Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма
Работа
Скворцова Александра Петровича,
учителя,
ветерана педагогического труда
Доказательство
утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма
Содержание
Общее утверждение
Утверждение 1
Доказательство Части первой
«Утверждения 1»
Доказательство Части второй
«Утверждения 1»
Пример
Примечание
«Вывод» о Великой теореме Ферма (простое)
Утверждение 2
Доказательство Части первой
«Утверждения 2»
Доказательство Части второй
«Утверждения 2»
Примечание
Окончательный «Вывод» о Великой
теореме Ферма
Утверждение 3
Доказательство Части первой
«Утверждения 3»
Доказательство Части второй
«Утверждения 3»
Примечание
Общий вывод
Литература
Доказательство
нижеприведённого «Утверждения» осуществлено элементарными средствами. В данной
работе рассматриваются уравнения , частными
случаями которых являются уравнения Ферма , где
а – чётное число, и - целые числа, , ,
- =натуральные числа.
Метод, используемый в
этой работе, опирается на применение дополнительного квадратного уравнения и его общего решения, чётность которого
совпадает с числами, исследуемыми в моей работе.
Этот метод позволяет:
1.
Судить о
возможности существования целых решений уравнения Ферма для , т.е. о возможности существования
«Пифагоровых троек», т.к. при рассуждениях никаких «противоречий» не возникает (доказательство
этого в данной работе не приведено).
2.
Судить об
отсутствии решений в попарно взаимно простых целых числах уравнения , где - натуральное
число, а – чётное число, т.к. при рассуждениях возникают «противоречия»
(доказательство этого в данной работе не приведено, но дан пример на стр. 33).
3.
Судить о
возможности существования частного решения уравнения при
(или b = ±1, или c = ±1), которое
входит в п. «Исключения» моего общего «Утверждения». И такие решения следующие:
а) b = ±1; c = ±3; a = 2.
б) b = 3; c = ±1; a = -2 («Пример» на стр. 33).
4. Судить о
неразрешимости в целых числах уравнения , где
а – чётное число. Это хорошо известный факт в теории чисел (доказательство
этого в данной работе приведено).
5. Судить о
неразрешимости в целых числах и уравнения Ферма . Это
тоже хорошо известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение
является следствием более общего утверждения).
6. Судить о
неразрешимости в целых числах уравнения Ферма , где
- натуральное число. Это тоже уже
известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является
следствием более общего утверждения).
**********
Так как данное доказательство
«Общего Утверждения» в этой работе проведено мною элементарными средствами, то
думаю, и своё «Утверждение» великий Ферма вполне мог доказать подобным методом.
И последнее. Я думаю, что
специалистам, наверное, известны ещё некоторые конкретные примеры (частные
случаи уравнения ), подпадающих под
доказываемое в данной работе «Общего Утверждения». Если такие примеры имеются,
то в свою очередь это будет являться дополнительным подтверждением правильности
выбранного пути доказательства вышеназванного «Общего Утверждения».
≥
ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ, частным случаем
которого является Великая теорема Ферма
1. Уравнение (, - натуральные числа) не имеет решений в
отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,
и таких,
чтобы - было четным, и
- нечетными целыми числами.
2. Но есть и «исключение»
из данного утверждения: среди этих чисел , и может
быть либо , либо .
***********
Чтобы доказать «ОБЩЕЕ
УТВЕРЖДЕНИЕ», необходимо рассмотреть 2 случая
для показателя q:
1) при - натуральном;
2) при - натуральном, а для этого достаточно
рассмотреть случай .
Утверждение 1, частным
случаем которого является Великая теорема Ферма, для простого показателя
Часть 1
Уравнение (, - натуральные числа, где при - натуральном)
не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы -
было четным, и -
нечетными целыми числами.
Часть 2
Возможны случаи: либо , либо .
**********
Последнее утверждение
(либо , либо ) в
дальнейшем будем называть «исключением» из общего правила.
*********
Часть первая (Утверждения 1)
Уравнение (, - натуральные числа, где при - натуральном)
не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы -
было четным, и -
нечетными целыми числами.
Доказательство
Понятно, что
доказательство достаточно рассмотреть для - простого.
Докажем данное «Утверждение
1» методом от противного. Предположим, что уравнение разрешимо в отличных от нуля попарно
взаимно простых целых числах , и . И
если в конце доказательства мы придем к противоречию, доказав, что числа , и не являются попарно взаимно простыми
целыми числами, то это будет означать, что «Утверждение 1»
справедливо.
Из уравнения (1) следует:
(2),
где - четное целое число, т.к. и -
нечетные;
≠
0, т.к. и -
взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю;
-
нечетное целое число при и - нечетных, -
простом.
********
Примечание
То, что - нечетное число при и - нечетных,
хорошо известный факт в теории чисел.
Для подтверждения данного
факта достаточно использовать разложение бинома
Ньютона , , , … и тогда получим для :
-
сумму трех нечетных слагаемых, равную нечетному числу.
Для :
-
сумму пяти нечетных слагаемых, равную нечетному числу.
Для степени - простой можно доказать, что
при и нечетных
(3) -
сумма нечетных слагаемых, равная нечетному
числу (Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. –
1988. - №10. – С. 23).
*******
Пусть (4),
где - нечетное число (на основании (3)).
Тогда уравнение (2)
примет вид:
(5),
где - четное число, которое можно
представить в виде
(6),
где - целое число (при = 0 а = 0, что противоречит
нашему допущению),
(4)
– нечетное число.
Тогда из соотношения (5)
с учетом (6) получаем:
,
т.е. (7), где -
целое число (), -
натуральное число.
Сумму же нечетных чисел и обозначим
через , т.е.
(8),
где - целое число (,
т.к. и -
взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю).
Из (7) и (8) определим и :
=>
=>
Откуда (11) - нечетное число при - нечетном и -
четном, т.к. , причем (12) (явно) при .
********
Вывод:
На основании (8) и (11)
имеем: (13) - нечетное число;
из соотношений (7) и (12)
имеем: (14) (явно) при .
Это дополнительная
информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая
в дальнейшем нам очень пригодится.
*******
Теперь попробуем выразить
сумму квадратов чисел c
и . Учитывая соотношения (9) и (10),
получим:
Таким образом, получили
следующее уравнение:
(15),
где - целые числа, которые, являясь
решениями уравнения (15), в свою очередь, могут быть выражены через другие целые
числа следующим образом:
(16) - нечетное число при - нечетном;
(17) - нечетное число при - нечетном;
(18) - нечетное число при - нечетном;
(19) - четное число.
Примечание: во всех последующих исследованиях
(Случаях) нас не будут интересовать
t =0 и r=0 (при t =0 и - четные из (16) и (17), при r=0 = 0 (из (19)) => а
= 0 (из (6)), что противоречит нашему допущению).
*******
Примечание.
Общий вид уравнения (15)
следующий:
(20) ,
целыми решениями которого (это известный факт в
теории чисел) являются:
(21) ;
(22) ;
(23) ;
(24) , где - целые
числа.
То, что (21), …, (24) являются
решениями уравнения (20), легко проверяется их подстановкой в данное уравнение
(20), которое при этом превращается в тождество.
*******
Для простоты обозначим правые
части уравнений (16), …, (19) буквами С, В, N, К, т.е.
= С
= В
= N
= К,
и рассмотрим случай,
когда в правых частях уравнений (16), …, (19) перед С, В, N, К, стоят
«плюсы» и выполняется Условие 1.
Условие1 (начало).
с = С
b = B
n = N
Случай «+».
(16+) = С - нечетное число при - нечетном;
(17+) = В - нечетное число при - нечетном;
(18+) = N - нечетное число при - нечетном;
(19+) = К - четное число.
Казалось бы, все в
порядке: четность в (16+), …, (19+) совпадает
при -нечетном с нашими предыдущими
рассуждениями.
Однако не все так просто.
Помимо всего прочего, у
нас есть еще две дополнительные информации (13) и (14) (о
четности, заключенной в «Выводе» (стр.5)), вытекающие из
предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 1», допустим,
существуют попарно взаимно простые целые числа .
Попробуем найти сумму , воспользовавшись их
выражениями (16+) и (17+):
,
т.е. пропорционально 4, откуда следует,
учитывая (13) в «Выводе» (стр.5), !
Т.е., вопреки «Выводу», в
Случае «+» является не нечетным,
а четным числом, что возможно (из (18+)) при -четном.
Однако, если - четное, то (в (16+) и (17+)) являются
четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа -
четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми
числами.
Мы пришли к противоречию
в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения
(1) попарно взаимно простых целых решений.
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в
данном Условии 1 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
*******
Казалось бы, 1-я часть «Утверждения
1» доказана. На самом деле у уравнения (15) есть
еще решения. Нетрудно догадаться, что решениями уравнения (15)
являются следующие выражения n, :
Случаи «+» и «-».
(16±) ;
(17±) ;
(18±) ;
(19±) .
Мы рассмотрели случай,
когда перед скобками в (16±), …,(19±) стояли только «плюсы» (Случай «+»)
******
Случай «-».
(16-) ;
(17-) ;
(18-) ;
(19-) .
Случай, когда перед теми
же скобками стоят только «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному
Случаю «+».
И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует,
(учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)), !
Т.е., вопреки «Выводу», и
в этом Случае «-» является не
нечетным, а четным числом, что возможно (из (18-)) при -четном.
