Расчет и моделирование цифрового фильтра
Министерство образования РФ
Санкт-Петербургский Государственный
Морской Технический Университет
Кафедра 50
Курсовая работа
Расчет и моделирование цифрового
фильтра.
Выполнил:
Резунов А.Б. гр. 3580
Проверил:
Сетин А.И.
Санкт-Петербург 2009
Содержание
Введение
Общие сведения по КИХ-фильтрам
Расчет цифрового фильтра
Модель цифрового фильтра и описание
блоков модели
Моделирование работы цифрового фильтра в
MatLab
Введение
С физической точки
зрения цифровая фильтрация – это выделение в определенном частотном диапазоне с
помощью цифровых методов полезного сигнала на фоне мешающих помех (рис. 1).
Рис. 1 Фильтрация помех
с помощью цифрового ПФ.
По своим частотным
свойствам фильтры делятся на:
– фильтры нижних частот
(ФНЧ) – Low pass – рис.2а;
– фильтры верхних частот
(ФВЧ) – High pass – рис.2б;
– полосовые фильтры
(ПФ) – Band pass – рис.2в;
– режекторные фильтры
(РФ) – Band stop – рис.2г.
Рис. 2 Идеальные
частотные характеристики фильтров.
На рис. 2 приняты
следующие обозначения:
ПП – полоса пропускания
– частотная область, внутри которой сигналы проходят через фильтр практически
без затухания;
ПЗ – полоса
задерживания – выбирается разработчиком такой, чтобы обеспечить затухание
сигнала не хуже заданного;
Переходная полоса –
частотная область между ПП и ПЗ (характеризуется скоростью спада, обычно выражается
в дБ/декаду);
fп - частота среза
полосы пропускания – точка на уровне 3дБ;
fз - частота среза
полосы задерживания – определяется уровнем пульсаций ЧХ в ПЗ;
fнп , fвп – нижняя и
верхняя частоты среза полосы пропускания;
fнз , fвз – нижняя и
верхняя частоты среза полосы задерживания.
Частота среза в этом случае
является условной границей между частотой среза полосы пропускания и частотой
среза полосы задерживания.
АЧХ реальных фильтров
(рис. 3, на примере ФНЧ) имеют пульсации в полосе пропускания δп и
задерживания δз (нестабильность ЧХ в ПП и ПЗ). Часто в литературе они
имеют другое название:
Rз – максимальное
подавление в полосе задерживания, дБ;
Rп – минимальное
подавление в полосе пропускания, дБ.
Пульсации ЧХ в ПП
вносят определенные искажения в сигнал, поэтому они более значимы при определении
параметров цифровых фильтров.
Рис. 3 Реальная АЧХ
цифрового фильтра (на примере ФНЧ).
Математически работа
цифрового фильтра во временной области описывается разностным уравнением:
,
(1)
где и - -
тые отсчеты входного и выходного сигналов фильтра, взятые через интервал ; и
– постоянные коэффициенты цифрового фильтра.
Цифровые фильтры
принято делить на два класса:
− нерекурсивные
фильтры;
− рекурсивные
фильтры.
Нерекурсивные фильтры
называют еще фильтрами с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры), а
рекурсивные фильтры - фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой
(БИХ-фильтры). В иностранной литературе их называют:
− FIR (Finite
Impulse Response) – фильтр с конечной импульсной характеристикой;
− IIR (Infinite
Impulse Response) – фильтр с бесконечной импульсной характеристикой.
Если в выражении (1)
положить коэффициенты , то фильтр, реализующий этот
алгоритм, называется нерекурсивным. Его работа описывается уравнением:
,
(2)
вычисляющим свертку
двух последовательностей: коэффициентов и
дискретных отсчетов входного сигнала .
Если хотя бы один
коэффициент , то фильтр, реализованный согласно выражения
(1), называется рекурсивным. Очевидно, что БИХ-фильтр представляет собой
устройство с обратной связью, а КИХ-фильтр - без обратной связи.
Общие
сведения по КИХ-фильтрам
Нерекурсивные фильтры
работают в соответствии с выражением (2). Раскроем сумму:
(3)
КИХ-фильтр производит
взвешенное суммирование (с коэффициентами )
предшествующих отсчетов входного сигнала. Величину называют
порядком фильтра, – шаг дискретизации. Структурная
схема КИХ-фильтра представлена на рис. 4.
