Процедура расчета и создания стержней с заданными характеристиками
Курсовая работа
Тема: Процедура расчета и создания стержней с
заданными характеристиками
Содержание
1 Основные аспекты
создания стержней
1.1 Растяжение в центре и
по бокам
1.2 Расчет статических
стержневых систем
1.3 Расчет основных
переменных
2 Оценка параметров
закручивания
3 Процедура создания
стержней
3.1 Создание стальной
балки
3.2 Выбор материала
3.3 Создание стержня
определенной жесткости
1
Основные аспекты создания стержней
1.1
Растяжение в центре и по бокам
Для заданного ступенчатого стержня (рис. 1,а) при осевых нагрузках F1=a1qa, F2=a2qa требуется:
1. Определить реактивную осевую силу в опорном сечении.
2. Определить продольные силы Nz,
нормальные напряжения sz и
перемещения w в характерных точках и построить их
эпюры.
3. Определить опасное сечение и подобрать необходимую площадь A стержня из условия прочности на
растяжение или сжатие.
Принять: α1=3, α2=4, а=1 м, q=600
кН/м, [σр]=160 МПа, [σс]=60МПа
Решение
1. Определение опорной реакции.
Составляем уравнение равновесия в проекции на ось z:
ΣZi=0
RB - qa + 4qa + q2a + 3qa = 0
RB = qa + 4qa - q2a - 3qa = 0
2. Построение эпюр продольных сил, напряжений и перемещений.
Эпюра Nz.
Строится по формуле:
N = N ± qz
Знак «плюс» соответствует погонной нагрузке, вызывающей растяжение бруса,
а знак «минус» берется в случае сжатия. В сечениях где приложены
сосредоточенные силы (сеч. C и E), на эпюре Nz имеют место скачки. Если сосредоточенная сила вызывает
растяжение, то скачок вверх (сеч. E), в
случае сжатия – скачок вниз (сеч. С). На участках BC и CD продольная сила
изменяется по линейному закону (qz¹0), а на участке DE продольная сила постоянна (qz=0). Вычисляем значения продольной силы
в характерных точках и строим эпюру Nz
(рис. 1,б)
NE = 3qa
NED = NDE = 3qa
NDC = NDE + q2a = 3qa + q2a = 5qa
NC = NDC – 4qa = 5qa – 4qa = qa
NB = NC – qa = qa – qa = 0
Эпюра σz.
Напряжение в поперечных сечениях связаны с продольной силой соотношением
σz =
Учитывая, что брус имеет ступенчато – переменное сочетание, характер
распределения нормальных напряжений по длине бруса остается таким же как для
продольной силы. Однако в местах резкого изменения формы бруса (сеч. C и D) на эпюре σz, в отличие от Nz, возникают скачки, связанные с изменением площади
поперечного сечения. Вычисляем напряжения в характерных точках и строим эпюру
σz (рис. 1,в)
σE =
σDE = σE =
σD =
σCD =
σC =
Эпюра w.
Она строится по формуле
w(z) = w0 +
где w0 - перемещение в начале участка;
wz - площадь эпюры σz от начала участка
до рассматриваемого сечения.
При отсутствие погонной нагрузки (уч. DE) напряжения постоянны, а перемещения изменяются по
линейному закону. На участках с погонной нагрузкой напряжения изменяютяс по
линейному закону, а перемещения – по квадратичному (уч. BC и CD). Вычисляем перемещения в характерных точках и сторим
эпюру w (рис. 1,г)
wB = 0
wC = wB +
wD = wC +
wE = wD +
Подбор сечений.
Из условия прочности на растяжение
σmax £ [σр]
£ [σр]
Aр ³ см2
Площадь сечения работающего на сжатие Ac = 0, т.к. σmin =0.
Окончательно принимаем A=Aр=187,5 см2.
