Пространства Соболева

Введение

Пространства Соболева  и тесно связанное с ним понятие обобщённой производной в смысле Соболева были введены в математическую практику академиком С.Л. Соболевым и играют важнейшую роль в теоретических и прикладных вопросах математической физики и функционального анализа. Пополнение пространства гладких функций  некоторыми идеальными элементами, которые можно с любой степенью точности вычислить с помощью элементов из  приводит, с одной стороны, вследствие полноты  к точности и завершённости многих математических утверждений, а с другой стороны, сохраняет все вычислительные возможности.

1. Пространства Соболева

1.1 Общее определение

Пусть в  задана замкнутая ограниченная область  Рассмотрим линейное пространство вещественных функций   раз непрерывно дифференцируемых на  Дифференцируемость на замкнутой области  можно понимать в различных смыслах. Мы будем предполагать, что в  функции   раз непрерывно дифференцируемы, причём каждая частная производная функции  имеет предел при стремлении  к любой граничной точке области  так что в результате её продолжения на  она становится непрерывной в  Граница  области  предполагается достаточно гладкой. Кроме того, обычно мы будем считать область  односвязной и удовлетворяющей таким дополнительным ограничениям, которые могут понадобиться в тех или иных рассуждениях.

Воспользуемся для краткости следующими обозначениями. Набор индексов  называется мультииндексом. Число  называется длиной мультииндекса. Для обозначения частных производных примем

Введём в рассмотренном выше линейном пространстве норму

                                                                (1.1)

Полученное нормированное пространство обозначается  Его пополнение в норме (1.1) обозначается  и называется пространством Соболева.

В прикладных задачах довольно часто встречается случай  Общепринято следующее обозначение:  Пространство Соболева  является гильбертовым пространством – пополнением пространства  в норме, порождённой скалярным произведением

Ниже мы подробнее остановимся на частных случаях  и  то есть рассмотрим пространства Соболева на вещественной оси и в трёхмерном пространстве.

1.2 Пространство

Рассмотрим на отрезке  пространство  состоящее из всевозможных функций  непрерывно дифференцируемых на  со скалярным произведением

                                                       (1.2)

и соответствующей этому скалярному произведению нормой

                                                                      (1.3)

 является пополнением  в этой норме. Элементами  согласно теореме о пополнении, являются классы, состоящие из последовательностей  фундаментальных в  в среднем, точнее, таких, что

 при

Две такие последовательности  и  принадлежат одному классу, если  является бесконечно малой по норме  то есть, если

 при

Из условия фундаментальности в среднем  в  следует, что отдельно при

Аналогично, из условия эквивалентности  и  по норме  следует, что при

Согласно определению пространства  существуют функции  и  такие, что при   а  в среднем.

Мы приходим к следующему важнейшему определению. Пусть  Тогда в  определены элемент  с представителем  и элемент  с представителем   называется обобщённой производной (в смысле Соболева) от  При этом пишут:

Из определения обобщённой производной  видно, что она определяется не локально, в отдельных точках, а глобально – сразу на всём отрезке  Пусть  так что   Перейдём к пределу при  в равенствах

          (1.4)

                                  (1.5)

и, согласно теореме о пополнении и определению интеграла Лебега, придём к формулам (1.2) и (1.3), где теперь производные понимаются в обобщённом смысле, а интеграл – в смысле Лебега. Для конкретных вычислений, разумеется, можно и нужно пользоваться формулами (1.4) и (1.5), взяв достаточно большое  то есть вместо идеальных элементов     воспользоваться их гладкими приближениями    

1.3 Другое определение обобщённой производной

Пусть  – множество всех непрерывно дифференцируемых на отрезке  финитных функций  Если теперь  непрерывно дифференцируема на отрезке  то для произвольной функции  справедливо следующее интегральное тождество:

                                                              (1.6)

проверяемое интегрированием по частям. Этим тождеством  полностью определяется.

