Вычислительная техника и программирование

Вычислительная техника и программирование

КУРСОВАЯ РАБОТА

по теме: "Вычислительная техника и программирование"

Киев

Введение

Если задана функция y(x), то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоёмко. Например, у(х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра или у(х) измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно. Функция у(х) может участвовать в каких-либо физико-технических или чисто математических расчётах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у(х) приближённой формулой, то есть подобрать некоторую функцию j(х), которая близка в некотором смысле к у(х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х)"j(х).

Что касается критерия согласия, то классическим критерием согласия является "точное совпадение в узловых точках". Этот критерий имеет преимущество простоты теории и выполнения вычислений, но также неудобство из-за игнорирования шума (погрешности, возникающей при измерении или вычислении значений в узловых точках). Другой относительно хороший критерий — это "наименьшие квадраты". Он означает, что сумма квадратов отклонений в узловых точках должна быть наименьшей возможной или, другими словами, минимизирована. Этот критерий использует ошибочную информацию, чтобы получить некоторое сглаживание шума. Третий критерий связывается с именем Чебышева. Основная идея его состоит в том, чтобы уменьшить максимальное отклонение до минимума. Очевидно, возможны и другие критерии.

Цель задачи о приближении (интерполяции): данную функцию у(х) требуется приблизительно заменить некоторой функцией j(х), свойства которой нам известны так, чтобы отклонение в заданной области было наименьшим. интерполяционные формулы применяются, прежде всего, при замене графически заданной функции аналитической, а также для интерполяции в таблицах.

Один из подходов к задаче интерполяции — метод Лагранжа. Основная идея этого метода состоит в том, чтобы прежде всего найти многочлен, который принимает значение 1 в одной узловой точке и 0 во всех других. Легко видеть, что функция (1) является требуемым многочленом степени n; он равен 1, если X=Xj и 0, когда X=Xi, i¹j.

Многочлен Lj(x)×Yj принимает значения Yi в i-й узловой точке и равен 0 во всех других узлах. Из этого следует, что (2) есть многочлен степени n, проходящий через n+1 точку (Xi, Yi).

Другой подход — метод Ньютона (метод разделённых разностей). Этот метод позволяет получить аппроксимирующие значения функции без построения в явном виде аппроксимирующего полинома. В результате получаем формулу для полинома Pn, аппроксимирующую функцию f(x):

P(x)=P(x0)+(x-x0)P(x0,x1)+(x-x0)(x-x1)P(x0,x1,x2)+…+

(x-x0)(x-x1)…(x-xn)P(x0,x1,…,xn);

Значения Pn(x) в узлах совпадают со значениями f(x)

Фактически формулы Лагранжа и Ньютона порождают один и тот же полином, разница только в алгоритме его построения.

Постановка задачи:

1. Построить интерполяционный полином Ньютона по значениям функции в узлах: .

2. Математическая постановка задачи:

Формула выглядит так:

Разделённая разность:

.

1. Алгоритм программы Polinom

Рис.5 Схема алгоритма подпрограммы Vvod

Рис.6 Схема алгоритма программы Print_Polinom

 Рис.7 Схема алгоритма подпрограммы Div_Res

Рис.8 Схема алгоритма программы Nuton

Рис.9 Схема алгоритма подпрограммы Recover

Рис.10 Блок-схема программы Polinom

2. Листинг программы Polinom

Реализуем алгоритм на языке высокого уровня Turbo Pascal, используя подпрограммы.

PROGRAM POLINOM; {Программа построения интерполяционного полинома Ньютона}

Uses Crt;

Const Max_Num_Usel=20; {Количество узлов}

Type

Matrix_Line = Array[1..Max_Num_Usel] Of Real;

Var Max:Byte;

X,F:Matrix_Line;

PROCEDURE Swap(Var First,Second:real); {Обмена двух REAL переменных}

Var Temp:Real;

Begin

Temp:=First;

First:=Second;

End; {Swap}

FUNCTION Rise(Root:Real;Power:Integer):Real; {Возведение в степень}

Var Temp:Real;

i:Integer;

Begin

Temp:=1;

For i:=1 To Power Do

Temp:=Temp*Root;

Rise:=Temp;

End; {Rise}

PROCEDURE Null(Last:Byte;Var M:Matrix_Line); {Обнуление матриц}

Var i:Byte;