Исходя из найденной площади сечения, определим полное удлинение
ступенчатого бруса
Dl=wE= м =1,5 мм
1.2
Расчет статических стержневых систем
Для заданной стержневой системы (рис. 2, а) требуется:
1. Определить усилия в стержнях и подобрать их сечения из двух равнобоких
уголков по методу допускаемых напряжений, обеспечив заданное соотношение
площадей A2/A1=1,6. Допускаемое напряжение принять равным [σ] = 160 МПа.
2. При принятых размерах сечений стержней определить грузоподъемность
конструкции по методу допускаемых нагрузок.
3 Оценить в процентах дополнительный резерв грузоподъемности, получаемый
при переходе от метода допускаемых напряжений к методу допускаемых нагрузок.
Принять: F=500 кН
Решение
1. Определение усилий в стержнях.
Данная система является однажды статически неопределимой (4 неизвестных
при 3 уравнениях статики), поэтому в дополнение к уравнениям статики необходимо
составить одно уравнение совместности деформаций.
Уравнение статики
Σm0=0
N1·2a·cos45° + N2·4a·cos30° - 3a·F = 0
N1 + N2 2=3F
Уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников ABB1 и BCC1 имеем:
Заменяя по закону Гука деформации через усилия и подставляя в последние
уравнение, получим
Решая совместно уравнения (1) и (2), находим усилия в стержнях
2. Подбор сечений стержней.
Следует заметить, что подобранные сечения должны одновременно удовлетворять
и условию прочности, и заданному соотношению площадей. Чтобы удовлетворить
обоим названым условиям, сопоставим два варианта.
По первому варианту сечение 1-го стержня подберем из условия прочности, а
2-го – исходя из заданного соотношения площадей, т.е.
см2
см2
По второму варианту из условия прочности находится сечение 2-го стержня, а
из заданного соотношения – сечение 1-го
см2
см2
Окончательно принимаем второй вариант, так как он обеспечивает и прочность
обоих стержней, и заданное соотношение площадей. По таблице сортамента для
равнополочных уголков в соответствие с ГОСТ 8509-86 принимаем:
для 1-го стержня – 2 уголка 70´70´6 (А1=2·8,15=16,3 см2)
для 2-го стержня – 2 уголка 90´90´7 (А2=2·12,3=24,6 см2)
3. Определение грузоподъемности конструкции по методу допускаемых
нагрузок.
Составляем уравнения предельного равновесия.
кН
Следовательно, при переходе от одного метода допускаемых напряжений к
методу допускаемых нагрузок можно повысить грузоподъемность конструкции в
раза или на 16 %
2
Оценка параметров закручивания
Для проведения опыта на растяжение был изготовлен нормальный
цилиндрический образец диаметром в расчетной части d0=16 мм и расчетной длинной l0=10·d0=160 мм. После
изготовления он был подвергнут упрочняющей термической обработке (улучшению).
Испытания проводились на машине УММ – 20. Геометрические параметры образца:
до опыта:
d0=16
мм
мм
после испытания:
d1=11,3
мм
мм
1. Вычисление основных механических характеристик.
Исходя из приведенной выше диаграммы растяжения образца (рис. 3), можно
определить основные механические характеристики материала.
Определим характеристики прочности.
Предельная нагрузка Fт определяется
следующим образом. Из точки О откладываем отрезок ОЕ, равный заданной
остаточной деформации 0,2%, т.е. Dl0,2 = 0,002·l0 = 0,002·160 = 0,32 мм
Затем из точки Е проводим прямую, параллельную начальному прямому участку
ОА. Ордината точки пересечения этой прямой с диаграммой как раз и дает искомое
значение Fт=70 кН.
Наибольшая выдерживаемая образцом нагрузка, взятая непосредственно с
диаграммы, равна Fmax = Fпч = 118 кН.
Определим характеристики пластичности.