Допустим, что, кроме того, для любых  и некоторой непрерывной на отрезке  функции

                                                               (1.7)

Вычитая эти тождества, получим, что для любых

Отсюда, вследствие плотности  в   на отрезке  Оказывается, интегральное тождество (1.7) можно принять за определение обобщённой производной. Прежде всего, справедлива следующая лемма.

Лемма 1. Если  то для любых  справедливо тождество (1.6).

Доказательство. Пусть  тогда для всех  имеем (1.6):

Вследствие свойства непрерывности скалярного произведения в последнем равенстве можно перейти к пределу при  В результате мы получим тождество (1.6) для любой функции  Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть даны   такие, что для всех  справедливо тождество (1.7). Тогда  (обобщённая производная).

Доказательство. Пусть  а  Тогда

 при

для любого

Пусть  – класс, представителем которого является  

Тогда  для любых  Отсюда  Лемма доказана.

1.4 Простейшая теорема вложения

Теорема 1.  вложено в

Доказательство. Пусть  непрерывно дифференцируема на отрезке  Согласно теореме о среднем, вследствие непрерывности  найдётся точка  такая, что  Поэтому на отрезке  справедливо следующее тождество:

С помощью неравенства Коши-Буняковского имеем

где  Следовательно, для любой непрерывно дифференцируемой на отрезке  функции  справедливо неравенство

                                              (1.8)

Пусть теперь последовательность  – фундаментальная по норме  Тогда

при  Следовательно,  фундаментальна в смысле равномерной сходимости и, по критерию Коши равномерной сходимости, сходится к  Тем более  в среднем. Таким образом, в классе из  содержащим  в качестве представителя, содержится непрерывная функция  и, значит, этот класс можно отождествить с  Отождествим элементы  с непрерывными функциями. Пусть  Переходя в неравенстве  к пределу при  придём к неравенству (1.8).

Итак, вложение  в  доказано. Доказательство теоремы закончено.

1.5 Пространства Соболева  и

Пусть  – односвязная область с достаточно гладкой границей  В замкнутой области  рассмотрим линейное пространство всевозможных непрерывно дифференцируемых функций  со скалярным произведением

При этом

                    (1.9)

Полученное пространство со скалярным произведением обозначается  а его пополнение – это, по определению, пространство Соболева

Пусть  – фундаментальная последовательность в  то есть  при  Отсюда следует, что в  будут фундаментальными последовательности

Вследствие полноты  в  имеются элементы, которые мы обозначим

так что при  в среднем

Элементы  называются обобщёнными частными производными элемента

Скалярное произведение и норма задаются в  теми же формулами, что и в  в которых теперь производные обобщённые, а интегрирование понимается в смысле Лебега. Введем в рассмотрение пространство  Это пространство является пополнением в норме

линейного пространства функций, непрерывно дифференцируемых на  и таких, что   является гильбертовым пространством со скалярным произведением

Лемма 3. Если  а  то

Доказательство. Достаточно доказать первую из этих формул. Она справедлива, если  а  Пусть  – фундаментальная в  последовательность, предел которой – элемент  Переходя в тождестве  к пределу при  получим для любой  Действительно, из сходимости в  следует, что

 то есть непрерывность скалярного произведения.

Пусть теперь  – фундаментальная последовательность в  Перейдём к пределу в тождестве  и получим исходное тождество.

Следствие.  содержится строго внутри

Действительно, функция  Но  иначе мы имели бы  то есть  для любой  Возьмём  и получим противоречие.

Теорема 2 (Фридрихс). Существует постоянная  такая, что для любых  

Доказательство. По самому определению  всякий элемент из  принадлежит  Пусть  и сходится в  к

Построим куб  содержащий область  Функции  доопределим нулём в  Частная производная  существует всюду в  за исключением, быть может, тех точек, в которых прямая, параллельная оси абсцисс, пересекает границу  области  Для любой точки  имеем

По неравенству Коши-Буняковского

Интегрируя полученное неравенство по  находим

Так как  вне  то

Переходя к пределу при  приходим к доказываемому неравенству Фридрихса.