Однако, если - четное, то (в (16-) и (17-))
являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не
являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречию
(в Случае «-») с нашим предположением о существовании у уравнения
(1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
Вывод. Следовательно, уравнение (1) в
данном Условии 1(начало) не имеет решений в целых попарно взаимно
простых отличных от нуля числах.
*******
Примечание.
Осталось рассмотреть еще
14 случаев, когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки
(плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 1.
********
Т.к. уравнение (15) симметрично
для с и b (для уравнения
(15) они равнозначны), то с и b могут обмениваться не только знаками
«+» и «-», но и
своими выражениями (C и
В). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому
аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда
опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.
Условие 2 (начало)
с = B
b = С
n = N
«Новые» случаи «+» и «-».
(16´±) c =±
В
(17´±) b =±С
(18±) =± N
(19±) =±К
И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая
(13) в «Выводе» (стр.5)), !
Т.е., вопреки «Выводу», и
в этих «Новых» случаях «+» и «-» является
не нечетным, а четным числом, что возможно(из (18±)) при -четном.
Однако, если - четное, то (в ((16´±) и ((17´±))
являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не
являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречию
(в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о
существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в
данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно
простых отличных от нуля числах.
*******
Примечание
Осталось рассмотреть еще
14 случаев (пояснение ниже), рассматривающих «новые
свойства », когда перед С, В, N, К стоят
всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом во 2-ой части
данного Утверждения 1.
********
Уравнение (15) симметрично и для n и для (для
уравнения 15 они равнозначны), которые тоже могут меняться своими
выражениями (N
и К). Это
свойство назовем «похожим свойством n и ». А это означает, что нам придется
рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и
«-», в которых n
и меняются своими выражениями (N и К )).
Условие 3
c = C
b = B
n = К
N
« Похожие» случаи «+» и «-».
(16±) с = ± С = ± ()
(17±) b = ± В =± ()
(18´±) n = ± К = ± ()
(19´±) = ± N= ± ()
Согласно одному из Выводов
(формула (14)) (явно) при . Но это возможно, глядя на (19´±)
= ±N= ±() только при t- четном, при которых в (16±) и (17±) c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию
(в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о
существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
В остальных 14
«похожих» случаях, где
опять же = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоят всевозможные
знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не
затрагивая «новые свойства » (пояснение
следует)), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть.
Это значит, что мы опять придем
к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения
(1) попарно взаимно простых целых решений.
********
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в
данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
********
Пояснение (почему не надо в Условии 3 затрагивать «новые
свойства »).
Запишем Условия (1, …,
3).
Условие 1 Условие 2 Условие
3 Условие 2+3
с = С с = B c = C c = B
b = B b = С b = B => b = C
n = N n = N n = К n = К
Если теперь поменять
обозначения между собой в Условии 2+3 с на
b,
а b на c
в верхних двух строчках и
n на , а
на n в нижних двух строчках, то вернемся снова к
обозначениям в Условии 1, которое во 2-й части «Утверждения 1»
нами будет исследовано до конца:
Условие 2+3 Условие 1
c = B b = B с = С
b = C => с = С => b = B
n = К n = N
n = N
Вывод.
1. Таким образом, в
вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3,
Уравнение (1) (, - натуральные числа, где при -
натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых
числах , и таких, чтобы -
было четным, и -
нечетными целыми числами.
2. 1-я часть «Утверждения
1» (для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.
*********
Часть вторая (Утверждения1)
Возможны случаи: либо , либо .
(Об «Исключении» из
общего правила)
Доказательство
Условие 1 (продолжение).
Всего случаев 16. Два из них рассмотрели в 1-й части
Утверждения 1 (Случаи «-» и «+»).
Осталось рассмотреть еще 14
случаев, когда перед С, В, N и К в решениях уравнения (15) стоят
разные знаки.
Пояснение.
Случаев всего 14, когда перед С, В, N и К в решениях уравнения (15) стоят
разные знаки и число
их равно числу Р перестановок из m = 4 элементов (c, b, n и )
по n = 1; 2; 3 элементов (плюсов (+)
перед С, В, N и К) в каждом (по n = 0; 4 элементов ( Р = 1+1 = 2 ) мы уже
рассмотрели - это 2 случая: Случаи «-» и «+» соответственно):
********
Случай 1.
(16)
(17′)
(18)
(19)
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (14) и (19),
можно получить разность :
=>
.
Выразим из (25) и (26) :
=>
=>
.
По условию должны
быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид:
,
, а их сумма .
Т.к. из (8) , то =>
.
Из (19) с учетом (29)
выразим :
,
т.е. .
Т.о., , ,
т.е.
,
выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают
с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′)
и (18), найдем сумму :
т.к. , т.е. .
(Здесь чередование
«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих
действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32),
получим значение для b:
,
т.к. из (29) вытекает .
Итак, .
Учитывая (35), получим => .
Теперь, с учетом
(38),можно получить окончательное выражение для с (из (34)):
,
т.е. .
Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются
(16), (17′), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения:
, ,
, ,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 2
Нетрудно догадаться, что
если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по
знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19), мы бы получили, в
конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39), (37), (38)
и (33), т.е.
,
,
,
,
где - взаимно простые нечетные целые
числа.
*******
Случай 3
(16)
(17′)
(18)
(19′).
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (14) и (19′),
можно получить разность :
- =>
(26′).
Выразим из (25) и (26′)
:
=>
=>
.
По условию должны быть взаимно простыми целыми нечетными
числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид:
(30′),
(31′), а их сумма .
Т.к. из (8) , то =>
.
Из (19´) с учетом
(29) выразим :
,
т.е. (33´).
Т.о., , ,
где ,
т.е. (34´), (35´),
выражения которых, с учетом (33´), полностью совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′)
и (18), найдем сумму :
т.к. , т.е. .
(Здесь чередование
«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В
последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32),
получим значение для b:
,
т.к. из (29) вытекает .
Итак, .
Учитывая (35´),
получим => ().
Теперь, с учетом (), можно получить окончательное
выражение для с (из (34´)):
,
т.е. (39´´).
Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются
(16), (17′), (18) и (19´), в конечном счете имеет следующие
решения:
(39´´), (38´´),
где - взаимно простые нечетные
, (33´), целые числа.
********
Случай 4
Нетрудно догадаться, что
если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по
знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19´), мы бы получили, в
конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39´´),
(37), (38´´) и (33´), т.е.
(39´´´), (38´´´),
(37´), (33),
где - взаимно простые нечетные целые
числа.
Подведем некоторый итог.
Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (15).
Ранее мы обозначили правые
части уравнений (16),…, (19) буквами С, В, N, К, т.е
=
С
=
В
=
N
=
К
Тогда эти первые 4
случая следующие:
1. (16) 2.
(16´) (39´)
(17´) (37)
(17) (37´)
(18) (18´)
(38´)
(19) (33)
(19´) (33´)
3. (16) (39´´)
4. (16´) (39´´´)
(17´) (37)
(17) (37´)
(18) (38´´)
(18´) (38´´´)
(19´) (33´) (19) (33)
*********
Рассмотрим еще 10
случаев.
5. с = С 6. с = - С
7. c = C 8. c = - C
b = - B b = B b = - B b = B
n= - N n = N n = - N n = N
9. с = С. 10. с = -С
11. с = С 12. с = -С
b = B b = -B b = B b = -B
n =- N n = N n = N n =- N
13. с = С 14. с = -С
b = B b =- B
n =- N n = N
*******
Итак, рассмотрим случай 5.
Случай 5
(16)
(17´)
(18´)
(19).
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (14) и (19),
можно получить разность :
=>
.
Выразим из (25) и (26) :
=>
=>
.
По условию должны быть взаимно простыми целыми
числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид:
,
, а их сумма .
Т.к. из (8) , то =>
.
Из (19) с учетом (29) выразим
:
,
т.е. .
Т.о., , ,
т.е.
,
выражения которых, с учетом (33), полностью
совпадают с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′)
и (18´), найдем разность :
т.к. , т.е. (36´).
(Здесь чередование
«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих
действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32),
найдем разность (b-n)-n:
где .
Т.к. b + c =2n, то b-2n = b - (b + c) = - c = -1 => c = 1 (40).
Учитывая (34), получим => (38´).
Теперь, с учетом
(38´), можно получить окончательное выражение для b (из (35)):
,
т.е. (41).
Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются
(16), (17′), (18´) и (19), в конечном счете, имеет следующие
решения:
(41),
, где - взаимно
простые нечетные целые (40), (38´), числа
*******
Случай 6
Нетрудно догадаться, что
если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с
решениями (16), (17′), (18´) и (19), мы бы получили, в конечном
итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41), (38´´)
и (33), т.е.
(40´), (38),
(41´),
(33´), где - взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Случай7
(16)
(17´)
(18´)
(19´)
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (14) и (19´),
можно получить разность :
=>
(26´).
Выразим из (25) и (26´)
:
=>
=>
.
По условию должны быть взаимно простыми целыми
числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид:
(30´),
(31´), а их сумма .
Т.к. из (8) , то =>
.
Из (19´), с учетом
(29), выразим :
,
т.е. (33´).
Т.о., , ,
т.е.
(34´),
(35´),
выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают
с (9) и (10).
