гистограммы на оси абсцисс откладываются отрезки, соответствующие величине интервалов ряда. На отрезках строятся прямоугольники, площадь которых пропорциональна частотам интервала.

Вывод. По полученным графикам можно констатировать, что от группы к группе количество обследуемых объектов уменьшалось, при этом произошел разрыв между 2-й и 5-й группами, что подтверждается графиками гистограммы и полигона распределения. График куммуляты показывает, что от группы к группе нарастающим итогом происходило увеличение ВРП.

Средняя величина ВРП равна средней арифметической простой:

Хср = ∑Х / n = 1414644,7 / 30 = 47154,82

Коэффициент вариации V = 61903,14 / 34382,1 = 1,80

Модальным интервалом является интервал с наибольшей частотой. Моду в интервальном ряду находим по формуле

Мо = Хмо + I (Fmo – F_-1) / ((Fmo – F_-1) + (Fmo – F₊₁)), где

Хмо – начало модального интервала

Fmo – частота, соответствующая модальному интервалу

F_-1 и F₊₁ – предмодальная и послемодальная частота

Мо = 2030,7 + 70821,7*(23–0) / ((23–0) +(23–6)) = 42753,18

Медианой называется вариант, который находится в середине вариационного ряда. В нашем случае это 15-й регион по порядку возрастания ВРП, т.е.

Ме=15462,2 млн. руб.

Квартили Q – значения признака в ряду распределения, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q1, 25% единиц будут заключены межу Q1 и Q2, 25% – между Q2 и Q3, и остальные 25% превосходят Q3.

Q₁= X_Q1 + h ((n+1)/4 – S_-1) / f_Q1, где

S_-1 – сумма накопленных частот интервалов, предшествующих интервалу, в котором находится первая квартиль;

f_Q1 – частота интервала, в котором находится первая квартиль

Q1 =2030,7+70821,7 * (31/4–0)/ 23 = 25894,5

Q2 = 2030,7+70821,7*(31/2–0)/23 = 49758,4

Q3 = 72852,4+70821,7*(31*0,75–23)/23=144443,9

4. Проверим гипотезу о законе распределения с помощью критерия согласия Пирсона χ².

Рассчитаем теоретические частоты попадания количества регионов в соответствующие группы. Х1 и Х2 – соответственно нижние и верхние границы интервалов. Т1 и Т2 – нормированные отклонения для нижней и верхней границ интервала. F1 и F2 – значения интегральной функции Лапласа для Т1 и Т2 – определяем по таблицам Лапласа. Оценка попадания случайной величины Р определяется как разница F(T1) – F(T2). Теоретическая частота f' = Р х 30. Составим таблицу 9.

Таблица 9. Расчет теоретических частот

Проверка показывает, что расчеты сделаны правильно, так как равен итог фактических и теоретических частот.

Рассчитаем значение χ² = ∑ (f – f')² / f', произведя расчеты в таблице

Оставляем 2 группы, объединив 1,2 в 1-ю группу, 3–7 во 2-ю группу. Результаты заносим в таблицу 10.

Таблица 10. Расчет фактического значения по критерию Пирсона

Табличное значение критерия Пирсона при числе степеней свободы 1 и вероятности 0,99 составляет 1,64. Расчетное значение χ² меньше табличного, поэтому гипотеза о близости эмпирического распределения к нормальному не отвергается.

Задание №4

1. По таблице случайных чисел определим порядковые номера и вид выборки. В выборочную совокупность войдут регионы по двум последним цифрам из 30 первых чисел подряд. Получаем:

12; 20; 22; 20; 24; 12.

Объем выборки – 6 единиц.

Получаем случайную повторную выборку. Величина ВРП:

13043,6; 13043,6; 37501,6; 37501,6; 50914,3; 85889,1.

Составим таблицу 11.

Таблица 11. Выборочная совокупность случайных величин

2. Средняя величина по выборочной совокупности

Хср = (13043,6х2+37501,6х2+50914,3+85889,1) / 6 = 39649,0

S² =[(13043,6–39649) ² х2 + (37501,6–39649) ² х2 + (50914,3–39649)² +(85889,1–39649)²] / 6 = 614995184

Среднее отклонение от средней в выборке S =√614995184 = ±24799,1

Средняя ошибка выборки σ_х = ±24799,1 / √6 = ±10126,2

Предельная ошибка выборки (с вероятностью 0,95 по таблице распределения Лапласа) ∆σ_х = 1,96 х 10126,2 = ±19847,4

Генеральная средняя находится в пределах:

39649–19847,4 = 19801,6

39649+19847,4 = 59496,4

Это соответствует расчетам средней арифметической простой 47154,82 и средней арифметической взвешенной 34382,1.

Задание №5

1. Примем стоимость ОПФ за факторный признак Х, Валовой региональный продукт ВРП за результативный Y.

Построим корреляционную таблицу 12

Таблица 12. Корреляционная таблица расчетов средней стоимости ОПФ и ВРП

Увеличение средних значений результативного признака с увеличением значений факторного признака свидетельствует о возможном наличии прямой корреляционной связи.