Следствие 1. Пространство  вложено в

Это предложение непосредственно вытекает из определения вложения банаховых пространств и неравенства Фридрихса.

Следствие 2. В  нормы (1.9) и (1.10) эквивалентны.

Действительно, используя неравенство Фридрихса, имеем

2. Применение пространств Соболева в математической физике

2.1 Доказательство существования и единственности обобщённого решения уравнения Лапласа

Теорема 3 (Рисс). Пусть  – гильбертово пространство. Для любого линейного ограниченного функционала  заданного всюду на  существует единственный элемент  такой, что для всех  

При этом

Доказательство приведено в [1, стр. 171].

Теорема Рисса эффективно применяется в теории разрешимости граничных задач для уравнений с частными производными. Будем говорить, что гильбертово пространство  вложено в гильбертово пространство  если из  следует, что  причём существует постоянная  такая, что для всех

                                                          (2.1)

Имеет место следующее следствие из теоремы Рисса.

Теорема 4. Если гильбертово пространство  вложено в гильбертово пространство  то для каждого элемента  найдётся единственный элемент  такой, что для всех  имеет место тождество

Тождество это определяет оператор  такой, что  при этом

Доказательство. При каждом фиксированном  выражение  при всевозможных  определяет линейный ограниченный функционал на  Линейность функционала очевидна. Его ограниченность вытекает из оценки

По теореме Рисса существует единственный элемент  такой, что  Тем самым всюду на  задан линейный оператор  Далее, из доказанного выше неравенства следует, что

Полагая здесь  получим  то есть  и, значит,  ограничен. Теорема доказана.

В качестве приложения доказанной теоремы и пространств Соболева докажем существование и единственность обобщённого решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. В замкнутой ограниченной односвязной области  с достаточно гладкой границей  рассмотрим следующую граничную задачу:

           (2.2)

                                                                         (2.3)

Предположим, что правая часть  непрерывна в  по совокупности переменных. Функция  называется классическим решением задачи (2.2) – (2.3), если  непрерывна как функция трёх переменных в  имеет в  непрерывные производные, входящие в левую часть (2.2), удовлетворяет в  уравнению (2.2) и равна нулю на  то есть удовлетворяет граничному условию (2.3).

Пусть  – классическое решение задачи (2.2) – (2.3), а  непрерывна в  равна нулю на  и непрерывно дифференцируема в  тогда для любой такой  справедливо следующее интегральное тождество:

                            (2.4)

Для доказательства этого тождества воспользуемся формулой Гаусса-Остроградского:

Примем    и получим

Поскольку

а  то получаем (2.4).

Пусть теперь   а интегралы (2.4) понимаются в смысле Лебега. Функция  называется обобщённым решением краевой задачи (2.2) – (2.3), если для любой функции  выполняется интегральное тождество (2.4).

Докажем, что для любой правой части  обобщённое решение краевой задачи (2.2) – (2.3) существует и единственно.

Для этого заметим, что гильбертово пространство  вложено в гильбертово пространство  так как, по определению  всякая функция  принадлежит также и  и справедлива оценка для любой  (см. п. 1.5):

Следовательно, по теореме 4 для всякой функции  существует единственная функция  такая, что для всех

а это и есть интегральное тождество (2.4).

Заключение

Таким образом, мы рассмотрели пространства Соболева, их основные свойства и применение в математической физике.

Список литературы

1. Треногин В.А. Функциональный анализ: Учебник. – 3-е изд., исп. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 488 с.

2. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. – 3-е изд., перераб. и доп. / Под ред. О.А. Олейник. – М.: Наука. Гл. Ред. физ.-мат. лит., 1988. – 336 с.