Теперь, с учетом (17′)
и (18´), найдем разность :
т.к. , т.е. (36´).
(Здесь чередование
«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих
действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32),
найдем разность (b-n)-n:
где
.
Т.к. b+c=2n, то b-2n = b-(b+c) = -c = -1 => c = 1 (40).
Учитывая (34´),
получим => (38´´´).
Теперь, с учетом (38´´´),
можно получить окончательное выражение для b (из (35´)):
,
т.е. (41´´).
Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются
(16), (17′), (18´) и (19´), в конечном счете, имеет следующие
решения:
(40), (38´´´),
(41´´),
(33´), где - взаимно простые нечетные целые
числа.
*******
Случай 8
Нетрудно догадаться, что
если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с
решениями (16), (17′), (18´) и (19´), мы бы получили, в
конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (40), (41´),
(38´´´) и (33´), т.е.
(40´), (38´´),
, (33),
где - взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Вывод
Итак, после анализа
полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (15) , где c и b – взаимно простые целые нечетные числа, имеет
решение в следующих целых числах:
а) ; ; ; ;
б) ; ; ; .
А это в свою очередь
означает, что и уравнение при
вышеназванных условиях (смотри Утверждение1) может иметь целые решения
либо при , либо при .
Случай 9
(16)
(17)
(18´)
(19)
Из (16) и (17) имеем:
Учитывая (14) и (19),
можно получить разность другим способом:
=>
.
Следовательно,
==> 2t = 4r ( ≠ 0, т.к. в
(26´´) с ≠ b) => t = 2r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию
с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно
взаимно простых целых решений.
*********
Случай 10
(16´)
(17´)
(18)
(19´),
т.е. по сравнению с
предыдущим случаем 9 здесь знаки перед скобками противоположные, а
потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае
9.
Действительно, из
(16´) и (17´) имеем:
Учитывая (14) и
(19´), можно получить разность другим способом:
- =>
.
Следовательно, -=-=>
2t = 4r ( ≠ 0, т.к. в
(26´´) с ≠ b) => t = 2r (32´) => в (16´) и
(17´) c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию
с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно
взаимно простых целых решений.
********
Случай 11
(16)
(17)
(18)
(19´)
Из (16) и (17) имеем:
Учитывая (14) и
(19´), можно получить разность другим способом:
- =>
.
Следовательно, =-=>
2t = - 4r ( ≠ 0, т.к. в
(26´´) с ≠ b) => t = -2r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию
с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно
взаимно простых целых решений.
Случай 12
(16´)
(17´)
(18´)
(19),
т.е. по сравнению с
предыдущим случаем 11 здесь знаки перед скобками противоположные, а
потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае
11.
Действительно, из
(16´) и (17´) имеем:
Учитывая (14) и (19),
можно получить разность другим способом:
=>
.
Следовательно, -==>
2t = - 4r ( ≠ 0, т.к. в
(26´´) с ≠ b) => t = -2r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию
с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно
взаимно простых целых решений.
*******
Случай 13
(16)
(17)
(18´)
(19´)
Из (16) и (17) имеем:
Учитывая (14) и
(19´), можно получить разность другим способом:
- =>
.
Следовательно, =-=>
2t = - 4r ( ≠ 0, т.к. в
(26´´) с ≠ b) => t = -2r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию
с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно
взаимно простых целых решений.
********
Случай 14
(16´)
(17´)
(18)
(19),
т.е. по сравнению с
предыдущим случаем 13 здесь знаки перед скобками противоположные, а
потому (по понятным причинам) результат будет таким же, что и в случае
13.
Действительно, из
(16´) и (17´) имеем:
Учитывая (14) и (19),
можно получить разность другим способом:
=>
.
Следовательно, -==>
2t = - 4r ( ≠ 0, т.к. в
(26´´) с ≠ b) => t = -2r (32´) => в (16) и (17) c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию
с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно
взаимно простых целых решений.
***********
Вывод.
1. Таким образом,
случаи 9,…, 14 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.
2. Условие 1 (продолжение)
нами полностью рассмотрено.
**********
Условие 2 (продолжение).
Ранее мы отмечали, что
уравнение (15) симметрично для с и b, поэтому с и b могут меняться своими выражениями (C и В). Это свойство нами было
названо «новым свойством ».
В 1-й части Утверждения 1
мы рассмотрели два «Новых» случая «+» и «-».
Осталось исследовать еще
14 случаев, рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят
всевозможные знаки (плюсы и минусы).
********
«Новый» случай 15
(Отличающийся «новым свойством » от случая 1: с
= С, b= -В, n= N, K)
с = - В (16-B),
b= С (17+C),
n= N (18),
K (19) - это общие решения уравнения (15), окончательным
видом которых являются (это мы покажем далее) окончательные решения
уравнения (15) в случае 8, т.е.
(40´), (38´´),
, (33),
где - взаимно простые нечетные целые
числа.
Доказательство
Сумма имеет вид:
Учитывая (14) и (19),
можно получить разность :
=>
.
Выразим из (25) и (26) :
=>
=>
.
По условию должны быть взаимно простыми целыми
числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид:
,
, а их сумма .
Т.к. из (8) , то =>
.
Из (19) с учетом (29) выразим
:
,
т.е. .
Т.о., , ,
т.е.
, выражения которых, с учетом (33), полностью
совпадают с (9) и (10).
Теперь найдем сумму с:
т.к. , т.е. .
(Здесь чередование
«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих
действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (32),
получим значение для с:
,
т.к. из (29) вытекает .
Итак, .
Учитывая (34), получим => .
Теперь, с учетом (38´´),
можно получить окончательное выражение для b (из (35)):
,
т.е. .
Таким образом, уравнение (15), решениями которого являются
(16-B), (17+C), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения (являющиеся
окончательными решениями в случае 8):
, где - взаимно простые нечетные целые числа, ч.т.д.
*********
Примечание
То, что окончательные решения
в случаях 15 и 8 одинаковые, вытекает и из следующего
соображения, которое используем в дальнейшем (для быстроты суждений).
Случай 15. Случай 8
с = - В (16-B),
с = - С (16´),
b= С (17+C),
b= В (17),
n= N (18), n= N (18),
K (19), K (19).
У этих случаев одинаковые
знаки в правых частях с и b, но разные выражения (С и В),
в остальном эти случаи похожи.
Соображение
Если в этих случаях
решения совпадают, значит, у них надо выявить что-то общее. Этим общим
свойством для них являются произведение и разность с и b.
«Общие свойства для с и b»:
сb= -СВ, с – b= -С -В, с – b=2К
Воспользуемся свойствами
корней квадратного уравнения (теоремой Виета). Имеем:
с(-b)= СВ, с+(– b)= -С -В = 2К.
Отсюда получаем квадратное
уравнение
- 2К+ С В = 0 =>
X1,2 = К ,
где, например, Х1
= -b, а Х2
= с, то есть
Х1 = -b = К +=+=
+= + = -В
=> b =
В,
где на основании и
Х1 = - b= -
Х2= с = К-= -=
-= - = -С
=> с = -
С,
где на основании (40´)
и Х2 = Таким образом, мы
получили случай 8:
Случай 8
с = - С (16´),
b= В (17),
n= N (18),
K (19),
где
, а - взаимно простые нечетные целые числа.
Теперь обозначим Х1
= с, а Х2 = - b. Тогда получим:
Х1 =
с =
К+=+= += + = -В => с = -В,
где на основании (40´)
и Х1 = с
= -1.
Х2 = -
b = К-= -=
-= - = -С
=> - b= -С =>
b = С,
где на основании и
Х2 = -
Таким образом, мы
получили случай 15:
Случай 15
с = -В (16-B),
b= С (17+C),
n= N (18),
K (19),
где
, а - взаимно простые нечетные целые числа.
Таким образом, одно и то
же квадратное уравнение - 2К+ С В = 0, дает
одинаковые решения X1,2 = К (X1(2) =- Х2(1)
= -1) и для Случая 8 и
для Случая 15, значит и одинаковые их окончательные решения:
, а - взаимно простые нечетные целые числа.
В этом мы непосредственно
и убедились.
Следовательно, «Общие
свойства для с и b» (сb= -СВ, с – b= -С -В, с – b= 2К) действительно определяют Случаи
15 и 8, имеющие одинаковые знаки у с и b и отличающиеся друг от друга у
них выражениями (С и В), а, значит, и одинаковый вид
их окончательных решений. Этой похожестью с и
b, их отличием друг от друга и
вышерассмотренными «Общими свойствами для с и b» мы воспользуемся при рассмотрении
последующих случаев.
*********
Вывод (критерий одинаковости
окончательных решений).
Если в каких-либо двух
случаях наблюдаются вышерассмотренные «Общие свойства для с и
b» ( сb = const´, с – b = const´´, с – b = const´´´ ), то в этих случаях окончательные
решения имеют одинаковый вид.
*********
«Новый» случай 16
(Отличающийся «новым свойством » от случая 2: с
= - С, b= В, n = -N, -K)
Случай 16. Случай 7.
с = В с = С
b= -С b= -В
n = -N n = -N
-K -K
Окончательные решения в случае
7:
(40), (38´´´),
(41´),
(33´),
где - взаимно простые нечетные целые
числа.
