Рух механічної системи із двома ступенями волі
Курсова робота
з теоретичної механіки:
«Рух
механічної системи із двома ступенями волі»
Зміст
Введення
1.
Вихідні дані
2.
Дослідження відносного руху матеріальної крапки
3.
Застосування загальних теорем динаміки до дослідження руху механічної системи
3.1
Складання рівняння руху твердого тіла за допомогою теореми про зміну
кінетичного моменту
3.2
Визначення закону зміни зовнішнього моменту, що забезпечує сталість кутової
швидкості
4.
Визначення реакцій в опорах обертового тіла
5.
Дослідження руху механічної системи із двома ступенями волі за допомогою
рівнянь Лагранжа II роду
5.1
Складання рівнянь руху системи методом Лагранжа
5.2
Одержання диференціального рівняння відносного руху матеріальної крапки
5.3
Визначення закону зміни зовнішнього моменту, що забезпечує сталість кутової швидкості
6.
Визначення положень рівноваги механічної системи й дослідження їхньої стійкості
Висновок
Список
джерел
Введення
Вивчення теоретичної механіки як однієї з
фундаментальних фізико-математичних дисциплін відіграє важливу роль у
підготовці фахівців з механіко-математичних і інженерних механічних напрямків.
Воно дозволяє майбутнім фахівцям не тільки одержати глибокі знання про природу,
але й виробляє в них необхідні навички для рішення складних наукових і
технічних задач, для яких потрібне побудова математичних моделей різноманітних
механічних систем, розвиває здатності до наукових узагальнень і висновків.
Для закріплення навичок самостійного рішення задач
механіки студенти виконують курсову роботу, у якій необхідно провести
комплексний аналіз руху системи із двома ступенями волі, користуючись різними
методами теоретичної механіки.
Теоретична механіка, як частина природознавства, що
використовує математичні методи, має справа не із самими матеріальними
об'єктами, а їхніми математичними моделями. Такими моделями є матеріальні
крапки, системи матеріальних крапок, тверді тіла й суцільне середовище. У
курсовій роботі розглядаються найпростіші системи, які складаються із твердих
тіл, що роблять найпростіші рухи, і матеріальної крапки, що переміщається по тілу.
1. Вихідні дані
Суцільний рівносторонній трикутник 
зі стороною 
, що має масу 
обертається навколо шарніра 
. У крапці 
– середині каналу 
, на пружині твердістю 
закріплена кулька масою 
. При обертанні трикутника кулька
може робити коливальні рухи уздовж каналу .
Малюнок 1.1. Схема механічної системи
2. Дослідження відносного руху матеріальної крапки
Рух матеріальної крапки в рухливій системі відліку описується
диференціальним рівнянням відносного руху:
(1.1)
Тут 
– відносне прискорення матеріальної крапки; 
– сума всіх зовнішніх і
внутрішніх сил; 
і 
– переносна й кориолисова
сили інерції відповідно.
Зв'яжемо рухливу систему відліку 
з кулькою, що рухається уздовж каналу. Вісь 
проведемо уздовж каналу,
причому зростання координати 
спрямовано з рухом кульки
щодо трубки; а вісь 
направимо
перпендикулярно їй. Обертання трикутника разом із системою координат навколо шарніра є переносним рухом
для кульки. Відносним рухом є його переміщення уздовж каналу .
Диференціальне рівняння руху (2.1) для даної системи
прийме вид:
(2.2)
Малюнок 2.1. Дослідження відносного руху матеріальної
крапки
Абсолютні значення сил:
;
, де 
;
– при постійній кутовій швидкості обертання 
, тоді 
, де 
– радіус обертання кульки навколо шарніра ;
, тому що кут між відносною й кутовою
швидкостями прямій, звідси 
, а напрямок визначається за правилом
Жуковського.
Візьмемо проекцію диференціального рівняння
відносного руху (2.2) на координатну вісь 
рухливої системи координат:
(2.3)
Радіус переносного обертання кульки:
(2.4)
З урахуванням значень сил і формули (2.4), рівняння
(2.3) приймає вид:
Звідси одержуємо значення реакції зв'язку 
:
(2.5)
Тепер проектуємо диференціальне рівняння (2.2) на
координатну вісь :
(2.6)
При підстановці відомих значень одержимо:
(2.7)
Приведемо (2.7) до наступного виду:
(2.8)
Тут 
– це власна частота. Для знаходження
залежності 
вирішимо
дане рівняння.