Используя данные индивидуальных значений построим график «поля корреляции».

3. По сгруппированным данным построим уравнение регрессии

На поле корреляции появилась линия, которая по форме ближе всего к прямой. Поэтому предполагаем наличие прямолинейной связи, которая выражается уравнением Yср = а₀ + а₁ Х., где Х – стоимость ОПФ, Y – валовой региональный продукт. Используя метод наименьших квадратов, определим параметры уравнения, для этого решим систему нормальных уравнений

Рассчитаем значения и данные занесем в таблицу 13.

Таблица 13. Предварительный расчет

n = 3 (количество групп)

Система уравнений примет вид

a₀ n + a₁ ∑X = ∑Y

a₀ ∑X + a₁ ∑X² = ∑XY

или

3a₀+ 859760a₁ = 485623

859760a₀+ 438771407022a₁ = 246592773126

Разделим каждый член обоих уравнений на коэффициенты при a₀

или

a₀+ 286586,7a₁ = 161874,3

a₀+ 510341,7a₁ = 286815,8

Определим a₁ вычитанием уравнений из друг друга

-223755а₁ = -124941,5

a₁ =0,558385

a₀ = 161874,3 -286586,7 х0,558385 = 1848,5

Y = 1848,5 + 0,558385 Х

Подставим в формулу средние фактические значения Х:

Y.₁ = 1848,5 + 0,558385 х 67561 =39573,5

Y₂ = 1848,5 + 0,558385х150725=86011,1

Y₃ = 1848,5 + 0,558385х641474 = 360038,0

Нанесем полученные теоретические значения ВРП на график в п. 2

Между признаками прямая корреляционная взаимосвязь.

4. Рассчитаем линейный коэффициент корреляции

r = (3х246592773126 – 859760 х 485623) / √ (3х438771407022–859760²) (3 х 139860087107 – 485623²⁾ = (739778319378 – 417519230480) /

√ (1316314221066 – 739187257600) (419580261321 – 235829698129) = 0,9896

Критическое значение для первого уровня значимости при ά=0,05 равно 0,9969. Значит по критерию Фишера коэффициент корреляции не может считаться существенным.

5. Для малого объема выборочной совокупности используется тот факт, что^.

t_расч = r√n-2 / √ (1-r²⁾ = 0.9896 / √ (1–0.9896²⁾ = 6,880

В таблице значений ά – процентных пределов t _ά,к в зависимости от к степеней свободы и заданного уровня значимости ά для распределения Стьюдента при уровне значимости 1 величина ά при t = 6,314 составляет 10%. Это значит, что с вероятностью 90% можно считать, что существует прямая зависимость между изучаемыми признаками.

6. С вероятностью не более 90% можно сказать, что между стоимостью ОПФ и валовым региональным продуктом существует прямая зависимость.

Задание №6

1. Результативный признак – объем валового регионального продукта (ВРП).

Факторные признаки:

– численность занятого населения;

– стоимость основных фондов (ОФ)

Важность факторов с экономической точки зрения и последовательность их включения в уравнение регрессии определим:

1) Стоимость основных фондов

2) Численность занятого населения

2. Характер связей определим по коэффициентам Фехнера. Средняя по ОФ Х= 103324,2 млн. руб. Средняя по ВР Y = 47154,8 млн. руб.

Таблица 14. Зависимость ВРП от ОФ:

В нашем случае коэффициент Фехнера не имеет практической ценности, т. к. совпадение в 23 случаях, несовпадение в 7 случаях,

К_ф = (23–7) / (23+7) = 0,533

Рассчитаем зависимость ВРП от численности занятого населения.

Примем за Х численность занятого населения.

Средняя численность составляет X = 10545,9 / 30 = 351,53 тыс. чел.

Y= 47154,8

Таблица 15. Зависимость ВРП от средней численности занятого населения

Итог показывает, что совпадений 17, несовпадений – 13.

К_ф = (17–13) / (17+13) = 0,133. Прямой зависимости между исследуемыми признаками не наблюдается.

График 5 Зависимость между ОФ и ВРП

Вывод. На графике видно, что наблюдается прямая корреляционная связь, при увеличении стоимости основных фондов, увеличивается валовой региональный продукт.

Построим график зависимости ВРП от средней численности занятого населения.

График 6. Взаимосвязь ВРП от средней численности занятого населения

Вывод. По графику нельзя установить взаимосвязь между фактором и результативным признаком.

3. Линейный коэффициент корреляции взаимосвязи ВРП от ОФ r= 0,9896.

Взаимосвязь между численностью занятого населения и ВРП не наблюдается.

Задание №7

1. Выберем интервальный ряд из Статистического ежегодника «Россия в цифрах».

Таблица 16. Интервальный ряд динамики «Отправление грузов железнодорожным транспортом общего пользования за период 1990–2000 гг.»

2. Изобразим графически динамику ряда на графике 7.

3.  

График 7. Динамика ряда

4. Рассчитаем абсолютные и относительные показатели динамики.