Воспользуемся
вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие
свойства для с и b» (сb= - СВ = const´, с – b= С+В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 16 и 7 имеют одинаковый
вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(40), (38´´´),
(41´),
(33´),
где - взаимно простые нечетные целые числа,
являющиеся и окончательными решениями уравнения (15) в случае 7.
********
«Новый» случай 17
(Отличающийся « новым свойством » от случая 3: с
= С, b= -В, n = N, -K)
Случай 17. Случай 6.
с = - В (16-B),
с = - С (16´),
b= С (17+C),
b= В (17),
n= N (18), n= N (18),
Окончательные решения в случае
6:
(40´), (38),
(41´),
(33´),
где - взаимно простые нечетные целые
числа.
Воспользуемся
вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие
свойства для с и b» (сb= - СВ = const´, с – b= -С –В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 17 и 6 имеют одинаковый
вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(40´), (38),
(41´),
(33´),
где - взаимно простые целые нечетные числа.
*********
«Новый» случай 18
(Отличающийся «новым свойством » от случая 4: с
= - С, b= В, n =- N, K)
Случай 18. Случай 5.
с = В (16+B),
с = С (16),
b=- С (17-C),
b= -В (17´),
n=- N (18´), n= -N (18´),
K (19), K (19).
Окончательные решения в случае
5:
(40), (38´),
(41),
,
где - взаимно простые нечетные целые
числа.
Воспользуемся
вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие
свойства для с и b» (сb= - СВ = const´, с – b= С +В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 18 и 5 имеют одинаковый
вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(41),
,
где - взаимно простые нечетные целые (40), (38´), числа.
********
«Новый» случай 19
(Отличающийся «новым свойством » от случая 5: с
= С, b=- В, n =- N, K)
Случай 19. Случай 4.
с = - В (16-B),
с = - С (16´),
b= С (17+C),
b= В (17),
n=- N (18´), n= -N (18´),
K (19), K (19)
Окончательные решения в случае
4:
(39´´´), (38´´´),
(37´), (33),
где - взаимно простые нечетные целые
числа.
Воспользуемся
вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие
свойства для с и b» (сb= - СВ = const´, с – b= -С - В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 19 и 4 имеют одинаковый
вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(39´´´), (38´´´),
(37´), (33),
где - взаимно простые нечетные целые
числа.
********
«Новый» случай 20
(Отличающийся «новым свойством » от случая 6: с
= - С, b= В, n = N, -K)
Случай 20. Случай 3.
с = В (16+B),
с = С (16),
b= -С (17-C),
b= -В (17´),
n= N (18), n= N (18),
-K (19´), -K (19´).
Окончательные решения в случае
3:
(39´´), (38´´),
, (33´),
где - взаимно простые нечетные целые
числа.
Воспользуемся
вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие
свойства для с и b» (сb= - СВ = const´, с – b= С + В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 20 и 3 имеют одинаковый
вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(39´´), (38´´),
где - взаимно простые нечетные
, (33´), целые числа.
********
«Новый» случай 21
(Отличающийся «новым свойством » от случая 7: с
= С, b= -В, n = -N, -K)
Случай 21. Случай 2.
с = -В (16-B),
с = - С (16´),
b= С (17+C),
b= В (17),
n=- N (18´), n= -N (18´),
-K (19´), -K (19´).
Окончательные решения в случае
2:
,
,
где - взаимно простые нечетные целые числа
Воспользуемся
вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие
свойства для с и b» (сb= - СВ = const´, с – b= - С - В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 21 и 2 имеют одинаковый
вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
,
,
,
,
где - взаимно простые нечетные целые
числа.
*********
«Новый» случай 22
(Отличающийся «новым свойством » от случая 8: с
= -С, b= В, n = N, K)
Случай 22. Случай 1.
с = В (16+B),
с = С (16),
b= -С (17-C),
b=- В (17´),
n= N (18), n= N (18),
K (19), K (19)
Окончательные решения в случае
1:
, ,
,
где - взаимно простые нечетные целые
числа.
Воспользуемся
вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие
свойства для с и b» (сb= - СВ = const´, с – b= С + В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 22 и 1 имеют одинаковый
вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
, ,
, ,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
**********
Вывод
Таким образом, в
«Новых» случаях 15,…, 22 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.
*********
«Новый» случай 23
(Отличающийся «новым свойством » от случая 9: с
= С, b= В, n = -N, K)
Случай 23. Случай 12.
с = В (16+B),
с = - С (16´),
b= С (17+C),
b= - В (17´),
n= - N (18´), n= - N (18´),
K (19), K (19)
Окончательный вывод в случае
12: c и b – четные, чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным
«Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие
свойства для с и b» (сb= СВ = const´, с – b= -С + В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 23 и 12 имеют одинаковый
вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию
с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно
взаимно простых целых решений.
********
«Новый» случай 24
(Отличающийся «новым свойством » от случая 10: с
= -С, b= -В, n = N, -K)
Случай 24. Случай 11.
с = -В (16-B),
с = С (16),
b=-С (17-C),
b= В (17),
n= N (18), n= N (18),
-K (19´), -K (19´).
Окончательный вывод в случае
11: c и b – четные, чего не должно быть.
Воспользуемся
вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие
свойства для с и b» (сb= СВ = const´, с – b= С - В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 24 и 11 имеют одинаковый
вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию
с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно
взаимно простых целых решений.
*******
«Новый» случай 25
(Отличающийся « новым свойством » от случая 11: с
= С, b= В, n = N, -K)
Случай 25. Случай 10.
с = В (16+B),
с = - С (16´),
b= С (17+C),
b= - В (17´),
n= N (18), n= N (18),
-K (19´), -K (19´).
Окончательный вывод в случае
10: c и b – четные, чего не должно быть.
Воспользуемся
вышерассмотренным «Соображением » и его «Выводом».
Т.к. «Общие
свойства для с и b (сb= СВ = const´, с – b= -С + В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 25 и 10 имеют одинаковый
вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию
с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно
взаимно простых целых решений.
*********
«Новый» случай 26
(Отличающийся «новым свойством » от случая 12: с
= - С, b=- В, n = -N,K)
Случай 26. Случай 9.
с = - В (16-B),
с = С (16),
b= - С (17-C),
b= В (17),
n= - N (18´), n= - N (18´),
K (19), K (19).
Окончательный вывод в случае
9: c и b – четные, чего не должно быть.
Воспользуемся
вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие
свойства для с и b» (сb= СВ = const´, с – b= С - В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 26 и 9 имеют одинаковый
вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию
с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно
взаимно простых целых решений.
********
«Новый» случай 27
(Отличающийся «новым свойством » от случая 13: с
= С, b= В, n = -N,-K)
Случай 27. Случай «-».
с = В (16+B),
с = - С (16´),
b= С (17+C),
b= - В (17´),
n= - N (18´), n= - N (18´),
-K (19´), -K (19´).
Окончательный вывод в случае
«-»: c и b – четные, чего не должно быть.
Воспользуемся
вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие
свойства для с и b» ( сb= СВ = const´, с – b= - С + В = const´´, с – b= - 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 27 и «-» имеют одинаковый
вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию
с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно
взаимно простых целых решений.
********
«Новый» случай 28
(Отличающийся «новым свойством » от случая 14: с
= - С, b= -В, n = N,K)
Случай 28. Случай «+».
с = - В (16-B),
с = С (16),
b= - С (17-C),
b= В (17),
n= N (18), n= N (18),
K (19), K (19).
Окончательный вывод в случае
«+»: c и b – четные, чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным
«Соображением » и его «Выводом».
Т.к. «Общие
свойства для с и b (сb= СВ = const´, с – b= С - В = const´´, с – b= 2К = const´´´ ) выполняются, то Случаи 28 и «+» имеют одинаковый
вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию
с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно
взаимно простых целых решений.
********
Вывод
1. Таким образом, «Новые»
случаи 23,…, 28 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.
2. Условия 1 и 2
( продолжения ) Утверждения(1) нами рассмотрены.
*********
Итак, уравнение (15) , если c и b – взаимно простые целые нечетные числа,
имеет решение (после анализа всех полученных решений)
только в следующих целых числах:
а) ; ; ; ;
б) ; ; ; .
А это в свою очередь
означает, что и рассматриваемое уравнение (, -
натуральные числа, где при -
натуральном) может иметь целые решения либо при ,
либо при .
************
Вывод: 2-я часть «Утверждения 1» доказана.
В результате исследования
уравнения (1) мы имеем:
Вывод 1. Уравнение (1) (, -
натуральные числа, при -
натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых
числах , и таких, чтобы -
было четным, и -
нечетными целыми числами.
Возможны случаи: либо , либо .
*******
В качестве подтверждения
можно рассмотреть такой пример.
Пример
Нетрудно доказать вышерассмотренным
методом, что уравнение (42), где - натуральное число, a – четное, b и c нечетные целые числа, не имеет решений в отличных
от нуля попарно взаимно простых целых числах a, b, c. (Хотя ход доказательства несколько
отличается, т.к. == с +
b - число четное при q = 2 и b и c нечетных целых числах).
При «Исключением» являются , или .
(При «Исключением» являются,
например, или ,
при которых а = 2 и выполняется тождество (этот случай рассматривать не будем).
