Измерение и Экономико-математические модели
1.
Описание объекта
В
нашем случае объектом исследования являются совокупность фирм , заводов ,
предприятий . Моделируемым показателем является Y - производительность труда (
тыс.руб / чел ) .
2.
Экономические показатели ( факторы )
Отбор факторов для модели осуществляется в два
этапа. На первом идет анализ, по результатам которого исследователь делает
вывод о необходимости рассмотрения тех или иных явлений в качестве переменных,
определяющих закономерности развития исследуемого процесса, на втором – состав
предварительно отобранных факторов уточняется непосредственно по результатам
статистического анализа.
Из совокупности экономических показателей мы отобрали
следующие :
Зависимый фактор:
У-
производительность труда, (тыс. руб.)
Для модели в абсолютных показателях
Независимые факторы:
Х1
- стоимость сырья и материалов ( тыс.руб.)
Х2
- заработная плата ( тыс.руб. )
Х3
- основные промышленно-производственные фонды ( тыс.руб. )
Х4
- отчисления на социальное страхование ( тыс.руб. )
Х5
- расходы на подготовку и освоение производства ( тыс.руб. )
Х6
- расходы на электроэнергию ( тыс.кВт час. )
Данные
представлены в таблице 1.
Таблица 1
|
№ Объекта
наблюдения
|
Y
|
X1
|
X2
|
X3
|
X4
|
X5
|
X6
|
|
1
|
10.6
|
865
|
651
|
2627
|
54
|
165
|
4.2
|
|
2
|
19.7
|
9571
|
1287
|
9105
|
105
|
829
|
13.3
|
|
3
|
17.7
|
1334
|
1046
|
3045
|
85
|
400
|
4
|
|
4
|
17.5
|
6944
|
944
|
2554
|
79
|
312
|
5.6
|
|
5
|
15.7
|
14397
|
2745
|
15407
|
229
|
1245
|
28.4
|
|
6
|
11.3
|
4425
|
1084
|
4089
|
92
|
341
|
4.1
|
|
7
|
14.4
|
4662
|
1260
|
6417
|
105
|
496
|
7.3
|
|
8
|
9.4
|
2100
|
1212
|
4845
|
101
|
264
|
8.7
|
|
9
|
11.9
|
1215
|
254
|
923
|
19
|
78
|
1.9
|
|
10
|
13.9
|
5191
|
1795
|
9602
|
150
|
599
|
13.8
|
|
11
|
8.9
|
4965
|
2851
|
12542
|
240
|
622
|
12
|
|
12
|
14.5
|
2067
|
1156
|
6718
|
96
|
461
|
9.2
|
Для модели в относительных
показателях
Х1- удельный вес стоимости сырья и материалов в себестоимости продукции
Х2- удельный вес заработной
платы в себестоимости продукции
Х3- фондовооруженность одного
рабочего, тыс.руб./чел.
Х4- удельный вес отчислений
на соц. страхования в себестоимости продукции
Х5- удельный вес расходов на
подготовку и освоение производства в себестоимости продукции
Х6- электровооруженность
одного рабочего, тыс. кВт./ чел.
Данные представлены в таблице
2.
Таблица
2
|
№ Объекта
наблюдения
|
Y
|
X1
|
X2
|
X3
|
X4
|
X5
|
X6
|
|
1
|
10.6
|
16,8
|
12,6
|
5,7
|
1,0
|
3,2
|
0,06
|
|
2
|
19.7
|
33,1
|
4,5
|
8,0
|
0,4
|
2,8
|
0,08
|
|
3
|
17.7
|
9,9
|
7,7
|
4,6
|
0,6
|
3,0
|
0,08
|
|
4
|
17.5
|
63,1
|
8,6
|
4,1
|
0,7
|
2,8
|
0,08
|
|
5
|
15.7
|
32,8
|
6,3
|
8,0
|
0,5
|
2,8
|
0,10
|
|
6
|
11.3
|
40,3
|
9,9
|
5,2
|
0,8
|
3,1
|
0,08
|
|
7
|
14.4
|
28,3
|
7,7
|
7,1
|
0,6
|
3,0
|
0,09
|
|
8
|
9.4
|
25,2
|
14,6
|
7,2
|
1,2
|
3,2
|
0,11
|
|
9
|
11.9
|
47,3
|
9,9
|
4,5
|
0,7
|
3,0
|
0,13
|
|
10
|
13.9
|
26,8
|
9,3
|
9,4
|
0,8
|
13,1
|
0,11
|
|
11
|
8.9
|
25,4
|
14,6
|
6,5
|
1,2
|
3,2
|
0,08
|
|
12
|
14.5
|
14,2
|
8,0
|
8,5
|
0,7
|
3,2
|
0,13
|
3.
Выбор формы представления факторов
В данной работе мы не
используем фактор времени, т.е. в нашем случае мы используем статистическую
модель. В 1-ом случае мы строим статистическую модель в абсолютных показателях,
во 2-м – статистическую модель в относительных показателях. Проанализировав
полученные результаты, мы выбираем рабочую статистическую модель.