Begin

For i:=1 To Last Do

M[i]:=0;

End; {Null}

PROCEDURE Calculat(Num:Integer;Cx:Matrix_Line); {вычисление значений полинома}

Var x,y:Real;

i:Integer;

Finish:Boolean;

c:Char;

Begin

Writeln('***********************************************');

Writeln;

Writeln('Вычисление значений интерполяционного полинома:');

Writeln('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~');

Writeln('Введите значение x:');

Repeat

y:=0;

Readln(x);

For i:=Num DownTo 1 Do

y:=y+Cx[i]*Rise(x,i-1);

Writeln('Значение полинома в точке Xo=',x:7:4,' равно Yo=',y:7:4);

Write('Нажмите `ESC` для выхода или любую клавишу для продолжения');

c:=Readkey;

If c=#27 Then Finish:=True Else Finish:=False;

GoToXY(1,WhereY-2);

DelLine; DelLine;DelLine;

Until Finish;

End; {Calculat}

PROCEDURE Vvod(Var Mat_x,Mat_f:Matrix_Line;Var Number:Byte);

Var c:Char;

i,j:Integer;

Enter:Boolean;

Begin

ClrScr;

Writeln('Построение интерполяционного полинома Ньютона по значениям функции в узлах');

Writeln('~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~);

Writeln;

Writeln('Введите кол-во узлов интерполяции (0<N<',Max_Num_Usel,'):');

Repeat

Readln(Number);

Until (Number<Max_Num_Usel);

ClrScr;

Writeln('Значения узлов не должны сопадать');

Writeln('Введите значения узлов и значения функций в них:');

For i:=1 To Number Do

Begin

Repeat

{Ввод узлов}

Enter:=True;{Правильность ввода}

GoToXY(5,i+3);

Write('X(',i-1,')=');

Readln(Mat_x[i]);

For j:=i-1 DownTo 1 Do

If (Mat_x[j]=Mat_x[i]) Then {Проверка на одинаковые узлы}

Begin

Writeln('Значения узлов ',i,' и ',j,' введены неверно!!!');

Write('Нажмите `Y` для повторения ввода или любую клавишу для выхода');

c:=Readkey;

GoToXY(5,i+3);

DelLine;DelLine;DelLine;

End;

Until Enter;

{Ввод значений функции в узлах}

GoToXY(35,i+3);

Write('Y(',Mat_x[i]:5:2,')=');

Readln(Mat_f[i]);

End;

{Сортировка узлов по возрастанию}

For i:=1 To Number Do

For j:=i To Number Do

If (Mat_x[j]<Mat_x[i]) Then

Begin

Swap(Mat_x[j],Mat_x[i]);

Swap(Mat_f[j],Mat_f[i]);

End;

End;{Vvod}

{Распечатка полинома}

PROCEDURE Print_Polinom(N:Integer;Cx:Matrix_Line);

Var i:Integer;

c:Char;

Begin

Writeln;

Writeln('Полином Ньютона:');

Write('P',N-1,'(x)=');

For i:=N DownTo 1 Do

If Round(Cx[i]*1000)<>0 Then{Если в числе не более 3х нулей после запятой,}

Begin {тогда выводим его на экран}

If (Cx[i]<0) Then Write(' - ') Else Write(' + ');

Write(ABS(Cx[i]):5:3);

If (i>2) Then Write('·x^',i-1) Else

If (i>1) Then Write('·x')

End;

Writeln;

Writeln;

Writeln('Нажмите `ESC` для выхода или любую клавишу для вычисления значения полинома');

c:=Readkey;

GoToXY(1,WhereY-1);

DelLine;DelLine;

If c<>#27 Then Calculat(N,Cx);

End;{Print_Polinom}

PROCEDURE Recover(Current,Number:byte; Var Result,Mat_X:Matrix_Line);

{Восстановление коэффициентов полинома по его корням}

Var Process,i,j,k:Integer;

Begin

{Заносим первый линейный множитель вида (X - Cn) в Result}

k:=2; {Количество коэффициентов в Result = 2}

If Current<>1 Then {Если исключаем не Х1, то Result[1] = X1}

Begin

Result[1]:=-Mat_X[1];

Process:=2 {Начнем обработку со второго множителя}

End

Else Begin {Иначе Result[1] = X2}

Result[1]:=-Mat_X[2];