Действительно, решениями
уравнения, например, a3 = c2 - b2 (43) являются
(это хорошо известно в теории чисел) следующие выражения:
a = α2 – δ2 - четное
число при α и δ – нечетных или четных.
c = α3 + 3αδ2
- четное число при α
и δ – нечетных или четных.
b = 3α2δ + δ3 - четное
число при α и δ – нечетных или четных.
(Такой же результат получается (a,
c, b – четные числа) для любого уравнения
(42), где - натуральное.)
Однако вернемся к
уравнению (43) a3 = c2 - b2.
«Исключением» являются следующие его решения:
1. b = ±1; c = ±3; a = 2 (при
r = 1 и =
±3);
2. b = 3; c = ±1; a = -2 (при r = -1 и = 3),
при которых получаем
соответственно тождества:
1. 23 ≡
(±3)2 – (±1)2
2. (-2)3 ≡
(±1)2 – (±3)2
**********
Примечание.
1.
Великая
теорема Ферма для доказывается аналогичным способом,
примененным при доказательстве «Утверждения 1», в результате чего возникает
«противоречие» при оценке четности чисел a, b, c. Это мы покажем ниже
при доказательстве «Утверждения 2».
2.
Для степени p = 2 в уравнении такого «противоречия» при оценке
четности чисел a, b, c не возникает.
3.
Данное «Утверждение
1» автоматически доказывает справедливость Великой теоремы Ферма для
показателя простом, т.к. она является частным
случаем этого «Утверждения 1» при простом.
Имея дело с уравнением (44) , где простое, a, b, c - целые
отличные от нуля числа, становится возможным применение метода бесконечного
спуска, о чем в свое время упоминалось самим Ферма.
«Исключение» (b = ±1 или c = ±1) в «Утверждении
1» на Великую теорему Ферма не распространяется, т.к. в теории
чисел хорошо известно, что целые числа a, b, c, удовлетворяющие
соотношению (44) (если такие существуют) должны удовлетворять неравенствам |
a | > p, | b | > p, | c
| > p (Постников М.М. Введение в теорию
алгебраических чисел. – М. – Наука. – 1982. - С. 13).
Вывод: Великая теорема Ферма для
степени простом доказана.
********
Утверждение 2,
частным случаем
которого является Великая теорема Ферма, для показателя q = 4
Часть 1
Уравнение ( -
четное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля
попарно взаимно простых целых числах , и таких,
чтобы - было четным, и
- нечетными целыми числами.
Часть 2
Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.
**********
Часть первая (Утверждения 2)
Уравнение ( -
четное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от
нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких,
чтобы - было четным, и
- нечетными целыми числами.
Доказательство
Итак, имеем уравнение (1), где -
четное, числа a, b, c (если, конечно, они существуют)
– попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение – вопреки
«Утверждению 2»), среди которых только одно четное число a.
Из уравнения (1) следует:
=> (2).
Пусть (3), где и β - целые числа, отличные от
нуля и c2 + b2 = 2 β (4), где β –
нечетное число при c и b- нечетных.
*********
Примечание
То, что β в уравнении (4) нечетное число,
хорошо известный факт в теории чисел, который легко доказывается.
Представим нечетные
числа b и c в виде:
b = 2n1 + 1; c = 2n2 + 1,
где n1 и n2 - произвольные целые числа. Тогда
b2 + c2 = (2n1 + 1)2 + (2n2 + 1)2 = 2 [2 (n12+n22+n1+n2) + 1],
где в квадратных
скобках нечетное число, что и требовалось доказать.
*******
Тогда из уравнения (2)
следует (с учетом (3) и (4):
=
, где c2 + b2 ≠ 0, т.к. c ≠ 0, b ≠ 0, т.е.
(5),
где k – целое число, отличное от нуля, т.к. c и b взаимно простые целые числа (при – целое число k - четное число, т.к. пропорционально 4
(явно) при b и с – нечетных числа => 2l-2k – четное число при).
Из соотношений (4) и (5)
определяем b2 и c2:
=>
=>
Откуда β = b2 + 2l-2k (8) - нечетное число (из
(4)) при b – нечетном и 2l-2k - четном.
*********
Вывод:
1.
Из соотношения (4)
имеем:
(9) - нечетное
число.
2.
Из соотношения (5)
имеем:
(10) пропорционально
2 (явно), т.е. - четное число.
Это дополнительная
информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая
в дальнейшем нам очень пригодится.
*******
Теперь попробуем выразить
сумму четвертых степеней чисел c и . Учитывая соотношения (6) и (7),
получим:
,
т.е. (11),
где - целые числа, которые, в свою
очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для ), могут быть выражены через другие целые
числа следующим образом:
(12) - нечетное
число при - нечетном;
(13) - нечетное
число при - нечетном;
(14) - нечетное
число при - нечетном;
(15) -
четное число.
Примечание: во всех последующих исследованиях
(Случаях) нас не будут интересовать t =0 и r=0 (при t =0 и - четные из (12) и (13), при r=0 = 0 (из (15)) => а
= 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению). .
*******
Для простоты опять обозначим
правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.
= С
= В
= N
= К,
и рассмотрим случай,
когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят
«плюсы» и выполняется Условие1.
********
Условие1 (начало)
с2 = С
b2 = B
= N
Случай «+».
(12+) - нечетное число при - нечетном;
(13+) - нечетное число при - нечетном;
(14+) - нечетное число при - нечетном;
(15+) - четное число.
Казалось бы, все
нормально: четность чисел в (12+),…, (15+)
совпадают при - нечетном с нашими
предыдущими рассуждениями.
Однако не все так
просто.
Помимо всего прочего, у
нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности,
заключенной в «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения о
том, что, вопреки условию «Утверждения 2», допустим,
существуют попарно взаимно простые целые числа .
Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями
(12+) и (13+):
,
т.е. => () пропорционально
4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),
!
Т.е., вопреки
«Выводу», является не нечетным, а
четным числом, что возможно (из (14)) при -
четном.
Однако, если - четное, то (в
(12+) и (13+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа
- четные, а потому
не являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречию
в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения
(1) попарно взаимно простых целых решений.
********
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1 (начало) не
имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных
от нуля числах, где - четное натуральное число.
********
Мы рассмотрели случай,
когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы».
Случай, когда перед
теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Вывод
тот же. (Смотри Случай «-» на стр.8.)
********
Примечание
Осталось рассмотреть еще
14 случаев, когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки
(плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения
2.
********
Т.к. уравнение (11) симметрично
для с2 и b2, (для
уравнения (11) они равнозначны), то с2 и b2 могут меняться своими выражениями (C и В). Это свойство назовем «новым
свойством ». Поэтому аналогичны
вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять
перед теми же В, С, N и К стоят
одинаковые знаки.
Условие 2 (начало)
с2 = В
b2 = С
= N
«Новые» случаи «+» и «-».
(12´±) c2 =±
В
(13´±) b2=±С
(14±) =±
N
(15±) =±К.
И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует,
(учитывая (13) в «Выводе» (стр.36)), !
Т.е., вопреки «Выводу», и
в этих «Новых» случаях «+» и «-» является
не нечетным, а четным числом, что возможно(из (14±)) при -четном.
Однако, если - четное, то (в ((12´±) и ((13´±))
являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не
являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречию
(в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании
у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в
данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно
простых отличных от нуля числах.
*******
Примечание
Осталось рассмотреть еще
14 случаев, рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят
всевозможные знаки (плюсы и минусы).
********
Уравнение (11) симметрично и для и
для (для уравнения (11) они равнозначны),
которые тоже могут меняться своими выражениями (N и К). Это свойство назовем «похожим
свойством и ».
А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих»
случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых и меняются
своими выражениями (N и
К)).
Условие 3.
с2 = С
b2 = B
= К
« Похожие» случаи «+»
и «-».
(12±) c2 = ± ()
= ± С
(13±) b2 = ± () = ±
В
(14´±) =
= ±К
(15´±) = ± N
Согласно одному из Выводов
(формула (10) пропорционально 2 (явно),
при . Но это возможно, глядя на четное (15´±)
= ±N= ±() только при t- четном, при которых в (12±) и (13±) c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию
(в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о
существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
В остальных 14
«похожих» случаях, где
опять же = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоят всевозможные
знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не
затрагивая «новые свойства » (пояснение (стр.10),
подобное для при доказательстве
Утверждения 1), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть.
Это значит, что мы опять придем
к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения
(1) попарно взаимно простых целых решений.
********
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в
данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
*******
Вывод
1. Таким образом, в
вышеприведенных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1) (1), где -
четное натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно
простых отличных от нуля числах.
2. 1-я часть «Утверждения 2»
(для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.
*********
Часть вторая (Утверждения 2)
Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.
Доказательство
Казалось бы, мы должны
рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12),
…, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 1» в
части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к
известным значениям b
и c: либо (из
), либо (из
), либо b и c - четные чего не должно быть, (подобно доказательству части 2 «Утверждения
1»).
Для подтверждения
сказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1.
Условие 1 (продолжение).
Случай 1.
(12)
(13′)
(14)
(15)
,
которые также являются
решениями уравнения (11)
.
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (10) и (15),
можно получить разность :
=>
.
Выразим из (17) и (16) :
=>
=>
.
По условию должны быть взаимно простыми целыми
числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид:
,
, а их сумма .
Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то =>
.
Из (15) с учетом (20)
выразим :
,
т.е. .