Из точки D, соответствующей разрушению образца,
проводим пунктирную прямую DL,
параллельную начальному прямому ОА. Отрезок OL дает значение абсолютного удлинения при разрыве Dl=33 мм. Длина образца после разрыва l1= l0 + Dl=160 + 33 = 193 мм
Таблица 1 – Механические характеристики стали 30
(улучшение)
Характеристики прочности, МПа
|
Предел текучести
|
|
348
|
Предел прочности
|
|
587
|
Характеристики пластичности, %
|
Относительное остаточное удлинение
|
|
20
|
Относительное остаточное сужение
|
|
50
|
Выбор коэффициента запаса прочности и определение допускаемого напряжения
Условие прочности по методу допускаемых напряжений имеет вид
σmax £ [σ]
[σ] =
где σпред – предельное напряжение, т.к. материал пластичный
(δ>5%), то σпред = σт =348 МПа;
[n] – нормативный коэффициент запаса
прочности, который определяется по формуле
[n] = [n1]·[n2]·[n3]
где [n1] – коэффициент, учитывающий неточность
в определение нагрузок и напряжений, [n1]
=1;
[n3] – коэффициент условий работы,
учитывающий степень ответственности детали, [n3] =1…1,5»1;
[n2] – коэффициент, учитывающий
неоднородность материала, повышенную его чувствительность к недостаткам
механической сборки, выберается из табл. 2
Таблица 2 – Коэффициент неоднородности материала
σт / σпч
|
0,45…0,55
|
0,55…0,70
|
0,70…0,9
|
[n]
|
1,2…1,5
|
1,4…1,8
|
1,7…2,2
|
Так как σт / σпч=0,593, то коэффициент неоднородности материала
выбираем из второго столбца по формуле линейной интерполяции, для определения
среднего значения в промежутке
По формуле (4) определяем коэффициент запаса прочности
[n] = 1·1,59·1=1,59
По формуле (3) находим величину допускаемого напряжения
[σ] =МПа
После округления до ближайшего целого числа, кратного 10, окончательно
получим [σ] =220 МПа. Это значение используется при расчете балки на
прочность (задача 3.1).
Оценка параметров закручивания
Для заданного трансмиссионного вала (рис. 4,а) требуется:
1. Построить эпюру крутящего момента MК и определить требуемый диаметр вала из расчетов на
прочность и жесткость.
2. Установить наиболее рациональное расположение шкивов на валу и
определить диаметр вала в этом случае. Оценить в процентах достигаемую в этом
случае экономию материала по сравнению с заданным расположением шкивов.
3. Построить эпюры углов закручивания для обоих вариантов, считая
неподвижным левый конец вала.
Принять: М=3 кН·м, а=0,2 м, G =80
МПа, [τ]=50 МПа, [θ]=8 мрад/м
Решение
1. Определение диаметра вала.
Строим эпюру МК (рис. 4,б). Как видим, при заданном расположение шкивов
наибольший крутящий момент равен МКmax =15
кН·м. Меняя местами шкивы, ищем такой вариант нагружения, при котором расчетный
крутящий момент получается наименьшим. Это и будет рациональный вариант
расположения шкивов. Схема нагружения рационального расположения шкивов и
соответствующая ей эпюра МК представлены на рис. 5, а и б. В этом случае
расчетный момент МКmax =12 кН·м, меньше
чем в первом варианте.
Из условий прочности и жесткости определяем искомый диаметр:
1 вариант:
мм
мм
Следовательно, d1 = max {dпч,dж} = 124 мм.
Принимаем по ГОСТ 6636-86 d1 =
130 мм. Жесткость поперечного сечения данного вала равна
МН·м2
2 вариант:
мм
мм
Следовательно, d2 = max {dпч,dж} = 118 мм.
Принимаем по ГОСТ 6636-86 d2 = 120
мм. Жесткость поперечного сечения данного вала равна
МН·м2
Требуемый диаметр вала по второму варианту получается меньше, чем по
первому. Тем самым переход от заданного расположения шкивов к рациональному
приводит к экономии материала, равной
Построение эпюры угла закручивания φ.
Угол поворота определяется по формуле
где φ0 – угол поворота в начале участка;
ωМ – площадь эпюры крутящего момента от начала участка до
рассматриваемого сечения.