– рішення шуканого диференціального рівняння
буде складатися із загального рішення відповідного однорідного рівняння 
й будь-якого приватного
рішення 
.
Загальне рішення маєте вигляд: 
(2.9).
Знайдемо приватне рішення рівняння (2.8), воно буде
мати вигляд: 
. Перша й
друга похідні: 
, 
.
Підставляючи частка рішення і його похідні в (2.8),
одержимо:
Знаходимо значення постійних коефіцієнтів: 
, 
.
(2.10)
Тоді, виходячи з (2.9) і (2.10), рішення вихідного
диференціального рівняння:
Для визначення констант інтегрування, використовуємо
початкові умови:
, 
або 
; звідки 
.
, 
або 
, звідки 
.
Підставивши значення 
й 
, і згрупувавши доданки, одержимо
диференціальні рівняння відносного руху кульки і його швидкості:
(2.11)
Тут , , , , .
3.1 Складання рівняння руху твердого тіла за
допомогою теореми про зміну кінетичного моменту
Механічною системою називається така сукупність
матеріальних крапок, у якій положення й рух кожної крапки залежить від
положення й руху інших крапок. Одержувані для системи матеріальних крапок
теореми й співвідношення можна поширити й на системи, що складаються з одного
або декількох взаємозалежних твердих тел. Обмеження, що накладаються на рух
крапок і тіл механічної системи, називаються зв'язками. Виходячи із принципу свободи
від зв'язків, рух кожної крапки системи можна розглядати як рух вільної крапки,
якщо замінити дія зв'язків реакціями цих зв'язків. Тоді для кожної крапки,
відповідно до основного рівняння динаміки матеріальної крапки, маємо:
(3.1.1)
і 
– маса й прискорення деякої крапки механічної
системи; 
і 
– зовнішні й внутрішні сили
(уже містять у собі реакції зв'язків).
Рівняння (3.1.1) - це основне рівняння динаміки,
наслідком його є теореми про рух центра мас механічної системи й про зміну
кількості руху, теореми про зміну кінетичного моменту й кінетичної енергії.
Теорема про зміну кінетичного моменту застосовується для рішення задач, у яких
розглядається рух механічної системи, що складає із центрального тіла, що
обертається навколо нерухливої осі, і одного або декількох тіл, рух яких
пов'язане із центральним. Зв'язок може здійснюватися за допомогою ниток, тіла
можуть переміщатися по поверхні центрального тіла або в його каналах за рахунок
внутрішніх сил. За допомогою даної теореми можна визначити залежність закону
обертання центрального тіла від положення або руху інших тел.
Теорема про зміну кінетичного моменту формулюється в
такий спосіб: повна похідна за часом від вектора кінетичного моменту механічної
системи щодо деякого нерухливого центра по величині й напрямку дорівнює головному
моменту зовнішніх сил, прикладених до механічної системи, певному щодо того ж
центра:
(3.1.2)
Тут 
– кінетичний
момент механічної системи щодо нерухливого центра ; він є мірою руху системи навколо цього центра
й складається з кінетичних моментів всіх крапок і тіл, що входять у цю систему;
– головний момент
зовнішніх сил щодо нерухливого центра .
Визначимо головний момент зовнішніх сил:
, де 
й 
– плечі сил ваги кульки й трикутника;
(3.1.3)
Визначимо кінетичний момент системи. Він складається
з кінетичних моментів кульки й трикутника: 
.
Малюнок 3.1.1. Складання рівняння руху твердого тіла
за допомогою теореми про зміну кінетичного моменту
, де модуль переносної швидкості дорівнює 
.
(3.1.4)
, 
– момент інерції трикутника щодо шарніра . Визначимо його по теоремі Штейнера:
(3.1.5)
(3.1.6)
З огляду на (3.1.4) і (3.1.6), кінетичний момент
системи дорівнює:
(3.1.7)
Диференціюємо вираження (3.1.7):
(3.1.8)
Підставивши знайдені значення в (3.1.2), теорема про
зміну кінетичного моменту прийме вид:
(3.1.9)
3.2 Визначення закону зміни зовнішнього моменту, що
забезпечує сталість кутової швидкості
При дії зовнішнього моменту 
, що забезпечує рівномірне обертання механічної
системи навколо шарніра ,
остання доданок у лівій частині рівності (3.1.9) звертається в нуль:
, 
; звідси 
.