Т.о., , ,
т.е.
,
выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают
с (6) и (7), т.е. с уравнениями
Теперь, с учетом (13′)
и (14), найдем сумму :
т.к.
, т.е. .
(Здесь чередование
«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих
действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (23),
получим значение для b2:
,
т.к. из (20) получается
(20′).
Итак, (28), что для целых чисел
неприемлемо.
Этот случай нас не
интересует.
********
Тем не менее
продолжим, т.к. результат,
который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26), получим
=>
.
Теперь, с учетом (29),
можно получить окончательное выражение для с 2 (из
(25)):
,
т.е. .
Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12),
(13′) , (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения:
, ,
(28), ,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 2
Нетрудно догадаться, что
если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с
решениями (12), (13′) , (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге,
решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.
(30´),
=> c = (30´), (29´)
(28´),
=> b = 1 (28´), (24´), где
-
взаимно простые нечетные целые числа.
Случай 3
(12)
(13′)
(14)
(15′)
,
которые также являются
решениями уравнения
(11).
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (10) и (15),
можно получить разность :
- =>
.
Выразим из (31) и (16) :
=>
(32)
=>
(33).
По условию должны быть взаимно простыми целыми
нечетными числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид:
(34),
(35), а их сумма .
Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то и .
Из (15´) с учетом
(20) выразим :
,
т.е. (24´).
Т.о., , ,
где, т.е.
,
,
выражения которых, с учетом (24´),
полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями
Теперь, с учетом (13′)
и (14), найдем сумму :
т.к. , т.е. .
(Здесь чередование
«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В
последующих действиях мы это учтем.)
Теперь, учитывая (23),
получим значение для b2:
,т.к.
из (20) получается
.
Итак, (28), что для целых чисел
неприемлемо.
Этот случай нас не
интересует.
*******
Тем не менее
продолжим, т.к. результат,
который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26´),
получим => (29´´).
Теперь, с учетом (29´´),
можно получить окончательное выражение для с 2 (из
(25´)):
,
т.е. (30´´).
Таким образом, уравнение (11), решениями которого
являются (12), (13′), (14) и (15´), в конечном счете имеет
следующие решения:
(30´´), ,
(28), (24´),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
***********
Случай 4
Нетрудно догадаться, что
если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по
знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15´), мы бы получили, в
конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям
(30´´), (28), (29´´) и (24´), т.е.
(30´´´), => (30´´´),
(29´´´), (28´), => b = (28´), (24),
где - взаимно простые нечетные целые
числа.
*******
Подведем некоторый
итог. Нами рассмотрено
4 случая решений уравнения (11).
Обозначим снова следующие
выражения буквами С, В, N, К:
=
С
=
В
=
N
=
К.
Тогда эти первые 4
случая следующие:
1. (12) 2.
(12´) (30´)
(13´) (28) (13) (28´)
(14) (29) (14´) (29´)
(15) (24) (15´) (24´)
3. (12) (30´´)
4. (12´) (30´´´)
(13´) (28) (13) (28´)
(14) (29´´) (14´) (29´´´)
(15´) (24´) (15) (24).
Рассмотрим еще 4
случая.
5. с2 = С 6. с2 =
- С 7. c2 = C 8. c2
= -C
b2 = - B b2
= B b2 = - B b2 = B
= - N =
N = - N =
N
*******
Итак, рассмотрим случай
5.
Случай 5.
(12),
(13´),
(14´),
(15)
, которые также являются решениями уравнения
(11)
Но данный случай аналогичен
случаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие
решения уравнения (15):
(41),
, где - взаимно
простые нечетные целые (40), (38´), числа.
Следовательно, в данном
рассматриваемом Случае 5 у уравнения (11) следующие решения:
(32) => b (32),
(24)
(31) => с = (31), (29´) ,
где взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Случай 6
Нетрудно догадаться, что
если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по
знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15), мы бы получили, в
конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31),
(29´) и (24), т.е.
(31´), (29),
(32´),
(24´), где - взаимно простые целые нечетные числа.
Но этот случай нас
не интересует, т.к. с не является целым числом.
*******
Случай 7
(12),
(13´),
(14´),
(15´),
которые также являются решениями уравнения
(11).
Но данный случай аналогичен
случаю 7 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие
решения уравнения (15):
(40), (38´´´),
(41´´),
(33´),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Следовательно, в данном
рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:
(31) => с = (31), (29´´´) ,
(32´) => b (32´´),
(24´),
где - взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Случай 8
Нетрудно догадаться, что
если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по
знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15´), мы бы
получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32´´),
(31), (29´´´) и (24´), т.е.
(31´), (29´´),
, (24),
где - взаимно простые целые нечетные числа.
Но этот случай нас
не интересует, т.к. с не является целым числом.
********
Вывод
Итак, после анализа
полученных решений в Случаях 1, …,8, уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные
числа, имеет решения в следующих целых числах:
а) ; b ; ; ;
б) ; ; ; .
********
Таким образом, само исследование
решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения
2 и его результат, полностью совпадают с исследованием
решений уравнения (15) (в аналогичных случаях при доказательстве
Утверждения 1) и с его результатом.
Действительно, вот,
например, результаты исследований уравнения (15) в первых 4-х случаях Условия
1(Утверждение 1, Часть 2):
1. (16) 2.
(16´) (39´)
(17´) (37)
(17) (37´)
(18) (18´)
(38´)
(19) (33)
(19´) (33´)
3. (16) (39´´) 4.
(16´) (39´´´)
(17´) (37)
(17) (37´)
(18) (38´´)
(18´) (38´´´)
(19´) (33´) (19) (33).
А вот результаты
исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 2,Часть
2):
1. (12) 2. (12´)
(30´)
(13´) (28)
(13) (28´)
(14) (29)
(14´) (29´)
(15) (24)
(15´) (24´)
3. (12) (30´´) 4.
(12´) (30´´´)
(13´) (28)
(13) (28´)
(14) (29´´)
(14´) (29´´´)
(15´) (24´) (15) (24).
Наблюдается полное
совпадение результатов (здесь подразумевается, что решения уравнения (15) c и b в верхних 4-х случаях соответствуют решениям уравнения
(11)
с2 и b2 в нижних 4-х случаях). То же самое
совпадение результатов наблюдается и в следующих за ними 4-х случаях.
********
Поэтому нетрудно понять,
что остальные результаты исследований случаев с 9-го по 28-й в данном
доказательстве Утверждения 2 (подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при
доказательстве Утверждения 1) тоже совпадут и никаких новых решений нам не
дадут, кроме как:
либо , либо ,
либо c и b не являются целыми числами, либо c и b – четные числа, чего не должно быть.
********
Из этого набора решений
уравнения (11) нас, естественно, интересуют только те, которые могут
являться решениями уравнения (1) (1),
где - четное натуральное число, т.е. либо
, либо .
*******
Но в теории чисел хорошо
известно (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. – М .-
Наука. – 1982. - С. 13), что для четных степеней уравнения (где , q=2 q)
- показатели четные при ≠ 0 и q ≠ 0 - натуральных, в
уравнении целочисленные
его решения (если они существуют) должны удовлетворять неравенствам:
|| > 2, | | > 2, | c|
> 2 => |a| > 1, | b | > 1, |c| > 1,
т.е. в уравнении a2+ b4 = c4 b и c => в уравнении (1) при - четном числе b и c,
т.е. случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.
********
Вывод: 2-я часть «Утверждения 2» доказана.
*******
В результате исследования
уравнения (1) мы имеем:
Вывод:
1. Уравнение (1) , где ≥2
- четное не имеет решений в попарно простых целых числах a, b, и c таких, чтобы -
было четным, и -
нечетными целыми числами.
2. «Утверждение 2» нами полностью доказано.
*******
Примечание
1.
Понятно, что приведенное
доказательство «Утверждения 2» для q = 4 = 2m, где m = 2, распространяется и на показатель
степени q=2m при m>2 – натуральном.
2.
Если уравнение al+ b4 = c4, где ≥2
- четное, неразрешимо в попарно простых целых числах a, b, и c, то
и уравнение a4+ b4 = c4 не только неразрешимо в этих же
числах, но и вообще неразрешимо ни в каких других целых числах (не
являющихся попарно взаимно простыми целыми числами).
Вывод : Великая теорема Ферма для
показателя l= q= 4 доказана.
3. Результат
доказательства, а именно четность чисел a, b, c в уравнении al+ b4 = c4 (≥2 - четное), а,
следовательно, в уравнении a4+ b4 = c4 дает возможность в этом уравнении
применить метод бесконечного спуска, о чем в свое время не только
упоминалось самим Ферма, но и им использовалось.
На основании Выводов
о Великой теореме Ферма (стр.34, стр.49) получаем окончательный вывод.
Окончательный «Вывод»:
Великая теорема Ферма доказана.
********
Утверждение 3
Часть 1
Уравнение ( ≥
3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля
попарно взаимно простых целых числах , и таких,
чтобы - было четным, и
- нечетными целыми числами.
Часть 2
Возможны случаи: либо b = ± 1, либо c = ± 1.
*********
Часть первая (Утверждения 3)
Уравнение ( ≥
3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля
попарно взаимно простых целых числах , и таких,
чтобы - было четным, и
- нечетными целыми числами.