Так как крутящий момент остается постоянным в пределах каждого участка, то
согласно первой формуле угол φ меняется по линейному закону. Вычисляем
углы поворота на границах участков и строим эпюры (рис.4,в и рис.5,в)
1 вариант:
φ0 = φА = 0
мрад
мрад
мрад
2 вариант:
φ0 = φВ = 0
мрад
мрад
мрад
3 Процедура создания стержней
3.1
Создание стальной балки
Спроектировать стальную балку (рис. 6,а) в 5 вариантах поперечного
сечения: круглого, прямоугольного (h/b=2), двутаврового, из швеллеров и
уголков, приняв допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа. Оценить экономичность всех
пяти сечений и начертить их в одном масштабе. Для балки двутаврового профиля
построить эпюры нормальных и касательных напряжений, а также исследовать
аналитически и графически напряженное состояние в точке К опорного сечения.
Принять: М = 4qa2 кН·м, F = 2qa кН, q=15 кН/м, а = 1,2 м, yк /h= – 0,1
Решение
1. Определение опорных реакций и построение эпюр Qy и Mx.
ΣYi=0
RA - 2qa + q2a = 0
RA =4qa
ΣmA=0
MA - 4qa2 + 2qa3a-q2a2a = 0
MA = 4qa2 + 6qa2 + 4qa2 = 14qa2
Эпюра Qy. Строится по формуле
Q = Q0 ± qz
В данном случае следует взять знак «минус», так как погонная нагрузка
направлена вниз. Поперечная сила постоянна на участке АВ (q=0) и изображается наклонной прямой на
участке MF (q=const). Вычисляем
значения Qy в характерных точках и строим ее эпюру
(рис. 6,б)
QA=RA=4qa
QAB=QA=4qa
QBC=QAB – q2a=4qa – 2qa=2qa
QC=QBC – 2qa=2qa – 2qa=0
Эпюра Mx.
Строится по формуле
Mx = M0 + Q0Z – 0,5qz2
Изгибающий момент изменяется по квадратичному закону на участке MF (q=const) и по линейному
закону – на участке АВ (q=0). Вычисляем
значения в характерных точках и строим эпюру (рис. 6,в)
MA = –
14qa2
MAВ = MA + 4qa2 = – 14qa2+ 4qa2 = – 10qa2
MВ = MAВ + 4qa2 = – 10qa2+ 4qa2 = – 6qa2
MВС = MВ + 6qa2 = – 6qa2+ 6qa2 = 0
Расчетный изгибающий момент равен
Mрас =
|MA| = 14qa2 = – 14·15·103·1,2 = 302,4 кН·м
Подбор сечений.
Из условий прочности по нормальным напряжениям определяем требуемый момент
сопротивления поперечного сечения по кторому подбираем конкретные сечения
см3
Круг:
см
Принимаем по ГОСТ 6636-86 нормализованное значение d0=270 мм, тогда
см3
Прямоугольник (h/b=2):
см
Ближайшее меньшее стандартное значение равно b0=140 мм. При этом балка будет работать с перенапряжением,
равным
что удовлетворяет требованию, и для которого
см2
Двутавр. По ГОСТ 8239-89 выбираем двутавр № 55 для которого =2035 см3, A3=118 см2.
Три швеллера. По ГОСТ 8240-89 выбираем три швеллера № 36, для которых =3·601=1803 см3, A4=3·53,4=160,2 см2.
Неравнобокие уголки. Они находятся подбором, так как в сортаменте не даны
значения момента сопротивления. Использую формулу
Сделав несколько попыток, выбираем восемь уголков 250´160´16 для которых
см3
A5=8·63б6=508,8
см2
Оценка экономичности подобранных сечений
Масса балки определяется как произведение плотности материала на ее объем m=rAl , т.е. расход материала при прочих равных условиях зависит
только от площади поперечного сечения А. Сравнивая массы балок
m1 : m2 : m3 : m4 : m5 = A1 : A2 : A3 : A4 : A5 = 1 : 0,68 : 0,2 :
0,28 : 0,89 заключаем, что самым неэкономичным является круглое сечение. При
замене круга другими формами (прямоугольник, двутавр, три швеллера, восемь
уголков) достигается экономия, равная соответственно 32%, 80%, 72% и 11%.