4.
Анализ аномальных явлений
При визуальном просмотре матрицы данных легко
улавливается аномалия на пятом объекте в таблице 1,2 . Здесь все факторы
завышены в несколько раз . Скорее всего мы сталкиваемся в данном случае с
заводом-гигантом . Поэтому данное наблюдение мы отбрасываем . Теперь
формируем обновлённую матрицу данных .
Таблица 3
|
№ Объекта
наблюдения
|
Y
|
X1
|
X2
|
X3
|
X4
|
X5
|
X6
|
|
1
|
10.6
|
865
|
651
|
2627
|
54
|
165
|
4.2
|
|
2
|
19.7
|
9571
|
1287
|
9105
|
105
|
829
|
13.3
|
|
3
|
17.7
|
1334
|
1046
|
3045
|
85
|
400
|
4
|
|
4
|
17.5
|
6944
|
944
|
2554
|
79
|
312
|
5.6
|
|
6
|
11.3
|
4425
|
1084
|
4089
|
92
|
341
|
4.1
|
|
7
|
14.4
|
4662
|
1260
|
6417
|
105
|
496
|
7.3
|
|
8
|
9.4
|
2100
|
1212
|
4845
|
101
|
264
|
8.7
|
|
9
|
11.9
|
1215
|
254
|
923
|
19
|
78
|
1.9
|
|
10
|
13.9
|
5191
|
1795
|
9602
|
150
|
599
|
13.8
|
|
11
|
8.9
|
4965
|
2851
|
12542
|
240
|
622
|
12
|
|
12
|
14.5
|
2067
|
1156
|
6718
|
96
|
461
|
9.2
|
Таблица 4
|
№ Объекта
наблюдения
|
Y
|
X1
|
X2
|
X3
|
X4
|
X5
|
X6
|
|
1
|
10.6
|
16,8
|
12,6
|
5,7
|
1,0
|
3,2
|
0,06
|
|
2
|
33,1
|
4,5
|
8,0
|
0,4
|
2,8
|
0,08
|
|
3
|
17.7
|
9,9
|
7,7
|
4,6
|
0,6
|
3,0
|
0,08
|
|
4
|
17.5
|
63,1
|
8,6
|
4,1
|
0,7
|
2,8
|
0,08
|
|
6
|
11.3
|
40,3
|
9,9
|
5,2
|
0,8
|
3,1
|
0,08
|
|
7
|
14.4
|
28,3
|
7,7
|
7,1
|
0,6
|
3,0
|
0,09
|
|
8
|
9.4
|
25,2
|
14,6
|
7,2
|
1,2
|
3,2
|
0,11
|
|
9
|
11.9
|
47,3
|
9,9
|
4,5
|
0,7
|
3,0
|
0,13
|
|
10
|
13.9
|
26,8
|
9,3
|
9,4
|
0,8
|
13,1
|
0,11
|
|
11
|
8.9
|
25,4
|
14,6
|
6,5
|
1,2
|
3,2
|
0,08
|
|
12
|
14.5
|
14,2
|
8,0
|
8,5
|
0,7
|
3,2
|
0,13
|
4.
Анализ матрицы коэффициентов парных корреляций для абсолютных величин
Таблица 5
|
№ фактора
|
Y
|
X1
|
X2
|
X3
|
X4
|
X5
|
X6
|
|
Y
|
1.00
|
0.52
|
-0.22
|
-0.06
|
-0.23
|
0.44
|
0.12
|
|
X1
|
0.52
|
1.00
|
0.38
|
0.52
|
0.38
|
0.74
|
0.60
|
|
X2
|
-0.22
|
0.38
|
1.00
|
0.91
|
1.00
|
0.68
|
0.74
|
|
X3
|
-0.06
|
0.52
|
0.91
|
1.00
|
0.91
|
0.86
|
0.91
|
|
X4
|
-0.23
|
0.38
|
1.00
|
0.91
|
1.00
|
0.67
|
0.74
|
|
X5
|
0.44
|
0.74
|
0.68
|
0.86
|
0.67
|
1.00
|
0.85
|
|
X6
|
0.12
|
0.60
|
0.74
|
0.91
|
0.74
|
0.85
|
1.00
|
Из
таблицы 4 находим тесно коррелирующие факторы. Налицо мультиколлениарность
факторов Х2 и Х4 . Оставим только один фактор Х2 . Так же достаточно высокий
коэффициент корреляции ( 0.91 ) между факторами Х2 и Х3 . Избавимся от фактора
Х3 .
5.
Построение уравнения регрессии для абсолютных величин
Проведём
многошаговый регрессионный анализ для оставшихся факторов : Х1 , Х2 , Х5 , Х6 .
а)
Шаг первый .
Y
= 12. 583 + 0 * X1 + 0.043 * X2 + 0.021 * X5 - 0.368 * X6
Коэффициент
множественной корреляции = 0.861
Коэффициент
множественной детерминации = 0.742
Сумма
квадратов остатков = 32.961
t1 = 0.534 *
t2 = 2.487
t5 = 2.458
t6 = 0.960 *
У фактора
Х1 t-критерий
оказался самым низким . Следовательно фактором Х1 можно пренебречь . Вычеркнем
этот фактор .