Доказательство
Первая часть
доказательства «Утверждения 3» аналогична «Части первой»
доказательства «Утверждения 2».
Итак, имеем уравнение (1), где ≥
3 – нечетное натуральное, числа a, b, c (если,
конечно, они существуют) – попарно взаимно простые целые числа (это
наше допущение – вопреки «Утверждению 3»), среди которых только одно четное
число a.
Из уравнения (1) следует:
=> (2).
Пусть (3), где и β - целые числа, отличные от
нуля и c2 + b2 = 2 β (4), где β –
нечетное число при с и b – нечетных.
******
Примечание
То, что β в уравнении (4) нечетное число,
хорошо известный факт в теории чисел, который мы ранее уже учитывали («Примечание»,
стр. 35).
Представим нечетные
числа b и c в виде:
b = 2n1 + 1; c = 2n2 + 1, где n1 и n2 - произвольные целые числа. Тогда
b2 + c2 = (2n1 + 1)2 + (2n2 + 1)2 = 2 [2 (n12+n22+n1+n2) + 1],
где в квадратных
скобках нечетное число, что и требовалось доказать
*******
Тогда из уравнения (2)
следует (с учетом (3) и (4)):
=
, где c2 + b2 ≠ 0, т.к. c ≠ 0, b ≠ 0, т.е.
(5),
где k – целое число, отличное от нуля, т.к. c и b взаимно простые целые числа.
Из соотношений (4) и (5)
определяем b2 и c2:
=>
=>
Откуда β = b2 + 2l-2k (8) - нечетное число (из
(4)) при b – нечетном и 2l-2k - четном, т.к. ≥
3 – нечетное натуральное число.
Вывод:
1. Из соотношения (4) имеем:
(9) - нечетное
число.
2. Из соотношения (5) имеем:
(10) пропорционально
2 (явно), т.е. - четное число.
Это дополнительная
информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая
в дальнейшем нам очень пригодится.
*******
Теперь попробуем выразить
сумму четвертых степеней чисел c и . Учитывая соотношения (6) и (7),
получим:
,
т.е. (11),
где - целые числа, которые, в свою
очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для ), могут быть выражены через другие целые
числа следующим образом:
(12) - нечетное
число при - нечетном;
(13) - нечетное
число при - нечетном;
(14) - нечетное
число при - нечетном;
(15) -
четное число.
Примечание: во всех последующих исследованиях
(Случаях) нас не будут интересовать t =0 и r=0 (при t =0 и - четные из (12) и (13), при r=0 = 0 (из (15)) => а
= 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению).
Для простоты опять (как
в утверждениях 1 и 2) обозначим правые части уравнений (12), …, (15)
буквами С, В, N, К, т.е.
= С
= В
= N
= К
,
и рассмотрим случай,
когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят
«плюсы» и выполняется Условие1.
Условие1 (начало).
с2 = С
b2 = B
= N
Случай «+».
(12+) - нечетное
число при - нечетном;
(13+) - нечетное
число при - нечетном;
(14+) - нечетное
число при - нечетном;
(15+) -
четное число.
Казалось бы, все нормально:
четность чисел в (12+), …, (15+)
совпадают при -нечетном с нашими
предыдущими рассуждениями.
Однако не все так просто.
Помимо всего прочего, у
нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности,
заключенной в «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения о том,
что, вопреки условию «Утверждения 2», допустим, существуют
попарно взаимно простые целые числа .
Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями
(12+) и (13+):
,
т.е. => () пропорционально
4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),
!
Т.е., вопреки
«Выводу», является не нечетным, а
четным числом, что возможно (из (14)) при -четном.
Однако, если - четное, то (в
(12+) и (13+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа
- четные, а потому
не являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречию
в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения
(1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1(начало) не
имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных
от нуля числах, где - нечетное натуральное число.
********
Мы рассмотрели случай,
когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы».
Случай, когда перед
теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Вывод тот же.
(Смотри Случай «-» на стр.8.)
*********
Примечание
Осталось рассмотреть еще
14 случаев, когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки
(плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 3.
********
Т.к. уравнение (11) симметрично
для с2 и b2, (для
уравнения 11 они равнозначны), то с2 и b2 могут меняться своими выражениями (C и В). Это свойство назовем «новым
свойством ». Поэтому аналогичны
вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же
перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.
Условие 2 (начало).
с2 = В
b2 = С
= N
«Новые» случаи «+» и «-».
(12´±) c2 =±
В
(13´±) b2=±С
(14±) =±
N
(15±) =±К.
И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует,
(учитывая (13) в «Выводе» (стр.36)), !
Т.е., вопреки «Выводу», и
в этих «Новых» случаях «+» и «-» является
не нечетным, а четным числом, что возможно(из (14±)) при -четном.
Однако, если - четное, то (в ((12´±) и ((13´±))
являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не
являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречию
(в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании
у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в
данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно
простых отличных от нуля числах.
*******
Примечание
Осталось исследовать еще
14 случаев, рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят
всевозможные знаки (плюсы и минусы).
Но об этом во 2-ой части
данного Утверждения 3.
********
Уравнение (11) симметрично и для и для (для
уравнения (11) они равнозначны), которые тоже могут меняться своими
выражениями (N
и К). Это
свойство назовем «похожим свойством и
». А это означает, что нам придется
рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и
«-», в которых и меняются
своими выражениями (N и
К)).
Условие 3.
с2 = С
b2 = B
= К
«Похожие» случаи «+» и
«-».
(12±) c2 = ± ()
= ± С
(13±) b2 = ± () = ±
В
(14´±) =
= ±К
(15´±) = ± N.
Согласно одному из Выводов
(формула (10) пропорционально 2 (явно),
при . Но это возможно, глядя на четное
(15´±) = ±N= ±() только при t-четном, при которых в (12±) и (13±) c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию
(в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о
существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
В остальных 14
«похожих» случаях, где
опять же = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоят всевозможные
знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не
затрагивая «новые свойства » (пояснение (стр.10),
подобное для проведено при
доказательстве Утверждения 1), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть.
Это значит, что мы опять придем
к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения
(1) попарно взаимно простых целых решений.
********
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в
данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
*******
Вывод
1. Таким образом, в
вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3
уравнение (1) (1), где ≥ 3 – нечетное
натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
2. 1-я часть «Утверждения3»
(для Условий 1 (начало), 2 (начало) и 3) доказана.
*********
Часть вторая (Утверждения3)
Возможны случаи: либо , либо .
(Об «Исключении» из
общего правила)
Доказательство
Казалось бы, мы должны
рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12),
…, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 2» в
части 2). Интуиция подсказывает, что эта процедура опять нас приведет к
известным значениям b
и c: либо (из
), либо (из
), либо b и c – четные, чего не должно быть, либо b и c не являются целыми числами (подобно доказательству части 2
«Утверждения 2»).
Для подтверждения
сказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1.
Итак, осталось
рассмотреть случаи, когда перед скобками стоят разные знаки.
Случай 1.
(12)
(13′)
(14)
(15)
, которые также являются решениями уравнения
(11) .
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (10) и (15),
можно получить разность :
=>
.
Выразим из (17) и (16) :
=>
=>
.
По условию должны быть взаимно простыми целыми
числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид:
,
, а их сумма .
Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то =>
.
Из (15) с учетом (20)
выразим :
,
т.е. .
Т.о., , ,
т.е.
,
выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают
с (6) и (7), т.е. с уравнениями
Теперь, с учетом (13′)
и (14), найдем сумму :
т.к.
, т.е. .
(Здесь чередование
«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих
действиях мы это учтем.)
Теперь, учитывая (23),
получим значение для b2:
,
т.к. из (20) получается
(20′).
Итак, (28), что для целых чисел
неприемлемо.
Этот случай нас не
интересует.
********
Тем не менее
продолжим, т.к. результат,
который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26), получим => .
Теперь, с учетом (29),
можно получить окончательное выражение для с 2 (из
(25)):
,
т.е. .
Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются (12),
(13′) , (14), (15), в конечном счете имеет следующие решения:
, ,
(28), ,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Случай 2
Нетрудно догадаться, что
если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по знаку с
решениями (12), (13′) , (14), (15), мы бы получили, в конечном итоге,
решения, противоположные по знаку решениям (30), (28), (29) и (24), т.е.
(30´),
=> c = (30´), (29´)
(28´),
=> b = 1 (28´), (24´), где
-
взаимно простые нечетные целые числа.
**********
Случай 3.
(12)
(13′)
(14)
(15′)
, которые также являются решениями уравнения
(11).
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (10) и (15),
можно получить разность :
- =>
.
Выразим из (31) и (16) :
=>
(32)
=>
(33)
По условию должны быть взаимно простыми целыми
нечетными числами, поэтому их общий множитель .
Т.о., имеют вид:
(34),
(35), а их сумма .
Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то и .
Из (15´) с учетом
(20) выразим :
,
т.е. (24´).
Т.о. , , где, т.е.
,
,
выражения которых, с учетом (24´),
полностью совпадают с (6) и (7), т. е. с уравнениями
Теперь, с учетом (13′)
и (14), найдем сумму :
т.к. , т.е. .
(Здесь чередование
«плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В
последующих действиях мы это учтем.)
Теперь, учитывая (23),
получим значение для b2:
,т.к.
из (20) получается
.