Исследование напряжений в опорном сечении для балки двутаврового профиля №
55 (рис. 7,а), параметры которой по ГОСТ 8239-89 равны:
h=55
см, b=18 см, d=1,1 см, t=1,65
см, Ix=55962 см4, Sx=1181 см3
Внутренние силовые факторы в опорном сечении А:
QA = 4qa=4·15·1,2 = 72 кН
MA = –
14qa2 = – 14·15·103·1,22 = – 302,4 кН·м
Эпюра σ.
Нормальные напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону
Вычисляем напряжения в крайних точках и строим эпюру σ (рис. 7,б)
Эпюра τ.
Она строится по формуле Журавского
Находим значения τ в 4 характерных точках по высоте сечения
(необходимые вычисления представлены в табл. 3) и строим касательные напряжения
(рис. 7,в)
Таблица 3 – Вычисления касательные напряжений в характерных
точках
№ точек
|
bi, мм
|
,
см3
|
|
|
,
МПа
|
|
1,1΄
|
18
|
0
|
0
|
0
|
0
|
МПа
|
2,2΄
|
18
|
792
|
44
|
0,04
|
0,6
|
3,3΄
|
1,1
|
792
|
720
|
0,7
|
9,3
|
4
|
1,1
|
1181
|
1073,6
|
1
|
14
|
Определение главных напряжений в точке К (yк /h= – 0,1):
– напряжение в поперечном сечении
МПа
МПа
– величины главных напряжений
σ1 = 35,25 МПа
σ3 = – 5,25 МПа
– ориентация главных площадок
21º
Экстремальные касательные напряжения равны по величине
МПа
и действуют на площадках, равнонаклоненных к осям 1 и 3.
3.2
Выбор материала
Согласно схеме нагружения (рис. 9,а), подобрать сечение балки (рис. 10),
изготовленной из материала, неодинаково работающего на растяжение и сжатие.
Принять: М = 4qa2 кН·м, F = 2qa кН, q= 15 кН/м, а = 1,2 м,
[σр] = 40 МПа, [σс] = 70 МПа
Решение
1. Определение опорных реакций и построение эпюр Qx и Mx.
ΣmB=0
RA4a - 2qaa - 4qa2- q3a3,5a = 0
RA = 4,125qa
ΣYi=0
RA - 2qa - q3a+ RB = 0
RB
=0,875qa
Эпюра Qy.
Строится по формуле
Q = Q0 ± qz
В данном случае берем знак «минус», так как погонная нагрузка направлена
вниз. Находим значения поперечной силы в характерных точках и строим ее эпюру
(рис. 9,б)
QС = 0
QCA = QC –qa= – qa
QA = QCA + RA = – qa + 4,125qa = 3,125qa
QAF = QA – 2qa = 3,125qa – 2qa = 1,125qa
QFD = QAF = 1,125qa
QD = QFD – 2qa = 1,125qa – 2qa = – 0,875qa
QDB = QD = – 0,875qa
QB = QDB + RB = – 0,875qa +
0,875qa = 0
Эпюра Mx.
Строится по формуле
Mx = M0 + Q0Z – 0,5qz2
Изгибающий момент изменяется по квадратичному закону на участке CA и AF (q=const) и по линейному закону – на участках FD и DB (q=0). Вычисляем
значения в характерных точках и строим эпюру (рис. 9,в)
MС = –4qa2
MA = MС – qa2 = –
4qa2 – 0,5 = – 4,5qa2
MF = MA + qa2 = – 10qa2+ 4qa2 = – 6qa2
MD = MF + 1,125qa2 = – 0,25qa2+ 1,125qa2 = 0,875qa2
MB = MD – 0,875qa2 = 0,875qa2+ 0,875qa2 = 0
Расчетный изгибающий момент равен
Mрас =
|MA| = 4,5qa2 = 4,5·15·103·1,22 = 97,2 кН·м
Геометрические характеристики сечения
Положение центра тяжести.