Тоді вираження (3.1.9) прийме вид:
(3.2.1)
спрямований протилежно головному моменту
зовнішніх сил, тобто, проти годинникової стрілки.
Зовнішній момент, що забезпечує рівномірне обертання
конструкції, дорівнює:
(3.2.2)
4. Визначення реакцій в опорах обертового тіла
Визначимо реакції в опорі обертового тіла методом
кінетостатики. Він полягає в рішенні задачі динаміки засобами (рівняннями)
статики. Для кожної крапки механічної системи справедливо основне рівняння
динаміки:
(4.1)
Тут і – маса й прискорення деякої крапки системи; – сума всіх активних сил і
реакцій зв'язків, прикладених до неї.
Основному рівнянню динаміки (4.1) можна додати вид
рівняння статики:
(4.2)
Тут 
– сила інерції крапки механічної системи.
Малюнок 4.1. Визначення реакцій в опорах обертового
тіла
Для заданої механічної системи рівняння статики (4.2)
має вигляд:
(4.3)
Для визначення реакції шарніра нам необхідно й досить
взяти за координатні осі – нерухливі осі й , і визначити тридцятимільйонні реакції шарніра
на ці осі:
(4.4)
Звідси:
Підставивши значення сил, одержимо:
(4.5)
Тепер проектуємо (4.2) на нерухливу вісь :
(4.6)
Звідси:
Підставивши відомі значення сил, одержимо:
(4.7)
Повну реакцію в шарнірі можна знайти по формулі: 
, де 
й 
визначаються вираженнями (4.5) і (4.7);
5. Дослідження руху механічної системи із двома
ступенями волі за допомогою рівнянь Лагранжа II роду
5.1 Складання рівнянь руху системи методом Лагранжа
Рівняння другого роду є одним з найбільш зручних
прийомів складання рівнянь руху механічних систем. Вони мають такий вигляд:
(5.1.1)
Тут 
– кінетична енергія системи; 
, 
, 
, – узагальнені координати, швидкості й сили
відповідно; 
– число
ступенів волі.
Рівняння (5.1.1) утворять систему рівнянь другого порядку щодо функцій 
, а порядок даної системи дорівнює 
. Форма рівнянь Лагранжа не
залежить від вибору узагальнених координат 
. У зв'язку із цим говорять, що рівняння
Лагранжа другого роду мають властивість інваріантності.
Як видно з (5.1.1), для одержання рівнянь Лагранжа
необхідно знайти відповідні похідні від кінетичної енергії системи й визначити
узагальнені сили.
Визначимо кінетичну енергію системи. Вона буде
складатися з кінетичних енергій трикутника й кульки: 
.
Підставивши значення з (3.1.5), одержимо:
(5.1.2)
Кінетична енергія кульки визначається його масою й
відносною й переносною швидкостями:
(5.1.3)
Кінетична енергія системи дорівнює:
(5.1.4)
Знайдемо похідні від кінетичної енергії згідно
(5.1.1):
(5.1.5) 
(5.1.6)
(5.1.7) 
(5.1.8)
Малюнок 5.1.1. Визначення кінетичної й потенційної
енергій системи
Тепер, виходячи з (5.1.1), потрібно визначити
узагальнені сили. Дана механічна система є консервативної, ми можемо визначити
узагальнені сили через потенційну енергію по формулі:
(5.1.9)
Знайдемо потенційну енергію. Вона буде складатися з
робіт консервативних сил по переміщенню тіла з нульового положення: 
. За нульовий рівень
потенційної енергії виберемо початковий момент часу, при 
:
– енергія положення кульки;
– енергія положення прямокутника;
– потенційна енергія сили пружності;
Потенційна енергія системи дорівнює:
(5.1.10)
Знайдемо узагальнені сили:
(5.1.11)
(5.1.12)
Тепер можемо записати систему рівнянь Лагранжа II
роду:
(5.1.13)
(5.1.14)
5.2 Одержання диференціального рівняння відносного
руху матеріальної крапки
(5.1.13) і (5.1.14) - це система рівнянь Лагранжа II
роду; перше з них являє собою диференціальне рівняння відносного руху. При
порівнянні (5.1.13) з рівнянням відносного руху (2.7) видно, що рівняння
тотожні:
(2.7)
(5.1.13)
5.3 Визначення закону зміни зовнішнього моменту, що
забезпечує сталість кутової швидкості
(5.1.14) - це рівняння рівняння руху твердого тіла
без обмеження на закон зміни кутової швидкості обертання. Визначимо величину
зовнішнього моменту, що забезпечує рівномірне обертання:
(5.1.14)
При дії зовнішнього моменту, що забезпечує рівномірне
обертання, рівняння (5.1.14) прийме вид:
(5.3.1)
Звідси:
(5.2.2)
Зрівняємо з отриманим раніше значенням:
(3.2.2)
Отже, два різних способи визначення зовнішнього
моменту дали один результат.