Итак, (28), что для целых чисел
неприемлемо. Этот случай нас не интересует.
*******
Тем не менее
продолжим, т.к. результат,
который мы получим, в дальнейшем нам пригодится.
Учитывая (26´),
получим => (29´´).
Теперь, с учетом (29´´),
можно получить окончательное выражение для с 2 (из
(25´)):
,
т.е. (30´´).
Таким образом, уравнение (11), решениями которого являются
(12), (13′), (14) и (15´), в конечном счете имеет следующие
решения:
(30´´), ,
(28), (24´),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
***********
Случай 4
Нетрудно догадаться, что
если бы у уравнения (11) были бы решения, противоположные по
знаку с решениями (12), (13′), (14) и (15´), мы бы получили, в
конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям
(30´´), (28), (29´´) и (24´), т.е.
(30´´´), => (30´´´),
(29´´´), (28´), => b = (28´), (24),
где
- взаимно простые нечетные целые числа.
*******
Подведем некоторый
итог. Нами рассмотрено
4 случая решений уравнения (11).
Обозначим снова следующие
выражения буквами С, В, N, К:
=
С
=
В
=
N
=
К
Тогда эти первые 4
случая следующие:
1. (12) 2.
(12´) (30´)
(13´) (28) (13) (28´)
(14) (29) (14´) (29´)
(15) (24)
(15´) (24´)
3. (12) (30´´)
4. (12´) (30´´´)
(13´) (28) (13) (28´)
(14) (29´´) (14´) (29´´´)
(15´) (24´) (15) (24).
Рассмотрим еще 4
случая.
5. с2 = С 6. с2 =
- С 7. c2 = C 8. c2
= -C
b2 = - B b2
= B b2 = - B b2 = B
= - N =
N = - N =
N
*******
Итак, рассмотрим случай
5.
Случай 5.
(12),
(13´),
(14´),
(15)
, которые также являются решениями уравнения
(11).
Но данный случай аналогичен
случаю 5 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие
решения уравнения (15):
(41),
, где - взаимно
простые нечетные целые (40), (38´), числа.
Следовательно, в данном
рассматриваемом случае 5 у уравнения (11) следующие решения:
(32) => b (32),
(24)
(31) => с = (31), (29´) ,
где - взаимно простые целые нечетные числа.
*******
Случай 6
Нетрудно догадаться, что
если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по
знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15), мы бы получили, в
конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32), (31),
(29´) и (24), т.е.
(31´), (29),
(32´),
(24´),
где - взаимно простые целые нечетные числа.
Но этот случай нас
не интересует, т.к. с не является целым числом.
*******
Случай 7.
(12),
(13´),
(14´),
(15´),
которые также являются решениями уравнения
(11).
Но данный случай аналогичен
случаю 7 «Части 2» «Утверждения 1», где получены следующие
решения уравнения (15):
(40), (38´´´),
(41´´),
(33´),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Следовательно, в данном
рассматриваемом случае 7 у уравнения (11) следующие решения:
(31) => с = (31), (29´´´) ,
(32´´) => b (32´´),
(24´), где -
взаимно простые целые
нечетные числа.
*********
Случай 8
Нетрудно догадаться, что
если бы у уравнения (11) были решения, противоположные по
знаку с решениями (12), (13′), (14´) и (15´), мы бы
получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (32´´),
(31), (29´´´) и (24´), т.е.
(31´), (29´´),
, (24),
где - взаимно простые целые нечетные числа.
Но этот случай нас
не интересует, т.к. с не является целым числом.
Таким образом,
уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные
числа, имеет решение (после анализа всех полученных решений) в следующих
целых числах:
а) ; b ; ; ;
б) ; ; ; .
**********
Вывод
Итак, после анализа
полученных решений в Случаях 1,…, 8, уравнение (11) , где c и b – взаимно простые целые нечетные
числа, имеет решения в следующих целых числах:
а) ; b ; ; ;
б) ; ; ; .
********
Таким образом, само исследование
решений уравнения (11) в случаях 1, …, 8 при доказательстве Утверждения
3 и его результат полностью совпадают с исследованием
решений уравнения (11) (в аналогичных случаях при доказательстве
Утверждения 2) и с его результатом.
Действительно, вот,
например, результаты исследований уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1
(Утверждение 2, Часть 2):
1. (12) 2. (12´)
(30´)
(13´) (28)
(13) (28´)
(14) (29)
(14´) (29´)
(15) (24)
(15´) (24´)
3. (12) (30´´) 4.
(12´) (30´´´)
(13´) (28)
(13) (28´)
(14) (29´´)
(14´) (29´´´)
(15´) (24´) (15) (24).
А вот результаты исследований
уравнения (11) в первых 4-х случаях Условия 1 (Утверждение 3, Часть 2):
1. (12) 2. (12´)
(30´)
(13´) (28)
(13) (28´)
(14) (29)
(14´) (29´)
(15) (24)
(15´) (24´)
3. (12) (30´´) 4.
(12´) (30´´´)
(13´) (28)
(13) (28´)
(14) (29´´)
(14´) (29´´´)
(15´) (24´) (15) (24).
Наблюдается полное
совпадение результатов. То же самое совпадение результатов наблюдается и в
следующих за ними 4-х случаях.
*********
Нетрудно понять, что остальные
случаи с 9-го по 28-й в данном доказательстве Утверждения 3
(подобные вышерассмотренным случаям 9, …, 28 при доказательстве Утверждений
1 и 2) никаких новых решений нам не дадут, кроме как:
либо , либо ,
либо c и b не являются целыми числами, либо c и b – четные числа , чего не должно быть.
********
Из этого набора решений
уравнения (11), нас, естественно, интересуют только те, которые могут
являться решениями уравнения (1) (1),
где - нечетное натуральное число, т.е. либо
, либо ,
которые таковыми и являются.
*******
Вывод: 2-я часть «Утверждения 3» доказана.
В результате исследования
уравнения (1), мы имеем:
Вывод:
1. Уравнение (1) ( ≥
3 – нечетное натуральное, q = 4 = 2m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля
попарно взаимно простых целых числах , и таких,
чтобы - было четным, и
- нечетными целыми числами.
Возможны случаи: либо ,
либо .
2. «Утверждение 3» нами полностью доказано.
*******
Примечание
Понятно, что приведенное
сокращенное доказательство «Утверждения 3» (со ссылкой на предыдущее
доказательство Утверждения 2), где рассматривается уравнение al+ b4 = c4 при ≥ 3 – нечетном
натуральном и q = 4 = 2 m , где m = 2, распространяется и на показатель степени q = 2 m , где m > 2 – натуральном.
**********
На основании доказательства
справедливости «Утверждения 1», «Утверждения 2» и «Утверждения 3»
вытекает и справедливость «Общего утверждения».
ОБЩИЙ ВЫВОД
1. Уравнение (, - натуральные числа) не имеет решений в
отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,
и таких,
чтобы - было четным, и
- нечетными целыми числами.
2. Но есть и
«исключение» из данного утверждения: среди этих чисел ,
и может
быть либо , либо .
Таким образом, «Общее
утверждение» доказано.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Алексеев С.Ф. Два обобщения классических
формул // Квант. – 1988. - №10. – С. 23.
2.Постников М.М. Введение в теорию
алгебраических чисел. – М., Наука. – 1982 - С. 13.
Май 2009 г., Скворцов А.П.
Уважаемые любители
математики и специалисты!
Если не трудно,
попробуйте разобраться с данной работой и по возможности ее оценить.
Если в ней есть что-то
стоящее, интересное, то очень хотелось бы получить отзыв о данной работе.
Я убежден, что
примененный мною метод в данной работе позволит провести анализ и некоторых
других уравнений на их разрешимость в целых числах.
Предлагаю вашему вниманию
перечень некоторых моих работ по физике и математике, с некоторыми из них ознакомлены
специалисты некоторых ВУЗов г. Томска, с другими – учителя и учащиеся г.
Колпашева. А работа по физике (я сам учитель физики) о
существовании гипотетических гравитационно-временных волн («Гравитация и
время») в популярном изложении опубликована на страницах журнала «Знак вопроса»
№4-2004 г.
Работы по математике:
1.
Построение с
помощью циркуля и линейки отрезка, равного произведению двух других
отрезков.
2.
Построение с
помощью циркуля и линейки отрезка, равного отношению двух других
отрезков.
3.
Нахождение
действительных корней приведенного квадратного уравнения с помощью
циркуля и линейки.
4. Решение
уравнения в целых числах при - натуральном.
5. Доказательство неразрешимости
в рациональных ненулевых числах уравнения р1+ р2
= р3, где произведение р1 р2 р3
= R3, R – рациональное число (или рациональная функция),
р1, р2 и р3 могут быть не
только рациональными числами, но и рациональными функциями.
6. Доказательство неразрешимости
в рациональных ненулевых числах системы
р1+р2+р3
=р4
р1 р2
р3 р4 = ,
где k может принимать значения k = 1; 2; 3; 4, и р1, р2 , р3
и р4 могут быть не только рациональными числами, но и рациональными
функциями.
Мне можно писать по электронному адресу: skvorsan@mail.ru
Мой почтовый адрес: 636460 г. Колпашево Томской обл.,
м/р-н Геолог, д.18,
кв.11
тел.: 8 (38 254) 5
79 59.
С уважением, А.П.
Скворцов.