Необходимые вычисления представлены в табл. 4.
Таблица 4 – Положение центра тяжести
υi
|
Ai
|
υi Ai
|
1
|
2t
|
8t2
|
16t3
|
2
|
t
|
– 3t2
|
– 3t3
|
Σ
|
5t2
|
13t3
|
Момент инерции относительно главной центральной оси.
Предварительно определим моменты для элементов сечения относительно
собственных центральных осей, а последующие вычисления выполним в табличной форме
(табл. 5)
Таблица 5 – Момент инерции
№ эл-в
|
yi
|
Ai
|
|
yi = υi – υc
|
|
|
1
|
–0,6t
|
8t2
|
10,7t4
|
2,88t4
|
2
|
–1,6t
|
–3t2
|
–1,5t4
|
–7,68t4
|
Σ
|
9,2t4
|
–4,8t4
|
4,4t4
|
Момент сопротивления
Поскольку материал хуже работает на растяжение, то с точки зрения наиболее
эффективного его использования профиль следует расположить так, чтобы более
тонкий слой толщиной h2 испытывал
растяжение в опасном сечении А. В этом сечении растяжение возникает в верхней
части балки, поэтому профиль следует расположить полостью вниз.
Подбор сечения балки.
Находим необходимые размеры:
– из условия прочности на растяжение
мм
– из условия прочности на сжатие
мм
Принимаем большее значение t = max { tр , tс} = 113 мм.
В опорном сечение D изгибающий момент
меньше расчетного. Поэтому здесь нужно проверить прочность балки на растяжение.
Находим
МПа
Т.к. перенапряжение составляет 15,4%, что недопустимо, принимаем t =200 мм
МПа
В этом случае перенапряжение составляет 2,78%, что допустимо, т.к. 2,78%
< 5%, следовательно прочность балки при найденных размерах будет обеспечена.
Создание стержня определенной жесткости
Подобрать сечение балки (рис. 11,а), удовлетворяющее условиям прочности и
жесткости. Допускаемое напряжение материала определяется исходя из диаграммы
растяжения материала (задача 1.3). Исследование перемещения выполнить двумя
способами:
– пользуясь методом начальных параметров, определить прогибы и углы
поворота сечений балки с координатами z
= 0, a, 2a, 3a, 4a, 5a; изобразить изогнутую ось балки и показать на ней
найденные перемещения;
– определить прогибы в середине пролета и на концах консолей, а также углы
поворота на опорах энергетическим методом.
Принять: q= 15 кН/м, а = 1,2 м, [σ] = 220
МПа, l / [
f ] =
800
Решение
1. Определение опорных реакций и построение эпюр поперечной силы и
изгибающего момента.
ΣmB=0
RA4a + 1,5qa2 – q4a2а- 1,5qa·a = 0
RA = 2qa
ΣYi=0
RA - 4qa + 1,5qa + RB = 0
RB =0,5qa
Эпюра Qy.
Поперечная сила изменяется на всех участках по линейному и принимает в
характерных точках следующие значения (рис. 11,б)
QA=RA=2qa
QAD=QA – qa=2qa – qa=qa
QDB=QAD –q3a=qa – 3qa= – 2qa
QB=QDB + RB = – 2qa + 0,5qa= – 1,5qa
QBC =QB = – 1,5qa
QC=QDC + 1,5qa = – 1,5qa +1,5qa = 0
Эпюра Mx.