Process:=3 {Начнем обработку с третьего множителя}

End;

Result[2]:=1; {В любом случае Result[2] = 1, т.к. все множители вида (X - Cn) }

For i:=Process To Number Do

If i<>Current Then

Begin

For j:=k DownTo 1 Do {Домнoжаем полученный полином на X}

Result[j+1]:=Result[j];

Result[1]:=0; {Поэтому C0 = 0}

For j:=1 To k Do {Домнoжаем полученный полином на Cn = -X[n]}

Result[j]:=Result[j]-Mat_X[i]*Result[j+1];

Inc(k); {Размерность полинома увеличилась}

End;

End; {Recover}

PROCEDURE Nuton(Number:Byte;Var Mat_x,Mat_f:Matrix_Line);

Var i,j:integer;

Temp,Result:Matrix_Line;

C:real;

{Функция вычисления разделенной разности по начальному и конечному узлам}

Function Div_Res(Beg_Usel,Fin_Usel:Byte;Var Xn,Fn:Matrix_Line):real;

Begin

Beg_Usel:=Beg_Usel+1;

If Beg_Usel=Fin_Usel Then

Div_Res:=(Fn[Fin_Usel]-Fn[Beg_Usel-1])/(Xn[Fin_Usel]-Xn[Beg_Usel-1])

Else Div_Res:=(Div_Res(Beg_Usel,Fin_Usel,Xn,Fn)-Div_Res(Beg_Usel-1,Fin_Usel-1,Xn,Fn))/(Xn[Fin_Usel]-Xn[Beg_Usel-1]);

End; {Div_Res}

Begin {Nuton}

Null(Number,Result);

Null(Number,Temp);

For i:=2 To Number Do

Begin

Recover(Number+1,i-1,Temp,Mat_x);

c:=Div_Res(1,i,Mat_x,Mat_f); {Значение разделенной разности 1 и i-го узлов}

For j:=1 To i Do

Result[j]:=c*Temp[j]+Result[j];

End;

Result[1]:=Result[1]+Mat_f[1];

Print_Polinom(Number,Result)

End;{Nuton}

Begin{Main}

Null(Max_Num_Usel,X);

Null(Max_Num_Usel,F); {Начальное обнуление матриц}

Vvod(X,F,Max);

Nuton(Max,X,F);

End.{Main}

3. Пример работы программы

Чтобы проверить правильно ли у нас строится полином Ньютона, разложим какую-нибудь известную функцию. Например, y=sin(x) на интервале Х от 0.1 до 0.9. Полином будем строить по 5 точкам (шаг 0.2). Данные в программу вводим согласно таблице 1.

Таблица 1. Исходные значения для программы.

На инженерном калькуляторе вычисляем Sin(0.4)= 0.3894

Результаты работы программы:

Построение интерполяционного полинома Ньютона по значениям функции в узлах

Введите кол-во узлов интерполяции (0<N<20): 5

Значения узлов не должны сопадать

Введите значения узлов и значения функций в них:

X(0)=0.1 Y( 0.10)=0.0998

X(1)=0.3 Y( 0.30)=0.2955

X(2)=0.5 Y( 0.50)=0.4794

X(3)=0.7 Y( 0.70)=0.6442

X(4)=0.9 Y( 0.90)=0.7833

Полином Ньютона:

P4(x)= + 0.018·x^4 - 0.181·x^3 + 0.005·x^2 + 0.99

Рисунок 11. Результат работы программы Polinom

Вычисление значений интерполяционного полинома:

Введите значение x:

0.4

Значение полинома в точке Xo= 0.4000 равно Yo= 0.3894

Рисунок 12. Результат вычисления значения полинома

Заключение

Появление и непрерывное совершенствование ЭВМ привело к революционному преобразованию науки вообще и математики в особенности. Изменилась технология научных исследований, увеличились возможности теоретического изучения, прогноза сложных процессов, проектирования инженерных конструкций. Но более сложные расчёты требуют и более глубокого знакомства с численными методами. Численные методы носят в основном приближённый характер, позволяя, тем не менее, получить окончательный числовой результат с приемлемой для практических целей точностью.

Выполняя курсовую работу, я познакомилась с понятием интерполяция, укрепила свои знания в программировании на языке Turbo Pascal и при оформлении курсовой работы получила практические навыки при работе в пакетах Microsoft Word и Microsoft Visio.