Рис. 4 Структурная
схема КИХ-фильтра.
В этом фильтре
дискретные выборки из сигнала , задержанные на интервалы
, взвешиваются с коэффициентами и суммируются с образованием отклика . Фильтр, представленный на рис. 4 называют
еще трансверсальным фильтром. Основными элементами фильтра являются:
− линия задержки
с отводами;
− умножителей;
− многовходовый
параллельный сумматор.
КИХ-фильтры всегда
устойчивы. Форма частотной характеристики КИХ-фильтров слабо чувствительна к
точности коэффициентов. Главным преимуществом КИХ-фильтра является линейность
его ФЧХ.
Z - преобразование (3):
.
(4)
Тогда передаточная
характеристика КИХ-фильтра:
.
(5)
Если в (2.9) произвести
замену , то ЧХ КИХ- фильтра будет иметь вид:
.
(6)
Расчет
цифрового фильтра
Расчет цифрового
фильтра будем проводить в пакете программ MatLab
с помощью инструмента Filter
Design & Analysis
Tool.
После расчета цифрового
фильтра в инструменте Filter
Design & Analysis
Tool получились значения для порядка
фильтра, графики АЧХ и ФЧХ.
Порядок фильтра .
Графики АЧХ в линейном
и логарифмическом масштабах показаны на рис. 5 и рис 6 соответственно.
Рис. 5 График АЧХ в
линейном масштабе.
Рис. 6 График АЧХ в
логарифмическом масштабе.
Графики АЧХ в
логарифмическом масштабе и ФЧХ, где фаза измеряется в радианах, показаны на
рис. 7.
Рис. 7 Графики АЧХ и
ФЧХ.
Модель
цифрового фильтра и описание блоков модели
Модель цифрового
фильтра представлена на рис. 8.
Рис. 8 Модель цифрового
фильтра.
Модель цифрового
фильтра состоит из:
1.
86
линий задержки , каждая из которых задерживает
сигнал со своего входа на величину равную ;
2.
87
усилителей сигналов , которые производят умножение
сигналов со своих входов на определенные коэффициенты;
3.
86
сумматоров, которые суммируют выходные сигналы с усилителей;
4.
входа
фильтра , на который подается фильтруемый входной сигнал;
5.
выхода
фильтра , на который подается уже отфильтрованный
входной сигнал.
Так как усилители производят
умножение сигналов на коэффициенты, то можем записать их значения, которые
получились при расчете фильтра в инструменте Filter
Design & Analysis
Tool:
Моделирование
работы цифрового фильтра в MatLab
Для того, чтобы
проверить правильность работы модели цифрового фильтра, проводят моделирование
работы фильтра с подачей на него сигналов. В нашем случае на цифровой фильтр
будет подана сумма 3х сигналов, 2а из которых будут находиться вне полосы пропускания
цифрового фильтра. Схема моделирования работы цифрового фильтра показана на
рис. 9.
Рис. 9 Схема для
моделирования работы ЦФ.
Схема состоит из:
- 3х генераторов
синусоидальных колебаний с частотами и амплитудами:
Sine
Wave – и
,Sine Wave1 – и
, Sine Wave2 – и
;
- сумматора 3х сигналов
идущих с генераторов;
- дискретизатора Zero-Order
Hold, преобразующий непрерывный сигнал,
поступающий с сумматора, в дискретный, шаг дискретизации
,
при ;
- квантователь Quantizer,
преобразующий дискретный сигнал в цифровой, шаг квантования
;
- 3х осциллографов: Scope1
(показывает непрерывный сигнал с вых. сумматора), Scope2
(показывает цифровой сигнал перед фильтрацией), Scope3
(показывает цифровой сигнал после фильтрации);
- 2х спектроскопов: Spectrum
Scope1 (показывает спектр
цифрового сигнала перед фильтрацией), Spectrum
Scope2 (показывает спектр
цифрового сигнала после фильтрации).
Показания 3х
осциллографов и 2х спектроскопов после поведения моделирования показаны на рис.
10, рис. 11, рис. 12, рис. 13 и рис. 14.
Рис. 10 Показание
осциллографа Scope1.
Рис. 11 Показание
осциллографа Scope2.
Рис. 12 Показание
осциллографа Scope3.
Рис. 13 Показание
спектроскопа Spectrum
Scope1.
Рис. 14 Показание
спектроскопа Spectrum
Scope2.