б)
Шаг второй.
Y
= 12.677 - 0.012 * X2 + 0.023 * X5 - 0.368 * X6
Коэффициент
множественной корреляции = 0.854
Коэффициент
множественной детерминации = 0.730
Сумма
квадратов остатков = 34.481
t2 = 2.853
t5 = 3.598
t6 = 1.016 *
У
фактора Х6 t-критерий оказался самым низким . Следовательно
фактором Х6 можно пренебречь . Вычеркнем этот фактор .
в)
Шаг третий .
Y
= 12.562 - 0.005 * X2 + 0.018 * X5
Коэффициент
множественной корреляции = 0.831
Коэффициент
множественной детерминации = 0.688
Сумма
квадратов остатков = 39.557
t2 = 3.599
t5 = 4.068
В
результате трёхшаговой регрессии мы получили рабочее уравнение.
6.
Анализ матрицы коэффициентов парных корреляций для относительных величин
Таблица 5
|
№ фактора
|
Y
|
X1
|
X2
|
X3
|
X4
|
X5
|
X6
|
|
Y
|
1.00
|
0.14
|
-0.91
|
0.02
|
-0.88
|
-0.01
|
-0.11
|
|
X1
|
0.14
|
1.00
|
-0.12
|
-0.44
|
-0.17
|
-0.09
|
0.02
|
|
X2
|
-0.91
|
-0.12
|
1.00
|
-0.12
|
0.98
|
-0.01
|
-0.38
|
|
X3
|
0.02
|
-0.44
|
-0.12
|
1.00
|
0.00
|
0.57
|
0.34
|
|
X4
|
-0.88
|
-0.17
|
0.98
|
0.00
|
1.00
|
0.05
|
-0.05
|
|
X5
|
-0.01
|
-0.09
|
-0.01
|
0.57
|
0.05
|
1.00
|
0.25
|
|
X6
|
-0.11
|
0.02
|
-0.38
|
0.34
|
-0.05
|
0.25
|
1.00
|
В
таблице выявляем тесно коррелирующие факторы. Таким образом, не трудно заметить
достаточно высокий коэффициент корреляции между факторами Х2 и Х4. Избавимся от
Х2
7.
Построение уравнения регрессии для относительных величин
а) Шаг первый .
Y
= 25,018+0*Х1+
Коэффициент
множественной корреляции = 0,894
Коэффициент
множественной детерминации = 0.799
Сумма
квадратов остатков = 26,420
t1 = 0,012*
t2 = 0,203*
t3
=0.024*
t4
=4.033
t5 = 0.357*
t6 = 0.739 *
У
фактора Х1 t-критерий оказался самым низким . Следовательно
фактором Х1 можно пренебречь . Вычеркнем этот фактор .
б)
Шаг второй .
Y
= e ^3.141 * X2^(-0.722) * X5^0.795 * X6^(-0.098)
Коэффициент
множественной корреляции = 0.890
Коэффициент
множественной детерминации = 0.792
Сумма
квадратов остатков = 0.145
t2 = 4.027
t5 = 4.930
t6 = 0.623 *
У
фактора Х6 t-критерий оказался самым низким . Следовательно
фактором Х6 можно принебречь . Вычеркнем этот фактор .
в)
Шаг третий .
Y
= e ^3.515 * X2^(-0.768) * X5^0.754
Коэффициент
множественной корреляции = 0.884
Коэффициент
множественной детерминации = 0.781
Сумма
квадратов остатков = 0.153
t2 = 4.027
t5 = 4.930
В
результате трёхшаговой регрессии мы получили рабочее уравнение :
Y
=
Экономический смысл модели :
При
увеличении расходов на подготовку и освоение производства производительность
труда будет увеличиваться . Это означает что на данных предприятиях есть
резервы для расширения производства , для введения новых технологий и инноваций
с целью увеличения прибыли .
При
увеличении заработной платы производительность труда будет снижаться . Это ,
скорее всего , будет происходить из-за того , что рабочие на данных
предприятиях получают и так высокие зарплаты , либо фонд заработной платы
используется по максимуму и дальнейший его рост приведёт к непредвиденным
расходам .
8.
Сравнительный анализ линейной и степенной моделей
Сравнивая
линейную и степенную регрессионную модель видим , что статистические
характеристики степенной модели превосходят аналогичные характеристики линейной
модели . А именно : коэффициент множественной детерминации у степенной модели
равен 0.781 , а у линейной - 0.688 . Это означает , что факторы , вошедшие в
степенную модель , объясняют изменение производительности труда на 78.1 % ,
тогда как факторы , вошедшие в линейную модель , - на 68,8 % ; сумма квадратов
остатков степенной модели ( 0.153 ) значительно меньше суммы квадратов остатков
линейной модели ( 39.557 ) . Следовательно значения полученные с помощью
степенной модели близки к фактическим .