Изгибающий момент изменяется по квадратичному закону на участке AB (q=const) и по линейному
закону – на участке BC (q=0). Вычисляем значения в характерных
точках и строим эпюру (рис. 11,в)
MA = 0
MAD = MA + qa2 = 0+ 1,5qa2 = 1,5qa2
MD = MAD + 1,5qa2 = 1,5qa2+ 1,5qa2 = 3qa2
ME = MD + qa2 = 3qa2+ 0,5qa2 = 3,5qa2
MB = ME – qa2 = 3,5qa2 – 2qa2 = 1,5qa2
MC = MB – 1,5qa2 = 1,5qa2 – 1,5qa2 = 0
Расчетный изгибающий момент равен
Mрас =
|ME| = 3,5qa2 = 3,5·15·103·1,22 = 75,6 кН·м
Определение перемещений.
Для перемещения упругих перемещений в инженерной практике применяются как
аналитические (точные и приближенные), так и графические методы. Из точных
аналитических методов следует отметить метод начальных параметров и
энергетический метод. К приближенным относят метод конечных разностей (МКР) и
метод конечных элементов (МКЭ).
Определим первыми двумя методами.
Метод начальных параметров.
Из граничных условий задачи имеем: νA = 0, νB = 0. Первое
дает ν0 = 0, а из второго находим θ0 :
откуда
А теперь находим искомые перемещения:
– сечение z=a
– сечение z=2a
– сечение z=3a
– сечение z=4a
– сечение z=5a
Результаты вычислений сведем в табл. 6 и построим упругую линию балки,
показано на рис. 11,а пунктиром.
Таблица 6 – Перемещения и угол поворота в сечение балки
Перемещения
|
Сечение z
|
0
|
а
|
2а
|
3а
|
4а
|
5а
|
θ´
|
|
|
|
|
|
|
ν´
|
0
|
|
|
|
0
|
|
Для расчета балки на жесткость необходимо знать максимальный прогиб,
который имеет место в сечении, где угол поворота равен нулю. Последний
описывает полиномом 3-й степени и в связи с этим нахождение максимального
прогиба связано с громоздкими вычислениями. С другой стороны, судя по
приведенной выше таблице, он имеет место в интервале (2а, 3а). В силу непрерывности
функции прогибов νmax мало отличается от
прогиба сечения E. Следовательно, с небольшой погрешность
(не превышающей точности инженерных расчетов) можно принять
νmax ≈ νЕ =
Энергетический метод
Искомые перемещения находятся с помощью интеграла Мора
для вычисления которых в простых случаях можно пользоваться правилом
Верещагина
а в более сложных случаях – формулой Симпсона
При наличие на данном участке равномерно распределенной погонной нагрузки q величина момента посредине участка
находится следующим образом
Величина моментов Млев и Мпр берутся со своими знаками. Знак «плюс» перед
вторым слагаемым соответствует погонной нагрузке, направленной вниз, а «минус»
– вверх.
Строим эпюры моментов от заданной нагрузки и от единичных воздействий,
приложенных к балке в направлении искомых перемещений (рис. 11,г – з).
Определяем моменты по средине участков
Перемножая соответствующие эпюры, находим искомые перемещения, увеличенные
для удобства вычислений в EI раз:
Знак «минус» у перемещения указывает, что оно противоположно направлению
соответствующего единичного фактора: единичной силы для прогиба сечения С и
единичного момента для угла поворота сечения В, т.е. прогиб νС направлен
вверх, а сечение В поворачивается против часовой стрелки. Знак «плюс» у угла
поворота θА указывает, что сечение В поворачивается в направлении
единичного момента, т.е. по часовой стрелки.
Подбор сечения балки по условиям прочности и жесткости.
Из условия прочности имеем
Отсюда, учитывая что
Mmax = 75,6 кН
находим диаметр сечения балки, удовлетворяющий условию прочности
мм
Далее согласно условию жесткости
откуда с учетом
мм
находим искомый диаметр, удовлетворяющий условию жесткости
мм
Из двух полученных значений принимаем большее, т.е.
d = max {dпч,dж} = dж = 237 мм
После округления до ближайшего стандартного значения по ГОСТ 6636-86
окончательно получим d0 =240 мм.
Найденное таким образом значение диаметра поперечного сечения бруса,
обеспечит надежную работу балки, так как удовлетворяет одновременно и условию
прочности, и условию жесткости.