6. Визначення положень рівноваги механічної системи й
дослідження їхньої стійкості
Важливим випадком руху механічних систем є їхній
коливальний рух. Коливання - це повторювані рухи механічної системи щодо
деякого її положення, що відбуваються більш-менш регулярно в часі. У курсовій
роботі розглядається коливальний рух механічної системи щодо положення
рівноваги (відносного або абсолютного).
Механічна система може робити коливання протягом
досить тривалого проміжку часу тільки поблизу положення стійкої рівноваги. Тому
перед тим, як скласти рівняння коливального руху, треба знайти положення
рівноваги й досліджувати їхня стійкість.
Відповідно до основного рівняння статики, для того
щоб механічна система перебувала в рівновазі, необхідно й досить, щоб у цій
системі були дорівнюють нулю всі узагальнені сили:
(6.1)
– узагальнені сили; – число узагальнених координат у механічній
системі.
У нашім випадку механічна система перебуває в
потенційному силовому полі; з рівнянь (6.1) одержуємо наступні умови рівноваги:
(6.2)
Отже, у положенні рівноваги потенційна енергія має
екстремальне значення. Не всяка рівновага, обумовлена вищенаведеними формулами,
може бути реалізоване практично. Залежно від поводження системи при відхиленні
від положення рівноваги говорять про стійкість або нестійкість даного
положення. Достатні умови стійкості положень рівноваги для консервативних
систем визначаються теоремою Лагранжа - Дирихле: «Положення рівноваги
консервативної механічної системи стійко, якщо в ньому потенційна енергія
системи має ізольований мінімум».
Визначимо положення рівноваги для заданої механічної
системи, використовуючи раніше знайдені узагальнені сили (5.1.11) і (5.1.12) із
системи рівнянь:
(6.4)
Для нашої механічної системи маємо:
Перше положення рівноваги: 
, 
.
Друге положення рівноваги: 
, 
.
Використовуючи теорему Лагранжа - Дирихле визначаємо,
що перше положення рівноваги є не стійким, а друге - стійким.
Малюнок 6.1. Положення рівноваги механічної системи
Знайдемо другі похідні від потенційної енергії по
узагальнених координатах:
Для дослідження стійкості положення рівноваги
необхідно досліджувати на матрицю твердості, складену зі значень вираження
(6.5) у цьому положенні рівноваги.
1) 
Положення рівноваги не стійке
2) 
Положення рівноваги стійке
У даній курсовій роботі була досліджена механічна
система із двома ступенями волі. У результаті були досягнуті поставлені цілі, а
саме:
отримано закон відносного руху матеріальної крапки;
складено рівняння руху твердого тіла за допомогою
теореми про зміну кінетичного моменту, визначене значення зовнішнього моменту,
що забезпечує рівномірне обертання конструкції;
знайдено реакції в опорах обертового тіла;
проведено дослідження руху механічної системи за
допомогою рівнянь Лагранжа II роду, у результаті якого отримані рівняння
відносного руху матеріальної крапки й закон зміни зовнішнього моменту, що
забезпечує сталість кутової швидкості;
визначено положення рівноваги механічної системи й
досліджена їхня стійкість;
Список джерел
Бутенин Н.В., Лунц Я.Л. і
ін.: Курс теоретичної механіки. – К., 2004
Яблонський А.А., Норейко С.С.:
Курс теорії коливань. – К., 2006
Динаміка крапки й механічної
системи: Навчальний посібник для курсового проектування / Авраменко А.А.,
Архипов В.В., Асланов В.С., Тимбай І.А.; Під ред. проф. В.С. Асланова. – К.,
2003