Абсолютный прирост:

-   цепной           Δ y_цi= y_i – y_i-1                

y_i, y_i-1 – соответственно данный и предыдущий уровень ряда

п – количество уровней динамического ряда

-   базисный       Δ y_бi = y_i – y₁                  .

Абсолютные базисные и цепные приросты связаны между собой:

Коэффициент (темп) роста

Коэффициентом роста называется относительная величина, выраженная в долях единицы (К_i), та же самая величина, выраженная в процентах называется темпом роста (Т_i).

- цепной

- базисный

Цепные и базисные коэффициенты роста связаны между собой:

Коэффициент (темп) прироста

- цепной

-  

- базисный

-  

Коэффициенты прироста и роста связаны между собой зависимостью:

4. Данные занесем в таблицу

Таблица 17. Расчет абсолютных и относительных показателей динамики грузооборота

За период 1990–2000 гг. произошло абсолютное уменьшение грузооборота на 3,4 млн. т, что составило уменьшение на 40,48%. Стабилизировалось положение после 1994 года, когда была достигнута минимальная точка ряда, прекратилось падение и наметился рост.

5. Вычислим средние показатели динамики

Средний уровень ряда  определяется по формуле простой средней:

 = (8,4+7,5+6,1+4,6+3,1+4,6+5,0+4,5+4,4+5,0+5,0) / 11 = 58,2/11 = 5,29 млн. т

Средний абсолютный прирост  рассчитывается как средняя арифметическая из показателей скорости роста за отдельные промежутки времени:

= -3,4 / (11–1) = -0,34 млн. т

Средний коэффициент роста  вычисляется по формуле средней геометрической из показателей коэффициентов роста за отдельные периоды:

 = ¹⁰ √0,5952 = 0,9495

Средний коэффициент прироста

 = 0,9495–1 = -0,0505

6. Произведем сглаживание ряда с помощью скользящей средней с интервалом из трех уровней. Скользящая средняя при α=3 вычисляется по формуле:

Данные занесем в таблицу

Таблица 18. Расчет средней скользящей

Расчетные данные укажем на графике 7.

Характер рассмотренного ряда динамики свидетельствует о понижательной тенденции.

При аналитическом выравнивании воспользуемся уравнением прямой у = b ₀ + b ₁ t

Где b₀ = ∑у / n, b₁ = ∑уt / ∑t²

Составим таблицу

Таблица 19. Аналитическое выравнивание ряда динамики

b₀ = 58,2/11 = 5,29

b₁ = -30,4/110 = -0,276

Формула аналитического выравнивания у = 5,29 – 0,276 t

Подставляя условные значения t, получим выровненные уровни ряда динамики, проставим их на графике 7.

Задание №8

Статистический сборник «Россия в цифрах»

Таблица 20. Оборот розничной торговли, объем платных и бытовых услуг населению в Тамбовской области в 1998–2000 гг., млн. руб.

Решение

1. Исчислим индивидуальные цепные индексы

Их получают сопоставлением текущих уровней с предшествующим.

Оборот розничной торговли:

Iорт1 = 10720/6243=1,717 или 171,7%

Iорт2 = 13795/10720 = 1,287 или 128,7%

Объем платных услуг:

Iопу1 = 1830/1365 = 1,341 или 134,1%

Iопу2 = 2615/1830 = 1,429 или 142,9%

Объем бытовых услуг:

Iобу1 = 416/294 = 1,415 или 141,5%

Iобу2 = 563/416 = 1,353 или 135,3%.

2. Исчислим сводные индексы показателей.

Таблица 21. Расчет сводных индексов показателей

I₁ = 12966 / 7902 = 1,64 или 164%

I₂ = 16973 / 12966 = 1,31 или 131%

3. Проверим правильность расчета сводных индексов, для этого рассчитаем удельные веса показателей в общем объеме.

1999 год (удельные веса 1998):

D _орт 6243/7902 = 0,79

D _опу 1365/7902 = 0,173

D _обу 294/7902 = 0,037

Формула расчета:

I = ∑I _I D_i-1

I₁ = 1,717 х 0,79 + 1,341 х 0,173 + 1,415 х 0,037 = 1,64 или 164%

2000 год (удельные веса 1999):

ОРТ 10720/12966 = 0,827

ОПУ 1830 / 12966 = 0,141

ОБУ 416 / 12966 = 0,032

I₂ = 1,287 х 0,827 + 1,429 х 0,141 + 1,353 х 0,032 = 1,31 или 131%

В этом случае сводный индекс исчислен в средней арифметической форме.

4. Формула средней гармонической:

I =[∑ (d/i)] ^-1

1999 год (удельные веса 1999):

I ₁ = (0,827/1,717+0,141/1,341 + 0,032/1,415) ^-1 = 0,61 ^-1 = 1,64 или 164%

2000 год (удельные веса 2000):

ОРТ 13795/16973 = 0,813

ОПУ 2615 / 16973 = 0,154

ОБУ 563 / 16973 = 0,033

I ₂ = (0,813/1,287 + 0,154 / 1,429 + 0,033 / 1,353) ^-1 = 0,764 ^-1 = 1,31 или 131%.